李林中学高三年级物理导学案
班级_____________姓名______________学生使用时间______________第______周 课 题 主 备 审 核 使用教师 编 号
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圆周运动及其应用
（2）
朱凯荣
课前导学
学习目标： 1、圆锥摆模型
2、竖直面内的圆周运动分析。 学习重点： 1、圆锥摆模型
2、竖直面内的圆周运动分析。 学习难点：
竖直面内的圆周运动分析。 学习方法：
对于圆锥摆模型，是水平面内的圆周运动，一般涉及水平面内圆周运动是匀速的，需要的向心力水平；竖直面内的圆周运动一般是变速的，能在特殊点处分析受力，分析向心力的方向，对应列式求解。
课堂识真
圆周运动规律在实际中的应用
1．圆锥摆类问题分析
图1
圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力)和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．
F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2
R
其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图2所示)；杂技节目“飞车走壁”(如图3所示)；飞机在水平面内的盘旋(如图4所示)
图2图3 图4
【例1】(广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
图4-3-1
【例2】．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(取g＝10 m/s2)
(1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的
最小半径是多少？
(2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧
拱桥，则这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
[针对训练1]铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h.
弯道半径r/m660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值．
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L＝1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数．当θ很小时，tanθ≈sinθ)．
(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．
2．竖直面内的圆周运动问题分析
图5
(1)绳(单轨，无支撑，水流星模型)：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图5所示)．
这种情况下有F ＋mg ＝mv 2
R
≥mg ，所以小球通过最高点的条件是v ≥gR ，通过最高点的
最小速度v min ＝gR.
①当v>gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
②当v 图6 (2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型)，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图6所示)． 有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有： mg －F ＝mv 2R ≤mg ， 所以v ≤gR ， 物体经过最高点的最大速度v max ＝gR ， 此时物体恰好离开桥面，做平抛运动． (3)杆(双轨，有支撑)：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图7所示． 图7 ①过最高点的临界条件：v ＝0. ②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg ＝mv 2 R ，v ＝gR ， 杆或轨道内壁对小球没有力的作用． 当0 当v>gR 时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力)． 【例3】 如图4-3-2所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g 为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高 度h的取值范围． 图4-3-2 [针对训练2]在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设他的质量为60 kg，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g＝10 m/s2)() A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N [针对训练3]如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0＝2gR，则物块() A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为2R C．落地速度大小为2gR D．落地时速度方向与地面成60°角 【基础演练】 1．(2011·陕西省西安市统测)如图1所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时，下列说法错误的是() A．小球对圆环的压力大小等于mg B．小球受到的向心力等于重力mg C．小球的线速度大小等于gR D．小球的向心加速度大小等于g 图1 图2 图3 2．如图2所示，质量为m 的物块，沿着半径为R 的半球形金属壳内壁滑下，半球 形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v ，若物体与球壳之间 的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( ) A ．受到向心力为mg ＋m v 2 R B ．受到的摩擦力为μm v 2R C ．受到的摩擦力为μ(mg ＋m v 2 R ) D ．受到的合力方向斜向右上方 3．如图3所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( ) A ．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B ．小球只受重力和绳的拉力作用 C ．θ越大，小球运动的速度越小 D ．θ越大，小球运动的周期越大 4．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( ) A ．arcsin v 2Rg B ．arctan v 2 Rg C .12arcsin 2v 2 Rg D ．arccot v 2Rg 5．一根轻绳长0.5 m ，它最多能承受140 N 的拉力．在此绳一端系一质量为1 kg 的 小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，为维持此运动，小球在最高点 处的速度大小取值范围是( ) A ．0≤v ≤5 m /s B . 5 m /s ≤v ≤3 5 m /s C ．0≤v ≤3 5 m /s D ．3 5 m /s ≤v ≤5 5 m /s 6．水平光滑直轨道ab 与半径为R 的竖直半圆形光滑轨道bc 相切，一小球以初速度 v 0沿直轨道向右运动，如图4所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过c 点，然后 小球做平抛运动落在直轨道上的d 点，则下列说法错误的是( ) A ．小球到达c 点的速度为gR B ．小球到达b 点时对轨道的压力为5mg C ．小球在直轨道上的落点d 与b 点距离为2R D ．小球从c 点落到d 点所需时间为2 R g 图4 图5 7．如图5所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法 不正确的是( ) A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛 B ．bc 刚好拉直时ac 中拉力为1.25mg C ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变 D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大 8．(2010·重庆理综·24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图6所示．已知握绳的手离地面高度 为d ，手与球之间的绳长为3 4 d ，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力． (1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 图6 课后见功 拾遗补缺 拓展空间 圆周运动规律在实际中的应用 1．圆锥摆类问题分析 图1 圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力)和重力的合力提供球做圆周运动的向心力． F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2 R 其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图2所示)；杂技节目“飞车走壁”(如图3所示)；飞机在水平面内的盘旋(如图4所示) 图2 图3 图4 【例1】 (广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系． 图4-3-1 【例2】．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种 路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(取g ＝10 m/s 2) (1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的 最小半径是多少？ (2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧 拱桥，则这个圆弧拱桥的半径至少是多少？ [针对训练1] 铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨 高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下 列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之对应的轨道的高度差h. 弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 (1)根据表中数据，试导出h 和r 关系的表达式，并求出当r ＝440 m 时，h 的设计值． (2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L ＝1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km /h 为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)． (3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施． 2．竖直面内的圆周运动问题分析 图5 (1)绳(单轨，无支撑，水流星模型)：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图5所示)． 这种情况下有F ＋mg ＝mv 2R ≥mg ，所以小球通过最高点的条件是v ≥gR ，通过最高点的 最小速度v min ＝gR. ①当v>gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ②当v 图6 (2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型)，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图6所示)． 有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有： mg －F ＝mv 2R ≤mg ， 所以v ≤gR ， 物体经过最高点的最大速度v max ＝gR ， 此时物体恰好离开桥面，做平抛运动． (3)杆(双轨，有支撑)：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图7所示． 图7 ①过最高点的临界条件：v ＝0. ②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg ＝mv 2 R ，v ＝gR ， 杆或轨道内壁对小球没有力的作用． 当0 当v>gR 时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力)． 【例3】 如图4-3-2所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g 为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围． 图4-3-2 [针对训练2] 在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆 周运动．假设他的质量为60 kg，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g＝10 m/s2)() A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N [针对训练3]如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0＝2gR，则物块() A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为2R C．落地速度大小为2gR D．落地时速度方向与地面成60°角 【基础演练】 1．(2011·陕西省西安市统测)如图1所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时，下列说法错误的是() A．小球对圆环的压力大小等于mg B．小球受到的向心力等于重力mg C．小球的线速度大小等于gR D．小球的向心加速度大小等于g 图1 图2 图3 2．如图2所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是() A ．受到向心力为mg ＋m v 2 R B ．受到的摩擦力为μm v 2R C ．受到的摩擦力为μ(mg ＋m v 2 R ) D ．受到的合力方向斜向右上方 3．如图3所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( ) A ．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B ．小球只受重力和绳的拉力作用 C ．θ越大，小球运动的速度越小 D ．θ越大，小球运动的周期越大 4．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( ) A ．arcsin v 2Rg B ．arctan v 2Rg C .12arcsin 2v 2Rg D ．arccot v 2 Rg 5．一根轻绳长0.5 m ，它最多能承受140 N 的拉力．在此绳一端系一质量为1 kg 的 小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，为维持此运动，小球在最高点 处的速度大小取值范围是( ) A ．0≤v ≤5 m /s B . 5 m /s ≤v ≤3 5 m /s C ．0≤v ≤3 5 m /s D ．3 5 m /s ≤v ≤5 5 m /s 6．水平光滑直轨道ab 与半径为R 的竖直半圆形光滑轨道bc 相切，一小球以初速度 v 0沿直轨道向右运动，如图4所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过c 点，然后 小球做平抛运动落在直轨道上的d 点，则下列说法错误的是( ) A ．小球到达c 点的速度为gR B ．小球到达b 点时对轨道的压力为5mg C ．小球在直轨道上的落点d 与b 点距离为2R D ．小球从c 点落到d 点所需时间为2 R g 图4 图5 7．如图5所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法 不正确的是( ) A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛 B ．bc 刚好拉直时ac 中拉力为1.25mg C ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变 D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大 8．(2010·重庆理综·24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图6所示．已知握绳的手离地面高度 为d ，手与球之间的绳长为3 4 d ，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力． (1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 图6 竖直面内的圆周运动 一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型 1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。 2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。 物理情景最高点无支撑最高点有支撑 实例球与绳连接、水流星、沿内轨道 的 “过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 异同点受力 特征 除重力外，物体受到的弹力方 向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向 下、等于零或向上 受力 示意 图 力学 方程 mg＋F N＝m v2 R mg±F N＝m v2 R 临界 特征 F N＝0 mg＝m v2min R 即v min＝gR v＝0 即F向＝0 F N＝mg 过最高点的条 件 在最高点的速度v≥gR v≥0 【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则() A ．小球的质量为aR b B ．当地的重力加速度大小为R b C ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上 D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD 【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G ＝10 m/s 2。求： (1) 最高点水不流出的最小速度为多少？ (2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上 【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。 以水为研究对象， mg ＝m v 20L 解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s (2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。 V ＝ 3 m/s>v 0，水不会流出。 设桶底对水的压力为F ，则由牛顿第二定律有：mg ＋F ＝m v 2L 解得F ＝m v 2L －mg ＝0.5×(32 0.6 －10)N ＝2.5N 竖直面内的圆周运动 1、如图1所示，是绳子牵引下的小球在竖直面内作圆周运动，如图2所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均没有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况： （1）临界条件；绳子和轨道对小球没有力的作用 根据牛顿第二定律得 即 这个速度可理解为恰好转过或恰好转不过的速度． （2）能过最高点的条件：（当时绳、轨道对球分别产生拉力、压力） （3）不能过最高点的条件：（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道） 2、如图3所示，是杆子约束下的小球在竖直面内作圆周运动，如图4所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况： （1）临界条件：（支承物对物体的支持力等于mg） （2）当，即，如图5所示支承物对物体既没有拉力也没有支持力． 当，即，如图3所示支承物对物体产生拉力、且拉力随v增大而增大．如图4所示，小球将脱离轨道作平抛运动，因为轨道不能对它产生拉力． 当，即，如图5所示支承物对物体产生支持力，且支持力随v减少而增大，范围是0~mg。 火车转弯 如图1所示，如果火车转弯处内外轨无高度差，火车行驶到此处时，由于火车惯性的缘故，会造成外轨内侧与火车外轮的轮缘相互挤压现象，使火车受到外轨内侧的侧压力作用．迫使火车转弯做圆周运动．但是这个侧压力的反作用力，作用在外轨上会对外轨产生极大的破坏作用，甚至会引起外轨变形，造成翻车事故． 其实火车转弯的向心力并不是侧压力提供的，那么是什么力作为向心力的呢？如图2所示，在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车 的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向 圆心，成为使火车转弯的向心力． 设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车 转弯的规定速度为．由图2所示力的三角形得向心力为： 由牛顿第二定律得： 所以： 即火车转弯的规定速度： 讨论（1）当火车行驶速率v等于规定速度时，，内、外轨道对 轮缘都没有侧压力． 竖直平面内的圆周运动及实例分析 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。 一、两类模型——轻绳类和轻杆类 1．轻绳类。运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力 全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度， 叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。 2．轻杆类。运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。 所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不 足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当 时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。过最高点的最小向心加速度。 过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向 竖直平面内的圆周运动及实例分析 说明：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以对此要根据牛顿第二定律的瞬时性解决问题：在变速圆周运动中，虽然物体在各位置受到的向心力分别产生了物体通过各位置的向心加速度，但向心力公式仍是适用的．但要注意，对于物体做匀速圆周运动的情况，只有在物体通过最高点和最低点时，向心力才是合外力．一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。同时，还可以向学生指出：此问题中出现的对支持面的压力大于或小于物重的现象，是发生在圆周运动中的超重或失重现象． 一、教学目标： 1.知识与技能： （1）理解匀速圆周运动是变速运动； （2）进一步理解向心力的概念；（3）掌握竖直平面内最高点和最低点的圆周运动。 2.过程与方法： 通过对竖直平面内特殊点的研究，培养学生观察能力、抽象概括和归纳推理能力。 3.情感态度价值观：渗透科学方法的教育。 二、重点难点： 教学重点：分析向心力来源． 教学难点：实际问题的处理方法． 向心力概念的建立及计算公式的得出是教学重点，也是难点。通过生活实例及实验加强感知，突破难点。 三、授课类型：习题课 四、上课过程： （一）、情景引入： （二）、两类模型——轻绳类和轻杆类 (1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆2v mgm，这时的速度是做圆周运＝周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即r v＝动的最小 速度. （绳只能提供拉力不能提供支持力）.min 内侧的圆周运动，水流星的类此模型：竖直平面内的内轨道，竖直（光滑）圆弧 运动（水流星在竖直平面内作圆周运动过最高点的临界条件），过山车运动等， word 编辑版． 专题：竖直平面内的圆周运动 教学名称：专题：竖直平面内的圆周运动 教学班级：高三（1）班 教学时间：2007 年11 月5 教学目标: 1掌握向心力、向心加速度的有关知识，理解向心力、向心加速度的概念 3、熟练应用向心力、向心加速度的有关公式分析和计算有关冋题 重点难点： 1. 重点：理解向心力、向心加速度的概念并会运用它们解决实际问题 2. 难点：熟练应用向心力、向心加速度的有关公式分析和计算有关问题。 教学过程 一、引入 圆周运动是一种最常见的曲线运动，与日常生活联系密切，对圆周运动的考查主要表现在两个方面：一是对线速度、角速度、向心加速度等概念的理解和它们之间关系的运用；二是对向心力的分析，特别是与牛顿运动定律、动能定理、动量守恒定律等规律综合在一起考查?题型既有选择题，又有计算题,难度一般中等或中等以上?主要表现为对竖直平面内的变速圆周运动的考查 二、知识再现 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变 速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态? 1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的 v N m mg r ③不能过最高点的条件：VVV临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道） 2、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ②能过最高点的条件：v > v临界.此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力 上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度, v临界=.rg . 2 重力提供其做圆周运动的向心力，即 2 mv 临界 mg= r 教学年级：高三年级 3、6 班. 教学时间：2014年10月 27 日，第节. 课 题 专题:竖直面内的圆周运动课时 2 课型复习课教学 资源 多媒体课件巩固案 复习 资料 金榜新学案 教学 目标 1.了解竖直平面内的圆周运动的特点。 2.知道轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动的临界条件。 3.掌握竖直面内的圆周运动的处理方法。 教学 重点 1. 绳、杆两类模型中经过最高点时的受力特点分析。 2．学会应用牛顿定律和动能定理解决竖直面内的圆周运动问题。 教学 难点 用牛顿定律和动能定理解决竖直面内的圆周运动问题 教法与学法简述教师引导，学生积极参与，互动教学 教学内容设计二次备课设计【知识回顾】竖直面内做圆周运动的临界问题 由于物体在竖直面内做圆周运动的依托物(绳、轻杆、轨道、管道)不同,所以物体在 通过最高点时临界条件不同。 1. 绳或轨道圆周运动问题 要使小球恰好能在竖直平面内做完整圆周运动,则通过最高点时的速度应满 足: ； 2. 杆或管道类问题 （1）要使小球能通过最高点, 则小球通过最高点时的速度应满足: ； （2）要使小球到达最高点时对支撑物的作用力为零, 则小球通过最高点时的速度 应满足: ； 【例题】半径为R的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m的小球恰能 引导学生分析: ①小球在轨道最高点 的受力情况和通过最 在此圆轨道内做圆周运动，求小球在轨道最低点处对轨道的压力大小。 解析: 小球通过最高点时： 从最高点到最低点的过程中，运用动能定理， 小球通过轨道最低点时 解得： 根据牛顿第三定律，球对轨道的压力为6mg ； 【变式1】如图，一质量为m 的小球，放在一个内壁光滑的封闭管内，使其在竖直面内做圆周运动.试分析 (1)若小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度；小球的受力情况 (2)若小球在最低点受到管道的力为6mg ，则小球在最高点的速度及受到管道的力是多少 解析：（1）小球在最高点时：v 0=0；受重力和支持力； 从最高点到最低点的过程中，运用动能定理， 解得： （2）小球在轨道最低点时 从最低点到最高点的过程中，由动能定理得： 解得： 受到管道的力为零 【方法总结】求解竖直平面内的圆周运动问题： “两点一过程”是解决此类问题的基本思路。 1.对最高点和最低点进行受力分析，寻找向心力的来源，根据牛顿第二定律列方程； 2. 即在研究的某个过程中运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）列方程求解。 【变式2】如图，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大圆环上的质量为m 的小环（可视为质点），从大圆环的最高处由静止滑下，重力加速度为 g 。当小圆环滑到大圆环的最低点时，求大圆环对轻杆拉力的大小. 高点的速度条件 ②小球在轨道最低点的速度和受力情况 也可使用机械能守恒 通常情况下，由于弹 力不做功，只有重力 （或其它力）对物体 做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问题的有效方法. 2 022 1212mv mv R mg -= ?R v m mg F N 2 =-mg F N 6=02 122 -= ?mv R mg gR v 2=R v m mg F N 20 =-2 022 1212mv mv R mg -=?-gR v = 2 202 1 221mv R mg mv +?= B A 6122 --图6121 --图 专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题 【学习目标】 1. 了解竖直平面内的圆周运动的特点． 2. 了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心． 3. 掌握处理变速圆周运动正交分解的方法． 4. 学会用能量观点研究竖直平面内圆周运动． 【教材解读】 1. 竖直平面内的圆周运动的特点 竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动． 2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果 做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心(图6-12-1)，它产生两个方向的效果． 12F F F ????????→?????????→?? 合产生向心加速度产生切线方向加速度半径方向的分力改变速度的方向切线方向的分力改变速度的大小 因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F 1提供向心力． 3. 变速圆周运动中的正交分解 应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F 1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F 2改变速度的大小．（想一想，图 6-12-1中物体的速度在增大还是减小？） 4. 处理竖直平面内圆周运动的方法 如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问 题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度v ≥度v ≥ 0． 【案例剖析】 例1．如图6-12-2所示，质量为m 的小球自半径为R 的光滑半 圆形轨道最高点A 处由静止滑下，当滑至最低点B 时轨道对小球的 支持力是多大？ 解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对 竖直平面内圆周运动的几类问题【关键词】：竖直平面圆周运动向心力 【摘要】：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小。 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小。解圆周运动问题的基本步骤：1.确定作圆周运动的物体作为研究对象。2.确定作圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。3.对研究对象进行受力分析。 4.运用平行四边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力F。 5.根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。下面是我结合实例浅谈竖直平面内的圆周运动的几类问题： 一、最高点、最低点问题（如图） 竖直平面内的圆周运动最高点、最低点问题都是竖直方向的各力的合力提供向心力的情况。其中最低点问题如上图Ａ，轨道对球的支持力和球的重力的合力提供给球做圆周所需的向心力，即 ；而最高点问题相对复杂点，我把它分成以下几种： (一)、汽车过拱桥模型（如图） 例：汽车质量为1000kg, 拱形桥的半径为10m ，(g=10m/s2)则（1）当汽车以5m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥的压力是多大？（2）如果汽车以10m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥的压力又是多大呢？ 分析：（1）汽车受力分析如图所示,分析可得 r v m N mg 2 =-，即 N 7500)N 105-(1010002 2=?=-=r v m mg N ；（2）当汽车以10m/s 的速度通过桥面最高点时，汽车对桥面的压力N=0，汽车达到最大安全速度，此时仅有重力提供向心力。 对上例最高点汽车受力分析可知，车在竖直方向上受到支持力和重力作用，取向心加速度方向为正方向，有 ，当速度ν增大时，向心力增大，故Ｎ要减小，直到Ｎ=０，速度ν增到了最大值，即仅有重力提供向心力 ， 。因此，汽车过拱桥模型有个最 大速度(临界状态)，如果速度大于 ，那么汽车将飞离桥面，做离心运动。 (二)、绳球模型 （如图） 竖直面圆周运动练习题 1.如图6所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动， 求：（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？ （2）当小球在圆下最高低速度为4√2m/s时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）2.长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为3kg 的木球，以O 点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是，方向向 。 3.如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有 A B．小球通过最高点的最小速度为零 C．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 D．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 4.当小汽车以10m/s的速度通过一座拱桥的最高点，拱桥半径50m，求此车里的一名质量 为60kg的乘客对座椅的压力。 5.一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=100m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2，求 ⑴若桥面为凹形，轿车以20m/s的速度通过桥面最底点时，对桥面压力是多大？ ⑵若桥面为凸形，轿车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？ ⑶桥车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力 圆形轨道，BC段为高为6.如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=0.2m的光滑1 4 h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道。一质量为0.1kg的小球由A点从静止开始下滑到B点时速度的大小为2m/s，离开B点做平抛运动（g取10m/s2）， 求： （1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离； （2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小？ 1 竖直平面内的圆周运动 【例题1】如图所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住在竖面内作圆周运动，求： （1）当小球在圆上最高点速度为4m/s 时，细线的拉力是多少？ （2）当小球在圆上最低点的速度为24m/s 时，细线的拉力是多少？（g=10m/s 2 ） 练1、把盛水的水桶拴在长为L 的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是 ( ) A. gl 2 B. 2/gl C. gl D. 0 练2、用长为L 的细线拴一个小球使其绕细线的一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的2倍，已知重力加速度为g ，则球此时的速度大小为 ，角速度大小为 ，加速度大小为 。 【例题2】长度为0．5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为 3kg 的木球，以O 点为圆心，在竖直面 内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s ，取g = 10 m/s 2 ，则此时球对轻杆的 力大小是 ，方向向 。 练3：如图所示，长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球 在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点的速度v 0下列说法中正确的是 A ．v B ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大 C ．当v D ．当v 课堂练习： 1. 长度均为L 的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为m 的小球, 它们各自在竖直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点时, 杆、绳所受拉力之比为（ ） A. 5 : 6 B. 1 : 1 C. 2 : 3 D. 1 : 2 2、（多选）如图11，轻杆的一端与小球相连接，轻杆另一端过O 轴在竖直平面内做圆 周运动。当小球达到最高点A 、最低点B 时，杆对小球的作用力可能是： A. 在A 处为推力，B 处为推力 B. 在A 处为拉力，B 处为拉力 C. 在A 处为推力，B 处为拉力 D. 在A 处作用力为零，在B 处作用力不为零 3. 长为L 的轻绳一端系一质量为m 的物体, 另一端被质量为M 的人用手握住. 人站在水平地面上, 使物体在竖直平面内作圆周运动, 物体经过最高点时速度为v , 则此时人对地面的压力为（ ） A. ( M + m )g － m v 2L B. ( M + m )g + m v 2L C. M g + m v 2L D. ( M － m )g － m v 2L 4．一轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是（ ） A 、小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零 B 、小球过最高点时最小速度为gR C 、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反， 此时重力一定大于杆对球的作用力 D 、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反 五、竖直平面内的圆周运动 竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中 阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临 界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类” 绳对小球只能 产生沿绳收缩方向 的拉力(圆圈轨道问 题可归结为轻绳 类)，即只能沿某一 个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体 支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： (1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没 有力的作用，v gR = (2)小球能通过最高点的条件：v gR ≥，当v gR >时 绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)小球不能过最高点的条件：v gR <，实际上球还 没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类” 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点 的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动 的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)： (1)临界条件：由于硬杆 和管壁的支撑作用，小 球恰能到达最高点的临 界速度0 v= (2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况： ①当0 v=时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其 大小等于小球的重力，即N mg =； ②当0v gR <<时，因 2 v mg N m R -=,则 2 v N mg m R =-. 轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是0 mg N >>． ③当v gR =时，0 N=；④当v gR >时，则 2 v mg N m R +=，即 2 v N m mg R =-，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零. 小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v≠gR(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换 成g 月 ，若在其他天体上 则把g换成g 天体 . 二、两种模型的应用 【例1】如图5所示，质 量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少 【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v Rg = 临界 ，根据机械能守恒定律得2 1 2 2 mgh mg R mv =?+ 临界 把v Rg = 临界 代入上式得： min 5 2 h R =． 【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？ 【解析】此题属于 “轻杆类”，带电小 球在圆形轨道的最 高点B受到三个力 作用:电场力 F qE =，方向竖直向 上；重力mg；弹力N，方向竖直向下．由向心力公式， 图1 图2 图3 图4 图5 图6 课题：竖直平面内的圆周运动实例分析 授课班级：高一14班授课时间：2016年4月12日 授课教师：罗华权 三维目标： 一、知识与技能 1、了解竖直平面内的圆周运动的特点； 2、会分析汽车过凸形桥最高点和凹形桥最低点的受力情况； 3、会分析轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动在最高点、最低点的受力情况； 4、掌握轻杆、轻绳、管道内的小球做圆周运动的临界条件。 二、过程与方法 1、通过对圆周运动的实例分析，渗透理论联系实际的观点，提高学生的分析和解决问题的 能力。 2、通过对匀速圆周运动的规律也可以在变速圆周运动中使用，渗透特殊性和一般性之间的 辨证关系，提高学生的分析能力。 3、运用启发式问题探索教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生观察、分析、 抽象、建模的解决实际问题的方法和能力。 三、情感态度与价值观 1、通过对几个实例的分析，使学生养成仔细观察、善于发现、勤于思考的良好习惯，明确 具体问题必须具体分析； 2、激发学生学习兴趣，培养学生关心周围事物的习惯； 3、养成良好的思维表述习惯和科学的价值观。 教学重点： 1、分析汽车过凸形桥最高点和凹形桥最低点的受力情况； 2、分析轻绳、圆环内侧轨道、轻杆的小球做圆周运动在最高点、最低点的受力情况。 教学难点： 轻绳、圆环内侧轨道、轻杆等模型中的小球在竖直平面内做圆周运动的临界条件及应用。 教学方法： 讲授、分析、推理、归纳 教学用具： 过山车模型、水流星、多媒体课件等 课时安排： 1课时 教学过程： 上节课我们对生活中常见的匀速圆周运动进行了实例分析。知道分析和研究匀速圆周运动的问题，关键是把向心力的来源弄清楚，然后再结合牛顿第二定律解决相关具体问题。这节课我们将进一步学习竖直平面内的变速圆周运动，生活中有哪些常见的竖直平面内的圆周运动呢？ 一、汽车过凹凸桥 1. 汽车过凸形桥的最高点 公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥时的运动也可看做圆周运动。 竖直面内的圆周运动 学习目标 1. 能够确定物体做圆周运动的向心力的来源 2. 掌握竖直平面内圆周运动的两种基本模型：轻绳模型和轻杆模型 3. 能够准确分析两种模型最高点和最低点两种情况及其最高点的临界问题 课前检测 1. 向心加速度的公式：a=_____=______=______ 2. 向心力的公式：F=________=________=__________=________ 3. 练习：质量为20kg 的小孩坐在秋千板上，小孩离绳子的横梁2.5m ，在最低点时，小孩的速度为5m/s ，求秋千板对小孩的支持力。 新课教学 1. 轻绳模型（无支撑物） 长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动。 （1）当小球在最低点A 的速度为v 1时，绳的拉力为多大？ （2）当小球在最高点B 的速度为v 2 时，绳的拉力为多大？ 思考：小球恰好能过最高点的临界速度是什么？ 实例：水流星 在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么？ 练习：1.如图，小球在光滑的半径为Ｒ的半圆型轨道运动，在最高点时，轨道对球的压力大小等于3倍球重。 求：（1）球通过轨道顶端时的向心力大小 （2）球通过轨道顶端时的速度大小 2.轻杆模型（有支撑物） 如图所示，质量m=1kg的小球固定在长为Ｌ＝0.4m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求： （1）最低点： 若小球通过最低点的速度为4m/s，则杆对小球的作用力为多大？ （2）最高点： ①当小球在最高点的速度为多大时，杆对小球的作用力为零？ ②当小球在最高点的速度分别为3m/s和1m/s时，杆对小球的作用力的大小和方向 ③小球通过最高点的速度能为0吗？ 思考：1.小球恰好能通过最高点的速度是多少？ 2.在最高点时，杆何时表现为拉力，何时表现为支持力？ 总结：竖直面内的圆周运动 竭诚为您提供优质文档/双击可除竖直平面内的圆周运动规律总结 篇一：竖直平面内的圆周运动及实例分析 竖直平面内的圆周运动及实例分析 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。 一、两类模型——轻绳类和轻杆类1．轻绳类。运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质 点的重力来提供，这时有通过最高点的条件是，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高 作抛体运动了； ，质点才能运动过最高点；（5）过最（4）在只有重力 做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于 高点的最小向心加速度。 2．轻杆类。运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作 变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零， （1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小 等于质点的重力，即；（2）当 时， ；（3）当 而增大；（4）当 随的增大而减小，，质点的重力不足以提供向心力，杆 对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力；（5 ）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度 。 ，向心加速度的表达，才能运动到最高点。过最高点的最小向心加速度过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即 竖直平面内的圆周运动专题练习 一、单项选择 1、在汽车通过凸桥的最高点时，下列说法正确的是（） A．汽车对桥面的压力等于汽车的自重 B．汽车对桥面的压力大于汽车的自重 C．汽车对桥面的压力小于汽车的自重 D．汽车对桥面的压力与车速无关 【答案】C 【解析】 试题分析：在凸形桥的顶点，汽车靠重力和支持力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律分析压力与重力的关系． 解：在凸形桥的最高点，根据牛顿第二定律得，，解得 ＜mg，则汽车对桥面的压力小于汽车的重力，车速越大，压力越小，故C正确，A、B、D错误． 故选：C． 2、如图所示，长0.5m的轻质细杆一端O有光滑的固定转动轴，另一端固定有一个质量为3kg的小球，当杆绕O在竖直平面内作圆周运动，小球通过最高点时的速率为2m/s，则此时轻杆的受力情况是（取g=10m/s2）（） A、受6N的拉力 B、受6 N的压力 C、受24N的拉力 D、受54N的拉力 【答案】B 【解析】 3、A图是：质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(O A为细绳)。B图是：质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动(O B为轻质杆)。C图是：质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动。D图是：质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动。则下列说法正确的是： A. 四个图中，小球通过最高点的最小速度都是 v B. 四个图中，小球通过最高点的最小速度都是0 C. 在D图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 D. 在D图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力【答案】C 【解析】AC图中当重力完全充当向心力时，小球的速度最小，即，所以小 球通过最高点的速度最小为，BD图中由于杆或者内轨的支持，所以通过最高点的速度为零，故AB错误，在D图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，在D图中，小球的向心力来源为外轨的支持力和重力沿半径方向的分力充当，故外轨对小球一定有作用力，C正确，小球在水平线ab以上管道中运动时，如果在最高点 的速度，小球有做离心运动的趋势，所以外轨对小球有作用力，当时， 小球有做近心运动的趋势，故内轨对小球有作用力，故D错误 故选C 4、如图所示，汽车以某一速率通过半圆形拱桥顶点，下列关于汽车在该处受力的说法中正确的是（） A.汽车受重力、支持力、向心力 B.汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力 C.汽车的向心力就是重力 D.汽车受的重力和支持力的合力充当向心力 【答案】D 【解析】 考点：向心力；物体的弹性和弹力． 专题：受力分析方法专题． 分析：汽车过拱桥，做圆周运动，在最高点，合力提供向心力，受力分析时不能分析向心力． 解答：解：汽车过拱桥，做圆周运动，在最高点，重力和支持力的合力提供向心力，方向指向圆心，受力分析时，不能分析向心力，故ABC错误，D正确； 故选：D 点评：本题考查应用物理规律分析实际生活中圆周运动问题的能力，关键分析向心力的来源． 5、如图所示，物体A、B的质量分别为m、2m，物体B置于水平面上，B物体上部半圆型槽的半径为R，将物体A从圆槽右侧顶端由静止释放，一切摩擦均不计。则 A不能到达B圆槽的左侧最高点竖直面内的圆周运动(解析版)
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