高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
习题 1—1 解答 1．设 x f (x, y ) xy ，求 y f (x ,y), f 1 ( x , 1 ), y f (xy, x y ), f 1 (x, y) 解 x f (x ,y ) xy ； y f 1 ( x , 1 ) y 1 xy y x ; f (xy, x y ) x 2 y ; 2 f 1 (x, y) y xy 2 x 2．设f (x, y ) ln x ln y ，证明：f (xy,uv ) f (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v) f (xy,uv ) ln(xy ) ln(uv ) (ln x ln y)(ln u ln v ) ln x ln u ln x ln v ln y ln u ln y ln v f (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v) 3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）f (x, y ) 1x 2 y 2 1; 4x y （2）f (x, y ) ; ln(1x y ) 2 2 2 x y z 2 2 2 （3）f (x, y ) 1; a b c 2 2 2 x y z （4）f (x, y, z ) . 1x 2 y z 2 2 解（1）D {(x, y) x 1, y 1 y 1 -1 O 1 x -1 （2）D (x, y) 0x y 1, y 4x
2 2 y 2 1 -1 1 O x -1 1
（3）D x y z 2 2 2 (x, y ) 1 a b c 2 2 2 z c -a -b O b y a x （4）( , , ) 0, 0, 0, 1 D x y z x y z x 2 y z 2 2 z １ O y １ １ x 4．求下列各极限： 1xy （1）lim x 0 x y 2 2 y 1 1 0 = 1 0 1 ln(x e y ln(1 e ) ) 0 （2）lim ln 2 x 1 2 1 2 0 x y y0 2 xy 4 (2 xy 4)(2 （3）lim lim x xy xy 0 0 ( xy x 2 xy 4) 4) 1 4
微积分教学大纲 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
《微积分》教学大纲 课程代码： 名称：微积分学 授课专业：工业设计专业 学时数：100 一、课程的目的和要求 学生能够通过本课程的学习，获得一元函数微积分学、多元函数微分学方面比较系统的知识。同时，这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。 更重要的是，在教学过程中使学生加深高等数学的辩证统一思想的理解，并利用这一思想解决一些实际问题。通过这门课程的学习，提高学生的空间想象能力、逻辑思维和创造性思维能力，全面提高学生的数学素质。 二、课程教学内容 第一部分函数 主要内容：函数的概念与性质，复合函数、初等函数的概念。 要求： 1、理解函数的概念，能列出简单实际问题中的函数关系。 2、理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性； 3、理解反函数和复合函数的概念； 4、理解初等函数的概念和性质。 重点：函数的的概念与性质。 难点：列出问题中的函数关系，反函数和复合函数的概念。 第二部分极限与连续 主要内容：极限的概念，极限四则运算，无穷小、无穷大的概念，函数连续的概念。 要求： 1、了解数列极限、函数极限的概念(对极限的精确定义、证明不作要求)； 2、掌握极限四则运算法则，会用两个重要极限求极限； 3、理解解无穷小与无穷大、高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小的概念； 4、理解函数在一点连续和在一区间连续概念，了解函数间断的概念； 5、了解初等函数的连续性，了解在闭区间上连续函数的性质. 重点：极限的四则运算法则。 难点：极限的概念，连续的概念。 第三部分导数与微分 主要内容：导数和微分的概念，导数和微分的运算。 要求： 1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，了解函数的可导与连续之间的关系；
定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：
我的微积分之旅 微积分知识总结及学习体会 微积分是很多专业的一门基础学科，它在现代自然科学中占有十分重要的地位，是学生学习技术知识的基础。微积分作为一门挂科率较高的学科，具有严密的逻辑性和高度的抽象性，而老师在一堂课中所传授的知识，常常是穷尽一个科学家或几个科学家一代或几代的研究成果，其知识容量之大可想而知。那么怎样在短短的四十五分钟内尽可能多的掌握这些知识呢？我将浅谈一下自己的看法。 通过一年的高数学习，我们知道在大学好微积分是必要的，也是必须的。学习是一个长期的过程，不要总是想着考试前几天突击下就可以，我们中的人多数还都是普通人，没有能力达到一看就会的程度。所以一定要听好每节课，做好每一次作业，打好基础才能在复习中查缺补漏。 1、预习是必要的，在讲多元复合函数求导的那节课前，我因为准备其他考试而没预习，导致两节课像坐在飞机一样云里雾里，于是只能课下去看老师发的视频和课件。发现了重点是“串并联法则”，弄懂这个一切难题就迎刃而解，如果当初预习一下，听课效率就会高很多。 2、一定要保质保量的完成作业，不要以为作业很无所谓，可能有的题目是很难，但我们一定要自己做出来。如果实在做不出来的话，看看老师发的答案也是可以的，前提是自己之前思考过。公式定理一定要背，这些是学习微积分的基本工具，只有弄懂练熟公式与定理的使用，我们才能更好的应用到题目中去。 3、大学里的学习课后巩固很重要,光靠一周两次课的学习,远远不够。并且, 课上老师可能会因为进度问题而讲得很快, 很多时候我们会跟不上老师的速度, 这时, 如果课后不再看例题, 课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的。 那么我们具体该怎么学习微积分呢？在第一章的函数，我了解了什么是函数，如何求函数的定义域、奇偶性、周期性和数值，函数复合的计算。重点是充分理解复合函数、反函数和初等函数这些特殊的函数，熟悉它们的表达式、图像和计算方法。弄懂前面的基础，就到了函数在经济学中的应用，供给、需求、总成本、总收益、总利润函数，它们的计算和之间的关系。 第二章是极限与联系。内容有证明极限，证明连续，证明间断点，无穷大与无穷小等。我觉得最主要的是求函数的极限，方法有很多(1)消去零因子法；(2)同除最高次幂；(3)分子或分母有理化；(4)利用无穷小运算性质(有限个无穷小之和仍为无穷小，无穷小与有界函数的积仍为无穷小）；(5)复合函数求极限法则； (6)利用左、右极限求分段函数极限；(7)利用两类重要极限；(8) 利用等价无穷小代换；(9) 利用连续函数的性质(代入法)；(10) 利用洛必达法则。具体运用哪一种方法，还需要我们通过多做题来知晓。 第三章是导数与微分。最基础的就是背好公式，然后再多加练习。反函数、复合函数、隐函数、高阶导数是比较重要的，关键还是要牢记公式定理。在这一 章我们还学习到了经济应用“边际与弹性”，边际函数 平均函数 第四章中值定理与导数有点难度，首先是三个中值定理“罗尔定理”、“拉格朗日中值定理”、“柯西中值定理”，这三个定理分别满足的条件是必须背下来的。洛必达法则是求0/0型、∞/∞型、0*∞型等未定式的极限的一个重要方法。导
微积分课程教学基本要 求 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
(1) 微积分(I)教学基本要求(3学时/周, 48学时) (一)说明 《微积分(I)》称之为“直观微积分”，其特点是给极限以易懂的直观定义， 跨过极限理论证明的难点，尽快进入微积分的最基本的主线内容：一元函数的 微分、积分以及简单微分方程等. 这样使学生容易入门，先掌握实际应用广泛 的微积分基本内容，突出牛顿式的数学与物理概念、几何直观相结合的处理方法, 不拘泥于严格的数学证明，注重基本的计算能力和运用微积分方法分析和 解决实际问题能力的培养。 (1)这部分内容的极限概念主要以“无限趋向”直观的定义, 只介绍极限的精 ε-的极限证明, 但极限的保号性的运用要求掌握。 确定义，不要求用δ (2)连续函数在闭区间上的有界性，取最值性，及介值性的结论要求会运用. (3)这部分要求突出计算和应用。 由于学生从中学到大学在学习方法上有较大变化,为适应这个过程,建议在 教学中注意对学生学习方法和阅读教材与参考书的指导，堂上要有适当的例题 讲解。 (二)内容 1. 函数: 函数定义,基本初等函数; 隐函数, 参数方程表示的函数,复合函数。 函数的几个主要性质:有界性,奇偶性，单调性，周期性,凸凹性。 2极限: ε-”定义的证明题,只要只讨论函数的极限，强调“无限趋近”, 不要求“δ ε-”思想说明极限的保号及有界等性质. 求用“δ
极限的运算性质,两个重要极限，无穷小量,无穷大量.利用极限性质、等价无穷小、高阶无穷小计算极限。 3.连续: 连续和间断的概念(不讲一致收敛),闭区间连续函数的性质. 4. 导数与微分 导数与微分的概念,几何意义. 导数与微分计算: 基本导数、微分公式, 四则运算法则,复合函数链式法则, 参数方程求导数,隐函数求导数;高阶导数Leibniz 公式 5. 微分中值定理和导数应用 三个微分中值定理的证明及应用. L ’Hospital 法则, Taylor 公式, 函数()()α x x e x x x ++1,1ln ,,cos ,sin 在00=x 处的Taylor 公式, 用Taylor 公式求函数的极限. 函数性态的研究: 增减极值,凸性，拐点, 渐近线; 函数图象的讨论和略画。 一元函数的极值及最值问题。 6.积分 原函数和不定积分的概念及性质; 不定积分的计算： 凑微分,变量代换,分部积分， 了解有理函数的积分的思路与结论 7. 定积分的概念及基本性质, 变限积分与微积分基本定理,Newton-Leibniz 公式 定积分的计算：凑微分,变量代换,分部积分，了解不能积成初等函数的积分。
(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。
微积分基本公式 下面我们先从实际问题中寻找解决问题的线索．为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数)(t s 及速度函数)(t v 之间的联系作进一步的研究． 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 有一物体在一直线上运动．在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成为一数轴．设时刻t 时物体所在位置为)(t s ，速度为)(t v ．(为了讨论方便起见，可以设0)(≥t v ．) 从第一节知道：物体在时间间隔[]21 ,T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在[]21 ,T T 上的定积分?2 1 d )(T T t t v 来表达；另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(t s 在区间[] 21 ,T T 上增量)()(12T s T s -来表达．由此可见，位置函数)(t s 与速度函数)(t v 之间有如下关系： ) ()(d )(122 1 T s T s t t v T T -=? ． (1) 因为)()(t v t s ='，即位置函数)(t s 是速度函数)(t v 的原函数，所以关系式 (1) 表示，速度函数)(t v 在区间[]21 ,T T 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t s 在区间[]21 ,T T 上的增量：)()(12T s T s -． 上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出的关系，在一定条件下具有普遍性．事实上，我们将在第三目中证明，如果函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，那么，)(x f 在区间 ] ,[b a 上的定积分就等于)(x f 的原函数(设为)(x F )在区间] ,[b a 上的增量：)()(a F b F -． 二、积分上限的函数及其导数 设函数)(x f 在区间] ,[b a 上连续，并且设x 为] ,[b a 上的一点．现在我们来考察)(x f 在部分区间] ,[x a 上的定积分 ? x a x x f d )(． 首先，由于)(x f 在区间] ,[x a 上仍旧连续，因此这个定积分存在．这时，x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用t 表示，则上面的定积分可以写成 ? x a t t f d )(
《微积分》学习方法 来源：东财网院 很多同学都会认为，数学是一门比较难学的学科，有那么多的定义、公式、定理，还有图像以及各种曲线等等，总是让人头疼。所以同学们在接触微积分之前，可能就已经对它产生了心理恐惧，甚至是排斥心理。而事实并非如此，之所以会这样是因为你还没有掌握正确的学习方法。 首先，大家应该大致翻一下教科书，或者是看看目录和前言，了解学习这么课程所需具备的基础知识是什么。从第一章的内容中，大家可以了解到，微积分的起点是中学里的函数概念和解析几何。所以，如果以往的知识不牢固，或是没有接触过，那么最好找来中学的教科书复习一下。接下来，大家就接触到了极限，数列的极限以及函数的极限。大家可能会发现，极限的定义很难看懂。那是不是就能以此为借口，停顿在这里呢？当然不能，我们可以先把这个问题放一下，继续向下。实际上，极限的概念是很直观的，理解其思想即可，看不懂定义并不影响下面的学习。 接下来的部分就较为重要了，而且不能跳过。导数的概念其实也很简单，就是一个量关于另一个量的变化率。下面可能牵扯到很多导数的公式和运算技巧，很少有人会马上记住，这也不要紧，可以在平时的练习中慢慢掌握。可能有些同学喜欢解题，喜欢推导和运算，这固然是好事，但不要过度的沉浸在题海中。接触到微分，大家会发现，它和导数没有实质性的区别，只是在表达方式上有所不同，这是需要大家分清楚地。 下一个难点就是积分了。积分的数学定义可能较难理解，那么可以从图形下手，可以充分发挥想象力：为了求得曲线所围的面积，用无数小梯形去无限逼近，这也就是极限的思想。其实积分的本质就是极限。理解它的本质后，运算技巧可以暂放一下，在考试前可以集中解决运算技巧的问题。 对于多数同学来说，微积分的后半部分会更难些。对于无穷级数，同学们还是重在理解思想。多元函数微积分比前面的一元函数稍微复杂了些，但是基本的思路是一样的。最后一个难点，就是关于微分方程了。首先，要理解微分方程的有关概念以及微分方程的解，这样才能对微分方程有所识别。其次，对各种类型的微分方程，都要抓住其特征的本质，领会每一道例题中解题的方法和含义。 在学习数学的过程中，前后的连贯性较为重要，所以要注意知识点之间的衔接。但也不排除个别的情况，比如前文中说到的极限和级数。事实上很多人的亲身经历也证明了，微积分并不可怕，关键看你肯不肯下功夫。相信在大家的努力和老师的帮助下，微积分的难关是可以攻克的。 微 积 分》 的 学 习 方 法 读书好比走路。不知道去那里干什么，走起路来也没 劲儿。读书也是这样，没有目的，读起书来也没兴趣。 走路也得有方法，方法对走起路来才省劲儿。读书也 是这样，方法得当才能收到好效果。学生在校期间， 读书当然应以教科书为主，但是大学生与中小学生不
Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ? =)()(x g x f :N ote 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f Example )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x Given two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by )) (())((x g f x g f = Note )))((())((x h g f x h g f =
《微积分》课程教学大纲 课程类型: 公共基础课课程代码: 0140026 课程学时: 75 学分: 5 适用专业: 经济学专业（金融方向） 开课时间:一年级一学期开课单位: 基础部数学教研室 大纲执笔人: 兰星大纲审定人: 王培颖 一、课程性质、任务 课程性质：微积分已经被广泛应用于各种经济活动之中，并且与其他经济学分支互相渗透或结合。微积分即是掌握现代化科学知识必不可少的基础知识和基本工具，也是后继课程《概率论与数理统计》《计量经济学》等的基础课程，所经，微积分已经成为经济学专业学生必修的一门专业基础课。 教学目的与任务：首先要使学生掌握经济学专业所必须的微积分知识和方法，迸一步培养学生正确、熟练的计算能力，同时还要通过微积分课程的教学，对学生进行数学思想和方法的教育训练，进一步培养学生正确、深刻的思维能力，及独立的分析解决实际问题的能力。 备注：本教学大纲以赵树嫄等主编的《微积分》为编写标准。 二、课程教学内容 （一）教学内容、目标与学时分配 教学内容教学目标学时分配 75 理论教学部分 6 1、函数（第一章） 1/2 了解 1．1集合1 理解 1．2实数集1/2 1．3 理解函数关系 1/2 了解 4 1．分段函数 1/2 5建立函数关系的例题掌握． 11 1．6函数的几种简单性质了解 1 了解反函数与复合函数．17 1 掌握 8 1．函数的几种简单性质17 、极限与连续（第二章）2 ． 21理解数列极限 2 2．函数极限理解22 理解变量极限． 23 2 4．无穷大与无穷小理解 21 5． 2掌握极限的运算法则 3 6． 2 两个重要极限了解3 2．7利用等价无穷小量代换求极限掌握 2 了解．8函数的连续性 22 9 3、导数与微分（第三章）理解 3．1引出导数概念的例题 1
试卷代号：2437 国家开放大学2 01 9年秋季学期期末统一考试 微积分基础试题 2020年1月 导数基本公式 积分基本公式 (c)＇=0 ∫0dx =c (x a )＇=αx a?1 ∫x a dx =x a+1α+1+c (a ≠?1) (a x ) ＇ =a x ln a (a >0,且a ≠1) ∫a x dx = a x ln a +c (a >0,且a ≠1) (e x )＇=e x ∫e x dx =e x +c (log a x)＇=1 x ln a (a >0,且a ≠1) (ln x)＇=1 x ∫1 x dx =ln |x |+c (sin x)＇=cos x ∫sin x dx =?cos x +c (cos x)＇=?sin x ∫cos x dx =sin x +c (tan x)＇=1cos x ∫1cos 2x dx =tan x +c (cot x)＇=?1sin 2x ∫1sin 2x dx =?cot 2x +c 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1．函数y =x e x ?e ?x 2的图形是关于( )对称的． A ．y =x B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 2．当k =( )时，函数f (x )={ sin x x ?1, x ≠0 k, x =0 在x =0处连续． A ．0 B ．1 C ．2 D ．?1 3．函数y =(x +1)2在区间(-2，2)是( )． A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 4．以下等式成立的是( )． A ．2x dx =d(2x )ln 2 B ．sin x dx =d(cos x) C ． √x =d(√x) D ． ln x dx =d(1 x )
微积分教程 微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分的基本介绍 微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分的本质 【参考文献】刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》，长沙：湖南科学技术出版社，2009 1．用文字表述： 增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。 2．用式子表示：
平心而论，高等数学确实是一门比较难地课程.极限地运算、无穷小量、一元微积分学、多元微积分学、无穷级数等章节都有比较大地难度. 很多学生对“怎样才能学好这门课程？”感到困惑.要想学好高等数学，要做到以下几点：首先，理解概念.数学中有很多概念.概念反映地是事物地本质，弄清楚了它是如何定义地、有什么性质，才能真正地理解一个概念. 其次，掌握定理.定理是一个正确地命题，分为条件和结论两部分.对于定理除了要掌握它地条件和结论以外，还要搞清它地适用范围，做到有地放矢. 第三，在弄懂例题地基础上作适量地习题.要特别提醒学习者地是，课本上地例题都是很典型地，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题地特点和解法在理解例题地基础上作适量地习题.作题时要善于总结不仅总结方法，也要总结错误.这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三. 第四，理清脉络.要对所学地知识有个整体地把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识地理解，还会对进一步地学习有所帮助. 高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程.其中尤以微积分地内容最为系统且在其他课程中有广泛地应用.微积分地创建工作，是由牛顿和莱布尼茨完成地[只是他们创建地微积分地理论基础不够严谨].（当然在他们之前就已有微积分地应用，但不够系统） 高等数学有两个特点：.等价代换.在极限类地计算里，常等价代换一些因子（这在量地计算中是不可理解地），但极限是阶地计算..如果原函数形式使计算很困难，可使用原函数地积分或微分形式，这是化简计算地思想.这三个函数之间地关系就是微分方程. 一、函数与极限常量与变量 函数 函数地简单性态 反函数 初等函数 数列地极限 函数地极限 无穷大量与无穷小量 无穷小量地比较 函数连续性 连续函数地性质及初等函数函数连续性 二、导数与微分导数地概念 函数地和、差求导法则 函数地积、商求导法则 复合函数求导法则 反函数求导法则 高阶导数 隐函数及其求导法则 函数地微分 三、导数地应用微分中值定理 未定式问题 函数单调性地判定法 函数地极值及其求法 函数地最大、最小值及其应用
大学微积分(常见问题 与解答)
辅导答疑 第一章微积分的基础和研究对象 1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？ 答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。 微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。 2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？ 答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。函数不
仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。 《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。 第二章微积分的直接基础-极限 1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？ 答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。 芝诺的说法中有合理的成分：阿基里斯追赶乌龟的过程确实是一个无穷的过程--一个无穷的位置变化过程。芝诺的说法中的错误在于：他把阿基里斯追赶乌龟的无穷的位置变化过程与无穷的时间变化过程混为一谈了。 芝诺的结论"阿基里斯永远也追不上乌龟"中的"永远"一词，指的当然是"时间"。条件中谈的是"位置"的变化，结论却谈"时间"，这是芝诺悖论偷梁换柱之所在。 事实上，阿基里斯追赶乌龟的悖论的解决借助于高等数学的一部分重要内容---无穷级数，在那里，我们将会看到，尽管是无穷多个数相加，却可以等于一个有限的数。虽然芝诺将追赶时间一段一段叙述，造成无穷多个时间的迷惑，实际上，这无穷多个时间的和是个有限的数。从而，阿基里斯在有限的时间内就可以追赶上乌龟了，这与我们的生活常识一致。
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L 倒数关系：sinx·cscx=1 tanx·cotx=1 cosx·secx=1 商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-s in^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差： sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 积化和差： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 ?? +==c x dx dx 1c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） c dx x x +=??ln 1() ()()?? ???+-?=?+-=?-+-=?++=?≠+=?c x x x dx x c x x dx x c x arc x dx x c e dx e a a a c a a dx a x x x x ln ln arccos arcsin 11cot arctan 11 10ln 2 2 或或为常数，，＞ () c x a x a a dx x a c a x a dx x a c a x dx x a c x x dx x +-+?=?-+=?++=?-+++=?+???? ln 211arctan 11arcsin 1 1ln 112 22 22 222 c x x x d c shx dx chx c chx dx shx +-=-+=?+=?? ??cos ln cos cos c x dx x c x dx x c x dx x +=?+=?+-=????cos ln tan sin cos cos sin c x dx x +=??sin ln cot
c x dx x x c x dx x x c x dx x c x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x +-=??+=??+-=?+=?+--=?+-=?++=?+-= ?+-=?++=???????????csc cot csc sec tan sec cot csc tan sec cot cot tan tan 2sin 4 12cos 2sin 41 2sin cos csc ln csc tan sec ln sec 22222 2 c x dx a x a x ++=?++? 2 2ln 12 2 （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②①（7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?= ?+???)()()(1 )()(1)(一般地，（9）连续函数一定有原函数，但是 有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 数乘运算 加减运算 线性运算 （8）
《微积分》教学大纲（上、下） 课程名称：《微积分》英文名称：《calculus》 学分： 6总学时：108 实验（上机）学时： 无 开课专业： 经济学专业、财务管理专业、资产管理专业、物业管理专业 一、课程性质、目的和培养目标： 《微积分》是一门数学基础课程，它的主要内容包括函数、极限、连续﹑导数与微分， 中值定理与导数的应用，不定积分，定积分，多元函数微分法及其应用，重积分，无穷级， 数，微分方程与差分方程等。本课程是经济学专业的一门专业必修课程。通过系统介绍微积 分的基本内容，使学生在掌握微积分的基本知识，基本理论和基本技能基础上，提高抽象思 维，逻辑推理与运算的能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分 析问题和解决问题的能力。提高数学修养和思维品质，为学习相关的后续课程准备必要的数 学知识。 二、预修课程：高中数学 三、课程内容和建议学时分配：（120学时。含108课时，复习考试12课时） 章 节 内 容 学时 第一章 函数与极限 18课时 第一节函数 1. 理解函数的概念 2. 理解函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 3. 理解反函数的概念。 第二节初等函数 1. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 2. 理解复合函数 3. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 第三节数列的极限 1. 理解数列极限的概念，掌握极限四则运算法。 2. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 3. 理解极限的唯一性定理.
4. 收敛数列的有界性定理. 第四节函数的极限 1.自变量趋于有限值时函数的极限 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 第五节无穷小与无穷大 1. 理解无穷小、无穷大 2. 有限个无穷小量的和为无穷小量. 3. 无穷小量与有界函数的积为无穷小量. 4. 有限个无穷小量的积为无穷小量 第六节极限运算法则 1.掌握极限四则运算法 2.掌握复合函数极限四则运算法则 第七节极限存在准则 两个重要极限 1. 理解极限存在的夹逼准则. 2. 了解单调有界数列必有极限的原理 3. 会用两个重要极限求极限 第八节无穷小的比较 1. 理解无穷小的阶的概念 2. 会用等价无穷小求极限 第九节函数的连续性与间断点 1. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念. 2. 了解间断点的概念. 3. 会判别间断点的类型 第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 1. 了解连续函数的和﹑积﹑商的连续性. 2. 反函数与复合函数的连续性 3. 了解初等函数的连续性. 第十一节闭区间上连续函数的性质 1. 了解最大最小值定理. 2. 了解介值定理. 第二章 导数与微分12课时 第一节导数的概念 1．理解导数的概念。 2．理解导数的几何意义。 3．理解函数的可导性与连续性之间的关系。