高三文科数学总复习
集合：
1、集合元素的特征：①确定性 ②互异性 ③无序性
2、常用数集及其记法：①自然数集（或非负整数集）记为N 正整数集记为*
N 或+N ②整数集记为Z ③实数集记为R ④有理数集记为Q 3、重要的等价关系：B A B B A A B A ??=?=
4、一个由n 个元素组成的集合有n
2个不同的子集，其中有12-n 个非空子集，也有12-n 个真子集
函数：
1、函数单调性
（1）证明：取值--—作差----变形----定号----结论 （2）常用结论：
①若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数 ②增+增=增，减+减=减
③复合函数的单调性是“同增异减”
④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反
9、函数奇偶性
（1）定义：①)()(x f x f =-， )(x f 就叫做偶函数 ②)()(x f x f -=-, )(x f 就叫做奇函数 注意：①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 ②奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称
③若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f （2）函数奇偶性的常用结论：
奇 + 奇 = 奇，偶 + 偶 = 偶，奇 * 奇 = 偶，偶 * 偶 = 偶，奇 * 偶 = 奇
基本初等函数
1、（1）一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1
①负数没有偶次方根 ②0的任何次方根都是0，记作00=n
③当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，?
??<≥-==)0()0(||a a a a a a n
n
④我们规定：(1)m n m n
a a =()
1,,,0*>∈>m N n m a (2)()01>=-n a
a n n
（2）对数的定义：若N a b
=,那么N b a log =,其中a 叫做对数的底数, b 称为以a 为底的N 的对数，N
叫做真数
注：（1）负数和零没有对数（因为0>=b
a N ） （2）1log ,01log ==a a a （0>a 且1≠a ）
（3）将N b a log =代回N a b
=得到一个常用公式log a N
a
N = （4）x N N a a x
=?=log
2、（1）①()Q s r a a
a a s
r s
r
∈>=+,,0②()()Q s r a a a rs s
r ∈>=,,0 ③()()Q r b a b a ab r r r
∈>>=,0,0
（2）①()N M MN a a a log log log += ②N M N M a a a log log log -=??
? ?? ③M n M a n
a log log =
④换底公式：a
b
b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a ，利用换底公式推导下面的结论：
（1）b m
n
b a n
a m
log log
=
（2）a b b a log 1log =
3、指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质
4、几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数) )'(=nx
x (Q n ∈) x x cos )'(sin =
x x sin )'(cos -= x x 1)'(ln =
e x
x a a log 1)'(log =x x e e =)'( a a a x
x ln )'(=
立体几何初步
柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体表面积公式（C 为底面周长，h 为高，l 为母线）： rh S π2=圆柱侧 rl
S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表
（2）柱体、锥体、台体的体积公式：
表1
指数函数
()0,1x y a a a =>≠
对数函数
()log 0,1a y x a a =>≠
定义域 x R ∈ ()0,x ∈+∞
值域
()0,y ∈+∞
y R ∈
图象
性质
过定点(0,1)
过定点(1,0)
减函数
增函数 减函数 增函数
(,0)(1,)(0,)(0,1)
x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时， (,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时， (0,1)(0,)(1,)(,0)x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时，
(0,1)(,0)
(1,)(0,)x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，
表2
幂函数()y x R αα=∈
性质
（1） 过定点（1，1）
（2） α为奇数，函数为奇函数；
α为偶数，函数为偶函数
图象
V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 1
3V Sh =锥 h r V 23
1π=圆锥
（3）球体的表面积和体积公式：3
R 3
4π=
球V 2R 4S π=球面 直线与方程
1、直线的斜率
过两点的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
2、直线方程
①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b
③两点式：11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：
1x y
a b
+=，其中直线与x 轴、y 轴的截距分别为,a b ⑤一般式：0=++C By Ax （B A ,不全为0） 3、两直线平行与垂直
212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l
4、两点间距离公式：
||AB = 5、点到直线距离公式： 2
200B A C By Ax d +++=
6、两平行直线距离公式：2
2
21B
A C C d +-=
圆的方程
1、圆的方程
（1）标准方程()()2
2
2
r b y a x =-+-，圆心
()b a ,，半径为r
（2）一般方程02
2=++++F Ey Dx y x 2、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，判断方法：
设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为
2
2B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?<
3、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()22
2222:R b y a x C =-+- 当r R d +>时 ，两圆外离 当r R d +=时 ，两圆外切
当r R d r R +<<-时 ，两圆相交 当r R d -=时，两圆内切
当r R d -<时，两圆内含 当0=d
时，为同心圆
三角函数
1、与角α终边相同的角的集合为{}
360,k k ββα=?+∈Z
2、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 (
)
220r r x y =
+>，则sin y r α=
，cos x r α=，()tan 0y
x x
α=≠ 3、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三余弦，四正切 4、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()
sin 2tan cos α
αα
= 5、三角函数的诱导公式：推导口诀：奇变偶不变，符号看象限
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+= ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=- ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=- ()5sin cos 2παα??-=
???，cos sin 2παα??-= ??? ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??
+=- ???
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 R R
,2x x k k ππ??
≠+∈Z ????
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当22
x k π
π=+
，max 1y =； 当22x k π
π=-
，min 1y =- 当x=2k π时，max 1y =；
当2x k ππ=+，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性
2π 2π π 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
2,222k k ππππ??-+????
上增；32,222k k ππππ??++???
?上减 []()2,2k k k πππ-∈Z 上增；在[]2,2k k πππ+上减
在,22k k ππππ?
?-+ ??
?上增
对称性
对称中心()(),0k k π∈Z
对称轴()2
x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k π
π??
+∈Z ???
对称中心(),02k k π??
∈Z
???
无对称轴
函
数 性 质
对称轴()x k k π=∈Z
有2sin sin sin a b c
R C ===A B 8、余弦定理：2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，222
2cos c a b ab C =+-
推论：222cos 2b c a bc +-A = 222cos 2a c b ac +-B = 222
cos 2a b c C ab
+-=
9、三角形面积公式：111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ?AB =A ==B
平面向量
1、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连，首指尾 ⑵平行四边形法则的特点：首首相连，对角线
(3)坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++ 2、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：首首相连，指被减
⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=-- 3、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ
①
a a λλ=
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；
当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ=时，0a λ=
（2）坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==
4、向量共线定理：向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=
设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、()
0b b ≠共线 5、平面向量的数量积：
⑴()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0
⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ②当a 与b 同向时，a b a b ?= 当a 与b 反向时，a b a b ?=- 2
2
a a a a ?==或a a a =? ③a
b a b ?≤ ⑶坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+ 若(),a x y =，则2
2
2
a x y =+，或22a x y =
+
12120a b x x y y ⊥?+=
121222221
1
22
cos a b a b
x y
x y
θ?=
=
++
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-
b
a
C B
A
a b C C
-=A -AB =B
⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ
+=+
⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ--=
+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）
(6)()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα= ⑵2
222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=） ⑶22tan tan 21tan α
αα
=
-
26、辅助角公式：)sin(cos sin 22?ααα++=
+b a b a ，其中a
b =
?tan 数列
1、等差数列： ()11n
a a n d =+-
性质：等差中项：若a 、b 、c 成等差，则2b=a+c
若m n p q +=+（m 、n 、p 、*
q ∈N ），则q p n m a a a a +=+； 若2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则q p n a a a +=2
前n 项和的公式：①2
)
(1n n a a n S += ②()1
12n n n S na d -=+ 2、等比数列：11n n a a q -=
性质：等比中项：若a ，G ，b 成等比数列，则2
G ab =
若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?；
若2n p q =+，则q p n a a a ?=2
前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q
q =??
=-?-=≠?
--?
3、和项关系： ???≥-==-2111
n S S n S a n n
n
4、数列求和的方法：（1）套用公式法： ①等差数列求和公式：()()
11122n n n a a n n S na d +-=
=+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q
q ?=?
=-?-=≠?
--?
（2）裂项相消法：
()1111n n k k n n k ??
=- ?++??
（3）分组求和法：等差+等比 （4）错位相减法：等差*等比 （5）倒序相加法
不等式
基本不等式： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即
2
a b
ab +≥ 变形 ①()2
2
2,a b ab a b R +≥∈ ②()2
0,02a b ab a b +??
≤>> ???
圆锥曲线
1、椭圆：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12
F F ）的点的轨迹称为椭圆 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距 几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 ()22
2210x y a b a b +=>> ()22
2210y x a b a b
+=>> 轴长
短轴的长2b = 长轴的长2a =
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==-
对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称
离心率
()2
2101c b e e a a
==-<<
2、双曲线：平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹
即：
|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210,0x y a b a b -=>> ()22
2
210,0y x a b a b
-=>> 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c
()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==+
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
离心率
()2
211c b e e a a
==+>
渐近线方程 b y x a
=±
a y x b
=±
3、抛物线：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹．定点称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线
几何性质：()0p > 标准方程
22y px = 22y px =- 22x py = 22x py =-
图形
顶点 ()0,0
对称轴 x 轴
y 轴
焦点
,02p F ??
??? ,02p F ??
- ???
0,2p F ?
? ??
?
0,2p F ?
?- ??
?
准线方程 2
p
x =-
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
离心率
1e =
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）