曲线运动复习课
一、基础知识及典型例题 （一）：曲线运动 1、定义：
轨迹是曲线的运动
2、特点： 速度的方向沿该点的切线方向，
速度的方向时刻在变是一种变速运动 3、做曲线运动的条件 :
从运动学角度看，若物体加速度方向跟物体的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动
从动力学角度看，若合外力不等于零且与速度方向不在一直线上 ，物体就做曲线运动 F （a ）跟v 在一直线上→直线运动
F （a ）跟v 不在一直线上→曲线运动
4、两种典型的曲线运动
一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变速曲线运动，如平抛运动；另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动. 5、曲线运动中合力、速度、轨迹三者的关系： （1）合力指向轨迹的凹侧。（2）轨迹在合力与速度方向夹角（小于平角）范围内。 例题： 1，如图所示,物体在恒力的作用下沿从A 曲线运动到B,此时突然使力反向,物体 的运动情况是 ( C )
A 物体可能沿曲线Ba 运动
B 物体可能沿直线Bb 运动
C 物体可能沿曲线Bc 运动
D 物体可能沿曲线B 返回A
v B
a a →??
→?恒定匀变速曲线运动变化变加速曲线运动a a →??→?恒定匀变速直线运动
变化变加速直线运动
例2．关于曲线运动，有下列说法, 其中正确的是（AD ）
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动一定是匀速运动
C．在平衡力作用下，物体可以做曲线运动
D．在恒力作用下，物体可以做曲线运动
例3.下列关于曲线运动的描述中，正确的是(ABC)
A.曲线运动可以是匀速率运动
B.曲线运动一定是变速运动
C.曲线运动可以是匀变速运动
D.曲线运动的加速度可能为0
例4.一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内( B )
A.速度一定在不断改变，加速度也一定不断地改变
B.速度一定在不断地改变，加速度可以不变
C.速度可以不变，加速度一定不断地改变
D.速度可以不变，加速度也可以不变
例5，某物体受同一平面内的几个力作用而做匀速直线运动，从某时刻起撤去其中一个力，而其它力没变，则该物体( C )
A、一定做匀加速直线运动
B、一定做匀减速直线运动
C、其轨迹可能是曲线
D、其轨迹不可能是直线
例6，下列关于力和运动的说法中正确的是( D )
A.物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B.物体在变力作用下不可能做直线运动
C.物体在变力作用下不可能做曲线运动
D.物体在变力作用下可能做曲线运动
例7，某质点作曲线运动时（ ACD）
A．在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向
B．在任意时间内位移的大小总是大于路程
C．在任意时刻质点受到的合外力不可能为零
D．速度的方向与合外力的方向必不在一直线上
例8，（高三复习用）图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a,b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（BCD ）
A.带电粒子所带电荷的符号 a
B.带电粒子在a,b两点的受力方向
C.带电粒子在a,b两点的速度何处较大
D.带电粒子在a,b两点的电势能何处较大
解析：由图中的曲线可以看出，带电粒子受电场力
的方向只能与场强方向相同或相反，又因为粒子作
曲线受的合力（电场力）方向指向轨迹的凹侧，不管带电粒子 b
由a→b还是由b→a，力的方向必然指向左下方，从而得到正确答案：BCD
例9。要使物体做曲线运动，需要对物体施加力的作用，迫使它不断改变速度方向，那么
( BC )
A、此力大小、方向必须都变化 B．此力可以是大小、方向都不变的力
C．此力可以是方向不断变化的力 D．此力一定是方向不断变化的力
例10.在沿水平路面行驶的火车车厢中的水平桌面上放着一个小球，当车厢里的人看到小球突然在桌面上向右运动，说明……（A ）
A．火车在向左拐弯 B 火车在向右拐弯
C．火车速度一定在改变 D 火车可能在做匀速运动
例11，物体在光滑水平面上做匀速运动，某一时刻对该物体施加一个方向与运动方向相同的水平力F，则……（AC）
A．该时刻物体立即具有加速度
B．该时刻物体速度立即增大了
C．该时刻物体的速度与匀速运动时的速度相同
D．物体受到力F作用后，并不立即具有加速度
例12下列情况中，物体运动状态发生改变的有……（BC D ）
A．物体在斜面上匀速下滑
B．在粗糙水平面上运动的物体渐渐停下来
C．物体以大小不变的速度通过圆弧轨道
D．物体以恒定的加速度做自由落体运动
例13，下列关于力和运动关系的说法中，正确的上……（AC ）
A．物体做曲线运动，一定受到了力的作用
B．物体做匀速运动，一定没有力作用在物体上
C．物体运动状态变化，一定受到了力的作用
D．物体受到摩擦力作用，运动状态一定会发生改变
例14，关于曲线运动的速度，下列说法正确的是：（CD）
A、速度的大小与方向都在时刻变化
B、速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化
C、速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化
D、质点在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向
例15物体做曲线运动的条件为……（ C ）
A．物体运动的初速度不为0
B．物体所受合外力为变力
C．物体所受的合外力的方向与速度的方向不在同一条直线上
D．物体所受的合外力的方向与加速度的方向不在同一条直线上
例16．关于曲线运动，下列说法中正确的是……（C ）
A．曲线运动也是一种匀速运动
B．曲线运动可能是匀速运动，例如汽车在弯曲的水平公路上匀速行驶
C．曲线运动是变速运动
D．做曲线运动的物体其速度大小不断改变
例17、关于质点的曲线运动，下列说法中正确的是（ACD ）
A、曲线运动肯定是一种变速运动
B、变速运动必定是曲线运动
C、曲线运动可以是速率不变的运动
D、曲线运动可以是加速度不变的运动
例18、对曲线运动的速度，下列说法正确的是： ( CD )
A、速度的大小与方向都在时刻变化
B、速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化
C、速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化
D、质点在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向
例19.下列关于曲线运动的描述中，正确的是( ABC )
A.曲线运动可以是匀速率运动
B.曲线运动一定是变速运动
C.曲线运动可以是匀变速运动
D.曲线运动的加速度可能为0
例20．一个质点受两个互成锐角的力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1+△F，则质点此后 ( A )
A.一定做匀变速曲线运动
B．在相等的时间里速度的变化不一定相等
C.可能做匀速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
例21.关于运动物体的轨迹与所受合外力的关系，下列叙述中正确的有：（C）
(A)受恒力作用的物体一定作直线运动；
(B)做曲线运动的物体一定受变力作用；
(C)做曲线运动的物体，所受合外力必不为零；
(D)受变力作用的物体，一定做曲线运动。
（二）质点在平面内的运动
1、合运动和分运动：
如果物体同时参与了几个方向的运动，那么物体实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动，那几个运动叫做这个实际运动的分运动．
2、合运动与分运动的特征：
(1)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果．
(2)等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等.
(3)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响.
3、运动的合成与分解
（1）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成.包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则.
（2）求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解（如小船过河的运动），或正交分解（如绳通过定滑轮拉小船）.
速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：
一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；
另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
4、应用运动的合成和分解解决实际问题:
(1) 两个方向的运动的和成问题。
两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动．若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动．
例题：
1、互成角度的两个初速不为零的匀速直线运动
合运动，下列说法正确的是： ( D )
A、一定是直线运动
B、一定是曲线运动
C、可能是直线，也可能是曲线运动
D、以上都不符
(A选项中，若两个初速不为零的匀速直线运动的速度大小相等，方向相反，其合速度是0合运动状态为静止。)
2、互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，正确说法是：( B )若两个都是匀变速直线运动( C )
A、一定是直线运动
B、一定是曲线运动
C、可能是直线，也可能是曲线运动
D、以上都不对
3、（高三复习用）物体在几个力的共同作用下做匀速直线运动，当其中一个力停止作用时，物体的可能运动形式是：（ B C D E F ）
A. 匀速直线运动
B. 匀加速直线运动
C. 匀减速直线运动
D. 类似于平抛运动
E. 类似于斜抛运动
F. 圆周运动
（带电粒子在速度选择器中匀速运动，当去掉电场力后做圆周运动。）
4、关于运动的合成与分解，下列说法中正确的有(ACD)
A．两个速度大小不等的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
B．两个直线运动的合成一定是直线运动
C．合运动是加速运动时，其分运动中至少有一个是加速运动
D．合运动是匀变速直线运动时其分运动中至少有一个是匀变速直线运动
5、下列关于运动的合成和分解的几种说法中正确的是 ( AD )
A、两个分运动的时间一定和它们的合运动的时间相等
B．合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大
C．如果合运动是曲线运动，则其分运动至少有一个是曲线运动
D．两个直线运动的合运动可以是曲线运动
6、竖直放置两端封闭的玻璃管内注满清水和一个用红蜡做成的
圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速运动，已知圆柱体运动的速
度是5cm/s，θ=60?，如图所示，则玻璃管水平运动的速度是……
（）
A 5cm/s
B 4.33cm/s
C 2.5cm/s
D 无法确定
7、如果两个不在同一直线上的分运动都是匀速直线运动，对其合运动的描述中正确的是……（B ）
A．合运动一定是曲线运动
B．合运动一定是直线运动
C．合运动是曲线运动或直线运动
D．当两个分运动的速度数值相等时，合运动为直线运动
6448v v v =-=-=
刀
玻
①分运动在一条直线上，如顺水行舟、逆水行舟、 上、下电梯等。
例，某人站在自动扶梯上，经时间t 1从一楼升到二楼，如果自动扶梯不动，人沿着扶梯从一楼走到二楼的时间为t 2现使扶梯正常运动，人也保持原有的速度沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼的时间是 （ ）
A t 2 --t 1
B t 1t 2 /(t 2 --t 1)
C t 1t 2 /(t 2 + t 1)
D √(t 12 + t 22
)/2 ②两分运动互成角度（只讨论有直角的问题）。
18．雨滴在无风时以4m/s 的速度匀速下落，当自西向东水平方向风速为3m/s 时，站在雨中的人应该怎样打伞才能少淋到雨？雨滴打在伞面上的速度多大？
8、一人以4m/s 的速度骑自行车向东行驶，感觉风是从正南吹来，当他以6m/s 的速度骑行时，感觉风是从东南吹来，则实际风速和风向如何？
解析：风相对人参与了两个运动：相对自行车向西的运动v 1和其实际运动v 2，感觉的
风是合运动v 。 v 2=25m/s tg α=1/2
9、汽车以10m/s 的速度向东行驶，雨滴以10m/s 的速度竖直下落，坐在汽车里的人观察到雨滴的速度大小及方向如何？
汽车里的人观察到的速度是合速度。方向：下偏西450
10、玻璃板生产线上，宽9m 的成型玻璃板以4m ／s 的速度连续不
断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m ／s ， 时间多长？
解析：要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v ，如图 设v 刀与v 玻方向夹角为θ，cos θ=v 玻/v 刀=4
4m/s ,
时间t=s/v=9/4=2·45s
一个在水平面内以角速度ω匀速转动的圆台，其半径为R ，圆台边缘A 处坐着一人，举枪想击中O 处的目标，如子弹出口速度为v ，则 ( ) (A) 应对准O 点瞄准；
(B) 瞄向O 点右侧，枪管与OA 夹角θ＝arcsin ωR/ v (C) 瞄向O 点左侧，枪管与OA 夹角θ＝arcsin ωR/ v (D) 瞄向O 点右侧，枪管与OA 夹角θ＝arccos ωR/ v 解：枪随圆盘转动具有沿切线方向的速度v1= ω R ， 所以射出的子弹同时参与两个运动，只有合运动沿 半径方向才能击中O 。如图示： ∴sin θ=v 1/v= ω R /v
α
S=v Δt
例1．汽车拉物体 例2．人拉小船：
如图所示，岸上的人以速度V 匀速牵引绳子，从而使船靠岸，求当绳子与水平方向成θ角时船的速度
4．如图，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸， 拉绳的速度必须是
A ． 加速拉 B. 减速拉 C. 匀速拉 D. 先加速后减速
5. 度v
6.如图所示，用一根轻绳拉住一置于水平地面的物体，绳的另一端通过定滑轮被人拉住，则当人用手匀速向左拉绳时，物体将做 （ C ） A ．匀速运动 B ．减速运动 C ．加速运动 D ．不能确定
解析：设经过极短时间Δt 物体由图示位置前进 S1 = v1Δt ，
绳在Δt 时间内拉过 S=v Δt ， 由运动的分解， S1 =S /cos α ∴v1 =v /cos α
α逐渐增大， v1也逐渐增大
v 1=ωR
1
7.如图所示的装置中，AB 杆水平固定，另一细杆可绕AB 杆上方距AB 杆高为h 的O 轴转动，两杆都穿过P 环，若使可动细杆绕O 轴以角速度ω转动，当可动细杆与竖直方向所成的锐角α=30o 时，环的运动速率为 4/3× ω h
解：OP=h/cos 30o 设环在很短时间内从P1运动到P ，
v1 = ω× OP= ωh/cos 30o
由运动的分解，v1 =vcos 30o
∴v = v 1/cos 30o = ωh/cos 230o =4 ωh/3
例3．反射光线在屏幕上光斑的速度
如图所示的装置中，物体A 、B 的质量mA ＞mB 。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，若用水平力F 向右拉A ，起动后，使B 匀速上升。设水平地面对A 的摩擦力为f,绳对A 的拉力为T ，则力
f,T 及A 所受合力F 合的大小（ ） A.F 合≠O,f 减小，T 增大； B.F
合≠O,f 增大，T 不变； C. F 合＝O,f 增大，T 减小； D. F 合＝O,f 减小，T 增大；
B
解：对B 物：T=mBg ，保持不变。对A 物：受力分 析如图， ①随A 物体右移，θ变小，由竖直平 衡可以判断支持力变大。由f=μN ，得f 变大。
②将A 物体水平运动分解如图所示，有vB ＝vAcos θ， 故随θ变小，cos θ变大，VB 不变，VA 变小，A 物体 速度时时改变，必有F 合≠O 。
所得结论为：F 合≠O ，f 变大，T 不变。B 项正确
两个宽度相同但长度不同的台球框固定在水平面上，从两个框的长边同时以相同的速度分别发出小球A 和B ，如图所示，设球与框边碰撞时无机械能损失，不计摩擦，则两球回到最初出发的框边的先后是（ ）
A. A 球先回到出发框边
B. B 球先回到出发框边
C.两球同时回到出发框边
D.因两框长度不明，故无法 确定哪一个球先回到出发框边
解析：小球与框边碰撞无机械能损失，小球每次碰撞前后的运动速率不变，且遵守反射定律。以A 球进行分析，如图。小球沿AC 方向运动至C 处与长边碰后，沿CD 方向运动到D 处与短边相碰，最后沿DE 回到出发边。经对称得到的直线A/CDE/的长度与折线ACDE 的总长度相等。框的长边不同，只要出发点的速度与方向相同，不论D 点在何处，球所通过的总路程总是相同的，不计碰撞时间，故两球应同时到达最初出发的框边。
例3．反射光线在屏幕上光斑的速度
如图从水平地面上竖直向发出的一束光线,经一以角速度 转动的平面镜反射后的光点,沿地面向右移动,已知平面镜高度为h,此时地面上的光点离发光处的水平距离为s,则此光点沿地面运动的速度为多大?
两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a 、b 间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比v a ∶v b
三.渡河问题
设河宽为ｄ，船在静水中速度为ｖc ，水流的速度为ｖs 。
1.当θ=90o 时，渡河时间最短，t=d/vc.即船头必须垂直河岸；
2.要使过河的位移最短：
(1)若ｖc ＞ｖs ，则当θ＝arc cosvs/vc,时，渡河位移最小为d ；即船头必须指向河岸上游方向, 使合速度垂直河岸，最小位移等于河宽.
(2)若V1＜V2，则当θ＝arc cosvc/vs 时，渡河位移最小为s=d/cos θ=vsd/vc.即只有当Vc ⊥ V 合 时，过河的位移最小.
例7.一条宽度为L 的河，水流速度为vs ，已知船在静水中的航速为vc ，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）若vs ＜vc 怎样渡河位移最小？（3）若vs ＞vc ，怎样渡河船漂下的距离最短？ 分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsin θ,渡河所需时间为： t=L/(v c sin θ)
可以看出：d 、Vc 一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=90o
时，sin θ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短.
(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于d ，必须使船的合速度V 的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：Vccos θ─Vs=0.
所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cos θ≤1,所以只有在Vc>Vs 时，船才有可能垂直于河岸横渡。
图2甲
v 2
图2乙
c
V
L t
min
3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc 与河岸成θ角，合速度V 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs 的矢尖为圆心，以Vc 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，根据cos θ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs. 船漂的最短距离为：
此时渡河的最短位移为：
河宽300m ，水流速度为3m/s ，小船在静水中的速度为5m/s ， 问:(1)以最短时间渡河，时间为多少?可达对岸的什么位置? (2)以最短航程渡河，船头应向何处?渡河时间又为多少? 【解析】(1)当船头对准对岸行驶时(并不是到达正对岸)， 时间最短，船的轨迹如图所示， 最短时间：
t=d/v1=300/5=60s
到达对岸，在出发点下游：s1=dctan θ=dv2/v1=180m.
(2)由于v1＞v2，所以船可以垂直到达正对岸， 速度矢量图如图.
设船头与河岸夹角为 ， 则有: cosa =v2/v1=3/5， a=arccos(3/5) 渡河时间：
t ′=d/V=d/(V1sina)=75s.
例8.有一小船正在渡河，离对岸50m 时，已知在下游120m 处有一危险区，假设河水流速为5m/s ，为了使小船不通过危险区到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是 （ ）
A ．2.08m/s
B ．1.92m/s
C ．1.58m/s
D ．1.42m/s 解：画出示意图，
要避开危险区，则合速度方向应在AC 左侧， 最小的船速应垂直于合速度 由几何关系得 AC=130m sin θ=5/13 ∴v 船 = v 水sin θ
图2甲 2 v 图2乙
θ
θ
sin )cos (min c c s V L
V V x -=L
V V L
s c s ==θcos
θ
=25/13=1.92m/s
A v水
一条河宽为d，水流速度为V1，一只船要划到对岸，但在船的出发点下游距离为L处有一瀑布，求船要划到对岸而不从瀑布上掉下，船滑行速度V2最少应为多大？船头指向何方？
解析：如图，设A为渡河点，C处为瀑布，B为A对岸的点，要使船不从瀑布上掉下，需船到河对岸的位置在C上游，其渡河的实际位移为ACADAD