第一章 度量空间
1
1.3 度量空间的可分性与完备性
在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．
1.3.1 度量空间的可分性
定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集．
注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．
定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；
(2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞
=；
(3) B A ?（其中A A A '= ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）；
(4) 任取0δ>，有(,)x A
B O x δ∈? ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合
覆盖B ．
证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．
定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．
证明 由定理1.1知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□
注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}
(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：
(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．
(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：
(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???．
定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ?，如果存在点列{}n x A ?，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．
1.3 度量空间的可分性与完备性
2 注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．
例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}
证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈= 为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．
对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x = ，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r = ，使得
()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n = )，存在有理数
列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中
12(,,,)k k k k n r r r r = ，1,2,.k =
现证()k r x k →→∞．0ε?>，由()k i i r x k →→∞知，i K ?∈N ，当i k K >时，有
||k i i r x -<
，1,2,,i n =
取12max{,,,}n K K K K = ，当k K >时，对于1,2,,i n =
，都有||k i i r x -，因此
(,)k d r x ε=
= 即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□
例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}
证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ?∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε?>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得
(,)max |()()|2
a t b
d x p x t p t εεε
≤≤=-<
另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得
00(,)max |()()|2
a t b
d p p p t p t εεε
≤≤=-<
因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□
例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．
证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在
[,]p L a b 中稠密．□
例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．
证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈ N ，显然o E 等价于1n n Q ∞
= ，可知o E 可数，
下面证o E 在p l 中稠密．
12(,,,,)p n x x x x l ?=∈ ，有1||p i i x ∞
=<+∞∑，因此0ε?>，N ?∈N ，当n N >时，
第一章 度量空间
3
1
||
2
p
p
i
n N x ε∞
=+<
∑
又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得
||2p p
i i x r N
ε-<
，(1,2,3,,)i N =
于是得
1
||
2
p
N
p
i
i
i x r ε=-<
∑
令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈ ，则
11011
(,)(||||)(
)2
2
p
p
N
p
p
p
p
i i ii
i i N d x x x r x
εεε∞
==+=-+
<+
=∑∑
因此o E 在p l 中稠密．□
例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．
证明 假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ?在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ?．取1
2
δ=
，则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ?
?=<=???
?
即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□
思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．
注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如 (0.625)10=(0.101)2 0.625?2=1.25取1；0.25?2=0.50取0；0.5?2=1.00取1．
二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011
(0.)()2n
n i i
i x x x x ==∑
，例如 (0.101)2=1010111
(101)(0.625)248
=?+?+?=．
因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x === 或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．
例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．
12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞== 为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1
(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．
证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x === 或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．
假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以1
3
为半径作开球，所
有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是
1.3 度量空间的可分性与完备性
4
00112
1(,)(,)(,)333
d x y d x x d x y =≤+<+=
矛盾，因此l ∞不可分．□
1.3.2 度量空间的完备性
实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．
定义1.3.3 基本列
设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）
． 定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；
(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点． 证明 (1) 设{}n x X ?，x X ∈，且n x x →．则0ε?>，N N ?∈，当n N >时，(,)2
n d x x ε<，
从而n ，m N >时，
(,)(,)(,)2
2
n m n m d x x d x x d x x ε
ε
ε≤+<
+
=．
即得{}n x 是基本列．
(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记
11211
max{(,),(,),,(,),1}1N N
N N M d x x d x x d x x +++=+ ，那么对任意的,m n ，均有
11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，
即{}n x 有界．
(3) 设{}n x 为一基本列，且{}k
n x 是{}n x 的收敛子列，().k
n x x k →→∞于是，10,N ε?>?∈N ，
当1,m n N >时，(,)2
n m d x x ε<
；2N ?∈N ，当2k N >时，(,)2
k
n d x x ε<
．取12max{,}N N N =，则
当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有
(,)(,)(,)2
2
k k n n n n d x x d x x d x x ε
ε
ε≤+<
+
=，
故()n x x n →→∞．□
注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？ 例 1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ?∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ??
=??+??
是X 的基本列，却不是X 的收敛列．
第一章 度量空间
5
证明 对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1
N ε
>，那么对于m N a =+及n N b =+，其
中,a b ∈N ，有
11(,)11(1)(1)
n m n m a b
d x x x x N b N a N a N b -=-=
-=
++++++++ max{,}1
(1)(1)a b a b N a N b Na Nb N
ε+<
<=<+++++，
即得{}n x 是基本列．显然1
lim 01
n X n →∞=?+，故{}n x 不是X 的收敛列．
或者利用1
{}{
}1
n x n =+是R 上的基本列，可知0ε?>，N ?∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ??=??+??
也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．
定义1.3.4 完备性
如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间． 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．
证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．
(距离的定义：[,]
(,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)
证明 设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即
[,]
max ()()m n t a b x t x t ε∈-<
故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□
例 1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义1
10(,)|()()|d f g f t g t dt =-?，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)X d 完备)
证明 设
10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ?
≤
?
=-≤<+??
?
+≤≤??
()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n = ．因为1(,)m n d f f 是下面右图中
的三角形面积，所以0ε?>，1
N ε
?>
，当,m n N >时，有
1.3 度量空间的可分性与完备性
6
1111
(,)2m n d f f n m
ε=
-<，
112
m m
a =+
112
n n
a =+
|()()|m n S f t f t dx
?=-?
图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图
于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得
1(,)0()n d f f n →→∞．
由于1(,)n d f f 1
0|()()|n f t f t dt =-?1
11221112
2
1
|()||()()||1()|n n
n f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-???，显然上式右边
的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得
121
2
[0,]0()(,1]1t f t t ∈?=?∈? 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d
下不完备．□
表1.3.1 常用空间的可分性与完备性
度量空间
距离 可分性 完备性
n 维欧氏空间(,)n
R d
(,)d x y √ √ 离散度量空间0(,)X d
X 可数 00 (,)1x y d x y x y =?=?
≠?当时
当时 √ √ X 不可数
× √ 连续函数空间[,]C a b
[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-
√ √ 1(,)()()b
a
d f g f x g x dx =-?
√ × 有界数列空间l ∞
1
(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-
× √ p 次幂可和的数列空间p l 1
1(,)||p
p p i i i d x y x y ∞
=??
=- ???
∑
√
√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d
1
[,]
(,)(|()()|)p
p
a b d f g f t g t dt =-?
√
√
由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]
B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]
C a b 、有界可测
第一章 度量空间
7
函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．
从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离
1
10(,)|()()|d f g f t g t dt =-?下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同
一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．
在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理． 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：
12n B B B ???? ．
如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1
n n x B ∞
=∈ ．
证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有
m m n x B B ∈?((,)n n O x δ=)，可得
(,)m n n d x x δ≤． (2.4)
0ε?>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有
(,)m n n d x x δε≤<，
所以{}n x 为X 的基本列．
(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞
=．令(2.4)
式中的m →∞，可得
(,)n n d x x δ≤
即知n x B ∈，1,2,3,n = ，因此1
n n x B ∞
=∈ ．
(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1
n n y B ∞
=∈ ，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，
从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□
注4：完备度量空间的另一种刻画：
设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ???? ，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞
=∈ ．
大家知道1
lim(1)n n e n
→∞
+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间
是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一
1.3 度量空间的可分性与完备性
8 般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．
定义1.3.5 等距映射
设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ?∈，有
1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称
T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)． 注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．
定义1.3.6 完备化空间
设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．
图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图
定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)
对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．
例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．
证明 取点列{}n x R ?，其中n x n =，注意limarctan 2
n n x π→∞
=
，显然不存在一点x R ∈，使得
(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．
所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2
x x π→∞
=
，即0ε?>，N ?，当,m n N >时，有
|arctan |2
2
m πε-
<
，|arctan |2
2
n πε-
<
，于是
(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |2
2
n m x x π
π
ε≤-
+-
<
因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□
泛函分析导论
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度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离， 使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范 线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空 间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 （2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A) 中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间 设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度， 若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间 令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意 两点x,y ，定义 二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯 一的。 （2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()| f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x
泛函分析题1_2完备化p13 1.2.1 (空间S) 令S为一切实(或复)数列 x = ( ξ1, ξ2, ..., ξn, ... ) 组成的集合，在S中定义距离为 ρ(x, y) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk -ηk |/(1 + | ξk -ηk | )， 其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )．求证S为一个完备的距离空间．证明：(1) 首先证明ρ是S上的距离． ρ的非负性和对称性是显然的； 因为实函数f (t) = t /(1 + t ) = 1 - 1/(1 + t )在[0, +∞)严格单调增， 故对任意a, b∈ ，有 | a |/(1 + | a |) + | b |/(1 + | b |) ≥ | a | /(1 + | a | + | b |) + | b |/(1 + | a | + | b |) = ( | a | + | b | )/(1 + | a | + | b |) ≥ ( | a + b | )/(1 + | a + b |)， 由此可立即得知ρ在S上满足三角不等式． 所以，ρ是S上的距离，从而(S, ρ)为距离空间． (2) 设{x n}是S中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )． 则?k∈ +，(1/2k) · | ξk(n)-ξk(m)|/(1 + | ξk(n)-ξk(m)| ) ≤ρ(x n, x m) → 0 (m, n→∞)．， 因此| ξk(n)-ξk(m)| → 0 (m, n→∞)． 故{ξk(n)}n ≥ 1是 (或 )中的Cauchy列，因此也是收敛列． 设ξk(n)→ξk ( n→∞)，并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，则x∈S． 下面证明ρ(x n, x)→ 0 ( n→∞)． ?ε > 0，存在K∈ +，使得∑k > K (1/2k) < ε /2． 又存在N∈ +，使得?n∈ +，当n > N时，?k≤K都有| ξk(n)-ξk | < ε /2． 此时，ρ(x n, x) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) = ∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) + ∑k > K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) ≤∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk | + ∑k > K (1/2k) < (ε /2) ·∑k ≤K (1/2k) + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε． 所以，x n→x ( n→∞)． 因此S中的Cauchy列都是收敛列，故S为完备距离空间． 1.2.2 在一个度量空间(X, ρ)上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列． 证明：必要性是显然的，只证明充分性． 设{x n}是X中的一个Cauchy列，且{x n}有一个收敛子列{x n(k)}，记x n(k) →x． ?ε > 0，存在N∈ +，使得?m, n≥N都有ρ(x n, x m) < ε /2．
1.3度量空间的可分性与完备性 在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1设X是度量空间，,A B X ?，如果B中任意点x B ∈的任何邻域(,) O xδ内都含有A的点，则称A在B中稠密．若A B ?，通常称A是B的稠密子集． 注1：A在B中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1设(,) X d是度量空间，下列命题等价： (1) A在B中稠密； (2) x B ?∈，{} n x A ??，使得lim(,)0 n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A ' =，A为A的闭包，A'为A的导集(聚点集)）； (4) 任取0 δ>，有(,) x A B O xδ ∈ ?．即由以A中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B． 证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，,, A B C X ?，若A在B中稠密，B在C 中稠密，则A在C中稠密． 证明由定理1.1知B A ?，C B ?，而B是包含B的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A在C中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间[,] a b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,] P a b在连续函数空间[,] C a b中稠密． 参考其它资料可知：
1.3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理1.1知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知： (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密． (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得： (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???． 定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ?，如果存在点列{}n x A ?，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．
泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1、度量空间 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y?x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔
伯特空间。 例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y?x|| 也是度量空间。 (如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 3、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 4、巴拿赫空间 巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
定义2.1.1 定理2.1.1 作业 第2章度量空间与连续映射 从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． §2.1度量空间与连续映射 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念． 注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念． 注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法． 首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R称为在点 ∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x- |<δ时,有 |f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念. 定义2.1.1 设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何 x，y，z∈X，有 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；
（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 例2.1.2 n维欧氏空间． 对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R 定义ρ：×→R如下：对于任意x=（）, y=， 令 ρ（x，y）＝ 容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ是的一个度量，因此偶对(，ρ)是一 个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量ρ，称为的通常 度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量） 例2.1.3 Hilbert空间H．
书籍目录： 第一篇实变函数 第一章集合 1 集合的表示 2 集合的运算 3 对等与基数 4 可数集合 5 不可数集合 第一章习题 第二章点集 1 度量空间，n维欧氏空间 2 聚点，内点，界点 3 开集，闭集，完备集 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5 康托尔三分集 第二章习题 第三章测度论 1 外测度 2 可测集 3 可测集类 4 不可测集 .第三章习题 第四章可测函数 1 可测函数及其性质 2 叶果洛夫(EropoB)定理 3 可测函数的构造 4 依测度收敛 第四章习题 第五章积分论 1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2 非负简单函数的勒贝格积分 3 非负可测函数的勒贝格积分 4 一般可测函数的勒贝格积分 5 黎曼积分和勒贝格积分 6 勒贝格积分的几何意义·富比尼(Fubini)定理第五章习题 第六章微分与不定积分 1 维它利(Vitali)定理 2 单调函数的可微性 3 有界变差函数 4 不定积分 5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分 7 L-S测度与积分
第六章习题 第二篇泛函分析 第七章度量空间和赋范线性空间 1 度量空间的进一步例子 2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3 连续映射” 4 柯西(CaHcLy)点列和完备度量空间 5 度量空间的完备化 6 压缩映射原理及其应用 7 线性空间 8 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间第七章习题 第八章有界线性算子和连续线性泛函 1 有界线性算子和连续线性泛函 2 有界线性算子空间和共轭空间 3 广义函数 第八章习题 第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 1 内积空间的基本概念 2 投影定理 3 希尔伯特空间中的规范正交系 4 希尔伯特空间上的连续线性泛函 5 自伴算子、酉算子和正常算子 第九章习题 第十章巴拿赫空间中的基本定理 l 泛函延拓定理 2 C[a,b)的共轭空间 3 共轭算子 4 纲定理和一致有界性定理 5 强收敛、弱收敛和一致收敛 6 逆算子定理 7 闭图像定理 第十章习题 第十一章线性算子的谱 1 谱的概念 2 有界线性算子谱的基本性质 3 紧集和全连续算子 4 自伴全连续算子的谱论 5 具对称核的积分方程 第十一章习题 附录一内测度，L测度的另一定义 附录二半序集和佐恩引理 附录三实变函数增补例题
完备空间 完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 例子 ?有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。 ?实数空间是完备的 ?开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。 ?令S为任一集合，S N为S中的所有序列，定义S N上序列(x n)和(y n)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。 [编辑]直观理解 直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。 [编辑]相关定理 ?任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。 ?完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。 ?若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：
?若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合C b(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。 ?贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。 [编辑]完备化 [编辑]定义 对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M'（或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M'具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M'到N的一致连续函数f'使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M'在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。 以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。 对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。 [编辑]构造 类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。 对M中的任意两个柯西序列x=(x n) 和y=(y n)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = lim n d(x n,y n)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从L p到），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价 关系）。这样，令ξx= {y是M上的柯西序列：}，M'={ξx：x ∈ M}，原空间M就以xξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M'中。易于验证，M 等距同构于M'的稠密子空间。 康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。
[指南]第一章度量空间-黎永锦 第1章度量空间 在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫 地把十九世纪称为函数论的世纪. V. Volterra(伏尔泰拉) (1860-1940, 意大利数学家) 泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy引进 的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许 多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动 创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作 某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空 间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成 点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的 抽象理论是由V. Volterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971)
工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的. 1. 1 度量空间 M. Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet的博士论文 开创了一般拓扑学,G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等开始把实值函数作为空间的 点来考虑. M. Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet第一次给出了度量空间的公理. d:X，X,R定义 1.1.1 若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,X 对于任意,有 x,y,X (1) 当且仅当; x,yd(x,y),0 (2) d(x,y),d(y,x); (3) . d(x,y),d(x,z)，d(y,z) X则称d为上的度量,称为度量空间. (X,d) 明显地,由(3)可知 ,故由(2)可知,d(x,y)，d(y,x),d(x,x)d(x,y),0 d因此是一个非负函数. EXX若是一个度量空间,是的非空子集,则明显地也是度量空间,称(E,d) 为的度量子空间. (E,d)(X,d) R例1.1.1 若是实数集,定义,则容易看出是度量空间. d(x,y),|x,y|(R,d) X例1.1.2 对于任意一个非空集,只需定义 ,0,当 x , y 时,d(x,y) = ,,1当 x , y 时.,
度 量 空 间 摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过 程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质. 关键词: 度量空间 导集 闭集 正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的 抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念. 1.度量空间的定义 度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义. 定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： (1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,； (3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式. 定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.
度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：
可测函数空间的完备性
可测函数空间的完备性 学生姓名：张权 指导老师：宋儒瑛 （太原师范学院数学系14011班 山西·太原 030012） 【内容提要】 )(X M 是定义在X 上的 Lebesgue 可测 函数全体构成的可测函数空间,若+∞<)(X m ,引入距离 dx x g x f x g x f x g x f d X ? -+-=) ()(1)()())(),((, 则d)(M(X),为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数空间d)(M(X),中,只要每一个Cauchy 函数列 {}∞=1 n n f 依测度收敛于某一可测 函数f ，则这样的空间就是完备的。 【关键词】 可测函数 度量空间 完备性 在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很
广泛的函数。特别是Lebesgue 可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在 X 上的 Lebesgue 可测函数全体构成的可测函数空 间M(X)的完备性做进一步的探讨。 一、可测函数空间d)(M(X),与度量空间 设 M(X) 为 X 上实值的可测函数全体， m 为 Lebesgue 测度，若+∞<)(X m 。对任意两个可测函数 f(x)及g(x)，由于1) ()(1) ()(<-+- x g x f x g x f 。故这是X 上的可积函数。 令dx x g x f x g x f x g x f d X ?-+ -=) ()(1)()())(),(( 如果把M(X)中两个几乎 处处相等的函数视为M(X)中同一元；那么d)(M(X),按上述距离))(),((x g x f d 成为度量空间。下面验证一下： ⑴在M(X)中任取f(x)及 g(x)。dx x g x f x g x f x g x f d X ?-+- =) ()(1) ()())(),((≥0显然。若0))(),((=x g x f d ，当且仅当g(x)f(x)=，也是显然的。 ⑵ 因为 ) ()(1)()() ()(1)()(x f x g x f x g x g x f x g x f -+-= -+-，所以
第一章 度量空间 若在实数集 R 中点列n x 的极限是x 时，我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这两 点间的距离，那么实数集R 中点列n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0，即lim (,)0n n d x x →∞ =． 于是人们就想， 在一般的点集 X 中如果也有“距离” ，那么在点集X 中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ 诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？ 远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近 这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？ 1.1 度量空间的定义与极限 1.1.1 度量空间的定义与举例 定义 1.1.1 设X 为一非空集合．若存在二元映射:d X X ?→R ，使得,,x y z X ?∈，均满足以下三个条件： （1）(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity )； （2）(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry )； （3）(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality )， 则称d 为 X 上的一个距离函数，称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，(,)d x y 称为x 和y 两点间的距离．□ 注1：在不产生误解时，(,)X d 可简记为X ． 下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间n R ． 设 n R 12{(,,,)|,1,2, ,}n i x x x x R i n =∈=，定义 (,)d x y 其中 12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个度量空间． 在证明之前，引入两个重要的不等式． 引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给 2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有 1 12222 1 1 1 ()() n n n i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数 λ，则由
1、3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中,有理数处处稠密,且全体有理数就是可列的,我们称此性质为实数空间 R 的可分性.同时,实数空间R 还具有完备性,即R 中任何基本列必收敛于某实数.现在我们将 这些概念推广到一般度量空间. 1.3.1 度量空间的可分性 定义 1.3.1 设X 就是度量空间,,A B X ?,如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点,则称A 在B 中稠密.若A B ?,通常称A 就是B 的稠密子集. 注1:A 在B 中稠密并不意味着有A B ?.例如有理数在无理数中稠密;有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中就是稠密的,无理数在实数中也就是稠密的,说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数. 定理1.3.1 设(,)X d 就是度量空间,下列命题等价: (1) A 在B 中稠密; (2) x B ?∈,{}n x A ??,使得lim (,)0n n d x x →∞ =; (3) B A ?(其中A A A '=,A 为A 的闭包,A '为A 的导集(聚点集)); (4) 任取0δ>,有(,)x A B O x δ∈?.即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆 盖B . 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得. 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 就是度量空间,,,A B C X ?,若A 在B 中稠密,B 在C 中稠密,则A 在C 中稠密. 证明 由定理1、1知B A ?,C B ?,而B 就是包含B 的最小闭集,所以B B A ??,于就是有C A ?,即A 在C 中稠密.□ 注2:利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密. 参考其它资料可知: (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密. (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得: (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???. 定义1.3.2 设X 就是度量空间,A X ?,如果存在点列{}n x A ?,且{}n x 在A 中稠密,则称 A 就是可分点集(或称可析点集).当X 本身就是可分点集时,称X 就是可分的度量空间.
度量空间和线性赋范空间
1 第六章 度量空间和线性赋范空间 第1次课 教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习第二章度量空间的概念 设X 是个集合，若对于∈?y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =?;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈?z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量 空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21Λ=和 ()n y y y y ,,,21Λ=，规定距离为 ()y x d ,=()2 1 12??? ??-∑=n i i i y x . []b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . 2 l 空间 记2l ={}? ??? ??∞<=∑∞ =∞ =12 1 k k k k x x x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈2l ，定义 ()y x d ,=()2 112?? ? ??-∑∞ =i i i y x . 二 度量空间的进一步例子 例1 设X 是任意非空集合，对于∈?y x ,X ，令
1.3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理1.1知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知： (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密． (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得： (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???． 定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ?，如果存在点列{}n x A ?，且{}n x 在A 中稠密，则
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可测函数空间的完备性 学生姓名：张权指导老师：宋儒瑛 <太原师范学院数学系14011班山西·太原 030012） 【内容提要】是定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测 函数空间,若,引入距离, 则为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数 空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于某 一可测函数，则这样的空间就是完备的。b5E2RGbCAP 【关键词】可测函数度量空间完备性 在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间 的完备性做进一步的探讨。p1EanqFDPw 一、可测函数空间与度量空间 设为上实值的可测函数全体，为Lebesgue测度，若 。对任意两个可测函数及，由于。故这 是X上的可积函数。DXDiTa9E3d
令如果把中两个几乎处处相等的 函数视为中同一元；那么按上述距离成为度量空 间。下面验证一下： ⑴在中任取及。≥0显 然。若，当且仅当，也是显然的。 ⑵ 因为，所以。 ⑶ 注意函数<求导大于0）是单调上升的，那么，任取有 从而上的实值Lebesgue可测函数有 由前面知，上式两边均可积分。则 即，。所以，按构成度量空间。 二、可测函数空间的完备性 ⑴ 定义：Cauchy点列或基本点列：
第8章完备度量空间(简介) §8.1度量空间的完备化 定义8.1.1 设(X,ρ)是一个度量空间．X中的一个序列,如果对于任意给定 的实数ε>0,存在整数N>0,使得当i,j>N时,有,则称序列是一个Cauchy序列． 如果X中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间(X,ρ)是一个完备的度量空间 易见度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之不然． 例8.1.1 实数空间R是一个完备的度量空间．(证略) 有理数集Q作为实数空间R的度量子空间却不是完备度量空间,因为任何一个在R中收敛于无理数的有理数序列在这个子空间中均不收敛．(完备性不可遗传) 完备性也不是一个拓扑不变性质． 例我们在R中引入一个新的度量d,其定义为: 容易验证d确实是R中的一个度量,并且与R的通常度量ρ等价．因此实数集合R在这两个不同的度量之下,恒同映射是一个同胚．(即(R,ρ)与(R,d)是同胚空间)．然而(R,ρ) 是一个完备度量空间,而(R,d)却不是．因为其中的序列是一个Cauchy序列,然而却不收敛． 验证如下:取,则当i,j>N时．(设i 所以, 是个Cauchy序列．但对于任意取定的x,取i=x+p,p>x时 是个确定的数．即不论你取定怎样的x,当i比2x大时,x、i的距离总是大于固定的数 ，这说明是不收敛于x的． 定理8.1.1 完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间．(闭遗传) 引理8.1.2 设(X,ρ)是一个度量空间,．如果Y中的每一个Cauchy序列都 在X中收敛,则Y的闭包中的每一个Cauchy序列也都在X中收敛． 推论8.1.3 设(X,ρ)是一个度量空间．Y是X的一个稠密子集．如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则X是一个完备度量空间． 定理8.1.4 n维欧氏空间和Hilbert空间H都是完备度量空间． 定义8.1.2 设(X,ρ)和(Y,d)是两个度量空间,f: X→Y．如果对于任意x,y∈X有 d(f(x),f(y))=ρ(x,y),则称映射f是一个保距映射,如果存在一个从X到Y的满的保距映射,则称度量空间(X,ρ)与度量空间(Y,d)同距． 定义8.1.3 设X是一个度量空间, X*是一个完备度量空间．如果X与X*的一个稠密的度量子空间同距,则称完备度量空间X*是度量空间X的一个完备化． 定理8.1.5 每一个度量空间都有完备化． 定理8.1.6 每一个度量空间的任意两个完备化同距． §8.2度量空间的完备性与紧致性
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