分式问题解题技巧与方法二
一、整体通分法： 二、 活用公式变形： 例1：计算 242++-a a 例2：已知：的值。求4
4
21,015x
x x x +=+-
三、倒数法求值：
例3：已知的值。求1
,712
42
2++=+-x x x
x x x
四、巧用裂项法： 例4：计算
)
2009)(2008(1
)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++???++++++++a a a a a a a a
五、化简分式法：
例5：计算的值。6
52
5236322
22++++-++++x x x x x x x x
六、参数法：（设k 求值法）
例6：已知的值。求)
)()((,a c c b b a abc
c b a b a c a c b ++++=+=+
七、整体代入法：
例7：已知的值。求ca
bc ab abc c a c b b a ++=+=+=+15111,9111,6111
目录 第01讲与有理数有关的概念（2--8） 第02讲有理数的加减法（3--15） 第03讲有理数的乘除、乘方（16--22） 第04讲整式（23--30） 第05讲整式的加减（31--36) 第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43) 第07讲一元一次方程解法(44--51) 第08讲实际问题与一元一次方程(52--59) , 第09讲多姿多彩的图形(60--68) 第10讲直线、射线、线段(69--76) 第11讲角(77--82) 第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90) 第13讲平行线的性质及其应用(91--100) 第14讲平面直角坐标系（一）(101--106) 第15讲平面直角坐标系（二）(107--112) 第16讲认识三角形(113--119) 第17讲认识多边形(120--126) 第18讲二元一次方程组及其解法(127--134) ( 第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145) 第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155) 第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164) 第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三 （
第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. ` 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） 《 A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间l 5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、 分数分类，有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7是分数0.033.3是无 限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】
培优强化训练 1. 设P=2y －2, Q=2y+3, 有2P －Q=1, 则y 的值是 ( ) A. 0.4 B. 4 C. －0.4 D. － 2.5 2. 儿子今年12岁, 父亲今年39岁, _____父亲的年龄是儿子年龄的4倍. ( ) A. 3年后 B. 3年前 C. 9年后 D. 不可能 3. 下列四个图形中, 能用∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个角的图形是 ( ) A B C D 4. 点M 、N 都在线段AB 上, 且M 分AB 为2:3两部分, N 分AB 为3:4两部分, 若MN=2cm, 则AB 的长为 ( ) A. 60cm B. 70cm C. 75cm D. 80cm 5. 轮船在静水中速度为每小时20km, 水流速度为每小时4km, 从甲码头顺流航行到乙码头, 再返回甲码头, 共用5小时(不计停留时间), 求甲、乙两码头的距离. 设两码头间的距离为x km, 则列出方程正确的是 ( ) A. (20+4)x+(20－4)x=5 B. 20x+4x=5 C. 54x 20x =+ D. 54 20x 420x =-++ 6. 五边形ABCDE 中, 从顶点A 最多可引_______条对角线, 可以把这个五边形分成_______个三角形. 若一个多边形的边数为n, 则从一个顶点最多可引_______________条对角线. 7. 某足协举办了一次足球比赛, 记分规则为: 胜一场积3分; 平一场积1分; 负一场积0分. 若甲队比赛了5场后共积7分, 则甲队平__________场. 8. 解方程. （1） 5(x+8)－5=－6(2x －7) （2） )1x (3 2 )]1x (21x [21-=-- 9.当n 为何值时关于x 的方程 n 2 x 113n x 2+-=++的解为0? 10.如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB， （1）若∠A=60°。求∠Q
第一讲数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n（0,, n m n ≠互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那 么|||| a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=，求b a的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1， , a b a +的形式式，又可表示为0， b a，b 的形式，求 20062007 a b +。
七年级数学经典练习（1） 绝对值专题练习 1、同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|= _________ ． （2）设x是数轴上一点对应的数，则|x+1|表示_______ 与_ __ 之差的绝对值。（3）若x为整数，且|x+5|+|x﹣2|=7，则所有满足条件的x为____ ___ __ 。 2、小刚在学习绝对值的时候发现：|3﹣1|可表示数轴上3和1这两点间的距离；而|3+1|即|3﹣（﹣1）|则表示3和﹣1这两点间的距离．根据上面的发现，小刚将|x﹣2|看成x 与2这两点在数轴上的距离；那么|x+3|可看成x与_________ 在数轴上的距离。请你借助数轴解决下列问题 （1）当|x﹣2|+|x+3|=5时，x可取整数_________ （写出一个符合条件的整数即可）；（2）若A=|x+1|+|x﹣5|，那么A的最小值是_________ ； （3）若B=|x+2|+|x|+|x﹣1|，那么B的最小值是_________ ，此时x为_________ ；（4）写出|x+5|+|x+3|+|x+1|+|x﹣2|的最小值． 3、试求|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|的最小值． 4、若ab＜0，试化简++．
5、化简：|3x+1|+|2x-1| 6、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，求x满足的条件及此常数的值。 7、如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( ) A． 30 B． 0 C． 15 D．一个与p有关的代数式 8．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3z的最大值和最小值. 9．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.
“等腰三角形” 判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等， 实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有： 1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形； 2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形； 3．用“垂直平分线”构造等腰三角形； 4．用“三角形中角一个外角是不相邻内角的2倍关系”构造等腰三角形． 【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． 思路点拨 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ ) A．30° D．32° C 36° D．40° 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代 数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线． 【例4】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°， D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE= BD．求证：BD是∠ABC的角平分线． 思路点拨 AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到 等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形． 注：若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决． 结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式，相应的解题策略是：
初一数学培优练习（二） 例题求解 【例1】已知a+b=0,a ≠b,则化简 b a (a+1)+ a b (b+1)得( ). (第15届江苏省竞赛题) A.2a B.2b C.+2 D.-2 【例2】已知x=2,y=-4时,代数式ax 3+ 12 by+5=1997,求当x=-4,y=- 12 时,代数式 3ax-24by 3 +4986的值. 【例3】已知关于x 的二次多项式a(x 3-x 2+3x)+b(2x 2+x)+x 3-5,当x=2时的值为-17,?求当x=-2时,该多项式的值. (“希望杯”邀请赛培训题) 【例4】(1)已知:5│(x+9y)(x,y 为整数),求证:5│(8x+7y). 【例5】已知,05322 =--a a 求1091242 3 4 -+-a a a 的值。 【例6】已知式子：431744+---+-x x x 的值恒为一个常数，求x 的取值范围。
【例7】已知关于x 的二次多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a ，当x=2时的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值。 【例8】三个有理数a 、b 、c ，其积是负数，其和是正数，当c c b b a a x + + = 时，则代数 式10289519 +-x x 的值是多少？ 【例9】已知012=-+m m ，求199722 3++m m 的值。 【例10】、x 为何值时，23++-x x 有最小值，并求出这个最小值。 【例11】已知019 910 105 2 )1(a x a x a x a x x ++++=+- ， 则0910a a a +++ 的值是多少
七年级下期数学培优学案（1） 同底数幂的乘（除）法、幂的乘方、积的乘方 一、同底数幂的乘法 1.公式及其推广：m n p m n p a a a a ++= 2．公式顺用： 例1、计算 （1）21n n n a a a ++ （2）232()()x x x -??- （3）432111()()()101010-- （4）34(2)(2)(2)x y x y y x --- （5）2132() ()()n n a a a ++--- 练习 231022(1),13 m m x x x m m -=-+=若则整式 2(2)2(8)2128,n n n +?-?=-=若则 33(3)m a +可以写成 （4）2122) 2(2)n n n +-+-=为正整数，（ 3.公式的逆用 例2.2+14 =6435(1)a x x x +=-a 若，解关于的方程：2
二、幂的乘方 1．公式的应用 例3.计算 （1）（34()x - （2）34 [()]x - 练习：计算下列各题 253(1)()x x - 2844(2)()()x x 2332222(3)()()(2)y y y y +- 2．公式的逆用 32231313694.(1)2,3)()2102,103,103253,4324)(),n n n n a b a b x y m n x y x y x y x y x y m n +-+====+=??=+例已知，求（的值 （）已知求的值 （）若求的值（）若（求的值 三、积的乘方 1.公式的顺用 例5.125计算：（）（-x b) 322(2)(2)()ab ab 23(3)3()x x --
第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ，b 的形式，求20062007a b +。
初一数学培优练习（六） ——应用题专项训练 【例1】 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需2 17小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 【例2】 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A 、B 两市相距多少千米？ 【例3】在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为17 735 ，试问擦去的数是什么数？ 【例4】江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台?
【例5】从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？ 【例6】有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？ 【例7】两个代表团从甲地乘车往乙地，每车可乘35人。两代表团各坐满若干辆车后，第一代表团剩下的15人与第二代表团剩下的成员正好又坐满一辆车。会后，第一代表团的每个代表与第二代表团的每个代表都合拍一张照片留念。如果每个胶卷可以拍35张照片，那么拍完最后一位代表的照片后，照相机中的胶卷还可以拍多少张照片照片？ 【例8】我校七年级八班的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查.发现在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到校外就餐的人数各是一个固定数.并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在25分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐.问至少要同时开多少个窗口？
第一讲 二元一次方程组（一） 例题讲解 例1 解方程组 例2 若关于x ，y 的二元一次方程组? ??=-=+k y x , k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解， 求k 的值。 例3 已知 3252372a c c b b a -= -=+, 则c b a c b a 65223+--+的值等于 . 巩固练习 1．如果x ，y 满足2x +3y =15，6x +13y =41，求x +2y 的值。
2、二元一次方程组34,231x y x y +=?? -=-?．的解是（ ） A ．11.x y =??=?， B ．11.x y =-??=-?， C ．22.x y =-??=?， D ．21.x y =-??=-? ， 3、如果|21||25|0x y x y -++--=，求x y +的值。 4、如果关于x y 、的二元一次方程组316215x ay x by -=?? +=?的解是7 1 x y =??=?，求关于x y 、的二元一次 方程组3()()16 2()()15x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解。 5 解下列三元一次方程组： （1） （2）
6 读一读：解方程组???? ?? ?=-=+141 272 3y x y x 解：设n y m x ==1 ,1，则原方程组可化为???=-=+142723n m n m ，解得? ??-==45n m ， ∴41,51-==y x ，∴原方程组的解为??? ???? -==415 1y x ． 试一试：请利用上述方法解方程组 ???? ?? ?=-=+132 3112 5y x y x 7 已知0332=--+c b a ，0443=--+c b a ，1-≠c 求1 32 22---++-c b a c b a 的值． 8.当m 取何整数值时，方程组???=+=+1 44 2y x my x 的解x 和y 都是整数？
有理数的运算提高题 一、选择题： 1、在 2、3、4、 5这四个数中，任意取两个数相乘，所得乘积最大的是: A 、20 B 、-20 C 12 D 、10 2、1米长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半。如此下去，第六次后剩下的 1 1 1 A 、 — B 、 C 、 12 32 64 3、不超过 3 3 的最大整数 A 、-4 B 、-3 2 1 128 ）A 、均为正数 B 、均为 负数 C 、一正一负 D 、一个为零 4、如果两个数的和比每个加数都小，那么这两个数（ ） C 、异号且正数的绝对值大 D 、异号且负数的绝对值大 1 6、数 1 - 2 、12 丄、 13 - 3 4 1 、14 中, 最小的是（ ) 2 2 2 2 八1 2 “ 3 1 3 1 ,4 1 A 、 1 - 1 C 、 1 — D 、 1 - 2 2 2 2 7、a 为有理数， 卜列说法中止确的是（ ) 2 C 、 a 1的值是负数 2 a 1的值小于1 &如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（ ） A 、一定都是正数 B 、一定都是负数 C 、一定都是非负数 D 、至少有一个是正数 9、在2010个自然数1，2，3, 其代数式和一定是（ ） 2009, 2010的每一个数前任意添上“ + ”或“-”，则 1 1 1 10、乘积 1 2 1 1 - 22 32 42 5 2 11 1 A 、 C — D 、- 12 3 20 2 二、填空题： 2 3 ,2 5 /1 1、计算：7 3 1- 3 2 C 、负整数 D 、非负整数 1 1 2等于（ ） 10 _______ ； 2、3100的个位数是 __________ 3、小华写出四个有理数，其中每三个数之和分别为 2，17, -1，-3。那么小华写出的四个数 小棒长为（） C 、3 5、如果两个有理数的积为正数，和为负数，那么这两个数（ A 、 a 1 2 的值是正数 B 、a 2 1的值是正数 A 、奇数 B 、偶数
最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00， 纽约时问是_ ___ 【例２ 】在－22 7 ，π，0，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数； （2）按整数、分数分类，有理数 ????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝ 3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数，0.033. 3是无 限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数 为 ，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－13 8 ，0.1，－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，1 6 ，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】 从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故 答案为－1 2007 .
学习目标： 1．常识目标： 掌握解一元一次方程中"去分母"的方法，并能解这品类型的方程 2．能力目标： 灵活选取方法解一元一次方程，在解题中每一步的注意事项 3. 情感目标： 通过旧知引入新问题（如何去分母），引发学生的探究欲 学习难点： 解一元一次方程的步骤，去分母注意事项 一、 复习旧知 解方程：3x －7(x －1)=3－2(x +3) 解一元一次方程的一般步骤：________、_________、____________、___________. 二、 引入新课 问题一： （1） （2） 解：去分母，得 ___________________ 去括号，得 _________________________ 移项，得 ____________________ 合并同类项，得________________________ 系数化为1，得 x =__________ 去分母的方法是：___________________________________；依据是_____________. 215168 x x -+=3141136 x x --=-
巩固练习 （1）找出解方程 过程中的错误，并加以改正 去分母,得 5x －1=8x +4－2(x －1) 去括号,得 5x －1=8x +4－2x －2 移项,得 8x +5x +2x =4－2+1 合并,得 15x =3 系数化为1,得 x =5 （2）解方程 归纳一元一次方程解法的一般步骤· ________、________、_________、______________、________________. 三、探索新知 问题二： 巩固练习： （1） （2） ()14221 25 x x x -+=--121(1).14631257(2).243x x y y -+-=+-=-0.010.0210.31 0.030.2x x +-+= 1.20.6 1.8 1.210.20.3 x x --+=1.20.310.3 0.2x x -=+
有理数得运算提高题 一、选择题: 1、在2-、3、4、5-这四个数中,任意取两个数相乘,所得乘积最大得就是: A 、20 B 、-20 C 12 D 、10 2、1米长得小棒,第一次截去一半,第二次截去剩下得一半。如此下去,第六次后剩下得小棒长为( ) A 、 121 B 、321 C 、641 D 、128 1 3、不超过3 23?? ? ??-得最大整数就是: A 、-4 B 、-3 C 、3 D 、4 5、如果两个有理数得积为正数,与为负数,那么这两个数( )A 、均为正数 B 、均为负数 C 、一正一负 D 、一个为零4、如果两个数得与比每个加数都小,那么这两个数( ) A 、都就是负数 B 、都就是正数 C 、异号且正数得绝对值大 D 、异号且负数得绝对值大 6、数()211?-、()22211??? ???-、()33211??? ???-、()4 4 211?? ? ???-中,最小得就是( ) A 、()2 2 211??? ???- B 、()3 3211??? ???- C 、()211?- D 、()4 4 211?? ? ???- 7、a 为有理数,下列说法中正确得就是( ) A 、()2 1+a 得值就是正数 B 、12+a 得值就是正数 C 、()2 1+-a 得值就是负数 D 、 12+-a 得值小于1 8、如果两个有理数得与就是正数,那么这两个数( ) A 、一定都就是正数 B 、一定都就是负数 C 、一定都就是非负数 D 、至少有一个就是正数 9、在2010个自然数1,2,3,……,2009,2010得每一个数前任意添上“+”或“-”,则其代数式与一定就是( ) A 、奇数 B 、偶数 C 、负整数 D 、非负整数 10、乘积?? ? ?? -??? ??-??? ??-??? ??- 2222101141 1311211 等于( ) A 、 125 B 、32 C 、2011 D 、2 1 二、填空题: 1、计算:()=?? ? ??-+--÷3 22 2113537 ;2、1003得个位数就是 ; 3、小华写出四个有理数,其中每三个数之与分别为2,17,-1,-3。那么小华写出得四个数得乘积等于 ;
第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求2 20062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2 (3) |2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求2006 2007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则32 1ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算： 59173365129 132******** +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc 的值。 5、（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________。 6、结合数轴求得23 x x -++的最小值为_____，取得最小值时x 的取值范围为____________。
初二数学培优学案（12） ----一次函数 一、一次函数的解析式 1.要使y=(m-2)x n-1+n 是关于x 的一次函数,n,m 应满足 , . 2.下列函数中是一次函数的是（ ） A.122-=x y B.x y 1-= C.31+=x y D.1232-+=x x y 3.已知，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为（0，24），经过原点的直线l 1与经过点A 的直线l 2相交于点B ，点B 坐标为（18，6）．求直线l 1，l 2的表达式； 4.汽车从A 站经B 站后匀速开往C 站，已知离开B 站9分时，汽车离A 站10千米，又行驶一刻钟，离A 站20千米.（1）写出汽车与B 站距离y 与B 站开出时间t 的关系；（2）如果汽车再行驶30分，离A 站多少千米？ 5.甲乙两个仓库要向A 、B 两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A 地需70吨水泥，B 地需110吨水泥，两库到A ，B 两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币） 路程/千米 运费（元/吨、千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 A 地 20 15 12 12 B 地 25 20 10 8 （1）设甲库运往A 地水泥x 吨，求总运费y （元）关于x （吨）的函数关系式，画出它的图象（草图）. （2）当甲、乙两库各运往A 、B 两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少 二、一次函数的图像性质 1.一次函数y kx b =+的图象过点(,1)m 和(1,)m 两点，且1m >，则k = ，b 的取值范围是 . 2.b 为 时，直线2y x b =+与直线34y x =-的交点在x 轴上.
初一数学应用题培优提高训练（第13周） 一、选择题： 1、当3x =时，代数式23510x ax -+的值为7，则a 等于（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 2、小李在解方程5a －x=13（x 为未知数）时，误将－x 看作+x ，得方程的解为x=－2，则原方程的解为（ ） A ．x=－3 B ．x=0 C ．x=2 D ．x=1 3、某商品进价为150元，销售价为165元，则销售该商品的利润率为（ ） A.10% B.9% C.15元 D.15% 4、七年级有甲、乙两个班，甲班有43人，乙班有49人，要使两班人数相等，应从乙班调（ ）人到甲班. A.6人 B.5人 C.4人 D.3人 5、几名同学在日历的纵列上圈出三个数，算出它们的和，其中正确的一个是（ ） A.38 B.18 C.66 D.57 6、父子二人早上去公园晨练，父亲从家出来跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需（ ） A.8分钟 B.9分钟 C.10分钟 D.11分钟 7、某校七年级学生外出参观，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车．设有x 辆汽车，则下列方程正确的是（ ） A ．60x=（45x+15）+1 B ．60（x －1）=45x －15 C ．60（x －1）=45x+15 D ．154560 x x -==+1 8、在一次美化校园活动中，先安排32人去拨草，18人去植树，后又增派22人去支援他们，结果拔草的人数 是植树人数的2倍．问支援拔草和支援植树的分别有多少人？解题时，若设支援拔草有x 人，则下列方 程中正确的是（ ） A ．32+x=2×18 B ．32+x=2（40－x ） C ．54－x=2（18+x ） D ．54－x=2×18 9、足球比赛的计分规则为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．1?个队打了14场比赛，负5场共 得19分，那么这个队胜了（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场 10、某商品进货价便宜8%，而售价保持不变，那么它的利润（按进货价而定）?可由目前的x%增加到（x+10）%， 则x%是（ ） A ．12% B ．15% C ．30% D ．50% 二、填空题： 11、若m －n ＝1，那么4－2m ＋2n 的值为___________。 12、当x =______时，28x +的值等于－14 的倒数. 13、三角形的周长是84厘米，三边长的比为17∶13∶12，则这个三角形最短的一边长为 . 14、小菲和同学去参观科学宫和博物馆，买10张门票共花了98元，已知大门票每张20元，小门票每张3元，则大门票买了 张，小门票买了 张.
.
第 12 讲 与相交有关概念及平行线的判定
【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝ 1 ∠BOC，∠FOC＝ 1 ∠AOC ∴
2
2
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符 号表示它们.
∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝ 1 ∠BOC＋ 1 ∠AOC＝ 1 BOC AOC 又∵∠BOC＋∠
2
2
2
AOC＝180° ∴∠EOF＝ 1 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE 2
的补角是：∠AOE.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
【变式题组】
经典·考题·赏析
01．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD
的度数是（
）
【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪几对对顶角？一共
A．20° B． 40° C．50°
D．80°
构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
AE
D
E D
1
4
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有 6 对对顶角. 12 对邻补角.
C
B
F
A
O
A
C （第 1 题图）
32 （第 2 题图）
【变式题组】
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝
.
01．如右图所示，直线 AB、CD、EF 相交于 P、Q、R，则：
C
E
【例３】如图，直线 l1、l2 相交于点 O，A、B 分别是 l1、l2 上的点，试用三角尺完成下
⑴∠ARC 的对顶角是 邻补角是
. .
列作图：
A
P
⑴经过点 A 画直线 l2 的垂线.
⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有 2 对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有 6 对对顶角；
A
Q
F
RB D
⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】
O
B
l2
当四条直线相交于一点时，共有 12 对对顶角. 问：当有 100 条直线相交于一点时共有
对顶角.
01．P 为直线 l 外一点，A、B、C 是直线 l 上三点，且
PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点 P 到直线 l 的距
l1
【例２】如图所示，点 O 是直线 AB 上一点，OE、OF 分别
离为（
）
平分∠BOC、∠AOC． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角.
A．4cm
B． 5cm C．不大于 4cm
D．不小于 6cm
F
C
E 02 如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 为位于公路两侧的村
庄；
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的
⑴设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位
定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
A
O
B
置时，距离村庄 N 最近，请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置.
精选范本
A D 七年级数学培优学案（6） ----平行的判定与性质 一、平行线的判定 这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。 上述类型题目大致可分为两大类。 一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。 另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。 例1．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。 （1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2， （2）∵AD//BC ， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） （3）∵∠1=∠2，∴AB//CD （两直线平行，内错角相等） 例2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试EF 是否与GH 平行？ 二、平行线性质和判定的混合 例3．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C ，AD 平分∠BDF ，求证：BC 平分∠DBE 。 例4：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。 1.思考：在填写两个依据时要注意什么问题？ 2 ．推广：你有其他方法证明这个问题吗？你写出过程。 三、平行线识别中的新型题 平行线的识别是初中阶段的基础性问题．学好它有助于后续知识的学习，因此，我们必须对平行线的条件能加以灵活运用．请看这一部分的新型题：
(一)开放型 例1. 如图1，已知：∠B=∠D ，要使BE∥DF，还需补充什么条件?请说明你的理由． (二)猜想型 例2 、如图2， CE 平分∠BCD，∠1=∠2=70°，∠3=40°，AB 和CD 平行吗？为什么？ (三)操作型 例3、某驾驶员驾驶汽车在公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度 可能是（ ） （A ）第一次向左拐300，第二次向右拐30 （B ）第一次向右拐500，第二次向左拐1300 （C ）第一次向右拐500，第二次向右拐130 （D ）第一次向左拐500，第二次向左拐1300 (四)探索型 例4、 如图4，已知∠1=∠2，BD 平分∠ABC，可得到哪两条直线平行?如果要得到另外两条直线平行，则应将上述两个条件之一作如何改变? 四、做辅助线，一题多解题 例5、已知如图，∠BED=∠B+∠D 。求证：AB//CD 。 法一： 图 1 图 2 图 3 图4