学号：0 学年论文
求极限的方法总结
Method of Limit
学院理学院专业班级
学生指导教师（职称）
完成时间年月日至年月日
广东石油化工学院本科学年论文：求极限的方法总结
摘要
极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。
关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理
第一章
Abstract
The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic concepts.Many important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the limit.So mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used method.In this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference.
Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem
广东石油化工学院本科学年论文：求极限的方法总结
引言
极限时分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如：3世纪中国数学家刘微的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限时圆周长这一个思想来近似地计算圆周率的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起了不少争论甚至怀疑。知道19世纪，由A .—L.柯西、K.（T.W.）外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。
数学分析中的基本概念得表述都可以用极限来描述。如函数y=f （x ）在0x x =处倒数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义等都是用极限来定义的。极限时研究数学分析的基本工具。极限时贯穿数学分析的一条主线。学好极限要学会归纳和掌握求极限的方法。本文主要是对求极限的方法进行了归纳和总结。
第一章
1、1 利用极限的四则运算法则和简单技巧
极限四则元素法则的条件是充分而非必要的，因此，用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一验证它是否满足极限四则运算的法则条件，如果满足条件，才能利用极限的四则运算法则进行计算；不满足条件的就不能直接利用极限四则运算法则求解。但是，并非所有不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件候再利用四则运算法则求解，而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧比如拆项，分子分母乘以某一因子，变量代换，分子分母有理化等等方法即可进行恒等变换，以便于我们计算。
极限的四则运算法则叙述如下：
定理1. 1
（1
（
2（3）若B ≠0
（4
第一章
（5）[]
0lim ()lim ()n
n
n x x x x f x f x →→??==A ????
（n 为自然数）
①
由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例1. 求225
lim 3
x x x →+-的极限
解：由定理1.1中的第三式可以知道
()
()22
2
2
2
lim 55lim
3lim 3x x x x x x x →→→++=--
22
2
2
2
lim lim5
lim lim3x x x x x x →→→→+=
+
2259
23+==-
-
以后遇到类似题目，可以分别求子分母的极限，得到的分式就是结果 例2. 求3
x →的极限
332
2
2
lim 3
x x x →→=-
3
x →=
14=
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可
例3. 已知()1111223
1n x n n
=+++??-?L L 解： 观察
11=1122-? 111
=2323-
?
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因此得到 ()11112231n x n n
=+++??-?L L 1111111
1
23311n n n =-+-+-+---L L
所以 1lim lim 11
n n n x n →∞→∞??
=
-= ???
1、2 利用导数的定义求极限
导数的定义：函数f(x)
如果
()()000lim
lim
x x f x x f x y
x x ?→?→+?-?=?? 存在，
则此极限值就称函数f(x)()0'f x 。 即
在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示称f(x)在定点0
x 的导数。
例4.
()212lim
'22x x f x f x f πππ→
??
- ?
??==??- ???
第一章
12=
1、3 利用两个重要极限公式求极限
两个极限公式：
（1
（2）1lim 1x
x e x →∞
??
+= ???
但我们经常使用的是它们的变形：
（1
，
（2
（3）其中x 都可以看作整体来看待。其中第一个重要极限是“0
0”型；第二个重要极
限是“1∞”型，在1∞
型中满足“外大内小，内外互倒”。在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限标准型或者是它们的变形式，这就要求要抓住它们的特征，并且能够根据它们的特征辨认它们的变形。若用到第一个重要极限来求极限时，往往要利用三角形公式对变量进行变形，设法化成标准型，所以，要熟练地掌握三角函数的相关公式（如倍角、半角公式、两角和（差）公式、和差化积、积化和差公式等）、如果是用到第二个重要极限求极限时，有时要对自变量作适当的代换，使所求的极限变成这一形式。
例5. 求x
x
x x x 20
sin cos sin 1lim
-+→的极限
解：这是0
型不定式
上式=x x x x x x x x cos sin 1(sin cos sin 1lim
220
++-+→
=)cos sin 1(sin sin sin lim
220
x x x x x x x x +++→
=)cos sin 1(sin cos sin 11
lim
x x x x x
x
x x x +++
++→
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=
12121=+
例6：x
x x x 10
)
1()
21(
lim +-→
解：为了利用极限e x x
x =+→10
)1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二
项和括号外的指数互为倒数进行配平。
x
x x x 1
0)
1()21(lim +-→=x
x x
x 1
0)131(lim +-+→
1x 13x
3x x 1x
03x =lim 11x x +-??-+→-??+ ?+??
=313
310])131[(lim -+--+→=+-+
e x x x
x x
x
例7：20cos 1lim
x x
x -→
解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以
20cos 1lim
x x x -→
=22
02sin 2lim
x x
x →
=21)2
(2sin 21lim 220=→x x x
1、4 利用函数的连续性
因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果)(x f 是初等函数,且0x 是)
(x f 的定义区间内的点, 则)()(lim 00x f x f x x =→。 例8： 612arcsin
lim 1
+→x x
解 :因为复合函数arcsin 是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此
第一章
61
2arcsin
612arcsin
lim 1+=+→x x x
1=arcsin =
26π
例9：求x
x sin ln lim 2
π
→
解： 复合函数x sin ln 在2
π
=
x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值
即有2sin ln sin ln lim 2
π
π
=→
x x
=1
ln 2
sin
lim =π
=0
1、5 利用两个准则求极限。
1、5、1 函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 N,当n>N 时，有n n n
x y z ≤≤且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a →∞=。
②
利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。
n x =
+
例10 ： 求n x 的极限
解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项
.......n x ≥
++
=
.......n x ≤
+
=
n x ≤≤
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又因为1
x x ==
lim 1
n x x →∞
=
1、5、2 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。定理单调上升( 或单调下降) 有上界( 或有下界) 的数列必有极限。利用这一
定理来求极限时, 首先要研究数列}{n x 的单调性和有界性, 即证明n
n x ∞→lim 的存在性, 方
法可用数学归纳法或不等式的放缩法; 再令A
x n n =∞→lim , 然后解关于A 的方程, 求得A 的
值, 从而得出n
n x ∞
→lim 。③
例11：证明下列数列的极限存在，并求极限。
123,n y y y y ===L L 证明：从这个数列构造来看 n y 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为
23,n y y y ===L L 所以得2
1n n y a y -=+.
因为前面证明n y 是单调增加的。 两端除以 n y 得
1n n
a
y y <
+ 因为
1n y y ≥
则
从而
第一章
1n y ≤
即n y 是有界的。根据定理{}n y 有极限，而且极限唯一。 令
lim n n y l
→∞
=
则有
21lim lim()
n n n n y y a -→∞
→∞
=+
所以 2l l a =+.
又因为 0n y >
解方程得
所以
1lim 2n n y l →∞
==
例12：设)1110,1,2,n x x n n +===L 。试证数列{}n x 的极限存在, 并求此极限。
解: 由110x =及24x =知12x x ≥。
设对某个正整数k 有1k k x x +≥， 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x
从而由数学归纳法可知, 对一切自然数n , 都有1+>n n x x ， 即数列}{n x 单调下降, 由已知易见...)2,1(0
=>n x n 即有下界,
根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。 令A x n n =∞
→lim 对n n x x +=
+61两边取极限，
有A =2
60A -A -=解得A=3,或2A =-。
因为...)2,1(0=>n x n ，所以0A ≥，舍去2A =-,故lim 3n n x →∞
=
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1、6 利用罗必达法则求未定式的极限
定义4.1：若当x a →（或x →∞）时，函数()f x 和()F x 都趋于零(或无穷大)，则极限
)()(lim
)
(x F x f x a
x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为0
0型和∞∞
型未定式。 例如：
x
x x tan lim 0→, (00
型); bx ax x sin ln sin ln lim
→, (∞
∞
型).
定理4.1：设 （1）当x →∞时, 函数()f x 和()F x 都趋于零;
（2）在a 点的某去心邻域内,()'f x 和()'F x 都存在且()'0F x ≠; （3） )()
(lim
)
(x F x f x a
x ∞→→存在(或无穷大),
则
)()
(lim
)
()(lim
x F x f x F x f a x a
x ''=→→ 定义4.2：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法
称为洛必达法则.
罗必达法则只直接适用于00，∞∞
型未定式0*∞,∞-∞ 型未定式通过恒等变形可化多00或∞∞型。而0
0,0∞ ,1∞
型未定式则通过取对数化多00或∞∞
型。因此, 在使用罗必达
法则时每步都要检查是否符合法则的条件。此外, 还应注意及时化简算式, 把定式部分分离出来并求出极限, 再对未定式部分使用法则。还应注意的是：应对分子分母分别求导，而不是对整个分式求导。洛必达法则是计算不定式极限的重要方法,这种方法用起来
简单有力。需注意的是,要看将0x
代入式中时,原式是否为不定式,如果不是,就不能使用此法则;在重复使用此法则时, 必须每步都作检查,一旦发现不是不定式,就要停止使用。
例13：0lim *ln x
x x +
→ 解： 本例属0*∞未定型, 因为
∞∞未定型, 应用洛必达法
第一章
则, 得： 0
lim *ln x x x +
→
例14：0
lim ln n
x x x →?
例15：x x x
x x x 222220sin cos sin lim
-→
1、7 用泰勒展式来求极限
用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项
式或有理分式的极限问题。
对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形, 有时可用项的泰勒展开式来代替该项, 使运算十分简便。 例16：4
2
02
cos lim
x e x x x -→-
解：因为
)
(!4!21cos 44
2x o x x x
++-=
所以
例17：1ln([lim 2x x x +-+∞→
解：因为当x →+∞
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)
()
)1(()1(*211)11ln(22+∞→+-=+x x o x x x
从而
+∞
→+-=+x o x x x )
1(2
1
)11ln(2
于是
)]11([lim 2x x x x +
-+∞→11
lim[(1)]22x o →+∞=+=
注意：如果该题利用其他方法就不太好做了。
1、8 利用定积分求极限
由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n 项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求 。
利用定积分可求如下二种形式的极限:
A: n n n f n f n f x )(...)2()1(lim
+++∞
→型 定理7.1：设()f x 在[0，1]上可积，则有
?
=
+++∞→1
)()(...)2()1(lim dx
x f n n n
f n f n f x
例18：求极限n n n n n
x +++∞→...21lim
解：令()f x x =，()f x 在[0,1]上可积。
1012...1lim 2x n
n n n xdx n →∞
+++==
? B: n x n n
f n f n f )(...)2()1(lim +++∞
→型
定理7.2：若)(x f 在[0,1]上可积，则
10[ln ()]
x epx f x dx =?
例19：求n n n
x !
lim
∞
→
第一章
解：
令()f x x =,则有：
n n n
x !lim
∞
→ 11
0[ln ]x epx xdx e -===?
1、9 利用无穷小的性质求极限④
我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积, 仍是无穷小量。利用这两个定理可以求出某些函数的极限。
例20：237
4lim 2
1+--→x x x x 解：当1x →时分母的极限为0，而分子的极限不为0，可先求出所给函数的倒数是无穷大量：
2374lim
21+--→x x x x = 742
31-+- = 0
利用无穷小量的倒数是无穷大量 故 2
374lim 21+--→x x x x =∞
例21：极限x x x x sin 1
sin
lim
20→
解：x x x x sin 1
sin
lim
20→
01
lim sin
sin x x x x
x →=** 因为 1sin lim 0=→x
x
x ；
当0x →时，x 为无穷小量，1
sin x 为有界量，
故01
sin
lim 0
=*→x
x x ； 所以原式=0。
例22
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解：因为1
sin
1x
≤所以x 1sin 是有界函数
1lim
3
=+∞
→x
x x
故
3
1x x +在x →∞时是无穷小量。
利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
所以
011
sin lim
3
=+∞
→x x x x .
1、10 利用等价无穷小的代换求极限
利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。常见等价无穷小量
(0→x )
x x x e x x x x
~arctan ~arcsin ~1~)1ln(~tan ~sin -+等价无穷小有重要性质:设'
'
~,~ββαα且''lim αβ存在，则αβlim =''
lim α
β,这个性质表明,求两个无穷小量
之比的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量之比的极限时,分子,分母均可用等价无
穷小量代替,从而使计算大大简化 。⑤
例23：极限x x
tg x 5sin 3lim
0→
解：当0→x 时，x
x x x tg 5~5sin ,3~3,
x x x x tg x x 53lim
5sin 3lim 00→→=53
= 例21：求极限302sin sin 2lim
x x
x x -→
解：302sin sin 2lim
x x
x x -→
=
20
)
cos 1(2sin lim
x x x x x -*→
=1
1lim 22
0=*→x x x
第一章
错误的解法是：022lim 2sin sin 2lim 3030
=-=-→→x
x
x x x x x x (错在对加减中的某一项进行了等价无穷小代换)
1、11 利用级数收敛的必要条件求极限⑥
给出一数列n u ,对应一个级数
∑∞
=1
n n
u
若能判定此级数收敛, 则必有0
lim =∞→n n u 。由于
判别级数收敛的方法较多, 因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较多方便。
例24：求极限)
1,1(,!)1)...(1(lim -∈+--∞→x x n n a a a n
n 解： 设级数∑
∞
=+--0!)1)...(1(n n
x
n n a a a
其中 n
n x n n a a a u !
)1)...(1(+--=
1
1)!1())(1)..(1(+++-+--=
n n x
n n a n a a a u
x n n a u u n n
n n 1lim lim
1+-=∞→+∞→1
<=x 由达朗贝尔判别法知级数收敛,再由级数收敛的必要条件0lim =∞
→n n u 可知：
)
1,1(,
0!)1)...(1(lim
-∈=+--∞→x x n n a a a n
n
例25：求极限n n n n n !
2lim
*∞→
解：设n n n n n n u !
2lim
*=∞→ 级数∑∞
=1n n u 为n 2项级数。
由比值审敛法：!2)!1()!1(2lim 2lim 11n n n n u u n
n
n n n n n **++*=+∞→+∞→
=n n n n
)1(
2lim +∞→
广东石油化工学院本科学年论文：求极限的方法总结
=n n n
)11(12lim +*
∞
→ =1
2
∑ ∞ =*1 ! 2n n n n n 收敛， 故 n n n n n !2lim *∞→=0 1、12 利用极限定义验证极限 用极限定义验证极限，是极限问题的一个难点。做这类题目的关键是对任意给定的正数ε，如何找出定义中所说的N 或η确实存在。这实际上是利用逆推的方法论证问题，可以培养逆向思维能力。 例26：证明) 0(12 2>=+a n a n 证：由于 n n a n n a n -+= -+222 21 ) (222 n a n n a ++= 22 22)(n a n n n a =+< 对于0>?ε要使 ε<-+12 2n a n 错误!未找到引用源。 只要使 ε<2 2 22n a ， 即 ε 2a n > , 取 第一章 ]2[ ε a N =, 则 当N n >时， 就有 ε<-+12 2n a n 成立， 即 12 2=+n a n 例27 ：1 1lim 355 =+-+∞→n n n n 证：任给0 >ε错误!未找到引用源。 要找N ,使N n >时，有 ε<-+-113 55 n n n 错误!未找到引用源。 即 ε<+--1 1 353n n n ， 显然，当n 较大时，如2≥n ，有 ) 21 1()111(111 253 5253355 -≤ +--= -+-n n n n n n n n n = 2134n , 因此要使ε<+--11 35 3n n n 成立， 当n>=2时，只要 ε<2 1 34n 即 广东石油化工学院本科学年论文：求极限的方法总结 ε34 2> n 或ε34>n 。 这样一来，取)]34 [ ,2max(ε =N ,则当n>N 时， 则有2>n 及ε34 > n , 因此上述各式成立。证毕。 1、13 涉及单侧极限与双侧极限的问题 例28：求函数1 1)(+++=x x x f 在1-=x 处的左右极限，并说明在1-=x 处是否有极限。 解： 2)11 1(lim )(lim 1 1 =+++ =++-→-→x x x f x x ， 0)1 ) 1(1(lim )(lim 1 1 =++-+ =-+-→-→x x x f x x ， 因为 ) (lim )(lim 1 1 x f x f x x -+-→-→≠， 所以f(x)在x=-1处的极限不存在。 利用该方法就极限时，只有当左右极限存在且相等是才能说明极限是存在的 注：本例是a x f x f a x f x x x x x x ===-+ →→→)(lim )(lim )(lim 0 00 的直接应用。 1、14 利用微分中值定理和积分中值定理求极限 例29：3sin 022lim x x x x -→ 解：因为 3sin 3sin sin sin 2222x x x x x x x x x x -=--=- 由微分中值定理 2ln 2sin 22sin ε=--x x x x （ε介于x 与x sin 之间）
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