高三数学选择题专题训练(一) 1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{ }1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( ) A .Q P ?≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P = 2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( ) A .)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D .)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =, 则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定 4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要 条件是 ( ) A . αα??m 且 ∥β m ∥β B .βα??m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的 值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10 6.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( ) A .点M 在线段A B 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线24 1x y = 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则AC AB ?等于 ( ) A .31- B .3- C .3 D .43- 8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种 9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称,那么a 的值 ( ) A .2 B .2- C .1 D .1-
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18.、[2014·广东卷] 如图1-4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D- AF- E的余弦值. 图1-4 19.、[2014·湖南卷] 如图1-6所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD =O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 19.解:(1)如图(a),因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知,O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一:如图(a),过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1. 由(1)知,O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形, 因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.
不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,OB 1=7. 在Rt △OO 1B 1中,易知O 1H =OO 1·O 1B 1OB 1=237.而O 1C 1=1,于是C 1H =O 1C 21+O 1H 2 = 1+12 7 = 197 . 故cos ∠C 1HO 1=O 1H C 1H = 23 7197 =25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二:因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD 是菱形,因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ,从而OB ,OC ,OO 1两两垂直. 如图(b),以O 为坐标原点,OB ,OC ,OO 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,于是相关各点的坐标为O (0,0,0), B 1(3,0,2), C 1(0,1,2). 易知,n 1=(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2=(x ,y ,z )是平面OB 1C 1的一个法向量,则?????n 2·OB →1=0,n 2·OC →1=0,即???3x +2z =0, y +2z =0. 取z =-3,则x =2,y =23,所以n 2=(2,23,-3). 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ,易知θ是锐角,于是 cos θ=|cos 〈,〉|=??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|=2319=25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19. 、、[2014·江西卷] 如图1-6,四棱锥P - ABCD 中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证:AB ⊥PD .
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。 专题一 立体几何 班级: _____ 姓名: _____ 学号: _____ 一、选择题(4分×10=40分) 1.直线12,l l 和α,12//l l ,a 与1l 平行,则a 与2l 的关系是 A .平行 B .相交 C .垂直 D .以上都可能 2.若线段AB 的长等于它在平面内射影长的3倍,则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A .1 3 B . 3 C .2 D .23 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 与平面DD 1B 1B 所成的角的大小为 A .15o B .30o C .45o D .60o 4.有下列命题:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点共面;④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确的命题是 A .②③ B .①②③ C .①③ D .②③④ 5.有一山坡,倾斜度为300,若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成450角的直线前进1公里,则升高了 A .米 B . 米 C .米 D . 500米 6.已知三条直线,,a b l 及平面,αβ,则下列命题中正确的是 A .,//,//b a b a αα?若则 B .若,a b αα⊥⊥,则//a b C . 若,a b ααβ?=I ,则//a b D .若,,,,a b l a l b αα??⊥⊥则l α⊥ 7.已知P 是△EFG 所在平面外一点,且PE=PG ,则点P 在平面EFG 内的射影一定在△EFG 的 A .∠FEG 的平分线上 B .边EG 的垂直平分线上 C .边EG 的中线上 D .边EG 的高上 8 .若一正四面体的体积是3,则该四面体的棱长是 A . 6cm B . C .12cm D .9.P 是△ABC 所在平面α外一点,PA ,PB ,PC 与α所成的角都相等,且PA ⊥BC ,则 △ABC 是 A .等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 10.如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为3的正方形,EF//AB ,EF= 32 ,C D E F立体几何专题训练
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]