第二章 线性系统的状态空间分析法
§1 线性系统的状态空间描述 §2 线性定常连续系统的分析 §3 线性定常离散系统的分析 §4 系统的传递函数矩阵
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第二章 线性系统的状态空间分析法
§1 线性系统的状态空间描述 §2 线性定常连续系统的分析 §3 线性定常离散系统的分析 §4 系统的传递函数矩阵
2
1
一、系统描述的基本概念 一、系统描述的基本概念
1,输入、输出 2,松弛性:若系统的输出y[t0,∞) 由输入u[t0,∞)
唯一确定,则称系统在t0时刻是松弛的。 系统在t0 时刻不存储能量,初始条件为零!
y = Hu
算子,如传递函数
3,因果性:系统在t时刻的输出仅取决于t时刻和
t时刻之前的输入,与t时刻之后的输入无关。
3
4,线性: H (u1 + u2 ) = Hu1 + Hu2 可加性
H (αu1 ) = αH (u1 )
齐次性
a为实数
叠加 原理
5,定常性: Qa 为位移算子
输入延迟
u (t ) = Qa u (t ) = u (t ? a )
输出相应延迟 y = Hu = HQa u = Qa Hu = Qa y = y (t ? a )
u (t ) y (t ) u (t ) y (t )
t
t
4
2
u1 u2 up
系 统
M
x1 , x2 ,L , xn
M
y1 y2 yq
外部描述(输入—输出描述)不完全描述 系统 数学描述
微分方程、传递函数
内部描述(状态空间描述)
状态方程+输出方程
完全描述
5
二、状态空间的基本概念 二、状态空间的基本概念
x 例:机械位移系统 依据牛顿定律: ∑ F = m&&(t )
& ∴ F (t ) ? kx(t ) ? fx(t ) = m&&(t ) x
k
m
F (t ) x(t )
微分方程:
& m&&(t ) + fx(t ) + kx(t ) = F (t ) x
传递函数:
1 X (s ) = 2 F (s ) ms + fs + k
f
经典控制理论中的数学模型(外部描述),反映 了输入输出的关系,不能反映内部变量的关系。
6
返回
3
& m&&(t ) + fx(t ) + kx(t ) = F (t ) x
& x(0), x(0 )
返回
二阶微分方程,有两个独立的状态变量。
状态变量
位移 速度
& 定义状态变量: x1 (t ) = x(t ), x2 (t ) = x(t )
状态向量: x(t ) = [x1 (t ), x2 (t )] 定义输出变量: y (t ) = x(t ) = x1 (t ) 将微分方程写成 ? x (t ) = x(t ) & & ?? 1 f k 1 状态变量的一阶 & & x ? x2 (t ) = &&(t ) = ? m x(t ) ? m x(t ) + m F (t ) 微分方程: 前页
7
T
状态空间 描述
前页 & x (t ) = x2 (t ) 状态 ? 1 ? k f 1 方程 ? x2 (t ) = ? x1 (t ) ? x2 (t ) + F (t ) & ? m m m ? 输出 y (t ) = x (t ) 1 方程
& ? x1 (t )? ? 0 & x(t ) = ? =? k & ? x2 (t )? ?? ? ? m ? x (t )? y (t ) = [1 0]? 1 ? ? x2 (t )?
1 ? ? x (t )? ? 0 ? f ? ? 1 ? + ? 1 ? F (t ) ? ? ? x2 (t )? ? ? m? ?m?
现代控制理论中的数学模型(内部描述),既反映 了输入输出的关系,又反映了内部变量的关系。
8
4
1, 状态:系统在时间域中的行为或运动信息的集合。 2, 状态变量:确定系统状态的一组独立的数目最小
的变量。 n 阶微分方程描述的n 阶系统,定义 n 个状态变量:
x1 (t ), x1 (t ), L , xn (t )
3, 状态向量: x(t ) = [x1 (t ), x1 (t ), L , xn (t )]T 4, 状态空间:状态变量作为基底组成的空间。 5, 状态轨线:状态向量在状态空间中随时间变化的
轨迹。
9
6, 状态方程:描述状态变量与输入变量之间关系的
n个一阶微分(连续)或差分(离散)方程。
& ? x1 (t ) = f1 (x1 , x2 , L xn , u1 , u 2 ,L , u p , t ) ? x (t ) = f (x , x , L x , u , u , L , u , t ) ? &2 2 1 2 n 1 2 p ? M ? ? xn (t ) = f n (x1 , x2 , L xn , u1 , u 2 ,L , u p , t ) ?& ? x1 (t k +1 ) = f1 (x1 , x2 , L xn , u1 , u 2 , L, u p , t k ) ? x (t ) = f (x , x , L x , u , u , L, u , t ) ? 2 k +1 2 1 2 n 1 2 p k ? M ? ? xn (t k +1 ) = f n (x1 , x2 , L xn , u1 , u 2 , L , u p , t k ) ?
向量形式:
n×1 状态向量
& x(t ) = f [x(t ),u(t ), t ]
p×1 输入向量
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t10), t k ] k
5
7, 输出方程:描述输出变量与输入、状态变量之间
关系的q个代数方程。
? y1 (t ) = g1 (x1 , x2 , L xn , u1 , u2 , L , u p , t ) ? y (t ) = g (x , x , L x , u , u , L , u , t ) ? 2 2 1 2 n 1 2 p ? LL ? ? yq (t ) = g q (x1 , x2 , L xn , u1 , u 2 , L , u p , t ) ?
向量形式:
y (t ) = g[x(t ),u(t ), t ]
q×1 输出向量
? y1 (t k ) = g1 (x1 , x2 , L xn , u1 , u 2 , L , u p , t ) ? y (t ) = g (x , x ,L x , u , u , L , u , t ) ? 2 k 2 1 2 n 1 2 p y (t k ) = g[x(t k ),u(t k ), t k ] ? LL ? ? yq (t k ) = g q (x1 , x2 ,L xn , u1 , u 2 , L , u p , t ) ?
11
8, 状态空间表达式:状态方程+输出方程
& ? x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ] ? ?y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
?x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ] ? ? y (t k ) = g[x(t k ), u(t k ), t k ]
?x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k )] ? ? y (t k ) = g[x(t k ), u(t k )]
9, 自治系统:状态方程、输出方程中不显含t
& ? x(t ) = f [x(t ), u(t )] ? ?y (t ) = g[x(t ), u(t )]
10, 线性系统:状态方程、输出方程均为线性函数。
& ?x(t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t ) ? ?y (t ) = C(t )x(t ) + D(t )u(t )
?x(k + 1) = G (k )x(k ) + H (k )u(k ) ? ? y (k ) = C(k )x(k ) + D(k )u(k )
12
返回
6
11, 线性定常系统:状态方程、输出方程不仅为线性
n×n
系统矩阵 状态矩阵 系数矩阵
函数,而且系数均为常数。 n× p
控制矩阵 输入矩阵
n×n
n ×1
连续 多输入 多输出
& ?x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) ? ?y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
连续 & ?x(t ) = Ax(t ) + bu (t ) 单输入 ? 单输出 ? y (t ) = cx(t ) + du (t )
q×n
观测矩阵 输出矩阵
q× p
前馈矩阵 输入输出矩阵
1× n
标量
?x(k + 1) = Gx(k ) + Hu(k ) 离散 ? ?y (k ) = Cx(k ) + Du(k )
?x(k + 1) = Gx(k ) + hu (k ) ? ? y (k ) = cx(k ) + du (k )
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前页
三、状态空间模型的图示法 三、状态空间模型的图示法
1,基本元件 (1) 积分器 (2) 加法器
& x(t ) x1 (t )
标量
向量
x(t ) & x(t ) x1 (t )
∫
∫
x(t )
x1 (t ) + x2 (t ) x2 (t )
x1 (t ) + x 2 (t ) x 2 (t )
(3) 比例器
x(t )
k
kx(t )
x(t )
K
Kx(t )
14
7
2,一阶标量微分方程的系统结构图
& x(t ) = ax(t ) + bu (t )
u (t )
b
& x(t )
∫
a
x(t )
标量动态方程的系统结构图
& x(t ) = ax(t ) + bu (t ) y (t ) = cx(t ) + du (t )
u (t )
d b
& x(t )
∫
a
x(t )
c
y (t )
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3,一阶向量微分方程的系统结构图
& x(t ) = Ax(t ) + Bu(t )
u(t )
B
& x(t )
∫
A
x(t )
向量动态方程的系统结构图
& x(t ) = Ax(t ) + Bu(t )
y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
D
u(t )
B
& x(t )
∫
A
x(t )
C
y (t )
16
返回
8
四、状态空间表达式的建立 四、状态空间表达式的建立
1,根据系统机理建立状态空间表达式 2,根据系统微分方程建立状态空间表达式 (1) 系统输入不含导数项 (2) 系统输入含有导数项 3,根据系统传递函数建立状态空间表达式
17
返回
1,根据系统机理建立状态空间表达式
状态变量的选取原则:
选择系统中储能元件的输出物理量; 选择系统的输出及其各阶导数;
返回
选择能使系统的状态方程成为某种标准形式的变量。
状态变量不唯一。 状态变量的选取不同,状态空间表达式也不同!
18
9
例:求RLC网络的状态空间表达式
R
e
返回
L
解:依据基尔霍夫定律:
C
i
eC
e(t ) = Ri (t ) + L y = eC (t ) =
di (t ) 1 + ∫ i (t )dt dt C
& & 微分方程: LC e&C (t ) + RC eC (t ) + eC (t ) = e(t )
1 i (t )dt C∫
传递函数: EC (s ) =
E (s )
1 LCs + RCs + 1
2
解法1: 选取
R 1 1 ? & ? x1 = ? L x1 ? L x2 + L e(t) ? ? 1 x2 = ∫ idt ? x = 1 x & y = eC (t ) = x2 C ? 2 C 1 ? 19
x1 = i
1 1 R ? ? R & x1 = ? x1 ? x2 + e(t) ? &1 ? ? ? L ? ?x L L L ? ?x ? = ? 1 ?x = 1 x ? &2 ? ? &2 1 ? C ? ? C & ?x = Ax + bu
?
y = x2
? ? y = cx + du
1? ?1? L ? ? x1 ? + ? ? e ?? ? L 0 ? ? x2 ? ? 0 ? ? ? ?
前页
标量系统结构图:
?x ? y = [0 1]? 1 ? ? x2 ?
e
1 L
& x1
∫
? ? R L 1 L
x1
1 C
& x2
∫
x2 = ec = y
20
10
例:求RLC网络的状态空间表达式
R
e
返回
L
解:依据基尔霍夫定律:
C
i
eC
e(t ) = Ri (t ) + L y = eC (t ) =
di (t ) 1 + ∫ i (t )dt dt C
1 i (t )dt C∫
& & 微分方程: LC e&C (t ) + RC eC (t ) + eC (t ) = e(t )
解法2:选取
x1 = i x2 = ∫ idt
R 1 1 ? & x2 + e(t) ? x1 = ? x1 ? L LC L ? ? x2 = x1 ?&
y = ec =
1 1 ∫ idt = C x2 C
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R 1 1 ? & x2 + e(t) ? x1 = ? x1 ? L LC L ? ? x2 = x1 ?&
y=
1 x2 C
& ?x = Ax + bu ? ? y = cx + du
& ? x1 ? ?? R ? 1 ?? x1 ? ? 1 ? LC?? ? + ? L ?e ?x ? = ? L &2 ? ? 1 ? 0 ??x2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ?? x1 ? y = ?0 ? ? ? ? C ??x2 ?
前页
标量系统结构图:
e
1 L
& x1
∫
? ?
& x1 = x2
R L
∫
x2
1 ec = y C
1 LC
22
11
两组状态变量之 间的关系
?x ? ? x1 ? = P? 1 ? ?x ? ? x2 ? ? 2?
x1 = i x2 = 1 idt C∫
x1 = i x2 = ∫ idt
? i ? ? idt ? ?∫ ? ? ?
? i ? ?1 ?= ? C ∫ idt ? ? ?
?1 0 ? 1? ? 0 ? C? ? ?
x = Px
?1 0 ? 1? P=? 0 ? C? ? ?
P: 非奇异线性变换矩阵
23
例:求RLC网络的状态空间表达式
R
e
返回
L
解:依据基尔霍夫定律:
C
i
eC
e(t ) = Ri (t ) + L y = eC (t ) =
di (t ) 1 + ∫ i (t )dt dt C
1 i (t )dt C∫
微分方程: LC e&C (t ) + RC eC (t ) + eC (t ) = e(t ) & &
x =e 解法3:选取 1 C & x2 = eC
& ? x1 = x2 ? ? 1 R 1 & ? x2 = ? LC x1 ? L x2 + LC e ?
y = ec = x1
24
12
& ? x1 = x2 ? ? 1 R 1 & ? x2 = ? LC x1 ? L x2 + LC e ?
y = x1
& ?x = Ax + bu ? ? y = cx + du
? 0 & ? x1 ? ? ?x ? = ? 1 ? &2 ? ? ? LC ? x1 ? y = [1 0]? ? ? x2 ?
1 ? ? 0 ? ? ? x1 ? + ? 1 ? e R ? ? ? ? ? ? x2 ? ? L? ? LC ?
标量系统结构图:
e
1 LC
& x2
∫
? ? R L
& x2 = x1
∫
x1 = ec = y
返回
1 LC
25
三种解法也都可以采用以下的向量系统结构图。 d
u(t )
b
& x(t )
∫
A
x(t )
c
y (t )
其中矩阵根据解法而不同。
前页
26
13
例:多输入多输出机械系统,质量m1,m2各受到 f1、 f2的作用,其相对静平衡位置的位移分别为x1, x2,求状态空间表达式。
x2 (t ), v2 (t )
m2
f 2 (t )
μ
k
x1 (t ), v1 (t )
m1
f1 (t )
解:依据牛顿定律:?
状态 ? x1 ? ? x1 ? 变量 ? ? ? ? 位移 x2 x2 ?u ? ? f ? ? y ? ?x ? 选取 x = ? ? = ? ? 输入 u = ? 1 ? = ? 1 ? 输出 y = ? 1 ? = ? 1 ? ?x ? ?v ?
? ? ? x4 ?
3
x ? m1 &&1 = f1 + μ (v2 ? v1 ) + k ( x2 ? x1 ) x ?m2 &&2 = f 2 ? μ (v2 ? v1 ) ? k ( x2 ? x1 )
? ? ? v2 ?
1
?u 2 ?
? f2 ?
? y2 ?
? x2 ?
27
依据牛顿定律: ?
x ? m1&&1 = f1 + μ (v2 ? v1 ) + k ( x2 ? x1 ) x ?m2 &&2 = f 2 ? μ (v2 ? v1 ) ? k ( x2 ? x1 )
返回
? x1 ? ? x1 ? ?x ? ?x ? ?u ? ? f ? 2 ? y ? ?x ? 2 选取 x = ? ? = ? ? 输入 u = ? 1 ? = ? 1 ? 输出 y = ? 1 ? = ? 1 ? ? x3 ? ? v1 ? ?u 2 ? ? f 2 ? ? y 2 ? ? x2 ? ? ? ? ? ? x4 ? ? v2 ?
状态方程 & ? x1 = x3 ?x = x & 4 ? 2 k k μ μ 1 ? & x2 ? x3 + x4 + u1 ? x3 = ? x1 + m1 m1 m1 m1 m1 ? ?x = k x ? k x + μ x ? μ x + 1 u & ? 4 m 1 m 2 m 3 m 4 m 2 2 2 2 2 2 ?
输出方程
? y1 = x1 ? ? y 2 = x2
28
14
向量矩阵形式
& ?x = Ax + bu ? ? y = cx + du
0? 0? ?u ? ? 0 ?? 1 ? ??u2 ? 1? ? m2 ?
前页
0 1 0 ? ? 0 ?0 & ?? x1 ? ? 0 ? x1 ? ? 0 0 0 1 ?x ? ? k &2 μ μ ??x2 ? ? 1 k ?? ? + ? ? ? = ?? ? m1 m1 m1 m1 ?? x3 ? ? m1 ? x3 ? ? & ? ? ? k μ μ ?? ? ? k & ? ? ??x4 ? ? 0 ?x4 ? ? m2 m2 m2 ? ? m2 ? ? x1 ? ? ? ? y1 ? ?1 0 0 0??x2 ? ? y ? = ?0 1 0 0?? x ? ? 3 ? 2? ? ? ? ?x4 ?
29
建立状态空间表达式的步骤
规则
选取 n 个状态变量;确定输入、输出变量; 根据系统微分方程列出 n 个一阶微分方程;
状态变量、输入变量、参数!
根据系统微分方程列出 q 个代数方程 ;
输出变量、状态变量、输入变量、参数!
30
15
2,根据系统微分方程建立状态空间表达式 (1) 系统输入不含导数项
& y ( n ) + an ?1 y ( n ?1) + an ? 2 y ( n ? 2 ) + L + a1 y + a0 y = β 0u
& 选取 x1 = y, x2 = y, L, xn = y (n?1 )
& ? x1 = x2 ?x = x & 3 ? 2 ? ?M ?x = x & n ? n ?1 ? xn = ?a0 x1 ? a1 x2 ? L ? an ?1 xn + β 0u ?&
y = x1
31
& ? x1 = x2 ?x = x & 3 ? 2 ? ?M ?x = x & n ? n ?1 ? xn = ?a0 x1 ? a1 x2 ? L ? an ?1 xn + β 0u ?& y = x1
标量系统结构图:
u
β0
& xn
?
∫
xn
an ?1
∫
xn ?1
an ? 2
x3
a2
∫
x2
a1
∫
x1 = y
a0
32
16
& ? x1 = x2 ? x1 ? ?x = x & 3 ?x ? ? 2 ? ? 2 ? x = Ax + bu & ?M x=? M ? ?x = x & ? ? y = cx n ? n ?1 xn ?1 ? ? ? xn = ? a0 x1 ? a1 x2 ? L ? an ?1 xn + β 0u ?& ? ?
y = x1
? xn ?
? 0 ? 0 ? A=? M ? ? 0 ? ? a0 ?
1 0 M 0 ? a1
0 1 M 0 ? a2
0 ? ?0 ? L 0 ? ?0 ? ? M ?, b = ? ?, c = [1 0 L 0] ?M ? ? L 1 ? ? ? ?β0 ? L ? an ?1 ? ? L
系统矩阵
控制矩阵
输出矩阵 33
? 0 ? 0 ? A=? M ? ? 0 ? ? a0 ?
1 0 M 0 ? a1
0 1 M 0 ? a2
0 ? ?0 ? L 0 ? ?0 ? ? ?, b = ? ?, c = [1 0 L 0] M ?M ? ? L 1 ? ? ? ?β0 ? L ? an ?1 ? ? L
& x = Ax + bu y = cx
向量系统结构图:
& x(t ) x(t ) y (t )
u(t )
b
∫
A
c
34
17
& y 例:设控制系统的运动方程为 && + 3 y + 2 y = u
试写出该系统的状态空间表达式。
& 解: 选取 x1 = y, x2 = y
& ? x1 = x2 ? & ? x2 = ?2 x1 ? 3 x2 + u y = x1
标量系统结构图:
u
& x2
∫
?3 ?2
& x2 = x1
∫
x1 = y
35
& ? x1 = x2 ? & ? x2 = ?2 x1 ? 3 x2 + u y = x1
& x = Ax + bu y = cx
& 1 ? ? x1 ? ?0? ? x1 ? ? 0 =? ? x ? ? 2 ? 3? ? x ? + ?1?u ?? 2 ? ? ? ? &2 ? ? ?x ? y = [1 0]? 1 ? ? x2 ?
1? ?0 ?0 ? A=? , b = ? ?, c = [1 0] ? ?? 2 ? 3? ?1? 向量系统结构图:
u(t )
b
& x(t )
∫
A
x(t )
c
y (t )
36
18
例:设控制系统的方框图如下,试求该系统的 状态空间表达式。
R(s )
?
1 s (s + 1)(s + 2)
Y (s )
1 Y (s ) 1 s(s + 1)(s + 2) 解: = = 3 2 1 R(s ) 1 + s + 3s + 2s + 1 s(s + 1)(s + 2)
& & ∴ &y& + 3 && + 2 y + y = r y
37
&y& + 3 && + 2 y + y = r & & y
? x1 = y 选取 ? x = x = y ? 2 &1 & ? x = x = && ? 3 &2 y
& ? x1 = x2 ? & ? x2 = x3 ? x = ? x ? 2 x ? 3x + r 1 2 3 ? &3 y = x1
标量系统结构图:
r
& x3
∫
?3
x3
∫
x2
∫
x1 = y
?2 ?1
38
19
& ? x1 = x2 ? & ? x2 = x3 ? x = ? x ? 2 x ? 3x + r 1 2 3 ? &3 y = x1
& 1 0 ? ? x1 ? ?0? ? x1 ? ? 0 ?x ? = ? 0 & 0 1 ? ? x2 ? + ?0 ? r ? 2? ? ?? ? ? ? ? x3 ? ?? 1 ? 2 ? 3? ? x3 ? ?1? ?& ? ? ?? ? ? ? ? x1 ? y = [1 0 0]? x2 ? ? ? ? x3 ? ? ?
x(t ) y (t )
向量系统结构图:
u(t )
b
& x(t )
∫
A
c
39
(2) 系统输入含有导数项
返回
& y ( n ) + an ?1 y ( n ?1) + L + a1 y + a0 y =
& bnu ( n ) + bn ?1u ( n ?1) + L + b1u + b0u 选取状态变量: x1 = y ? h0u ? y = x1 + h0u & x1 = x2 + h1u & & & x2 = x1 ? h1u = y ? h0u ? h1u ? y = x + h u + h u & & 1 2 0 & x3 = x2 ? h2u = && ? h0u ? h1u ? h2u x = x + h u && & y & 3 2 ? 2 && = x3 + h0u + h1u + h2u && & y M & xn = xn ?1 ? hn ?1u = y ( n ?1) ? h0u ( n ?1) ? h1u ( n ? 2 ) ? L ? hn ?1u & x ?1 = x + h u ? nn ?1) n n ?1 (n ?1) y ( = xn + h0u + h1u (n ? 2 ) + L + hn ?1u 消去 y
& & 40 求导 ? xn = y ( n ) ? h0u ( n ) ? h1u ( n ?1) ? L ? hn ?1u 及导数
20
信息工程学院现代控制理论课程习题清单
3.有电路如图1-28所示。以电压U(t)为输入量,求以电感中的电流和电 容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R 2上的电压作为输出 量的输出方程。 4.建立图P12所示系统的状态空间表达式。 M 2 1 f(t) 5.两输入u i ,U 2,两输出y i ,y 的系统,其模拟结构图如图 1-30所示, 练习题 ,输出为,试自选状态变量并列写出其状 2. 有电路如图所示,设输入为 态空间表达式。 C ri _ l- ------- s R 2 U i U ci L u A ------ — 2 R i
试求其状态空间表达式和传递函数阵。 6.系统的结构如图所示。以图中所标记的 x 1、x 2、x 3作为状态变量,推 导其状态空间表达式。 其中,u 、y 分别为系统的输入、 输出,1、 2 试求图中所示的电网络中,以电感 L i 、L 2上的支电流x i 、X 2作为状态 变量的状态空间表达式。这里 u 是恒流源的电流值,输出 y 是R 3上的 支路电压。 8. 已知系统的微分方程 y y 4y 5y 3u ,试列写出状态空间表达式。 9. 已知系统的微分方程 2y 3y u u , 试列写出状态空间表达式。 10. 已知系统的微分方程 y 2y 3y 5y 5u 7u ,试列写出状态空间 表达式。 7. 3均为标量。
11. 系统的动态特性由下列微分方程描述 y 5 y 7 y 3y u 3u 2u 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。 12. 已知系统传递函数 W(s) 坐 卫 2 ,试求出系统的约旦标准型 s(s 2)(s 3) 的实现,并画出相应的模拟结构图 13. 给定下列状态空间表达式 X 1 0 1 0 X 1 0 X 2 2 3 0 X 2 1 u X 3 1 1 3 X 3 2 X 1 y 0 0 1 x 2 X 3 (1)画出其模拟结构图;(2)求系统的传递函数 14. 已知下列传递函数,试用直接分解法建立其状态空间表达式,并画出状 态变量图。 15. 列写图所示系统的状态空间表达式。 16. 求下列矩阵的特征矢量 0 1 0 A 3 0 2 12 7 6 17. 将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解) (1)g(s ) s 3 s 1 3 2 s 6s 11s 6 ⑵ g(s ) s 2 2s 3 3 c 2 s 2s 3s 1
【实验地点】课外(宿舍) 【实验目的】 1、学会利用MATLAB 实现离散系统传递函数模型的生成 2、学会利用MATLAB 将连续系统离散化 【实验设备与软件】 1、MATLAB/Simulink 数值分析软件 2、计算机一台 【实验原理】 1、求矩阵特征值和特征向量命令格式[V J]=eig (A ) Cv=eig(A) 说明:V 特征向量,J 是Jordan 型,cv 是特征值列向量 2、求运动的方法 (1)利用Laplace 逆变换----适合于连续/离散线性系统 采用ilaplace/iztrans 对传递函数求逆,这种方法一般是零输入情况下求响应。 (2)用连续(离散)状态转移矩阵表示系统解析解----适合于线性定常系统 对连续定常系统有: 假设初始时刻为零,LTI 系统的解析解为dt Bu e e x e t x t At At At ??+=0 )()0()(τ。若u (t )是单 位阶跃输入,则上述解可写成dtBu e e x e t x t At At At ? ?+=0 )()0()(τ。进一步简化为: Bu A Bu A x e t x At 11))0(()(---+= 对离散线性定常系统有: ∑---+ =1 1 )()0()(k i k k i Hu G x G k x
(3)状态方程的数值分析方法----适合于连续线性系统和非线性系统 采用直接数值积分很容易的处理各种定常/时变和线性/非线性系统。有很多数值积分方法,其中有一类预测-修正数值积分方法+自适应步长调整的算法比较有效。在MATLAB/Simulink 中包含的多种有效的、适用于不同类型的ODE 求解算法,典型的是Runge-Ktuta 算法,其通常使用如下的函数格式: [t,x]=ode45(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用四阶、五阶Runge-Ktuta 算法 [t,x]=ode23(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用二阶、三阶Runge-Ktuta 算法 说明:a.这两个函数是求解非刚性常微分方程的函数。 b.参数options 为积分的误差设置,取值为相对误差‘reltol ’和绝对误差‘abstol ’;[ti,tf]求解的时间围;x0是初值是初值向量;[t,x]是解。 (4)利用CotrolToolBox 的离散化求解函数----适合于TLI 系统 用step ()/impulse()函数求取阶跃输入/冲激输入时系统的状态响应: 当系统G 是连续的情况下: 调用[y,t,x]=step/impulse(G )会自动对连续系统G 选取采样时间围和周期; 调用[y,t,x]=step/impulse(G ,ti:Ts:tf)由用户自己定义对连续系统G 的样时间围和周期; 当系统G 是离散的情况下: 调用[y,t,x]=step/impulse(G )会按离散系统G 给出的采样周期计算; 调用[y,t,x]=step/impulse(G ,ti:Ts:tf)是Ts 必须与离散系统G 的采样时间围和周期一致。 另外lsim()函数调用格式:[y,x,t]=lsim(G,u,ti,TS,tf,x0) 零输入响应调用函数initial (),格式:[y,x,t]=(G,x0) (5)利用simulink 环境求取响应----适用于所有系统求取响应 使用simulink 求取线性或非线性系统的响应,调用格式如下: [t,x,y]=sim(‘XX.mdl ’,ti:Ts:tf,options,u) 【实验容】 已知线性系统:]) (201)() (2 10)(404040202119201921)(t x t y t u t x t x +-----? 已知线性系统 1、利用Matlab 求零状态下的阶跃响应(包括状态和输出),生成两幅图:第一幅绘制各状态响应曲线并标注;第二幅绘制输出响应曲线。
` 第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量,推导其状态空间表达式。其中,u 、y 分别为系统的输入、输出,1α、2α、3α均为标量。 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图,且图中每个积分器 的输出即为状态变量,这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系,又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③,则有 ①:2111x x x +=α ②: 3222x x x +=α ③:u x x +=333α 输出y 为1y x du =+,得 { 11 12223331000100 1x a x x a x u x a x ???????? ????????=+???????????????????????? []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++ ;(2) u u y y -=+ 32;
(3) u u y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =,2y x =,3y x =,则有: 12 23 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=? 状态空间表达式为:[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得: 《 3222332()3()()() 11()1223()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---== ++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????- ???? 123110 2 2x y x x ?????? =- ??????????
第一章线性系统的状态空间描述 1.内容 系统的状态空间描述 化输入—输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换 组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵 2.基本概念 系统的状态和状态变量 状态:完全描述系统时域行为的一个最小变量组 状态变量:构成系统状态的变量 状态向量 设系统状态变量为X i(t),X2(t)厂,X n(t)写成向量形式称为状态向量,记为 _X i (t) x(t)= _X n(t) 状态空间 状态空间:以状态变量为坐标轴构成的n维空间 状态轨迹:状态变量随时间推移而变化,在状态空间中形成的一条
轨迹。
3. 状态空间表达式 设系统r 个输入变量:U i (t ),u 2(t )^ ,u r (t ) m 个输出:yQM), ,y m (t) n 个状态变量:X i (t),X 2(t), ,X n (t) 例:图示RLC 电路,建立状态空间描述 i L C 电容C 和电感L 两个独立储能元件,有两个状态变量, 方程为 如图中所注, L di L (t) dt Ri L (t) U c (t) =u(t) C 沁 “L (t) dt X i (t)二 L(t), X 2(t)二 U c (t) 二 LX i (t) RX i (t) X 2(t)二 u(t) Cx (t)二 X (t) N(t) - R/L 殳⑴门1/C 0 匚X 2(— O u(t) U c
输出方程 一般定义 状态方程:状态变量与输入变量之间的关系 dX i (t) dt = X i (t)二 f i 〔X i (t),X 2(t), ,X n (t);U i (t),U 2(t), ,U r (t);tl dX 2(t) dt = X 2(t)二 f 2'X i (t),X 2(t)^ ,X n (t);U i (t),U 2(t), ,U r (t);t 】 dX n (t) dt 二 X n (t)二 f n 〔X i (t),X 2(t), ^⑴小⑴心⑴,,U 「(t);t 】 用向量表示,得到一阶的向量微分方程 x(t)二 f 'X(t),u(t), t 1 其中 X i (t) U ](t) fQ) “、 X 2(t) - U 2(t) . f 2(?)?Qn X(t) - c R ,u(t)戶;c R , f (?) ^^ : c R N(t) 一 JU r (t) 一 -f n (叽 输出方程:系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系,即 %(t)二 g i X i (t),X 2(t), ,X n (t);U i (t),U 2(t), ,U r (t);t ] y 2(t)二 g 2 X i (t), X 2(t), ,X n (t);U i (t),U 2(t), ,U r (t);t 〔 y(t)二 %(t)二 1 01 X i (t) 殳(t).
《现代控制理论》练习题 判断题 1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的。 4. 对系统Ax x = ,其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 5. 对一个系统,只能选取一组状态变量; 6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的系统矩阵,进而决定系统的动态特性; 7. 状态反馈不改变系统的能控性。 8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消,则对应状态空间模型描述的系统是不能控的; 9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的,则它是大范围渐近稳定的; 10. 相比于经典控制理论,现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。 11. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。 12. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量,因此都是具有物理意义。 13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。 14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。 15. 一个系统的平衡状态可能有多个,因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。 16. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的,则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。 17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能,但不改变系统的能控性和能观性。 18. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在,那么我们就可以断定该系统是不稳定的。 填空题 l .系统状态完全能控是指 。 2.系统状态的能观性是指 。 3.系统的对偶原理: 。 4.对于一个不能控和不能观的系统,按系统结构标准分解 为 、 、 、 、的四个子系统。
现代控制理论 1.经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程. 2.实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的. 3.对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1A Tz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控 2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b 3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的. 第五章线性定常系统综合 1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量,推导其状态空间表达式。其中,u 、y 分别为系统的输入、输出,1α、2α、3α均为标量。 3 x 2 x 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图,且图中每个积分器的输出即为状态变量,这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系,又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③,则有 ①:2111x x x +=α& ②: 3222x x x +=α&③:u x x +=333α& 输出y 为1y x du =+,得 1112223331000100 1x a x x a x u x a x ?? ?????? ????????=+???????????????????????? &&& []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++&&&&&& ;(2) u u y y -=+&&&&&&32; (3) u u y y y y 75532+=+++&&&&&&&&& 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =,2y x =&,3y x =&&,则有:
1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=?&&& 状态空间表达式为:[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? &&& (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得: 3222332()3()()() 11()12 23()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---==++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? &&& 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得: 323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+
2012年现代控制理论考试试卷 一、(10 分,每小题1分)试判断以下结论的正确性,若结论是正确的, (√)1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 (√)2.若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现。 (×)3.对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的。 (√)4.对线性定常系统x Ax =&,其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 (√)5.一个不稳定的系统,若其状态完全能控,则一定可以通过状态反馈使其稳定。 (×)6.对一个系统,只能选取一组状态变量; (√)7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输入和输出无关; (×)8.若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的; (×)9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该系统在任意平衡状态处都是稳定的; (×)10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。 二、已知下图电路,以电源电压u(t)为输入量,求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。(10分) 解:(1)由电路原理得:
二.(10分)图为R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量,电容C 上的电压2x 为输出量,试求:网络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图。 解:此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件,故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量,即令:12,L c i x u x ==,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为: 从上述两式可解出1x ? ,2x ? ,即可得到状态空间表达式如下: ??????21y y =??? ? ???? ++-2112 12110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ? ??? ????+21 20 三、(每小题10分共40分)基础题 (1)试求32y y y u u --=+&&&&&&&的一个对角规范型的最小实现。(10分) 23232 2()(1)(1)11111()21 32(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令 1()1()2X s U s s =-,2() 1()1 X s U s s -=+…………2分 于是有 又 12()()() 1()()() X s X s Y s U s U s U s =++,所以12()()()()Y s U s X s X s =++,即有 12y u x x =++…………2分 最终的对角规范型实现为 则系统的一个最小实现为: []201, 11011u y ????=+=????--???? &x x x +u …………2分 (2)已知系统[]011, 12232u y ???? =+=-???? -???? &x x x ,写出其对偶系统,判断该系统
第一章 控制系统的状态空间表达式 1. 状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+=&1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵,描述系统内部状态之间的联系;B为输入(或控制)矩阵,表示输入对每个状态变量的作用情况;C 输出矩阵,表示输出与每个状态变量间的组成关系,D直接传递矩阵,表示输入对输出的直接传递关系。 2. 状态空间描述的特点 ①考虑了“输入-状态-输出”这一过程,它揭示了问题的本质,即输入引起了状态的变化,而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数,n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说,把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤:a 选择状态变量;b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组;c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式,即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法,特别适合于用计算机计算。 3. 模拟结构图(积分器 加法器 比例器) 已知状态空间描述,绘制模拟结构图的步骤:积分器的数目应等于状态变量数,将他们画在适当的位置,每个积分器的输出表示相应的某个状态变量,然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器,最后用箭头将这些元件连接起来。 4. 状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式:a 将各个环节(放大、积分、惯性等)变成相应的模拟结构图;b 每个积 分器的输出选作i x ,输入则为i x &;c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式:如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程,整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式(微分方程)或传递函数,建立系统的状态空间表达式,即实现问题。实现是非唯一的。 方法:微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式 注意:a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次,首先化成真分式形式,然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现,也可以先画出模拟结构图。 5.状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量 i p 的求解:也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型(A为任意矩阵):主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时,各特征矢量按列排。b 有重根时, 设3阶系统,1λ=2λ,3λ为单根,对特征矢量1p ,3p 求法与前面相同, 2p 称作1λ的广义特征矢量,应满足121)(p p A I -=-λ。 系统的并联实现:特征根互异;有重根。方法:系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。 6.由状态空间表达式求传递函数阵)(s W D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数[ij W ] ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。 状态空间表达式不唯一,但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。 子系统的并联、串联、反馈连接时,对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法:画出系统结构图,理清关系,用分块矩阵表示。 第二章 控制系统状态空间表达式的解
第八章 线性系统的状态空间分析与综合 习题及解答 8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b a a a a a E dt di L i R U ++=+ dt d K E m b b θ= a m m i C M = dt d f dt d J M m m m m m θθ+=2 2 ) ()([)()(2m b m a a m m a m a m a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ ⑴设状态变量m m x θ=1,m x θ =2,θ =3x 及输出量m y θ=,试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 m y θ=,试建立其动态方程。 解: (1)由题意可知: ??? ????=======123121x y x x x x x m m m m θθθθ , 由已知 ??? ????+===++=m m m m m a m m m b b a a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ 可推导出 ????? ????=++-+-===1 233 3221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x a m a m m a m b m a m a a m a m 由上式,可列动态方程如下
=???? ??????321x x x ??? ?? ? ? ?????? ?+- +-m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 01 00010??????????321x x x +??????? ? ????? ???m a m J L C 00 a U y =[]001???? ??????321x x x (2)由题意可知:,1a i x =m m m y x x θθθ===,,32 可推导出 ???????? ???==-=-====+--=+--==2 3 133 231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a a a b a a a a m a b a a a a θθθθθ 可列动态方程如下 []?? ?? ??????=321010x x x y 由 ?????===m m m x x x θθθ 321和 ??? ??===m m a x x i x θθ 321 得 ??? ? ????? -=-======3 133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ 由上式可得变换矩阵为 ?????? ???????? -=m m m m J f J C T 010 01 8-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++ 。式中,u 和y 分别为系统输入和输出量。试列写可控标准型(即矩阵A 为友矩阵)及可观测标准型(即矩阵A 为友矩阵转置)状态空间表达式,并画出状态变量图。 解: 由题意可得: 10110010220330R K a b x L L L x a a a x x U a C f x x m m J J m m ?? ??--???? ?????? ??????????=+??????????????????????- ????????
现代控制理论试题与答案 This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.
现代控制理论 1.经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程. 2.实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的. 3.对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控 2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b 3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的. 第五章线性定常系统综合
燕山大学 课程设计说明书题目:离散时间系统的状态空间描述 学院(系):电气工程学院 年级专业:_11级精仪1班 学号: 110103020058 学生姓名: 指导教师: 教师职称:
电气工程学院《课程设计》任务书 课程名称:数字信号处理课程设计 说明:1、此表一式四份,系、指导教师、学生各一份,报送院教务科一份。 2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。 电气工程学院教务科
摘要 摘要:线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统,差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型,单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数,零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面,介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析方法,并以实例形式列举了MATLAB实现程序。 关键词:MATLAB;离散时间系统;系统分析;传输函数
目录 第一章离散时间系统与状态空间描述 (1) 1.1 离散时间系统 (1) 1.2 状态空间描述 (3) 1.3 LSI系统的求解方法 (5) 第二章软件仿真设计 (5) 2.1状态方程 (5) 2.2输出方程 (6) 2.3 LSI系统的单位冲击响应 (7) 第三章仿真结果分析 (10) 3.1状态方程 (10) 3.2 输出方程 (10) 3.3 LSI系统的单位冲击响应 (11) 第四章学习心得 (11) 第五章设计与实验过程中遇到的问题和分析 (12)
第一章相关离散时间系统的知识 1.1离散时间系统 离散时间系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统,它有多种类型,其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。差分方程反映了系统输入与输出的运动状态,是在时域描述系统的通用数学模型;系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比,在时域与频域之间起桥梁作用。分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下,从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系,前者重点研究系统的时间特性,后者主要研究系统的频率特性。下面从系统分析流程、系统模型创建、系统时域分析、系统频域分析和因果稳定性分析等方面,介绍线性时不变离散时间系统的基本分析方法,并以实例形式列举MATLAB在系统分析过程中的具体应用。 二、单位脉冲响应的计算根据差分方程求解单位脉冲激励下系统的零状态响应,或将系统函数进行Z反变换都可算出系统的单位脉冲响应,具体算法可参见参考文献[3]。在MATLAB中描述系统的差分方程或系统函数都是用系数向量表示,调用impz函数就可直接算出系统的单位脉冲响应。如实例1描述的系统,其单位脉冲响应的计算及显示程序如下:b=[0.3,0.06,0,0]; %系数向量不齐后面补0 a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; %系数向量不齐后面补0 [hn,n]=impz(b,a,16), %列向求出16点单位脉冲响应 stem(n,hn,'.'); grid; %绘制点状图并加网格 xlabel('n');ylabel('hn');title('单位脉冲响应'); 若要写出闭环形式,可调用residuez函数将系统函数展开成部分分式形式,再通过查表求Z反变换即可。 三、系统输出的时域计算 在时域上计算离散时间系统的输出,实际上就是直接求解差分方程或作卷积运算。参考文献[3]列举了迭代法、时域经典法、卷积法等常用方法及应用实例。考虑到分析系统的目的在于综合,系统设计时不存在初始问题,因此,分析系统响应重点分析零状态响应。只要掌握了分析系统的概念、原理和方法,繁杂的计算可由MATLAB完成。 实例2:试计算实例1中,当输入序列分别为单位脉冲、单位阶跃和一般序列时,系统的输出响应。 方法1:调用filter函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125];
现代控制理论 教材及参考书 时域部分:刘豹主编,现代控制理论, 机械工业出版社复频域部分:郑大钟主编,线性系统理论, 清华出版社 其它参考:线性系统理论;线性系统理论前修课程:线性代数;自动控制原理。 学时数:32 考核形式与要求: 1)听课率80%以上 2)独立完成作业 3)完成自学内容。 4)课堂提问达到要求 5)期末考试 主讲:刘贺平
1 状态空间表达式 1.1状态变量及状态方程 (1)状态变量:完全表达系统运动状态的最小个数的一组变量. 例如,n 阶微分方程描述的系统有n 个变量 ) (,,n y y 。 变量的选取不唯一,但要相互独立. (2)状态向量:若 n i t x i ~1),( ,为状态向量,则 )()(1t x t x x n 称为状态向量, )()()(1t x t x t x n T 。 (3)状态空间:以x(t)各分量为坐标轴 所构成的n 维空间。
x(t) 在状态空间中是一条轨迹,称为状态轨迹。 (4)状态方程: 形式为 Bu Ax x ,其中, n R x ,r R u ,A ,B 为矩阵,当u 为标量时B → b 为n 1矩阵. (5)输出方程: y=Cx+Du, y ∈m R y , n m R C , r m R D , (6)状态空间表达式:将状态方程和 输出方程合并一起表示一个系统. r nr n n r r n nn n nn n n n u u u b b b b b b b b b x x x a a a a a a a a a x x x 21212222111211212222211121121 r mr m m r r n mn m m n n m u u u d d d d d d d d d x x x c c c c c c c c c y y y 212122221112112121222211121121
现代控制理论总结 第一章:控制系统的状态空间表达式 1、状态变量,状态空间与状态轨迹的概念: 在描述系统运动的所有变量中,必定可以找到数目最少的一组变量,他们足以描述系统的全部运动,这组变量就称为系统的状态变量。 以状态变量X1,,X2,X3,……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间(实数域上的向量空间)称为状态空间。 随着时间的推移,x(t)在状态空间中描绘出一条轨迹,称为状态轨迹。 2、状态空间表达式: 状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述,称为系统的状态空间表达式。 3、实现问题: 由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式,这样的问题称为实现问题 单入单出系统传函:W(s)=错误!未找到引用源。,实现存在的条件是系统必须满足m<=n,否则是物理不可实现系统 最小实现是在所有的实现形式中,其维数最低的实现。即无零,极点对消的传函的实现。 三种常用最小实现:能控标准型实现,能观标准型实现,并联型实现(约旦型) 4、能控标准型实现,能观标准型实现,并联型实现(约旦型) 传函无零点错误!未找到引用源。 系统矩阵A的主对角线上方元素为1,最后一行元素是传函特征多项式系数的负值,其余元素为0,A为友矩阵。控制矩阵b除最后一个元素是1,其他为0,矩阵A,b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。将b与c矩阵元素互换,另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0,矩阵A,c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。 传函有零点见书p17页…….. 5、建立空间状态表达式的方法: ①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立(传函) 6、子系统在各种连接时的传函矩阵: 设子系统1为子系统2为 1)并联: 另u1=u2=u,y=y1+y2的系统的状态空间表达式
《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在 答:线性系统的状态空间模型为: x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于:对于线性定常系统,上述状态空间模型中的系数矩阵A ,B ,C 和D 中的各分量均为常数,而对线性时变系统,其系数矩阵A ,B ,C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统, 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式它们分别具有什么特点 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++, 分别有 ⑴ 能控标准型: []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ???????????? ???=+?? ???????? ? ?????----???? ? =+??
⑵ 能观标准型: []00112 21100 01000 10 0010 01n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-???? ????? -????? ?????=-+???? ? ????? ??????-???? ?=+?? ⑶ 对角线标准型: []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ????? ??????? ???=+?????? ????? ??????=+? 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出, 12121012 111012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=++ + +++++--- 能控标准型的特点:状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定,其余部分具有特定结构,输出矩阵依赖于分子多项式系数,输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外,其余全为0。 能观标准型的特点:能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点:状态矩阵是对角型矩阵。 对于同一个系统,状态变量的选择是否惟一 答:对于同一个系统,状态变量的选择不是惟一的,状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下,其状态空间实现中的直接转移项D 不等于 零,其参数如何确定 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时,其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。 转移项D 的确定:化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得: d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 1110 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。