复变函数期末复习题
第一章复数与复变函数
1、知识点：
(1) 复数的各种表示方法，（2）复数的乘幂与方根(3)复变函数的极限与连续
2、题型
第二章解析函数
1、知识点
(1)解析函数的概念与判定（2）初等函数的定义及其性质
2、题型
第三章复变函数的积分
1、知识点
(1)柯西—古萨基本积分定理、复合闭路定理的应用；（2）柯西积分公式与高阶导数公式计算复积分；（3）不定积分的计算（4）调和函数与解析函数的构造
第四章级数
1、知识点
(1)级数敛散性的判定绝对收敛与条件收敛的判定；（2）幂级数收敛的性质与收敛半径的求法(3)间接展开法展开幂级数；（4）间接展开法展开罗朗级数
题型：
第五章留数
1、知识点
(1)孤立奇点的类型及其判定；（2）留数的求法（包括∞点的留数计算）(3)用留数法计算复积分；
第六章傅里叶积分变换
1、知识点：
(1)傅氏积分变换及其逆变换的定义（2）单位脉冲函数的概念及其性质（3）傅氏积分变换的性质
第七章拉普拉斯积分变换
1、知识点
(1)拉氏积分变换及其逆变换的定义（2）积分变换及其逆变换的定义积分变换的性质（3）拉氏逆变换的求法（4）卷积的计算（5）用拉氏积分变换求解微分方程
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 哈尔滨工程大学本科生考试试卷 （ 2010-2011 年 第一 学期） 2011-01-04 得分评卷人 选择题（每小题2分，共10分） 一、 1、00 Im Im lim z z z z z z →-=- （ ）. Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在 2、若0(1)n n n a z ∞ =-∑在3z =发散，则它在 （ ）. A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确 3、已知函数212 ()1cos f z z z = --，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）. Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点 4、映射3z i w z i -= +在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π 5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）. I ：Ln z Ln z = Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数 III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别 存在 Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 得分评卷人 填空题（每小题2分，共10分） 二、 6、设z i e i =，则Re z = . 7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a . 8、设函数cos z e z 的泰勒展开式为∑∞ =0 n n n z c ，则它的收敛半径为 . 9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= . 10、设1 ()(1) F s s s = -，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人 计算题Ⅰ（每小题5分，共25分） 三、 11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？ ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数试题汇总 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿． 复变函数模拟试题 试题(四) 一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设,1 )1(1)1(55 ++--= i i z 则其实部为______________, 虚部为______________. 2. 若解析函数()f z 的实部是(cos sin )x e x y y y -，则f()z = . 3.在01z <<内，函数1(2)(1) z z z -+的罗朗展式是 . 4. 2 1|2|2 d (1)(2) z z z z z -= --? 的值是 . 5. 已知分式线性函数()f z 把上半平面变为单位圆，则()f z = . 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列方程所表示的曲线中, ( )是椭圆. A. ;5|2||2|=++-z z B. ;21 1=+-z z C. ;1Re ||=+z z D. .2Re 2=z 2. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析, 下列等式中错误的是( ). A. x v i x u z f ??+??= )(' B. x v i y v z f ??+??= )(' C. y v i y u z f ??+??= )(' D. y u i x u z f ??-??= )(' 3.幂级数()!()! n n z n n +=∞ ∑ 120 的收敛半径为（ ） A.0 B.1 C.2 D.+∞ 4.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C 323++?，其中C 为正向圆周|z -1|=2 B.e dz z C ?，其中C 为正向圆周|z|=5 C.z z dz C sin ? ，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos z z dz C -?1 ，其中 C 为正向圆周|z|=2 5.z= π3 是函数f(z)= sin() z z - -ππ 33的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点 D.本性奇点 三、(10分) 设 d c b a ,,,为实数, 试求二次方程 0)(2=++++di c x bi a x 至少有一实根的条件. 四. (10分) 设? -++= C d z z f λλλλ1 73)(2 ，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 五. (10分) 计算积分 ? -+= C z z z dz I ) 2)(1(3 的值, 其中.2,1,|:|≠=r r z C 六. (10分) 求函数 (1)(2) z z z --在1||2z <<内的罗朗展式。 七. (10分) 求积分 ? =-1 ||)1(2.z z z a dz e 八. (10分) 试作一个解析函数，它把上半平面Im 0z >保形双射成w 平面的半带域 R e 2 2 w π π - << ，Im 0w > . 九、(10分) 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析， |()|f z 等于常数，则()f z 在D 内恒等于常数。 复变函数模拟试题 试题(四)答案 一. 填空题 1. .2532 ,251 -- 2. e i z z c +. 3. 101 (1)112362n n n n z z ∞ +=??--+- ? ?? ∑ 4. 2πi -. 5. i 000 e ()(Im 0)z z z z z θ ->- 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期中考试题 电子信息专业2015年11月 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i -的幅角是 ； 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ 2.)1(i Ln +-的主值是 ；i 4 32ln 21π + 3. 211)(z z f +=， =)0()5(f ；0 4．以原点为中心，焦点在实轴上，长半轴短半轴分别为a ，b 的椭圆曲线方程是 （用复数形式表示！！！）； z=acost+ibsint t ∈[0,2π] 5． =?+i 11 z)dz z(e^ ；ie^(1+i)=ie(cos1+isin1) 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；B （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ； D （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．若c 为不经过1与-1的正向曲线，则?+-c dz 1)^2)(z 1（z z 为（） ；D （A ）πi/2； (B ）-πi/2； （C ）0； (D)以上的都可能. ４．下列结论正确的是( )；B （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f ； （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在点z 解析的（）．B (A) 充分不必要条件;(B) 必要不充分条件; (C) 充分必要条件;(D) 即不充分也不必要条件. 三．按要求完成下列各题（共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 d c b a ,,,; 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 y v x u ??=?? x v y u ??-=?? y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+ ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 得分 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4.34a rc ta n 3 A i π-+-的主辐角为 .a rg (3)a rg () B i i -=- 2 .rg (34)2a rg (34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. R e ()0z >表示上半平面 C. 0a rg 4 z π << 表示角形区域 D. Im ()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 s in . 1 z B z + .ta n z C z e + .s i n z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. c o s z 是有界函数 B. 2 2L n z L n z = .c o s s in iz C e z i z =+ .||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 西北农林科技大学本科课程考试试题（卷） 2016-2017学年第1学期《复变函数》课程B 卷 专业班级： 命题教师：李 祯 审题教师： 学生姓名： 学 号： 考试成绩： 一、选择题（每题3分，共15分） 得分： 分 1. 下列说法正确的是( ), A ．零的辐角是零 B.若c 为实常数，则c c = C. 2121z z z z +=+ D. i i 2< 2. 1,++=+=y x v y x u 则（ ） A ．u 是v 的共轭调和函数 是u 的共轭调和函数 和v 互为共轭调和函数 和v 不构成共轭调和函数 =1是() 21111sin -+-z z 的（ ） A.本性奇点 B.可去奇点 C.极点 D.非孤立奇点 为ππ32< 4. =?=dz e z z 1 . 5. ()=+??? ? ??-?=dz z i z z 1221 三、计算题 （共50分） 得分： 分 1.解方程01=++i ie z （10分） 2.将函数 ()()211--z z 在圆环域110<- 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8. =)0,( Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1 z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 复变函数练习题 一、单项选择题 1．函数2()||f z z =在复平面上（ ） A ．处处不连续 B ．处处连续，在点0z =解析 C ．处处连续，处处不可导 D ．处处连续，仅在点0z =可导 2. 0z =是函数3 sin ()z z f z z -=的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点 3点1z =是函数5511()cos (1)(1)f z z z = -- 的( ). A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．5级极点 D ．10级极点 二、填空题 1 设复数z 满足(2)3i z +=，则z =__________。 2. 设1z =，则||z =_________ , arg z =_________ 3 i e π=____, i e π-=___, ln i =___ ,ln(1+i)= ___, 1i =________ 4.C 为从0z =到1z i =+的直线段，则积分 C zdz =?_____ 5设C 为从原点沿曲线2y x =到点1i +的弧段，则 2()C x iy dz +=?_____ 6 3i z i e dz -=? 7. 设C 为正向单位圆周||1z =，则积分 z C e dz =? 8．设C 为正向圆周||1z =，则(2) C dz z z =-?__________。 9设C 为正向单位圆周||1z =,则 sin C zdz ?= ____ sin C z dz z ?=____ 2sin C z dz z ?=____ 10．设21()cos z f z d ξξ= ?，则()f z '=__________。 11 1()3f z z =+ 在点00z =的泰勒展开式为_____ 12设1()(1)(2)f z z z = --，则()f z 在圆环域1||2z <<内的洛朗展开式为_____ 一 . 填空 (每题2分，共10分)。 1. 设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z . 2.设c 为沿原点z =0到点z =1+i 的直线段,则=? c dz z 2 2 . 3. 函数f(z)=]1) (z 11z 1[1z 15 +++++ 在点z=0处的留数为__________________ 4. 若幂级数i z z c n n n 210+=∑∞ =在处收敛，则该级数在z =2处的敛散性为 . 5. 设幂级数 ∑∞ =0 n n n z c 的收敛半径为R ，那么幂级数 ∑∞ =-0 )12 (n n n n z c 的收敛半径为 . 二. 单项选择题 (每题2分，共40分)。 1． 复数i 25 8-2516z =的辐角为 （ ） A ．arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 2． 方程1Rez 2 =所表示的平面曲线为 （ ） A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 3．复数)5 isin -5 -3(cos z π π =的三角表示式为 （ ） A ．)54isin 543(cos -ππ＋ B ．)5 4isin 543(cos ππ－ C ．)54isin 543(cos ππ＋ D ．)5 4isin 543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则 （ ） A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ ） A ．4π － B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－ C ．4 π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7.设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是 ( ) A. u,v 在点z 0处有偏导数 C. u,v 在点z 0处满足柯西—黎曼方程 B. u,v 在点z 0处可微 D. u,v 在点z 0处可微，且满足柯西—黎曼方程 8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分 ?+-c n a z z f 1)() (等于 （ ） A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2) (a if n π D ． )(! 2) (a f n i n π 9． 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分 ?+-c n i z dz 1)(等于 （ ） 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 31i -的幅角是（ 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ） ； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）； 3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ 一级 ）极点； 5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ） ； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周 3=z ，如果函数=)(z f （ D ） ，则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ） 2)2()1(3--z z ； （D ） 2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ） i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数 )(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）复变函数试题及答案
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