3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系
双基达标 限时20分钟
1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( )．
A ．(1，2，3)
B ．(1，3，2)
C ．(2，1，3)
D ．(3，2，1) 答案 A
2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )．
A ．(0，－3，1)
B ．(2，0，1)
C ．(－2，－3，1)
D ．(－2，3，－1) 答案 D
3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置
关
系
是
( )．
A ．平行
B ．垂直
C ．相交不垂直
D ．无法判断
解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β. 答案 A
4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________． 解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y
＋2＝0，∴y ＝12.
答案 12
5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则
k ＝______．
解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2
k
，解得k ＝4.
答案 4
6．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0，
0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，
2)，E (3，4，0) ∵AP ＝2PA 1，
∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝2
3(0，0，2)＝(0，0，43)，
∴P 点坐标为(3，0，4
3
)．
同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，2
3)．
∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS →
，
又∵R ?PQ ，∴PQ ∥RS .
综合提高（限时25分钟）
7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面 ( )．
A ．xOy 平行
B ．xOz 平行
C ．yOz 平行
D ．yOz 相交
解析 因为AB →
＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 答案 C
8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在
平
面
α
内
的
是
( )．
A ．(1，－1，1)
B ．(1，3，3
2)
C ．(1，－3，32)
D ．(－1，3，－3
2
)
解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →
与平面α的法向量n 是否垂直，即
PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →
·n
＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝(1，－4，12)，则PA →
·n
＝(1，
－4，1
2)·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.
答案 B
9．已知直线a ，b 的方向向量分别为m ＝(4，k ，k －1)和n ＝(k ，k ＋3，3
2)，若a ∥b ，则k
＝______．
解析 ①当k ＝0时，a 与b 不平行． ②当k ≠0时，由4k ＝k k ＋3＝k －1
3
2解得k ＝－2.
答案 －2
10．若A (0，2，198)，B (1，－1，58)，C (－2，1，5
8)是平面α内的三点，设平面α的法向
量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________． 解析 AB →
＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)，
由?????a ·AB →＝0，
a ·AC →＝0，得?????x －3y －74
z ＝0，－2x －y －74
z ＝0，解得?????x ＝23y ，z ＝－43y ，
则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－4
3y )＝2∶3∶(－4)．
答案 2∶3∶(－4)
11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1
的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .
证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的 棱长为1，则可求得
M (0，1，12)，N (12
，1，1)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，
1，0)，
于是MN →＝(12，0，12)，DA 1→＝(1，0，1)，DB →
＝(1，1，0)，
设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，
则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →
＝0，得?
????x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.
取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 又MN →
·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，
∴MN →
⊥n .又MN ?平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .
法二 ∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →
)＝12DA 1→，
∴MN →∥DA 1→
，而MN ?平面A 1BD ，DA 1?平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .
12．(创新拓展)如图，O 是正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1的底面中心，P 是DD 1的中点，Q 点在CC 1上，问：当点Q 在CC 1的什么位置时，平面BD 1Q ∥平面APO?
解 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则O (1，1，0)，P (0，0，1)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，D 1(0，0，2)，
设Q (0，2，z )(0≤z ≤2)， 那么OP →
＝(－1，－1，1)，
BD 1→
＝(－2，－2，2)，
∴OP →∥BD 1→
，又B ?OP ，∴OP ∥BD 1. 又AP →
＝(－2，0，1)，BQ →
＝(－2，0，z )， 显然当z ＝1时，AP →∥BQ →
，由于B ?AP ， ∴AP ∥BQ ，此时平面AOP ∥平面D 1BQ . ∴当Q 为CC 1的中点时，平面AOP ∥平面D 1BQ .
《空间向量与平行关系》 教学目标： 知识与技能：掌握线线平行，线面平行，面面平行的传统，基底，坐标方法. 过程与方法：在简单例题中利用这三种方法，循序渐进，慢慢熟练掌握. 情感与价值：通过对线，面平行，两种方法的比较.发现其中的数学规律， 学会总结，慢慢理解加深对数学的认识. 教育目标：数学课到底教什么？ 一教知识：传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性，即事物在变化过程中保持的不变性。如三角形（类），其内角和 为180度（共有属性），而多边形的外角和为360度（更高层面的总结）. 二教方法和思想：引导学生重演知识的发生发展的过程，感受人类先哲们探索的艰辛，体会数学先驱们天才的思想，从而学会观察事物，提出问题并加以解决，让数学知识 这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。 三引导学生融会贯通:简化记忆，构建起自己的数学结构，即总结出自己解决问题的“中途点”，以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题. 教学难点：线，面平行传统方法的回顾 处理办法：在学案进行复习巩固 教学重点：用向量解决线，面平行问题 处理办法：通过例题循序渐进 教学设计 一.（复习回顾）
2.方向向量：在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线 的一个方向向量. 法向量：垂直于平面的向量（非零向量） 向量垂直：0=??⊥→→→→b a b a （两非零向量）“思考为什么要强调两非零向量”？ 二.新知引入：向量法 1. 设直线m l ，的方向向量分别为→→b a ,，平面βα，的法向量分别为→→v u ,，则： R b a b a m l ∈=??→→→→λλ,∥∥ 0=??⊥?→→→→u a u a l α∥ R v u v u ∈=??→→→→λλβα,∥∥ 1.线线平行 ① 设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： ()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ， ()2,1,2--=→a ()2,1,2--=→ b ， ②已知→1e ，→ 2 e 是空间任意两个非零向量，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： →→→-=2132e e a →→→+-=2132e e b →→→-=2132e e a →→→-=2164e e b 2.线面平行 ①设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，且直线l 不在平面α内.若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ②设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ③设直线m 的方向向量为→a ，平面σ的法向量为，→u 直线m 不在平面α内. 根据下列条件判断直线 m 与平面σ的位置关系： ()5,2,2-=→a ()4,46-=→，u ()5,2,2-=→a ()2,23-=→ ，u 3.面面平行 ①设平面βα，的法向量分别为→→v u ,，根据下列条件判断直线β α，的位置关系 ()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()4,4,2--=→v ②设平面σ的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－1，－2，k )，若βα∥，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2
平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：
2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1 λ＝2 4，∴λ＝2. 【答案】 B 2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．在平面内 D ．平行或在平面内 【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内． 【答案】 D 3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．(1，－1，1) B.? ? ???1，3，32 C.? ? ? ??1，－3，32 D.? ? ? ??－1，3，－32
【解析】 对于B ，AP →＝? ?? ??－1，4，－12， 则n ·AP →＝(3，1，2)·? ?? ??－1，4，－12 ＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ? ?? ??1，3，32在平面α内． 【答案】 B 4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l 与α相交但不垂直 D ．l ∥α或l ?α 【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ?α. 【答案】 D 5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题 6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
空间向量与平行关系 (30分钟50分) 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 【解析】选D.若l∥α,则a·n=0.而选项A中a·n=-2.选项B中a·n=1+5=6.选项C中a·n=-1,选项D 中a·n=-3+3=0. 【变式训练】已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( ) A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交 【解析】选C.因为=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故∥平面yOz.又A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz内,所以AB∥平面yOz. 2.(2014·郑州高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 因为A1M=AN=a,
所以M, N. 所以=. 又C1(0,0,0),D1(0,a,0), 所以=(0,a,0). 所以·=0. 所以⊥. 因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN?平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C. 【一题多解】选B.=++, ① =++. ② 因为A1M=AN=a, 所以=,=. ①×2+②得3=2+, 而=,所以=+. 故MN∥平面BB1C1C. 3.(2014·泰安高二检测)以下四组向量: ①a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1); ②a=(8,4,0),b=(2,1,0); ③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3); ④a=,b=(4,-3,3). 其中a,b分别为直线l1,l2的方向向量,则它们互相平行的是( ) A.②③ B.①④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】选D.因为①a=(1,-2,1)=-b=-(-1,2,-1),
高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________.
答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ）
高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）
A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，
临清实验高中高二年级数学学科新授课导学案 编写人：国辉 ， 审核人：周静， 使用日期：12,27 编号：046 3.2.1 空间向量与平行关系 一、学习目标 1.理解直线的方向向量和平面的法向量， 2.能用向量语言表述和证明空间平行问题。 二、自主学习，合作探究 (一）知识导学 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量，一条直线的方向向量有 个. 2．平面的法向量 直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的 . 3．空间中平行关系的向量表示 1）线线平行 设直线l 、m 的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==则l ∥m ? ? ＝ . 2）线面平行 设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =，平面α的法向量为222(,,)u a b c =，则l ∥α? ? ＝0? . 3）面面平行 设平面α、β的法向量分别为111(,,)u a b c =，222(,,)v a b c =，则α∥β? ? ? . 4）平面法向量的求法 ①当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量. ②当已知平面α内两不共线向量123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==时，常用待定系数法求法向量： 设法向量(,,)n x y z =，由0 a n b n ??=???=??，得12312300a x a y a z b x b y b z ++=??++=?， 在上述方程中，对x 、y 、z 中的任一个赋值，求出另两个，所得n 即为平面的法向量. ★ 特别提醒 平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证(0,0,0).n ≠ （二）例题解析 题型一：利用方向向量和法向量判定线面位置关系 例1、（1）设a ，b 分别是1l ，2l 的方向向量，判断1l ，2l 的位置关系 ①(2,3,1)a =-，(6,9,3)b =-- ②(5,0,2)a =，(0,4,0)b = （2）设,μυ分别是平面,αβ的法向量，判断,αβ的位置关系。 ①(1,1,2)μ=-，1(3,2,)2 υ=- ②(0,3,0)μ=，(0,5,0)υ=- （3）设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，判断直线l 与α的位置关系。 ①(2,2,1)μ=-，(3,4,2)a =- ②(0,2,3)μ=-，(0,8,12)a =- （变式训练）根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系。 （1）直线1l ，2l 的方向向量分别是(1,3,1)a =--，(8,2,2)b = （2）平面,αβ的法向量分别是(1,3,0)μ=，(3,9,0)υ=-- （3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是(1,4,3)a =--，(2,0,3)μ=
高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应
(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系 双基达标 限时20分钟 1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( )． A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1) 答案 A 2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )． A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 答案 D 3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置 关 系 是 ( )． A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．无法判断 解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β. 答案 A 4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________． 解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 答案 12 5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则 k ＝______． 解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2 k ，解得k ＝4.
答案 4 6．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0， 0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4， 2)，E (3，4，0) ∵AP ＝2PA 1， ∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝2 3(0，0，2)＝(0，0，43)， ∴P 点坐标为(3，0，4 3 )． 同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，2 3)． ∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS → ， 又∵R ?PQ ，∴PQ ∥RS . 综合提高（限时25分钟） 7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面 ( )． A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交 解析 因为AB → ＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 答案 C 8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在 平 面 α 内 的 是 ( )． A ．(1，－1，1) B ．(1，3，3 2) C ．(1，－3，32) D ．(－1，3，－3 2 ) 解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA → 与平面α的法向量n 是否垂直，即 PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA → ·n
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
《空间向量与立体几何》习题 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ， 11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 A .－ 21a +21b +c B .21a +21b +c C .2 1a － 21b +c D .－21a －2 1 b + c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OC OB OA OM --=23 B.OC OB OA OM 51 3121++= C.0=+++OC OB OA OM D.0=++MC MB MA 3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ?等于 A.41 B.4 1 - C.43 D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1 5.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A. 213 B.253 C.453 D.4 53 6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A .9π B .10π C .11π D .12π 8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BD C .AC 1⊥平面CB 1 D 1 D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A . 6 B .552 C .15 D .10 10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为 A.5 B.41 C.4 D.52 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥， 1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面P AD 的距离为 . 三、解答题（共80分） 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2
专题09 解密空间向量的运算技巧 一、选择题 1．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知，，，若 且，则点的坐标为（） A. B. 或C. D. 或 【答案】B 2．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知空间上的两点，， 以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴ 设正方体的棱长为，由题意可得，解得 ∴正方体的体积为，故选D 3．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（）
A . B . C . D . 【答案】C 【解析】∵向量，， ∴，又 ∴ ∴点的坐标为 故选：C 4．【贵州省兴义市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知四棱锥P ABCD -中， ()4,2,3AB =-， ()4,1,0AD =-， ()6,2,8AP =--，则点P 到底面ABCD 的距离为（ ） A . 26 B 26 C . 1 D . 2 【答案】D 5．【北京市第四中学（房山分校）2016-2017学年高二上学期期中】若(),1,3a x =-， ()2,,6b y =，且a b ，则（ ）． A . 1x =， 2y =- B . 1x =， 2y = C . 1 2 x = ， 2y =- D . 1x =-， 2y =- 【答案】A 【解析】∵(),1,3a x =-， ()2,,6b y =， a b ， ∴存在实数λ，使得a b λ=， 可得2{1 36x y λ λλ =-==，
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．