内蒙古包头市2016年初中升学考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】C
【解析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可． ∵23a +（）的值与4互为相反数， ∴2340a ++=（）
∴5a =﹣
故选C
【考点】解一元一次方程，相反数． 2．【答案】B
【解析】A 、2+不是同类二次根式，所以不能合并，所以A 错误；
B ，所以B 正确；
C 、2366286a a a =-≠-（-），所以C 错误；
D 、2221211a a a a +=++≠+（），所以D 错误.
故选B
【提示】依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算． 【考点】二次根式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式． 3．【答案】A
【解析】解：去分母，得：3216x x --≤（） ， 去括号，得：3226x x -+≤ ， 移项、合并，得：x ≤4， 故选：A ．
【提示】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得． 【考点】解一元一次不等式． 4．【答案】B
【解析】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，6， 故中位数为：4424+÷=（）
平均数为：23445664+++++÷=（）． 故选：B ．
【提示】根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可． 【考点】中位数，平均数． 5．【答案】C
【解析】解：根据弧长的公式n r 1=180
π ， 得到：120n r
6=
180
ππ， 解得 9r =． 故选C ．
【提示】根据弧长的计算公式n r
1=180
π，将n 及l 的值代入即可得出半径r 的值． 【考点】弧长的计算． 6．【答案】D
【解析】解：由题意可得，所有的可能性为：
∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：
4182
=，故选D ． 【提示】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率．
【考点】列表法或树状图法求概率． 7．【答案】C
【解析】解：由根与系数的关系可得：
121x x m +=-+（），121
?2
x x =
， 又知个实数根的倒数恰是它本身， 则该实根为1或1﹣，
若是1时，即()211x m +=-+，而21
2
x =
，解得52m =-；若是1﹣时，则12m =．故选：C ．
【提示】由根与系数的关系可得：121x x m +=-+（），121
?2
x x =
，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或1﹣，然后把
1±分别代入两根之和的形式中就可以求出m 的值． 【考点】一元二次方程的解． 8．【答案】B
【解析】解：原式()()2222a b a b a b ab ab a b a b b a
+??=-+--故选B. 【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【考点】分式的混合运算． 9．【答案】A
【解析】解：∵点O 到△ABC 三边的距离相等， ∴BO ABC CO ACB ∠∠平分，平分，
∴()()180180218012060A ABC ACB OBC OCB ∠=?-∠+∠=?-∠+∠=?-?=?，
∴tan tan 60A =?=， 故选A ．
【提示】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ，再由特殊角的三角函数的定义求得结论．
【考点】角平分线的性质，特殊角的三角函数值． 10．【答案】D
【解析】解：当01a b ==-， 时，22a b <，所以命题22a b a b >>；，则为假命题，其逆命题为若
22a b a b >>；，则，此逆命题也是假命题，如21a b =-=-，；
若1a >，则0
11a -=（），此命题为真命题，它的逆命题为：若
0111a a -=>（），则，此逆命题为假命题，因为011a -=（），则1a ≠；
两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；
四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题． 故选D ．
【提示】交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质判断各命题的真假． 【考点】命题与定理．
11．【答案】C
【解析】解：作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC +PD 值最小，如图所示．
令2
43
y x =
+中0x =，则4y = ∴点B 的坐标为04（，）； 令243y x =
+中y=0，则2
043
x =+，解得：6x =﹣， ∴点A 的坐标为60（﹣，）
． ∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，
∴()()320,2C D 点-，
，点． ∵点D′和点D 关于x 轴对称， ∴点D′的坐标为()0,2-． 设直线CD′的解析式为y kx b =+， ∵直线CD 过点C (-3,2)，D′(0，-2)，
∴有232k b b =-+??=-?，解得432
k b ?=-
??
?=-? ∴直线CD′的解析式为4
23
y x =-- 令y =0，则4023x =--，解得32
x =-
∴点P 的坐标为3,02??
- ???
故选C ．
【提示】根据一次函数解析式求出点A 、B 的坐标，再由中点坐标公式求出点C 、D 的坐标，根据对称的性质找出点D ′的坐标，结合点C 、D ′的坐标求出直线CD ′的解析式，令y=0即可求出x 的值，从而得出点P 的坐标．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，最短路线问题． 12．【答案】B
【解析】解：过点D 作DH ⊥BC ，
121AD BC CH ==∴=，，
，
==，
90909090AD BC ABC A DE CE AED BEC AED ADE ADE BEC ADE BEC ∠=?∴∠=?⊥∴∠+∠=?∠+∠=?∴∠=∠∴，，，，
，，，∽，
∴
AD AE DE
BE BC CE
==
设BE x =
，则AE x =
即
1x =
解得x =
∴
AD DE BE CE ==，
∴CE
故选B ．
【提示】过点D 作DH ⊥BC ，利用勾股定理可得AB 的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE ∽△BEC ，设BE =x ，由相似三角形的性质可解得x ，易得CE ，DE 的关系． 【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质．
第Ⅱ卷
二、填空题
13．【答案】1.102×
106 【解析】解：将1102000用科学记数法表示为1.102×
106，故答案为：1.102×106． 【提示】科学记数法的表示形式为a ×
10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 14．【答案】3 【解析】
21023154652235213x y x y x y x y --=∴-=∴-+=--=?=，，
（）-．
【提示】首先利用已知得出231x y -=，再将原式变形进而求出答案． 【考点】代数式求值． 15．【答案】-4
【解析】解：原式()
631=-+
4=-4=-． 故答案为：-4．
【提示】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案． 【考点】二次根式的混合运算． 16．【答案】2.5
【解析】解：平均数为1245
34
x +++=
= ()()()()22222
13234351110324.45S ?-+-+-+-=?∴=?=?
?.
【提示】先求出这4个数的平均数，然后利用方差公式求解即可． 【考点】平均数，方差． 17．【答案】22.5
【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，
229045AC BD OA OC OB OD OA OB OC OAC ODA OAB OBA AOE OAC OCA OAC EAC CAD EAO AOE AE BD AEO AOE ∴===∴==∴∠=∠∠=∠∴∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠⊥∴∠=?∴∠=?，，，，
，，，，，，，，
OAB OBA ∴∠=∠=
18045
67.52
-= ， 22.5BAE OAB OAE ∴∠=∠-∠=?． 故答案为22.5°．
【提示】首先证明△AEO 是等腰直角三角形，求出∠OAB ，∠OAE 即可． 【考点】矩形的性质． 18．
【解析】解：
30306090303OA OC A OCA A COB A ACO PC O PCO P PC =∠=?∴∠=∠=?∴∠=∠+∠=?∴∠=?∠=?=，，
，
，
是切线，
，，，
∴OC =PC
2PC OC ==，
∴PB PO OB ==﹣
【提示】在Rt △POC 中，根据303P PC ∠=?=，，求出OC 、OP 即可解决问题． 【考点】切线的性质． 19．
【答案】-【解析】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图所示．
∵30AOB AD OD ∠=?⊥， ，
AD tan AOB OD ∴=∠= ∴设点A
的坐标为3a （-）．
1
?22
ABO S OB AD OB a
==∴=．
290,Rt ADB ADB AD AB OB a ?∠=?==在中，，，
2222
243,BD AB AD a BD a ∴==
-﹣3OD OB BD a =+=
，即23a a =+
解得：1a =或1a =-（舍去）． ∴点A
的坐标为(-，
3k ∴=--
故答案为：-
【提示】过点A 作AD ⊥x 轴于点D
，由30AD AOB OD ∠=?=
可得出
，由此可是点A 的坐标为3a a （-，），
根据ABO
S
=a 表示出线段OB 的长，
再由勾股定理可用含a 的代数式表示出线段BD 的长，由此即可得出关于a 的无理方程，解方程即可得出结论． 【考点】反比例函数系数k 的几何意义． 20．【答案】①②③④
【解析】解：①正确．∵△ABC 是等边三角形， 60AB AC BC BAC ACB DE DC ∴==∠=∠=?=，，
，
∴△DEC 是等边三角形，
60ED EC DC DEC AEF EF AE ∴==∠=∠=?=，，
，
∴△AEF 是等边三角形， 60AF AE EAF ∴=∠=?，， 在△ABE 和△ACF 中，
AB AC BAE CAF AE AF =??
∠=∠??=?
∴ABE ACF ??≌，故①正确． ②正确．
60ABC FDC AB DF EAF ACB AB AF ∠=∠∴∠=∠=?∴，
，
，，
∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴DF AB BC ==，故②正确． ③正确．
ABE AFC ABE ACF BE CF S S ????∴==≌，
，，
在△BCE 和△FDC 中，
BC DF CE CD BE CF =??
=??=?
ABC
ABE
BCE
ACF
BCE
ABC
ACF
DCF
BCE FDC BCE FDC S
S
S
S
S
S
S
S
S S ∴∴=+=+==+∴=≌，
，，
故③正确．
④正确．∵△BCE ≌△FDC ，
DBE EFG BED FEG BDE FGE ∴∠=∠∠=∠∴??，，
∽，
222BD DC DC DE FG EG
FG E BD DE FG EG FG BD EG D G E
==∴=∴
∴∴===，，． 故④正确．
【提示】①正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断． ②正确．只要证明四边形ABDF 是平行四边形即可． ③正确．只要证明BCE FDC ??≌．
④正确．只要证明BDE FGE ??∽，由此即可证明． 【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． 三、解答题 21．【答案】（1）2 （2）
5
9
【解析】解：（1）设袋子中白球有x 个，
根据题意得：
213
x x =+， 解得：2x =，
经检验，2x =是原分式方程的解， ∴袋子中白球有2个； （2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况， ∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：
59
． 【提示】（1）首先设袋子中白球有x 个，利用概率公式求即可得方程：
2
13
x x =+，解此方程即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【考点】列表法与树状图法，概率公式． 22．【答案】（1
）8BC = （2）
14
3
【解析】解：（1）60906BE
A ABE A
B tanA AB
∠=?∠=?==
，，，
3060?6E BE tan ∴∠=?=?=，
又904CD
CDE CD sinE CE
∠=?==
，，，30E ∠=?， 4812
CE ∴=
=，
8BC BE CE ∴==﹣；
（2）906ABE AB ∠=?=，，
45BE
sinA AE
==， ∴设4BE x =，则5AE x =，得3AB x =，
36x ∴=，得2x =，
810BE AE ∴==，，
64
tan 8AB CD E BE DE DE ∴=
===， 解得，16
3
DE =，
1614
1033
AD AE DE ∴===--，
即AD 的长是14
3．
【提示】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE CE 和的长，本题得以解决； （2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE DE 、的长，本题得以解决． 【考点】解直角三角形．
23．【答案】（1）2354y x x =+﹣
； （2）横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm 【解析】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为3
2
x cm ， ∴23320212235422
y x x
x x x x =?+??=+﹣﹣， 即y 与x 之间的函数关系式为2354y x x =+﹣
； （2）根据题意，得：22
35420125
x x +=??﹣
， 整理，得2:18320x x +=﹣， 解得：12216x x ==，（舍），
3
32
x ∴=， 答：横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．
【提示】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为
3
2
x cm ，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式； （2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的
2
5
，可列出关于x 的一元二次方程，整理后求解可得． 【考点】一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式． 24．【答案】（1）证明：连接BD ，
9045Rt ABC ABC AB BC A C ∠=?=∴∠=∠=?中，，，
，
∵AB 为圆O 的直径，
9045909090ADB BD AC AD DC BD AC CBD C A FBD DF DG FDG FDB BDG EDA BDG EDA FDB ∴∠=?⊥∴===∠=∠=?∴∠=∠⊥∴∠=?∴∠+∠=?∠+∠=?∴∠=∠，即，
，，，，，
，，，
在△AED 和△BFD 中，
A FBD AD BD
EDA FDB ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△AED ≌△BFD （ASA ）， ∴AE=BF ；
（2）证明：连接EF ，BG ，
904545AED BFD DE DF EDF EDF DEF G A G DEF GB EF ∴=∠=?∴∴∠=?∠=∠=?∴∠=∠∴≌，，，
是等腰直角三角形，
，，，；
（3）解：
1AE BF AE ==，，1BF ∴=.
在Rt EBF 中，90EBF ∠=?，
∴根据勾股定理得：222EF EB BF =+， 21EB BF ==，，
EF ∴==
DEF 为等腰直角三角形，90EDF ∠=?， DE
cos DEF EF
∴∠=，
5EF =
DE ∴=
，
G A GEB AED GEB AED ∠=∠∠=∠∴，，
∽，
GE EB
AE ED
∴
=，即GE ED AE EB =
2GE =，即GE =
，
则GD GE ED =+=
【提示】（1）连接BD ，由三角形ABC 为等腰直角三角形，求出A ∠与C ∠的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB 为直角，即BD 垂直于AC ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到1
2
AD DC BD AC ===
，进而确定出A FBD ∠=∠，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形AED 与三角形BFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF ，BG ，由三角形AED 与三角形BFD 全等，得到ED FD =，进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（3）由全等三角形对应边相等得到1AE BF ==，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理求出EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出DE 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似，由相似得比例，求出GE 的长，由GE ED +求出GD 的长即可． 【考点】圆的综合题． 25．【答案】（1）
5
2
（2）①四边形AEMF 是菱形
②EF （3）
32
【解析】解：（1）如图①，
∵△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，
34AEF DEF ECBF EDF ABC AEF EF AB AEF DEF S S S S S S ∴⊥∴=∴=四边形，≌，≌，
，，
在Rt △ABC 中，9043ACB AC BC ∠=?==，，，
5AB ∴==，
EAF BAC Rt AEF Rt ABC ∠=∠∴，
∽，
2
AEF ABC S AE S AB ????∴= ???，即2
154AE ??= ???
， 52
AE ∴=；
（2）①四边形AEMF 为菱形．理由如下：
如图②，∵△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，
AE EM AF MF AFE MFE MF AC AEF MFE AEF AFE AE AF AE EM MF AF ∴==∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=∴===，，，，
，
，，
，
∴四边形AEMF 为菱形；
②连结AM 交EF 于点O ，如图②，
设AE x =，则4
EM x CE x ==，﹣ ， ∵四边形AEMF 为菱形， ∴EM ∥AB ， ∴△CME ∽△CBA ，
CM CE EM CB CA AB ∴
==，即4=345CM x x -=，解得209x =，4
3
CM =， 在Rt △ACM
中，AM ==，
1
??2
AEMF S EF AM AE CM ==菱形，
420
2
EF
?
∴=；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN:NH=CE:FH，即
4
1::
7
NH FH
=，
∴FH:NH=4:7，
设47
FH x NH x
==
，，则7137147
CH x BH x x
===
-，-（-）-，FH AC
BFH BAC
∴
，
∽，
::4734:4
BH BC FH AC x x
∴==
，即（﹣）:，解得
2
5
x=，
∴
5
4
8
FH x
==，
6
47
5
BH x
=-=，
在Rt△BFH
中BF=
，，
523
AF AB BF
∴===
﹣﹣，
3
2
AF
BF
∴=．
【提示】（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AE F ≌△DE F ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，
再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到2
AEF ABC S AE S AB ????= ???
，再利用勾股定理求出AB 即
可得到AE 的长；
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形；
②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE x =，则4
EM x CE x ==，﹣，先证明CME CBA ∽得到4=345CM x x -=，解出x 后计算出4
3
CM =，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ；
（3）如图③，作FH BC ⊥于H ，先证明NCE NFH ∽，利用相似比得到4
7FH NH =::，设4FH x =，77137147NH x CH x BH x x ==-=--=-，则，（），再证明BFH BAC ∽，利用相似比可计算出2
5
x =
，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出AB
BF
的值． 【考点】三角形综合题． 26．【答案】（1）()2
24233
y x =-
-+ （2）5
=6FHB
S
（3
）4
3
t
（4）存在，3122P ??
???
，
【解析】解：（1）∵抛物线2
2y ax bx =+﹣（a ≠0）与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，
20
9320a b a b +-=?∴?+-=?
2383a b ?=-??∴??=??
，
∴抛物线解析式为()22
2823324233
y x x x -=-=-+-+； （2）如图1，
过点A 作AH y ∥轴交BC 于H ，BE 于G ， 由（1）有，C （0，-2）， ∵B （0，3）， ∴直线BC 解析式为2
23
y x =
-， ∵H （1，y ）在直线BC 上，
4
3y ∴=-，
41,3H ?
?∴- ??
?，
∵B （3，0），E （0，﹣1）， ∴直线BE 解析式为1
13
y x =--，
213G ?
?∴- ??
?，，
23
GH ∴=
， ∵直线113
BE y x =--：与抛物线22823
3
y x x =-+-相较于F B ，，
1
5,2
6F ??∴- ???，
111222
FHB G F F B G B S
GH x x GH x x GH x x ∴=?+?=--- 121
3232=??-（）
56
=．
（3）如图2，
由（1）有228233
y x x =-+-， ∵D 为抛物线的顶点，
223D ??∴ ???
，，
∵一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度平行于y 轴方向向上运动， ∴设M （2，m ），（2
3
m >
）， 222222222241990419OM m BM m AB OMB OM BM AB m m ∴=+=+=∠=?∴+=∴+++=，，，，
，，
m ∴=
m =，
0M ∴（， 3
4
MD ∴=-，
∵一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y 轴方向向上运动，
43
t ∴=； （4）存在点P ，使PBF ∠被BA 平分，如图3，
01PBO EBO E ∴∠=∠，
（，﹣）,
∴在y 轴上取一点()0,1N ， ∵()3,0B ,
∴直线BN 的解析式为1
13y x =-+①，
∵点P 在抛物线228
233y x x =-+-②上，
联立①②得，32
12x y ?=????=
??
或30x y =??=?（舍），
即：在x 轴上方的抛物线上，存在点P ，使得∠PBF 被BA 平分，P 32
12x y ?
=????=??
．
【提示】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出GH ，点F 的坐标，用三角形的面积公式计算即可；
（3）设出点M ，用勾股定理求出点M 的坐标，从而求出MD ，最后求出时间t ；
（4）由∠PBF 被BA 平分，确定出过点B 的直线BN 的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可． 【考点】二次函数综合题．