顺义区2015届高三第一次统一练习
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合2{|320}A x x x =-+=，{21}B =--，，1，2，则A
B =
.{21}A --， .{1}B -，2 .{1}C ，2 .{2}D -，-1，1，2
2.在复平面内，复数2(12)i +对应的点位于
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
3. 2
π?=“”是“曲线sin()y x ?=+关于y 轴对称”的
.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 4.当5n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 .2A .4B .7C .11D
5.若441x y
+=，则x y +的取值范围是
.[0,1]A .[1,0]B -
.[1,)C -+∞ .(,1]D -∞-
6.若双曲线22221x y a b -=的离心率为5
2
，则其渐近线方
程为
.2A y x =± .4B y x =± 1.2C y x =± 1
.4
D x ±
7.若,x y 满足4
2400
kx y y x x y +≤??-≤?
?≥??≥?，
且5z y x =-的最小值为8-，则k 的值为 1.2
A - 1
.2B .2C - .2D
8.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，
2()log (1)f x x =+，给出下列命题
① (2014)(2015)0f f +-=； ②函数()f x 在定义域上是周期为2的函数； ③直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点；④函数()f x 的值域为(1,1)-. 其中正确的是
.A ①，② .B ②，③ .C ①，④ .D ①，②，③，④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9.已知圆的极坐标方程为6sin ρθ=，圆心为M ，点N 的极坐标为(6,)6
π
，
则||MN =
10．设向量(3,1),(2,2)a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=
11.已知无穷数列{}n a 满足：1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为 12. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB //DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .
若5,6AB AD BC AE ====，则BE =
DC =
13. 如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其
余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 __________种（用数字作答）.
14.已知函数()3sin cos (0),.f x x x x R ωωω=
+>∈又12()2,()0f x f x =-=且12||x x -的最小
值等于π.则ω的值为
三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）
在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知6
32,sin 3
b B ==, 2B A π-=.
(I)求a 的值;
(II)求cos C 的值.
16.（本小题满分13分）
某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（I ）设X 表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求X 的分布列；
（II ）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率.
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，
1
2,1, 3.2
PA PD BC AD CD ===
==
（I ）求证：PQ AB ⊥；
（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （III ）求二面角P QB M --的余弦值.
18.（本小题满分13分）
已知函数22
()ln f x a x ax x =+-.
（I ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；
（II ）设22()()g x a x f x =-，且函数()g x 在点1x =处的切线为l ，直线l '//l ，且l '在
y 轴上的截距为1.求证：无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方.
19.（本小题满分14分） 已知椭圆223412.C x y +=： （I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形
ABMN 的面积的最大值.
20.（本小题满分13分）
已知二次函数()y f x =的图象的顶点坐标为1(1,)3
--，且过坐标原点O .数列{}n a 的前n 项和为
n S ，点(,)()n n S n N *∈在二次函数()y f x =的图象上.
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2n T tn ≥对n N *
∈恒成立，求实数t 的取值范围；
（III ）在数列{}n a 中是否存在这样一些项：123,,,
,,
k n n n n a a a a 123(1n n n =<<
,)k n k N *<
<<
∈，这些项都能够构成以1a 为首项，(05,)q q q N *<<∈为公比的等比数列
{},k n a k N *∈？若存在，写出k n 关于k 的表达式；若不存在，说明理由.
顺义区2015届高三第一次统练
数学试卷答案（理科）
一、CBAD DCBC 二、
9. 33 10. 2± 11. -30 12.360 13.4，254
14. 12
三、 15.解
解:(I)在ABC ?中,因为2
B A π
-=
,
所以2
B A π
=+
,即
2
B π
π<<, …….............................................................2分
所以sin sin sin cos 22A B B B ππ?
?
??=-
=--=- ? ??
???
..........................................4分 ()
2
263
1sin 133B ??=---=-= ? ???
...........................................5分 由正弦定理,
sin sin a b A B =得3
32sin 33sin 6
3
b A
a B
?
===. ...........................7分
(II)因为2
B A π
-=
,即2
B A π
=+
,
所以B 为钝角,A 为锐角. 由(I)可知,3sin 3
A =
, 所以2
2
36cos 1sin 133A A ??=-=-= ? ???. ...........................................9分 又63
sin ,cos 33
B B =
=-, ...........................................10分 所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+???? ...........................................11分
(12)
分
cos cos sin sin 6336333322
.3
A B A B =-+??=-?-+? ? ???=
...........................................13分
16.解（I ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为 6元/kg ”，
由题意知()0.3,()0.6.P A P B == ...........................................1分 因为利润=产量?市场价格-成本 所以X 的所有可能的取值为
30068001000,300108002200,50068002200,500108004200.(1000)()()0.50.60.3
(2200)()()()()0.50.40.50.6
0.5
(4200)()()0.50.40.2
P X P A P B P X P A P B P A P B P X P A P B ?-=?-=?-=?-====?===?+?=?+?===?=?=
...........................................6分
所以X 的分布列为
...........................................7分 （II ）
这3年中第二年的利润少于第一年的概率为
(2200)(1000)(4200)(1000)(4200)(2200)0.31.
P X P X P X P X P X P X =?=+=?=+=?== ...........................................13分
17.
（I ）证明：在PAD ?中，,PA PD Q =为AD 中点.
所以PQ AD ⊥ ...........................................1分 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD
底面ABCD AD =
所以PQ ⊥底面ABCD ...........................................3分
又AB ?平面ABCD
所以PQ AB ⊥. ...........................................4分 （II ）解：在直角梯形ABCD 中，AD //1
,,2
BC BC AD Q =为AD 中点 所以
所以四边形BCDQ 为平行四边形
因为AD DC ⊥ 所以AD QB ⊥
由（I ）可知PQ ⊥平面ABCD
所以，以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系，.Q xyz -如图.
则(0,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,3,0),Q A P C -
(1,0,0),(0,3,0).D B -
所以(0,3,3),(0,3,0),(1,0,3)PB CD PD =-=-=--u u r u u u r u u u r
...........................................6分
设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =则
0,0n CD n PD ??=??
?=??即30,30
y x z ?-=??--=??亦即0
3y x z =???=-?? 令1z =，得3,0.x y =-=所以(3,0,1)n =- ...........................................8分 设直线PB 与平面PCD 所成角为α，则
2sin |cos ,|.4||||
n PB n PB n PB α?=<>=
=
所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为
2
.4
...........................................10分 （III ）解：如（II ）中建立空间直角坐标系 因为,AQ PQ AQ BQ ⊥⊥ 所以AQ ⊥平面PQB
即QA 为平面PQB 的法向量，且(1,0,0).QA = ...........................................11分
因为M 是棱PC 的中点 所以点M 的坐标为133(,,)222
- 又(0,3,0)QB =
设平面MQB 的法向量为(,,).m x y z =
则00
m QB m QM ??=???=?? 即30133
0222
y x y z ?=??-+
+=?? 令1,z =得3,0x y ==
所以(3,0,1)m = ........................... ...........................................13分 所以3
cos ,2
||||OA m QA m OA m ?<>=
=
由题知，二面角P QB M --为锐角
所以二面角P QB M --的余弦值为3
2
................ ...........................................14分 18.
（I ）解：22
()ln f x a x ax x =+-
222
121
()2(1)(21)(0)
a x ax f x a x a x x ax ax x x
+-'=+-=
+-=>
............... ...........................................2分
()f x 与()f x '的变化情
所以，0a >时，况如下：
因此，函数()f x 的单调递增区间为1
(,)2a +∞； 单调递减区间位1
(0,).2a
............... ...........................................6分
（II ）证明：22()()ln g x a x f x x ax =-=-
1
()g x a x
'=
- 所以(1)1g a '=- 所以l 的斜率为1l k a =-
............... ...........................................7分
因为l '//l ，且l '在y 轴上的截距为1
所以直线l '的方程为(1)1y a x =-+ ............... ...........................................8分 令()()[(1)1]ln 1
(0)h x g x a x x x x =--+=-->
则无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方，等价于()0h x <
(,0)a R x ?∈?> ............... ...........................................9分
而11()1x h x x x -'=
-=
............... ...........................................10分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '< 所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减
从而当1x =时，()h x 取得最大值(1)2h =-
即在(0,)+∞上，()h x 取得最大值(1)2h =- ............... ...........................................12分 所以()20(,0)h x a R x ≤-
因此，无论a 取任何实数，函数()g x 的图象恒在直线l '的下方. ......................................13分
19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为22
1.43
x y += 所以224,3,a b ==从而222
1.c a b =-=
因此，2, 1.a c ==
故椭圆C 的离心率1.2c e a =
=
..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3
(1,).2
-
设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3
(1).2
y k x =-++........................................5分
由223(1)23412y k x x y ?
=++???+=?
得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.
所以此方程的另一解22
4123
43
A k k x k +-=-+ 同理224123
43B k k x k --=-+
............... ...........................................7分
故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A
AB B A
B A
k x k x y y k x x x x -++
-+--=
=
-- 22286(2)
143.24243
k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分
设直线AB 的方程为1
.2
y x m =-
+ 由2212
3412y x m x y ?=-+???+=?
得2230x mx m -+-= 所以2
222115
||1()
4(3)42
2
AB m m m =+---=
- 又原点O 到直线AB 的距离为2||
.5
m d =
所以OAB ?的面积2221152||34(4)2225
OAB m S m m m ?=
?-?=- 223(4)
3.22
m m +-≤?= 当且仅当22
4m m =-，即22,2m m ==±时.
OAB ?的面积达到最大.且最大值为3 . ............... ...........................................13分
由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形, 所以，四边形ABMN 的面积443OAB S S ?=≤ ,
故四边形ABMN 面积的最大值为43 . ............... ...........................................14分
20.解（I ）由题意可知211()(1).33
f x x =+- 所以221112(1)().3333n S n n n n N *
=+-=+∈
............... ...........................................1分
当2n ≥时，22
1121221[(1)(1)].33333
n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-=
当1n =时111a S ==适合上式 所以，数列{}n a 的通项公式为21
()3
n n a n N *+=
∈................ ...........................................4分 （II ）因为1cos(1),()n n n b a a n n N π*+=+∈ 所以12n n T b b b =++
+
1
122334451
(1)n
n n
a a a a a a a a a a
-
+
=-+-++-
由（I）可知，数列{}
n
a是以1为首项，公差为
2
3
的等差数列.
①当2,
n m m N*
=∈时，
21
212233445221
(1)m
n m m m
T T a a a a a a a a a a
-
+
==-+-++-
21343522121
22
242
22
()()()
44
()
332
11
(812)(26).
99
m m m
m
m
a a a a a a a a a
a a
a a a m
m m n n
-+
=-+-++-
+
=-+++=-??
=-+=-+
②当21,
n m m N*
=-∈时，
21
212221
(1)m
n m m m m
T T T a a
-
-+
==--
22
22
11
(812)(16163)
99
11
(843)(267).
99
m m m m
m m n n
=-++++
=++=++
所以
2
2
1
(26),
9
1
(267),
9
n
n n n
T
n n n
?
-+
??
=?
?++
??
............... ...........................................7分
要使2
n
T tn
≥对n N*
∈恒成立，
只要使22
1
(26)(
9
n n tn n
-+≥为正偶数）恒成立.
即使
16
(2)
9
t
n
-+≥对n为正偶数恒成立，
故实数t的取值范围是
5
(,].
9
-∞-............... ...........................................9分
（III）由
21
3
n
n
a
+
=知，数列{}
n
a中每一项都不可能是偶数.
①如存在以
1
a为首项，公比q为2或4的数列{},
k
n
a k N*
∈，此时{}
k
n
a中每一项除第一项外都是
偶数，故不存在以
1
a为首项，公比为偶数的数列{}
k
n
a.
②当1
q=时，显然不存在这样的数列{}
k
n
a.
当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{},k
n a k N *
∈，则11,n a =
1
121311,3
,.32
k k k k n k n n a n -+-====
所以存在满足条件的数列{}k n a ，且31
().2
k k n k N *-=∈ ............... ...........................................13分
银川一中2015届高三年级第二次月考 文科综合试卷 第Ⅰ卷(选择题，140分) 本卷共35个小题，每小题4分，共140分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 图1示意某小区域地形。图中等高距为100米，瀑布的落差为72米。据此完成1～2题。 图1 1．桥梁附近的河面水位海拔可能为 A ．160米 B ．210米 C ．260米 D ．310米 2．图示区域的最大高差最接近 A ．310米 B ．360米 C ．410米 D ．560米 图2为某省三项常住人口统计及 预测数据，其中抚养比是指总体人口 中非劳动年龄人口与劳动年龄人口数 之比。读图完成3-5题。 图2 3. 2020年该省的老年人口数约为 A ．750百万 B ．800百万 C ．850百万 D ．900百万 4．2013～2020年 A ．人口总抚养比增长先慢后快 B ．劳动年龄人口比重先升后降 C ．总人口最大峰值在2016年 D ．人口总扶养比先降后升 5．如果该省2014年后实施“单独二胎”政策，则之后十年内，该省 A ．劳动年龄人口的抚养压力减轻 B ．应积极推进养老产业发展 C ．总人口规模提前达到峰值 D ．“用工荒”问题会得到部分缓解 2014年2月8日，我国在南极建立了第四个 科考站泰山站（76°58′ E ，73°51′S ）。泰山 站的房屋采用圆环形外表、碟形结构和高架设计。 图3是泰山站主楼照片。完成6～8题。 6．泰山站主楼建筑的设计，主要考虑的因素有 ①环形结构视野开阔，便于科学观测 图3 ②碟形结构可减少风阻，防飓风侵袭 ③高架设计可有效预防融雪洪水 ④高架设计利于大风通过，吹走建筑附近积雪，避免飞雪堆积甚至掩埋 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 7．该日，泰山站与我国北京相比 A ．北京的正午太阳高度较高 B ．北京的白昼较长 C ．两地正午物影方向相同 D ．两地日出方位角相同 图4是某城市1990年和2010年人口密度空间分布图。读图回答8—9题