课题:不等关系——比较大小
教材:北师大版普通高中课程标准实验教科书(必修5)
授课教师:新余市第四中学黄良友
教学目标:
1.知识目标:①掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法
②理解不等关系的传递性
③能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小
2.能力目标:通过对具体问题的分析,培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力,提高学生解决实际问题的能力;
3.情感目标:通过设立问题情境,激发学生的学习动机和好奇心理,使其主动参与双边交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度,培养学生热爱家乡的优良品质.
教学重、难点:
教学重点:比较实数大小的方法.
教学难点:1.比较实数大小方法中的代数变形;
2.比较实数大小方法的实际应用
教学方法:启导法、感性体验法、合作讨论法
教学用具:多媒体、印好的习题纸
教学过程:
(一)创设情境
(幻灯片给出几张庐山的优美图片,激发学生的兴趣)
引入:庐山以自然景观为载体,以人文景观为内涵。它那伟岸的山体、飞流湍泻的瀑泉、扑朔迷离的云雾、钟灵毓秀的山城,以及宗教理趣的光华、千年书院的风采、冰川遗迹的神韵、西式别墅的音符……无一不是中华民族乃至整个人类文明的古今融合、精神凝聚、文化升华。它兼有大江的气魄、大湖的胸襟、雄山的
刚毅、秀山的温柔和灵山的潇洒,被联合国教科文组织评为“世界文化景观”。国庆放假期间,邀上几个朋友一起去了趟庐山,恰好碰到景区推出一套门票优惠方案,具体如下:
庐山旺季门票原价为180元,现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案)
优惠方案A:买全票一张,则其余票可享受八折优惠;
优惠方案B:按团体购票,一概优惠30元.
为了使门票花费最少,请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案?
学生肯定会问有多少人,教师告诉他们在5-7人,由学生先对多种情况进行讨论。
合作交流:同桌讨论合作完成下列表格(作业纸)
(学生思考演算并请学生回答结果)
由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题,这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小(板书课题同时幻灯片出示课题)
继续就上述情境提问:对于人数确定的情况,两个具体的实数我们很容易比较大小,如果人数不确定呢,又该如何比较大小?
若设人数为n,记采用方案A的费用为)
g,
(n
f,采用方案B的费用为)
(n
则
n
g150
)
(=
f,n
n
144
)
(+
=n
36
接着我们要比较就是这两个代数式子的大小,我们该怎么办呢?(学生思考)对于这两个式子来说,它们有以下的三种大小关系:
n
>n
?
-
g
f
f
n
g
n
>
n
(
)
?
)
6
(<
)
(
(
)
n
-
g
?
=n
g
=
f
n
n
n
f
(
)
?
)
6
(=
)
(
(
)
g
?
n
n g - f n n f ( ( ) 6 < ) ? ( (> ) ) 所以当6 2< 当 6=n 时,选择两种方案都一样; 当 6>n 时,选择方案A. 这样我们的问题就解决了。 归纳小结: 任意两个实数a ,b 都能比较大小: 如果a -b>0,则a>b; 如果a -b<0,则a 如果a -b=0,则a=b. 要求学生明确要确定两个实数的大小,只需确定他们的差a -b 与0的大小关系。 以上就是比较两个数(或式)的大小的方法——差值比较法.其实差值比较法我们很早就已经用过了,请同学们回忆一下哪里用过?(研究函数的单调性的时候,作差) 下面我们再看几个比较大小的例题 (二)范例启迪 (例题由老师重点讲解,结合投影并简单板演示范) (出示例1) 例1:试比较(1)(5)x x ++与2(3)x +的大小 分析:其差为常数,学生很容易得到答案,对学生进行肯定与表扬 解:(1)(1)(5)x x ++-2(3)x + =)56(2++x x -(962++x x ) =-4<0 ∴(1)(5)x x ++<2(3)x + (出示例2) 例2:比较32+x 与3x 的大小 分析:学生提出作差,但是对结果不容易判定正负,故引导学生向配方的方向走。教师要捕捉学生的闪光点,若有同学说该式子恒大于0,则应追问原因,直到解决这个问题。若用函数观点去看这个问题,顶点在x 轴上方,且开口向上,故函数值恒大于0 解: 32+x -x 3=4 3)23(2+-x >0 ∴32+x >x 3 (出示例3) 例3.当1 分析:学生会发现例3与例2惊人的相似,学生想到的肯定先是做差和配方但是学生会得到以下结果:4 1)23(3222--=-+x x x ,发现不能判定正负,教师正好提醒,既然配方 法不能用,还有其他的方法吗?从函数观点来看,顶点在x 轴下方,图象开口向上,所以函数图象与x 轴有两个交点,故方程0232=+-x x 是有根的,可以将解析式改为两根式表示,即将其因式分解。 解: 22+x -x 3=(1-x )(2-x ) 1 ∴(1-x )(2-x )<0 ∴22+x 例题小结: 差值比较法的一般步骤:1.作差 2.变形 3.定号 4.下结论 (配方法和因式分解为代数变形的常用方法) (三)课堂小练 练习1、比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小 练习2、比较x x -2与2-x 的大小关系 练习3、当x>1时,x x 322+与6+-x 的大小 比较大小除了差值比较法之外,还有很多其他的方法。 例:如何比较3.02和23.0的大小? 如果学生自己找出答案应给予表扬,若学生思考无果,则如下引导: (1)3.02和1哪个大? (2) 23.0与1哪个大? 学生恍然大悟:2003.03.03.0122>==> 不等关系的传递性(间接比较大小的理论依据) 若a>b,b>c,则a>c. 例4:建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好。试问:同时增 加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由。 分析:例2以建筑设计为背景,研究比较大小在实际生活中的应用,这是一个难点.应该指导学生进行正确的审题。 解:设住宅窗户面积和地板面积分别为a 和b ,同时增加的面积为m ,根据问 题的要求b a <,且 %10≥b a . 由于 0)()(>+-=-++m b b a b m b a m b m a , 于是 b a m b m a >++,又%10≥b a , 因此 %10≥>++b a m b m a 所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光 条件变好了! 结论:一般地,设a ,b 为正实数,且0,> a m b m a >++ 这是一个非常重要的不等式,其意思为:一个正的真分数,当分子和分母同时加上一个正数后得到的分数比原来的大。例如 <<<4 33221 这个不等式在生活中还有一个模型。大家能否用这个不等式解释一下: 在一杯不太甜的糖水里加糖,糖水变甜了. 设在b g 糖水里有a g 糖,此时糖水浓度为 b a ,在加入m g 糖后,这杯糖水的浓度为m b m a ++,按照常识可知b a m b m a >++. (四)思考交流 (放映芭蕾舞演员的表演视频) 引言中的问题: 为什么芭蕾舞演员在表演时脚尖立起给人一种美的享受? 你们知道黄金分割吗?黄金分割是一个值0.618,一本书的短边长与长 边长之比接近0.618时,视觉上要优美一些,而对于人的身材也是一样的。 一个人的身材比例为0.618时是最优美的。一般的人,下半身长x (肚 脐眼以下部分)与全身长y 的比值y x 在0.57-0.6之间,而芭蕾舞演员在演 出时,脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了m ,则下半身长与全身长之比由y x 变成m y m x ++,这个比值更加接近黄金分割值0.618. 实际的生活中,很多的女士为了追求美而选择穿高跟鞋,其目的就是在追求黄金分割值。 实践作业:请大家回去为自己和家人量一量身材,也许最美的东西就在你身边哦!如果是女性可以为她们设计高跟鞋的高度(是不是越高越好呢)。 但是我们作为学生应该追求内在美,不能穿高跟鞋。 (五)回顾与小结 请同学们相互讨论: 本节课你学到了哪些知识? (引导学生归纳本堂课的重要知识,重要方法) (1)比较大小的方法:差值比较法; (2)不等关系的传递性(间接比较大小的理论依据); (3)比较大小在实际问题中的应用。 (六)布置作业 课本74页课后思考交流2以及练习2 教学设计说明 现代教育心理学的研究认为,有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的,因此我在教学设计过程中注意了: ㈠在学生已有知识结构和新知识间寻找“最近发展区”. ㈡引导学生通过同化,顺应掌握新知识。 ㈢设法走出“性质概念一带而过,演习作业铺天盖地”的误区,促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程”的新天地。 我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则;注重对学生思维的发展;贯彻教师对本节内容的理解;体现“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质相结合”的原则。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用.