1.6 三角函数模型的简单应用
一、教学分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2、过程与方法：
选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
3、情态与价值：
培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、教学重点与难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
四、教学设想：
三角函数模型的简单应用（一）
一、导入新课
思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.
思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.
二、推进新课、新知探究、提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?
③上述的数学模型是怎样建立的?
④怎样处理搜集到的数据?
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
③解决问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.
三、应用示例
例 1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.
图1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题
实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.
(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,
∴A=21(30-10)=10,b=21 (30+10)=20. ∵21·ω
π2=14-6,
∴ω=8π?.将x=6,y=10代入上式,解得φ=4
3π. 综上,所求解析式为y=10sin(8π?x+43π)+20,x ∈[6,14]. 点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.
例2 2007全国高考 函数y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(4π-,4π) B.(4π,43π) C.(π,23π) D.(2
3π,2π) 答案:C
例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?
活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.
首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.
根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知
太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:
h0=htanθ.
由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.
图3
解:如图3,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义,
有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,
所以MC ＝C h tan 0='
3426tan 0 h ≈2.000h 0, 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.
点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发
学生进一步探究.
变式训练
某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？
图4
解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为
h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,
由于每层楼高为3米,根据以上数据,
所以他应选3层以上.
四、课堂小结
1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解
问题.
五、作业
1.图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系
图5
I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2
π)在一个周期内的图象.
(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?
解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－
3001,0),第二个零点为(150
1,0), ∴ω·(－
3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π,∴I=300sin(100πt+3π).
(2)依题意有T ≤
1001,即ωπ2≤100
1,∴ω≥200π.故ωmin =629.
2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.
解:如以下两例:
①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕.
1.6 三角函数模型的简单应用 课堂训练 一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1- D ．6 2． 2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ） ． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．??? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ??2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数 )(x f 是奇函数，且当0
课题（章节）1．6 三角函数模型的简单应用（二） 教学目标 能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律； 能根据问题的实际意义，利用模型解决有关实际问题； 通过三角函数模型的简单应用，培养学生应用数学知识解决问题的能力。 教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题 教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型，对实际意义的数学解释 课的类型新授课时间45分钟 教学时数1课时教具几何画板课件，计算器 板书设计 （提纲）三角函数模型的简单应用（二） 将实际问题抽象为三角函数模型：建模的基本思路： 例题：1．根据数据作散点图 2．根据图像进行函数拟合 3．选择恰当的函数模型 本题小结：4．利用函数模型解决实际问题 教学过程： 新课引入： 问题：对于三角函数模型，我们都学习了哪几个方面的应用？ 引入：利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢？ 教学情景： 将实际问题抽象为三角函数模型： 例：海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米 0：00 5．0 9：00 2．5 18：00 5．0 3：00 7．5 12：00 5．0 21：00 2．5 6：00 5．0 15：00 7．5 24：00 5．0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0．001）； 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 分析：1．观察表格中的数据，你发现了什么规律？（从所给数据中发现周期性变化规律）； 2．要求学生根据数据作出散点图，观察徒刑，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？（引导学生根据散点图的特点选择函数模型）； 3．引导学生与“五点法”联系，求出函数模型的解析式； 4．根据所得的函数模型，求出整点时的水深；（利用计算器） 5．引导学生正确理解题意，利用函数模型解决实际问题，求出第（2）问，并对答案进行合理地解释；（利用计算器进行计算） 6．引导学生正确理解第（3）问，用函数模型刻画安全水深，并对答案做出合理地解释 解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图： 根据图像，可以考虑用函数 sin() y A x h ω? =++刻画水深与时间之间的对应关系。从数据和图象可以得出： 2.5,5,12,0 A h T? ====，由 2 12 T π ω == ，得6 π ω= 。所以，这个港口的水深与时间的关系可用 2.5sin5 6 y x π =+ 近似描述。 由上述关系式，易得港口在整点时水深的近似值： 时刻0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 水深5．000 6．250 7．165 7．500 7．165 6．250 5．000 3．754 时刻8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 水深2．835 2．500 2．835 3．754 5．000 6．250 7．165 7．500 时刻16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深7．165 6．250 5．000 3．754 2．835 2．500 2．835 3．754 （2）货船需要的安全水深为4+1．5=5．5（米），所以 5.5 y≥时就可以进港。
三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract
Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，
三角函数模型的简单应用一、教学目标 1 、基础知识目标： a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； b 根据解析式作出图象并研究性质； c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程； d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力． 3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 三、教学难点： a 、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． b 、由图象求解析式时的确定。 四、教学过程及设计意图 教学过程 设计意图 （一）课题引入 情景展示，引入课题（多媒体显示） 同学们看过海宁潮吗？……?今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中
也蕴含着数学知识． 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学，所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。 这样的例子还有很多，比如： 二．由图象探求三角函数模型的解析式 例1 ?如图，某地一天从6?14时的温度变化曲线近似满足函数. (1 )求这一天6?14时的最大温差； (2 )写出这段曲线的函数解析式. 解：( 1 )由图可知：这段时间的最大温差是； (2)从图可以看出：从6?14 是的 半个周期的图象， 又… - ??? 将点代入得： ??,取，??。 问题的反思】
1.6 三角函数模型简单应用 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 - D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．?? ? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．??? ??2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0
《三角函数模型的简单应用》练习 一、选择题 1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) (x)=x+sinx (x)= (x)=xcosx (x)=x·· 2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知， 这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) B.6 3.如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m， AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( ) 4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图 象如图所示，则当t=秒时，电流强度是( ) 安安 安安 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( )
二、填空题 6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1，2， 3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上 标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60]. 8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现 采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150(天) 时达到最低油价，则ω的最小值为__________. 三、解答题 9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)=10-cos t-sin t，t∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日). (2)估计当年3月1日动物种群数量. 《三角函数模型的简单应用》巩固练习 一、选择题 1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针
参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 学习过程： 一． 知识梳理： 3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤 注意：细细体会上述两种变换的区别。 二． 问题探究： 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： )3 sin( )2( sin )1(π - ==x y x y 3. 经过怎样的变化得到（注意定义域）： ),0[),7 3sin(3 1)2( );,0[),8 4sin( 8)1(+∞∈+ =+∞∈-=x x y x x y π π
4.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ值是________． 5.画出函数x y sin =的图像并观察期周期和奇偶性： 三． 拓展升华： 1. 由函数的图像的图像要得到 )sin(sin ?ω+==x A y x y 经过怎样的变化可以得到？ 2. 在直角坐标系中?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 表示什么曲线？（其中a,b,r 是常数，且r 为正数，θ在)2,0[π内变化） 3.函数f(x)＝3sin(2x －π 3)的图象为C ，下列结论中正确的是( ) A ．图象C 关于直线x ＝π6对称 B 由y ＝3sin2x 向右平移π 3个单位长度可得到图象C C ．图象C 关于点(－π6，0)对称 D ．函数f(x)在区间(－π12，5π 12 )内是增函数 4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，|φ|<π 2 )的图象 的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 5.已知函数f(x)＝sin 2 ωx ＋3sin ωxsin(ωx ＋ π2 )＋2cos 2 ωx ，x∈R (ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π 6 . (1)求f(x)的对称轴方程； (2)求f(x)的单调递增区间． 四． 规律总结：
三角函数模型简单应用练习题 1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？ 2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-?? ??? ； (2)(0,2)απ∈； (3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。 3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程2 10x kx k -++=的两个根，求角θ． 4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ； （2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ． 5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大? 6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？ 7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖 时，为确保对接成直角，在铁板上的下 剪线正好是余弦曲线：cos x y a a =的一 个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ? 8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0， 2 π ]上的单调性。
一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 - D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4 －a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．?? ? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ? ?2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0
A ．y=x x x x cos cos 22-+ B ．y= x x x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题 6．在满足 x x 4 πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知( )sin 4f x a x =+（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则 ()2f -=__________． 8．若?>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数?? ? ??≤ ≤=656 3sin 2ππ x x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________． 10．函数1sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是 三、解答题 11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式
西峡一高教学设计(高一实验教师) 设计教师黄晓青梁福伟10 年 5 月7日课题三角函数的简单应用 教学目标1.知识目标掌握三角函数模型应用的基本步骤。 2.能力目标解决与三角函数有关的简单函数模型。 3.德育目标 体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴 趣。 重点：通过对实际问题的分析，抽象出三角函数模型。 难点：利用三角函数知识解决实际问题。 教学流程：（包括：1、设疑自探；2、解疑合探；3、质疑再探；4、运用拓展。） 引入：在第一章中，我们已经知道了三角函数是研究周期现象最为常见也是最为重要的模型，教材中对水车问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立起三角函数模型的方法和过程，实际上，建立数学模型研究实际问题是数学应用于实际生活的关键，要建立起数学模型，通常要经历数据收集，数据分析以及简化、假设等一系列前期工作，并在此基础上建立起数学模型，一般可遵循如下框图：补充修改 一、设疑再探 本节课老师准备了几道与三角函数有关的实际问题， 请同学们结合激励数学模型的有关知识，自主探究下列问 题(时间10分钟) 自探1：如图；游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需 要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米，如 果你从最低处的登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时 间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解 答下列问题： （1）求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式； （2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 自探2：已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24, 单位：小时)的函数，记作：y=f(t)，下表是某日0时至24 时的浪高数据： t（时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米）1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 经长期观察，y=f(t)的图像可近似地看成函数 y=Acosωt+b(A>0)的图像。 （1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的函数表达式； （2）依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放， 请依据（1）的结论，判断一天内上午8：00至20：00之 间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。 自探3：已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似 满足函数y=10sin( 4 5 8 π χ π -)+20,∈ χ[4,16]; （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； （2）若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那 么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 补充修改
1.6三角函数模型的简单应用 教学目的 【知识与技能】 1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 【过程与方法】 一、 练习讲解： 3、一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈?? ? ? ??+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？ 解：（1）l g f g l T l g π πω π ω21 ,22===∴= ；（2）cm g l T 8.24412 ≈= =π ，即若. 4、略（学生看书） 二、应用举例： 例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋?)＋b (1) 求这一天6~14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式. 本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围. 例2 画出函数y＝|sin x|的图象并观察其周期. 本题利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系. 例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那 么这三个量之间的关系是θ＝90o－|?－δ |.当地夏半年δ取正值，冬半年 δ取负值.
三角函数模型的简单应用 主讲：黄冈中学教师汤彩仙 例1、已知电流在一个周期内的图象如图： （1）根据图中数据求的解析式． （2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 例2、某港口水的深度y（米）是时间，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据： t时0 3 6 9 12 15 18 21 24
y米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象． （1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式； （2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米， 如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 解： （1）由已知数据，易知函数的周期T=12，振幅A=3，b=10， （视频板书中应为f(t)）． （2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5=11.5米， ，解得: ，在同一天内，取. ∴该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时． 例3、如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时： （1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米． 解： （1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立直角坐标系，在t秒内摩天轮转过的角为，∴此人相对于地面的高度为（米）．（2）令，则， ，， 故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米． 例4、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式； （2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数．
三角函数的简单应用 ———潮汐问题 一、教学目标 1、知识与技能目标：巩固已学过的三角函数的知识，求给定自变量的函数值。已知三角函数值，求角。 2、能力目标：培养学生数学的实际应用能力和意识。 3、情感、态度和价值观：让学生进一步了解数学来源于生活。 二、教学重点：用三角函数刻画潮汐变化规律。 三．教学难点：对实际问题的数学解释。 四．学情分析—————————————————————————————————————————————————————————————————————————五．学法指导：启发，类比，小组讨论 六．教学方法：探究交流，讲练结合 七、教学过程： 1、新课引入：在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。 2、提出问题： 若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况（生答：水深情况等）我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢请同学们看下面这个问题。 问题1：如图所示，下面是某个码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时 间 水 深 水的深度变化有什么特点吗（生答：水的深度开始由米增加到米，后逐渐减少一直减少到，又开始逐渐变深，增加到米后，又开始减少。） 大家发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，需要画图。电脑呈现作图结果。
通过观察图像，发现跟我们前面所学过哪个函数类型非常的相似（生答：跟三角函数模型 。） 请同学们把其中的A、?、φ、b求出来。(生答： )有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面同学算一下在4时的时候水深是多少（学生计算，最后教师呈现水深关于时间的数值表）时 刻 水 深 时 刻 水 深 问题2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口在港口能呆多久师生一起分析：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么 解我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0，24]范围内,其 他一些解该怎么求呢（图像） 发现：在[0，24]范围内，方程的解共有4个。 得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港什么时间出港呢（生答：货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。）
三角函数模型的简单应用 一、教学目标 1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学 会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力． 3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际 问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性 质 三、教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系 来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． b、由图象求解析式时 的确定。
五、教学设计分析 《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。
———潮汐问题 一、教学目标 1、知识与技能目标：巩固已学过的三角函数的知识，求给定自变量的函数值。已知三角函数值，求角。 2、能力目标：培养学生数学的实际应用能力和意识。 3、情感、态度和价值观：让学生进一步了解数学来源于生活。 二、教学重点：用三角函数刻画潮汐变化规律。 三．教学难点：对实际问题的数学解释。 四．学情分析—————————————————————————————————————————————————————————————————————————五．学法指导：启发，类比，小组讨论 六．教学方法：探究交流，讲练结合 七、教学过程： 1、新课引入：在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。 2、提出问题： 若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况（生答：水深情况等） 我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢请同学们看下面这个问题。 问题1：如图所示，下面是某个码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时 间 水 深 水的深度变化有什么特点吗（生答：水的深度开始由米增加到米，后逐渐减少一直减少到，又开始逐渐变深，增加到米后，又开始减少。） 大家发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，需要画图。电脑呈现作图结果。 通过观察图像，发现跟我们前面所学过哪个函数类型非常的相似（生答：跟三角函数模型 。）