第7 章
有限脉冲响应数字滤波器的设计
（FIR DF 的设计）
IIR DF FIR DF h(n)无限长h(n)有限长
H(z)在有限z 平面上有非零极点存在H(z)在有限z 平面只有零点，全部极点在z=0处有反馈回路，递归实现无反馈回路，非递归实现IIR DF 的极点在单位圆内，才能保证系统稳定。
FIR DF 的极点恒在单位圆内，
系统永远稳定。
)(n h 对称，可实现线性相位。
IIR DF +全通网络，也可实现线性相位。
缺点是：阶数高。
优点是：阶数较低。
模拟原型滤波器的设计方法)(s H a ????→?脉冲响应不变法????→
?双线性变换法)(z H 窗函数的设计方法
本章主要内容：
●线性相位FIR DF及其特点●利用窗函数法设计FIR DF ●利用频率采样法设计FIR DF ●IIR DF和FIR DF的比较
为常数
， ττωωθ-=)( 7.1 线性相位FIR DF 的条件和特点
1、线性相位的定义：
)
(|)(|)(ω?ωωj j j e
e H e H ?=
)
()(ωθωj g e
H =)
()(ωθω
j j e
e H ±=时起始相位
00θτωθωθ -=)(实函数形式的幅度特性，可正可负；
)(ωg H 的线性函数。
是ωωθ)(为常数τω
ωθ=-d d )(群延时
即为线性相位系统
相位特性函数
1、设FIR DF 的系统函数为求出系统的单位脉冲响应，并判断该FIR 系统是否具有线性相位。
6
54321
35.0225.03)(------++++++=z z z z z z
z H 2、设FIR DF 的系统函数为
求出系统的单位脉冲响应，并判断该FIR 系统是否具有线性相位。5
432135.0225.03)(-----+++++=z z z z z z H 3、设FIR DF 的系统函数为
求出系统的单位脉冲响应，并判断该FIR 系统是否具有线性相位。
6
542135.0225.03)(--------++=z z z z z z H 4、设FIR DF 的系统函数为
求出系统的单位脉冲响应，并判断该FIR 系统是否具有线性相位。
5
4
3
2
135.0225.03)(--------++=z
z
z
z
z z H 2、线性相位的条件
)
()(n N h n h --=1（1）
1()2N N θωωτ-=-－１
＝
２
第一类线性相位
)
()(n N h n h ---=1（2）
1()222
N N π
θωωτ-=-－１
＝
第二类线性相位
有对称中心，则是线性相位。
3、幅度特性函数的特点
)(ωg H 分四种情况：偶数
为奇长度奇对称，偶关于/)(/)(N n h N n h 2
1
-奇数
，=--=N n N h n h )1()(1）()()(3)/2
()2()cos N g n H h h n n ωτωτ-==+
-????
∑
由于偶对称，因此，
对这些频率也呈偶对称。
可实现低通、高通、带通、带阻滤波器
偶数
，=--=N n N h n h )()(12）
不能用于高通、带阻的设计
)(ωg H 1) 关于奇对称，偶对称
πω=π
ω2,0=,)时πω=20
=)(ωg H 120
()2()cos[()]
N g n H h n n ωωτ-==-∑
2
1
1=-=---=)(,)()(N h N n N h n h 必有中间项奇数，3）
不能用于低通、高通、带阻
的设计，只能设计带通。
)(ωg H 1)
关于呈奇对称
ππω2,,0=,2,,0)2时ππω=0
)(=ωg H ()()320
()2sin -==-????
∑N g n H h n n ωωτ
[]
120
()2()sin ()N g n H h n n ωωτ-==-∑偶数
，=---=N n N h n h )()(14）不能用于低通和带阻的设计
)(ωg H 1）
关于呈奇对称关于呈偶对称
πω2,0=πω=,,)时πω202=0
=)(ωg H
)
(.)()()(.)(4503150-----+=n n n n n h δδδδ}
,,,,;.,,,,.{)(432105010150=--=n n h 或ω
ω
ω
ω
435050j j j j e
e
e
e H -----+..)(＝解：51=---=N n N h n h ，)()(因为所以
线性相位。
)(n h 例：FIR DF 的，写出其，并判定是否线性相位？写出相位响应函数，群延迟，实函数形式的幅度响应有何特点？能否用作高通滤波器？并画出线性相位型网络结构图？
)(n h 4
31505-----+z z z z H ..)(＝０
)(ωθ)
..(ω
ω
ω
ω
ω
2225050j j j j j e
e
e e e
-----+＝)
sin )(sin()(ωωωπ
2222
+-j e
＝
==πωω|)(g H 0
220==ππωω,,|)()g H 关于呈奇对称)()ωg
H 1ππω20,,=)
(n x )
(n y 1
-z 1
-z 1
-z
1
-z
1
-1
-5
.02
22=-=-=ω
ωθτωπ
ωθd d )()( ω
ωωsin )sin()(22+＝g H )(ωg H 特点：0
==πωω
)(j e H 所以不能用作高通。
线性相位型网络结构图，如下：
4
31505-----+z
z z z H ..)(＝０
-1
1
jIm[z ]Re[z ]
z 1
z 1
**11
z 1
1z (a )*2
21z z 0
Re[z ]
jIm[z ]1
-12
21z
z *
==
(b )
Re[z ]
jIm[z ]
1
-1
1
1z z 1
(c )0
Re[z ]
jIm[z ]
1
-1
(d )
Re[z ]
jIm[z ]
1-1
4、线性相位FIR DF 零点分布特点
)
()()
(1
1---±=z H z
z H N )(z H 特点：零点必是互为倒数的共轭对
①既不在实轴上，也不在单位圆上，互为倒数的两组共轭对。②不在实轴上，但在单位圆上，一组共轭对。
③在实轴上，但不在单位圆上，两个互为倒数的实数。④既在实轴上，又在单位圆上，只有两种可能。
1
1-==z z 或
例一个FIR 线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数的，且
n <0和n >6时h (n )=0。如果h (0)=1且系统函数在z =0.5e jπ/3和z =3各有一个零点，H (z )的表达式是什么？
解：由线性相位FIR 滤波器零点分布特点知：
]
).(][).()][.()][.([)(////11311313131501501501501------------=z e z e z e z e z H j j j j ππππ))(..(2
121421250501----+-+-=z z z z 3
5.0π
j
e
z =是零点，则必是互为倒数的两组共轭对。
)
)(()(1
1
23
1131----=z z z H 3=z 是零点，应是两个互为倒数的实数。
)
)()()(..()(,11
21213
1131421250501--------+-+-=z z z z z z A z H 因此由h (0)=1，必有：A =1
)
)()()(..()(1
1
2
1
2
1
1131421250501--------+-+-=z z z z z z z H 所以，
第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。
第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。一般微分器与90°相移器用3、4；
选频性滤波器用1、2。
?四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。
?幅度特性取决于h(n)。
?设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
7.2 利用窗函数法设计FIR 滤波器
1.设计思想：)(ω
j d e H )
()()(n w n h n h d =)(n h d ??→
?IFT ??→?加窗
①构造希望逼近的频响函数)
(ωj d e H ;()0;j c j d c e H e ωτ
ω
ωωωωπ
-?≤?=?
<≤??{
1;0;c
c j e
ωωωτ
ωωπ
≤-<≤=)
(n h d ②反变换求出
()?-
=
π
π
ωω
ω
π
d e
e
H n
j j d 21[
]
)()(ω
j d d e
H IFT n h =12c
c
j j n
e
e
d ωωτ
ωω
ω
π
--
=?sin(())()
c n n ωτπτ-=
-
无限长有限长非因果
因果
如图（a ），线性相位、无限长、非因果。
)(n h d 由以上可知：窗函数的形状以及窗长的确定，很关键。
③加窗截断
)
()()(n n h n h d ω=12
N τ-=
2、加窗处理以及对频响的影响
以线性相位的低通滤波器和矩形窗为例。1)时域上：
理想LPF 的单位脉冲响应)
(n h d [
]
)
()(ω
j d d e H IFT n h =sin(())()
c n n ωτπτ-=
-为其它值n N n n R n w N
0101-≤≤??
???=)()(矩形窗)
()()()()(n R n h n w n h n h N d d ==加窗1
2
N τ-=注：要使其线性相位必有
θθωθπ
π
πτω
d W H e
g
dg j )()(21-=?--2)频域上：
1;()()0;c j j j d dg c H e e
H e ωωτ
τω
ωωωωωπ
--?≤?===?
<≤??sin(/2)
()sin(/2)
j j N W e e
ωτω
ωω-=()j g W e
τω
ω-=?窗谱
)
(ωj d e H ()j g e H τωω-=时域乘积，频域卷积
1()()*()2j j j d H e H e W e ωωω
π=()
1()()2j j d
H
e W e
d π
θωθπθ
π
--
=
?1
()()*()
2g dg g H H W ωωωπ
=即，θ
θωθπ
θωττθ
π
π
d e
W e
H j g j dg )
()()(21----
-=?
时，在1值上下波动。N
c π
ωω2-<()g H ω3）从几个特殊频率点来看卷积过程给造成的起伏现象
()g H ω0
=ω时，
是a 、b 两图乘积的积分，面积较大，并归一化到1
(0)g H c ωω=()
0.5
(0)
g
c g H
H ω=时，有一半重叠，且N
c π
ωω2-=时，主瓣全在通带内，出现正肩峰。
()g W ωθ-时，在零值上下波动。()
g H ωN
c π
ωω2+>N
c π
ωω2+=时，主瓣全在通带外，出现负肩峰。
()g W ωθ-1()()()2g dg g H H W d π
π
ωθωθθπ-=-?()
g W ωθ-0
θ
()dg H θπ
-c
ω-c ωπ(a)0
θ
()
g W θN
π
2-N
π2(b)θ
()
dg H θ(c)
c
ωω=0
θ()
dg H θN
c πωω2-=()
g W ωθ-0
θ
()
dg H θN
c πωω2+=()
g W ωθ-(d)
(e)
()(0)
g g H H ω