浅述向量数量积及其变式在立体几何中的应用
江苏省靖江职业高级中学 何纪龙 214500
向量的数量积公式“b a ?=b a cos θ”将角(向量的夹角)、线(向
量所在的直线或线段及线段的长度)有机的结合在一起，线段的长度和直线与直线的夹角是立体几何图形中经常涉及到的两个量，有时在立体几何中求角和线段的长度通常会涉及到繁琐的辅助线以及复杂的说理证明也就是我们通常说的“先找后证再求”“先作再证后求”，而向量相等的定义造就了向量独有的空间几何特性即向量的“即需即取性”。因此我们就可以在立体几何的解题中巧妙的引入适合解题需求的向量，将所有已知的量和所求的量转化成与所取向量相关联的量，然后运用数量积公式或其变式来进行求解，这样将会大大降低立体几何中高难度高强度的逻辑思维量，恰到好处地避开构造空间辅助线的瓶颈，将繁冗的理论证明转化为数值运算，从而将立体几何代数化。
公式变形一、b
a b a ?=θcos 应用1、求斜线与平面的夹角
例：如图，直三棱柱
ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，
AB=AA 1=1,AC=2,E 为A 1C 1的中
点，求BE 与面ABC 所成的角。
分析：此题若用常规方法求解
需要先做出BE 与面ABC
所成的
角然后加以证明此角的合理性，由于本题较简单故解起来不是太复杂，但用向量法求BE 与面ABC 的夹角，只需构造出面ABC 的
法向量n ，求出E B 与n 的夹角，此夹角的余角即为所求。
解：如图：建立直角坐标系，则B (1,0,0),E (0,1,1),所以E B =(-1,1,1),取面ABC 的一个法向量n =（0，0，1），设E B 与n 的
夹角为θ，所以
COS θ=E B n n E B ?=33，θ=arccos 33∈(0,2π〕,所以本题所求的角是π21－arccos 3
3。 注：在用向量法求斜线段与平面所成的角时由于取的向量随机性，法向量的方向不同，对所求的角会有一定的影响，但不外乎以下两种情况：一种是所涉及的向量的方向都指向平面的同一侧，则求出的两向量的夹角的余角就是斜线与平面所成的角;另一种所涉及的向量的方向分布于平面的两侧，则两向量的夹角减去直角即为所求的线面的夹角。
应用3、求二面角的平面角
例：在四面体ABCD 中BD=2a,其余各棱长均为a ，求二面角A
－ＢC －Ｄ的大小。
分析：本题若用常规立体几何解法，则
要先作出角再求，但如果用向量法解，
只要在两平面内找出两个分别与棱BC
垂直的向量，向量的方向从棱出发，求出这两向量的夹角即可。 解：因为BC=DC=a,BD=2a,所以CD ⊥BC,作AE ⊥BC,垂足是
E,取向量A E 与D C ,则A E 与D C 所成的角即为二面角的平面角，设
为θ，因D C A E ?=﹙A C C E +﹚D C =C E D C ?+A C D C ?=D C A C cos60°=21a 2,又A E =23a,D C =a,所以cos θ=33,所以二面角A －ＢC －Ｄ的大小为arccos 3
3。 注：在用向量法求二面角的平面角时，除了上述方法外还可利用空间直角坐标系求两半平面上的法向量的夹角，进而求出二面角的平面角。
应用4、求异面直线所成的角
例：若正三棱柱ABC-A 1B 1Ｃ1底面边长为4，侧棱长为3，求异面直线AB 1与BC 1所成的角的大小。
分析：传统求异面直线所成的
角必须先做后求，但如用向量
法求，只需在两直线上分别取
两直线的方向向量，然后再求
两向量的夹角即可。
解：如图建立空间直角坐标系，
则A ﹙-２，０，０﹚，Ｂ1﹙２，
０，3﹚,B ﹙２，０，０﹚,C 1﹙0，23，3﹚,所以向量1B A =﹙4，
0，3﹚，1C B =(－２，23，３)，设1B A 与1C B 所成的角为θ，则
cos θ=1111C B B A C B B A ?=25
1>0,所以θ∈﹙0, π21〕,所以异面直线所成的
角为arccos 251
。
注：向量法在求异面直线的夹角的时候，主要要注意异面直线所成的角的范围是(0, π2
1〕，而向量的夹角的范围是〔0，π〕，因此在通过向量法求解出两直线上的方向向量的夹角后要注意取舍，如果两方向向量的夹角在(0, π2
1〕之间，则异面直线的夹角就取之，如两向量的夹角是钝角，则异面直线夹角是此钝角的补角。 公式变形二、b θcos =a b
a ?
应用：求平面外一点到平面的距离
例：如图：正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4,AA 1=8,E 、F 分别在棱BB 1、DD 1上，且BE=DF=2,求点A 1到平面AEF 的距离。
分析：本题是求点到平面的距离，对照上述公式，1 AA 相当于斜
线段上的一个向量，只要求出面AFE 的一个法向量即可。
解：如图：建立空间直角坐
标系，则A ﹙4，0，0﹚E ﹙4，
4，2﹚,C ﹙0，4，0﹚,B 1﹙4，
4﹚，8,F ﹙0，0，2﹚，所以
E A =(0，4，2)
F A =(-4，0，
2)，设n =﹙a,b,c ﹚是平面
AEF 的一个法向量。所以
n E A ?=4a+2c=0；n F A ?=-4a+2c=0，故而得a=2c ,b=-2c ,取c=2,得n =﹙1，-1，2﹚，又1 AA =(0,0,8),所以
A 1到面AEF
的距离
d=θcos 1A A =n A A n 1?=36
8。
此公式主要是将一个向量在另一个向量上的投影作为要求的距离来解的，在此公式中由于两向量的夹角的余弦加了绝对值，所以两向量夹角是钝角的情况其实就是夹角是锐角的情况，所以平面的法向量可以任取，丝毫不必顾忌法向量的方向，这样大大提高了解题的速度和简洁度，当然此法也可以用在求点到线的距离这里也就不一一举例了。
总之，向量的几何特性造就了向量数量积公式的强大的应用功能，在立体几何中巧妙地运用向量的数量积公式及其边式可起到事半功倍的效果。
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