平面几何基础知识教程（圆）
一、几个重要定义
外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心
内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心
垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心
凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）
（折四边形）
二、圆内重要定理：
1．四点共圆
定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补
证明：略
判定方法：
1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略
特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆
3．视角定理：若折四边形ABCD 中，∠=∠ADB ACB ，则A ，B ，C ，D 四点共圆
证明：如上图，连CD ，AB ，设AC 与BD 交于点P 因为∠=∠ADB ACB ，所以
180=∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=ΔC P B ∽ΔD P A 所以有
再注意到因此Δ∽Δ因此由此（ΔA B D 的内角和）因此A ，B ，C ，D 四点共圆
PC PB PD
PA
C P
D BPA C PD BPA PC D PBA
BC D BAD BC A PC D BAD BD A PBA BAD
特别地，当∠=∠ADB ACB =90时，四边形ABCD 有一外接圆 2．圆幂定理：
圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。 相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两弦AB ，CD ，则PA PB PC PD ?=?
证明：
∠=∠∠=∠=?=?连，，则（等弧对等圆周角）而（对顶角相等）因此ΔA P C ∽ΔD P B
即，因此AC BD C AB C D B APC D PB PA
PC PA PB PC PD PD PB
（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过P 任作圆的两割（切）线PAB ，PCD ，则
PA PB PC PD
?=?
证明方法与相交弦定理完全一样，可仿前。
特别地，当C ，D 两点重合成为一点C’时，割线PCD 变成为切线PC’ 而由割线定理，2
'PA PB PC PD PC ?=?=，此时割线定理成为切割线定理
而当B ，A 两点亦重合为一点A ’时，由切割线定理22
''
PC PA PB PA =?=
因此有PC’=P A ’，此时切割线定理成为切线长定理
现考虑割线与切线同时存在的情况，即切割线定理的情况：
如图，PCD是圆的割线，PE是圆的切线
设圆心为O，连PO，OE，则由切割线定理有：
2
?=而注意到黄色Δ是RTΔ，由勾股定理有：
PC PD PE
222
=-，结合切割线定理，我们得到
PE PO OE
222
?==-，这个结果表明，如果圆心O与P是确定的，那么
PC PD PE PO OE
PC与PD之积也是唯一确定的。
以上是P在圆外的讨论
现在再重新考虑P在圆内的情形，如下图，PCD是圆内的现，P AB是以P为中点的弦
则由相交弦定理有2
（因为P是弦A B中点）=P C
PA PB PA PD
?=?
连OP，OA，由垂径定理，ΔOP A是RTΔ由勾股定理有
222
=-，结合相交弦定理，便得到
PA OA OP
2
2
2
PA PB PA PD O A O P
?=?=-（因为P 是弦A B 中点）=P C
这个结果同样表明，当O 与P 是固定的时候PC 与PD 之积是定值 以上是P 在圆内的讨论
当P 在圆上时，过P 任作一弦交圆于A （即弦AP ），此时
2
2
PO OA -=也是定值
综上，我们可以把相交弦定理，切割线定理，割线定理，切线长定理统一起来，得到圆幂定理。
圆幂定理：P 是圆O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P 任作一直线交圆O 于A ，B 两点（A ，B 两点可以重合，也可以之一和P 重合），圆O 半径为r 则我们有：2
2
||
PA PB
PO r ?=-
由上面我们可以看到，当P 点在圆内的时候，2
2
0PO r -<，此时圆幂定理为相交弦定理
当P 在圆上的时候，2
2
0PO r -=
当P 在圆外的时候，2
2
0PO r ->此时圆幂定理为切割线定理，割线定理，或切线长定理
以下有很重要的概念和定理：根轴
先来定义幂的概念：从一点A 作一圆周上的任一割线，从A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这圆周的幂
对于已知两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。 根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴 性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在直线
由于两圆交点对于两圆的幂都是0，所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴是两交点的连线
性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质1的极限情况）性质3 若三圆两两不同心，则其两两的根轴交于一点，或互相平行
所交的这点称为根心
证明：若三圆心共线，则两两圆的根轴均垂直于连心线，因此此时两两的根轴互相平行
若三圆心不共线，则必成一三角形，因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。如图，设CD与EF交于点O，连AO交圆分O2圆O3于B’,B’’，则?=?=?=?其中前两式是点O对圆O2的幂，后二式是OA OB OE OF OC OD OA OB
'''
点O对圆O3的幂，中间是圆O对圆O1的幂进行转化
由此B’与B’’重合，事实上它们就是点B（圆O2与圆O3的非A的交点），由此两两的根轴共点
圆幂定理是对于圆适用的定理，今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补
充：
圆内接四边形判定方法
4．相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且满足
PA PC PB PD
?=?，则四边形ABCD 有一外接圆
5．切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD 一双对边AB 与DC 交于点P 且满足PA PC PB PD ?=?，则四边形ABCD 有一外接圆 这样我们就补充了两种判定方法
例（射影定理）：RTΔABC 中，BC 是斜边，AD 是斜边上的高 则
2
22(1)(2)(3)AD BD C D AB BD BC AC C D BC
=?=?=?
证明：
（1）2
'180
''AD BAC BA C A B C A AD D A AD BD C D
?∠+∠=?==?如图，延长至A '，使A D =D A '，连A 'B ,A 'C 则ΔA B C ΔA 'B C ,因此因此，，，四点共圆
由相交弦定理有：
（2）（3
）
2
(2)(3)⊥=?同理，现证(3)
作R T ΔA D B 的外接圆，则R T ΔA D B 的外接圆圆心为E 其中E 是A B 的中点
则E A A C ，因此A C 是圆A B D 的切线由切割线定理有C A C D C B
例2：垂心
ΔABC 中，三边所在的高的所在的直线交于一点 证明：
9018018018090
⊥∠=∠=∠=-∠-∠=-∠-∠=-∠-∠=∠∠=设与C F交于H ，连A H 延长交B C 于D 即证A D B C
因为，因此，，E ，C 四点共圆同理A ，F，H ，E 四点共圆
所以因此，，，四点共圆由此BE BEC BFC B F BH D AH F BH F AEF EH C B A C H D E C H D C
3．Miquel 定理
之前1，2的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来，圆共点的情况
又如何？
从最简单的开始了解，在本文之后讨论圆共点问题中，甚至其他类型的问题，Miquel定理都给予莫大的便利，我们将要不止一次地用到它。
先看一个事实：
如图，ΔABC中，AD，BE，CF分别是三边上的高，则分别以AEF，BDF，CDE作圆
这三个圆共于一点，而且可以通过观察，这个点就是垂心刚好是AD，BE，CF的交点
在介绍Miquel定理之后，我们将会给这题与垂心一个阐释
Miquel定理：ΔABC中，X，Y，Z分别是直线AB，BC，AC上的点，则
AXZ BXY CYZ O
共于一点
,,
这样的点O 称为X ，Y ，Z 对于ΔABC 的Miquel 点 证明：
180180180∠=-∠==-∠=∠∠+∠= 如图，设与交于，连O X ，，即问题转化为证，，，四点共圆
因为，，O ，Z与B ，X ，Y ，O 为两组四点圆则即因此，，，四点共圆
AXZ BXY O O Y O Z O Z Y C A X AZO AXO BXO BYO O YC O ZC O YC O Z Y C
事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法
在发掘Miquel 定理的证明方法时可以得到一种更一般的证题方法 注意这个证明只在X ，Y ，Z 在AB ，BC ，AC 边上时可以 当在直线AB ，BC ，AC 上时需要改一下，这里略去了。
现在回到之前关于垂心的问题。为什么D ，E ，F 关于ΔABC 的Miquel 点就是ΔABC 的垂心 证明：
如图，，，是Δ的三条高，垂心为H ，则，，，，，，，，，共三组四点共圆
由此可见，，共于一点而H 就是垂心
AD BE C F ABC A E F H B D F H C D E H AEF BD F C D E H
有了Miquel 定理，我们可以对垂心有一个新的看法
90
∠=∠= 是与的根轴对，同理而因此B D F 与C D E 的连心线平行于B C （中位线定理）因此H D 垂直于B C H E ，H F同理
因此垂心可以被认为是这三圆的根轴的交点（根轴性质3）
H D BD F C D E H E H F AD B AD C
用同样的方法可以对内心，外心以同样的解释：
由此可见，共点圆与三角形的特殊点有很大的关系，上述3种只是最简单的最容易发现的
提起外心就会联想到外接圆，这里不得不提一个常用定理：正弦定理 正弦定理：ΔABC 中，外接圆半径R ，则
2sin sin sin BC AC AB R
A
B
C
===
证明：
作直径AOD ，连BD
902sin sin ∠=∠=∠=
==∠则，因此在Δ中
A B D A D B A C B R t A B D A B A B A D R
A D B
C
其余同理
想到三角函数里面的函数名，那么自然会想到余弦定理 余弦定理：
2222222
2
2
2c o s 2c o s 2c o s =+-=+-=+-Δ中A B =c ,A C =b ,B C =a A B C a b c b c A b a c a c B c
b
a
a b C
证明：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos cos cos (cos )(cos )
cos 2cos cos 2cos =?==-=--=---=---+=-=+-作边上的高A D 因此即c 即其余同理
BC C D AC C b C BD BC C D a b C AB BD AC C D
a b C b b C c a b C ab C b b C c a b ab C
接着便就是著名的费马点，它也与共点圆有关系
费马点，即ΔABC 内一点，使其到三顶点距离之和最小的点
当ΔABC 任一内角都<120时，费马点存在于内部，当Δ有一内角>=120时费马点与此角顶点重合
设ΔABC 中任一内角均<120，则费马点F 可以通过如下方法作出来： 分别以AB ，AC ，BC 向外作正Δ，连接对着的顶点，则得 事实上，点F 是这3个正Δ的外接圆所共的点
而F A+FB+FC 其实就是顶点到对着的正Δ顶点的连线的长 而且之后将会有一种方法计算F A+FB+FC 的长度
而这将会在之后进行讨论
4．Simson 定理
Simson 定理是常用而且著名的定理，多用于证明点共线，其逆定理也成立 Simson 定理：P 是ΔABC 外接圆上一点，过点P 作PD 垂直BC ，PE 垂直于AB ，同理PF
则D ，E ，F 是共线的三点
直线DEF 称为点P 关于ΔABC 的Simson 线
引理（完全四边形的Miquel 定理）：四条直线两两交于A ，B ，C ，D ，E ，F 六点
则ABF
BCE CDF DAE ，，，共点 先从Δ对，，三点运用密克定理，则，，共点Δ对，，三点运用密克定理，则，，共点因此，，，共点
ABF E C D BCE CDF DAE DAE B C F ABF BCE CDF ABF BCE CDF DAE
其中所共的点叫做完全四边形的Miquel 点 证明：这里运用Miquel 定理作为证明
M iquel M iquel ∠=∠ 设垂直，垂直，延长交于则问题等价于证明垂直连四边形是完全四边形
所以由完全四边形的定理（引理），，，共点注意到所以，，D ，E 四点共圆
所以与交于点和B
因此完全四边形FA C D B E 的点非P 则B 而A ，E ，B 是同一直线上三点因此A ，E ，F，B 不可能共圆
因此P 是完全四PD BC PE AB D E C A F PF AC PF
AFC D BE ABC BD E AEF C D F PEB PD B P B ABC BD E P M iquel ∠边形FA C D B E 的点由此P ，E ，F，A 四点共圆则P FA =90
今逆定理证略
从这个证明我们看到Miquel 定理的威力不仅在于圆共点，而且对于共点圆也同样适用
在有了Simson 定理之后，我们可以运用Simson 定理来给予完全四边形的Miquel 定理一个新的证明（即前面的引理）
证明：
设与非的一个交点为M ，过M 作M P 垂直B E ，M Q 垂直E C ，其余同理。因为M 在上，由定理，是共线的三点同理对ΔC D F 运用S im son定理，有Q R S 也是共线的三点因此P ，Q ，R ，S 四点共线
而注意到，，是点M 对Δ三边的垂直且共线欲S im son定理逆定理，得A ，M ，D ，E 四点共圆同理A ，B ，F，M 四点共圆
因此，，，共点于BC E C D F C BC E Sim son PQ R P Q S AD E BC E C D F AD E ABF M
由这个证明，我们可以知道完全四边形的Miquel 定理和Simson 定理是等价的 能够运用Simson 定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明，反之亦然 这样，Simson 定理便与密克定理产生了莫大的关联
例.如图，P 为ΔABC 外接圆上一点，作PA
BC
⊥‘交圆周于A ’，作P
B A
C ⊥‘直线交
圆周于B’，C’同理。求证： ’‘’AA BB CC
证明：设P A ’交BC 于D ，PB’交AC 于E ，F 同理，则由Simson 定理知，DEF 三点共线
由图形看来，题断三条互相平行的线均与Simson 线平行，因此可以试证 连PB
而注意到P ，B ，D ，F 四点共圆，因此∠=∠=∠=∠‘EDB FDB PBA PA A
因此AA’与Simson线平行。其余同理
事实上，Simson定理可以作推广，成为Carnot定理
Carnot定理：通过ΔABC外接圆上的一点P，引与三边BC，CA，AB分别成同向等角（即∠=∠=∠
PDB PEC PFB）的直线PD，PE，PF与三边或其所在直线的交点分别为D，E，F则D，E，F是共线的三点
可以仿照前面的证明
(这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性质，再证180
∠=)
DEF
证明留给读者，作为习题
5．Ptolemy定理
本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一个十分重要的定理，及其也有重要的推广
AB CD AD BC AC BD Ptolemy定理：若四边形ABCD是圆内接四边形，则?+?=?
证明：
',,''''''
,''sin ''sin ''sin ''22+=∠=∠=∠=∠?∠== 如图，设A B C D 外接圆半径为R ，连，过点作Δ各边的垂线分交于于’于‘，则由S im son定理，A 'B 'C '是共线的三点因此由，’,B ',D 四点共圆，且’‘’因此是‘’的直径由正弦定理有
，所以同理AC D ABC AB C AC B BC A C B B A C A A C C AD D B C AD AC B D C B AD C D B AD C AB BC AD BC
BAC C B R R '',''22222??==
???=
+
?=?+?因此
即C D AB AC BD B A C A R R AD BC C D AB AC BD R
R
R
AD BC C D AB AC BD
至此，我们重新把求费马点至三顶点距离的长度和的问题提出，运用Ptolemy 定理解决：
如图，设AB=c,AC=b,BC=a 由120
60AFC AB C ∠=∠=，’，有A ，F ，B’,C 四点共圆
2
2
2
2
2
2
2
''''''''2(60)
2[cos 60cos sin 60sin ][cos ]2,sin ?+?=?+====+-+=+--=+--= 对‘运用定理有因为Δ是等边Δ，因此所以FA +FB +FC =B B '同理FA +FB +FC 今考察Δ‘，由余弦定理Δ而Δ中AFC B Ptolem y FA B C FC AB AC FB AC B FA FC FB AA C C BC B BB a b abcos C a b ab C C a b ab C C S AB ABC
C 22
2
2
2
2
22
2
2
2
222
2
2
2
cos 2[
2()
2
2
2
+-=
+-=+--
+-=+-
+++=
+++=++=
代入上式有’ΔΔ因此其中ＳΔＡＢＣC
ab
a b c
C ab
a b c
BB a b ab ab
ab
a b c a b ABC
a b c
ABC
FA FB FC a b c
p
(这里我们用到著名的求积公式
:
)2
++?==
其中a b c
S ABC p ,证略).
至此，本文平面几何圆的基础知识已经全部介绍完毕，这里将以著名的Chapple 定理结束(只做了解)
这是与圆幂定理的应用有关的定理之一
Chapple 定理：设R 是ΔABC 的外接圆半径，r 是内切圆半径,d 是这两圆的圆心距，则
2
2
2=-d R Rr
证明：
,21()2
1()
2
2∠∠∠∠=?=?=∠=
∠+∠∠=∠+∠=∠+∠??=?连ＡＩ并延长交ΔＡＢＣ外接圆于Ｐ，并作直径ＰＯＱ，连ＢＱ设内切圆与ＡＢ的切点为Ｄ，连ＩＤ，ＩＢ则在ΔＡＤＩ与ΔＱＢＰ中，ＤＡＩ＝ＢＱＰＡＤＩ＝ＱＢＰ＝９０因此ΔＡＤＩ∽ΔＱＢＰ有
即ΔＩＢＰ中，因此ＢＰ＝ＩＰ，由此
＝，再由圆幂定理AI D I AI BP D I PQ Rr
PQ
BP
IBP A B BIP IAB IBA A B AI BP AI IP Rr AI IP 2
2
2
2
2
2
22=-=-==-即R O I R d Rr d R Rr
事实上Chapple 定理对旁心也有相应的公式，不过是等号右边的符号-变+ 但对本文不提及旁心，因此略去
七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。
6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法． 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形： 注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2 c b a r -+=； (2)c b a ab r ++= ． 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、
BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值； ④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键． 【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D 三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法． 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根． 解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得 由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x1=6，x2=4． 解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知 所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73， 只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5． 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根． 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是
这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法． 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值． 分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来． 解因为a≠0，所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值． 解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令 Δ=(m-1)2-4m＝n2， 其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，
2018年黄冈市初中数学竞赛试题 一、填空:(30分) 1.已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3,则x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(-ab)2002的值等于________. 2.已知正数a 、b ，有下列命题： （1）若a=1,b=1,≤1;(2)若a=12,b=52,≤32;(3)若a=2,b=3,≤52 ;(4)若a=1,b=5,则- ≤3.根据以上几个命题所提供的信息,请猜想:若a=6,b=7,≤________. 3. 已知k=a b c a b c a b c c b a +--+-++==,2+9=6n,则关于自变量x 的一次函数y=kx+m+n 的图象一定经过第_______象限. 4.如图1,∠AOB=450,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q 、R （均不同于点O ），则ΔPOR 的周长的最小值为__________. 5.某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金,金额与他的工 作年数的算术平方根成正比例.如果他工作a 年,他的退休金比原有 的多p 元;如果他工作b 年(b ≠a),他的退休金比原有的多q 元.那么他 每年的退休金是(以a 、b 、p 、q 表示)____________元. 6.已知在ΔABC 中,∠A 、∠B 是锐角，且sinA= 315 ,tanB=2,AB=29cm, 则ΔABC 的面积等于______cm 2. 二、解答题: 7.(10分)观察:1×2×3×4+1=52, 2×3×4×5+1=112, 3×4×5×6+1=192。 ┉┉┉ （1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； （2）根据（1），计算2000×2001×2002×2003+1的结果（用一个最简式子表示）。 8.(10分)如图2,已知Rt ΔABC 中,∠C=900,沿过点B 的一条直线BE 折叠这个三角形,使点C 落在AB 边上的一点D.要使点D 恰为AB 的中点,问在图中还需添加什么条件?
第十四讲图表信息问题 21世纪是一个信息化的社会，从纷繁的信息中，捕捉搜集、处理、加工所需的信息，是新世纪对一个合格公民提出的基本要求． 图表信息问题是近年中考涌现的新问题，即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的一类试题． 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解读、分析和判断，确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题． 表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息，解题中需通过对表中的数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后运用所学的方程(组)、不等式(组)及函数知识等解决问题． 【例题求解】 【例1】一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题： (1)慢车比快车早出发小时，快车追上慢车时行驶了千米，快车比慢车 早小时到达6地； (2)快车追上慢车需小时，慢车、快车的速度分别为千米／时； (3)A、B两地间的路程是． 思路点拨对于(2)，设快车追上慢车需t小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立t的方程． 注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取． 【例2】已知二次函数c + =2的图象如图，并设M=b y+ ax bx + + - + 2， +2 - - + a a- a c b b b c a 则( ) A．M>0 B．M＝0 C．M<0 D．不能确定M为正、为负或为0 思路点拨由抛物线的位置判定a、b、c的符号，并由1 x，推出相应y值的正负性． = ±
初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．
2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.
第十五讲 统计的思想方法 20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求． 统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学． 随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律． 【例题求解】 【例1】 现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示． (1)由观察所得， 班的标准差较大； (2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分才可以及格． 思路点拨 对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案． 注： 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的： (1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”； (2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势． 【例2】 已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( ) A ．2a+3b B ．b a +3 2 C ．6a+9b D ．2a+b 思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始． 有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？ 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论． 任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个． 上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论． 分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论． 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根． x2+2x-1-4=0，
x 2-2x ＋1-4=0， x 1＝3，x 2=-1． 说明 在去绝对值时，常常要分类讨论． 例2 解方程x 2-[x]=2，其中[x]是不超过x 的最大整数． 解 由[x]的定义，可得 x ≥[x]=x 2-2， 所以 x 2-x -2≤0， 解此不等式得 -1≤x ≤2． 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解． (1)当-1≤x ≤0时，原方程为 x 2-(-1)=2， 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x ＜0)． (2)当0≤x ＜1时，原方程为 x 2=2． (3)当1≤x ＜2时，原方程为 x 2-1=2， 所以 (4)当x=2时，满足原方程．
第八讲由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期． 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法． 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题． 【例题求解】 【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． 思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x 的方程． 注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求． 【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后， 继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的 函数关系，大致是下列图象中的() 思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0 h． 注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．
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第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程 解令y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程 y2-18y+72=0， 所以 y1=6或y2=12． x2-2x＋6=0．此方程无实数根． x2-8x+12=0，
所以 x1=2或x2=6． 经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 例3 解方程 分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 经检验知，x=-9是原方程的根． 例4 解方程
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
2006年义乌市初中数学竞赛试题 班级_________姓名_________成绩_________ 一、选择题（6×6=36分） 1.已知0221≠+=+b a b a ，则b a 的值为（ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）不能确定 2.已知1 22432+--=--+x B x A x x x ，其中A ，B 为常数，则4A-B 的值为（ ） （A ）7 （B ）9 （C ）13 （D ）5 3.在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） （A ）12 （B ）12或13 （C ）14 （D ）14或15 4.已知一次函数k kx y -= ，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过（ ） （A ）第一、二、三象限 （B ）第一、二、四象限 （C ） 第一、三、四象限 （D ）第二、三、四象限 5. 5.如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，F 为△ABC 外的点。连DF 交AC 于E 点，连FC 。现有三个断言： （1）DE=FE ；（2）AE=CE ；（3）FC ∥AB. 以其中的两个断言为条件，其余一个断言为 结论，如此可作出三个命题，这些命题中正确命 题的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 6.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是AC 中点，BE ⊥BD 交CA 的延长线于E ，下列结论 中正确的是（ ） （A ）△BED ∽△BCA （B ）△BEA ∽△BCD （C ）△ABE ∽△BCE （D ）△BEC ∽△DBC 二、填空题（5×8=40分） 7.设-1≤x ≤2，则 22 12++--x x x 的最大值与最小值之差为 . 8.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对. 9.方程210 712122=+++-+x x x x 的解为 .
专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：
全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（3） 例1：解方程084223=+--x x x 。 例2：解方程()()()()197412=+++-x x x x 。 例3：解方程()()()6143762=+++x x x 。 例4：解方程01256895612234=+-+-x x x x 。 例5：解方程52222=??? ??++x x x 。 例6：解方程()()821344=-++y x 。 例7：解方程()()02652112102234=++++---a a x a x a x x ，其中a 是常数，且6-≥a 。 解答：（1）221==x x ，23-=x （2）28552,1±-=x 2554,3±-=x （3）32 1-=x 35 2-=x （4）23 ,32 ,21 ,24321====x x x x （5）2,121=-=x x （6）4,021-==x x （7）622,1+± =a x ，934,3+±=a x 。 练习： 1、填空： （1）方程()()()()24321=++++x x x x 的根为__________。 （2）方程0233=+-x x 的根为__________。 （3）方程025********=+--+x x x x 的根为__________。 （4）方程()()()2 222222367243+-=+-+-+x x x x x x 的根为__________。 （5）方程()()()29 134782=+++x x x 的根为__________。 2、解方程()()()()431121314x x x x x =++++。 3、解方程403322 =??? ??-+x x x 。
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.
第十一讲勾股定理与应用 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理． 勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 a2+b2=c2． 勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系： a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形． 早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法． 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法． 证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为 AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG， 所以△ACE≌△AGB(SAS)．而 所以 S AEML=b2．①
同理可证 S BLMD=a2．② ①+②得 S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2， 即 c2=a2+b2． 证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 所以 AG=GH=HB=AB=c， ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即 化简得 a2+b2=c2．
2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.
2013天津市初中数学竞赛赛试题 所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）： 1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是 （ ）. A 、a b c <≤ B 、b a c <≤ C 、b c a <≤ D 、c a b <≤ 2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若 ⊿ABC 的外接圆半径为6， 111 AD BE CF ++ 的值是（ ）. A 、1 B 、12 C 、13 D 、16 3、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）. A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的图像，与x 轴、y 轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m =-+的图像，与x 轴交于点B.若AB=2，四边形OBPQ 的面 积等于56 ，则 m n m n +-的值为（ ）. A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 5、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，326a a a =+，437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22 二、填空题（每小题7分，满分35分）： 6、若11111101112 19 a = ++++，则a 的整数部分为 . 7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为10 7 x < ，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .
全国初中数学竞赛辅导(初一) （上） 目录 第一讲有理数的巧算 (1) 第二讲绝对值 (10) 第三讲求代数式的值 (17) 第四讲一元一次方程 (24) 第五讲方程组的解法 (32) 第六讲一次不等式(不等式组)的解法 (40) 第七讲含绝对值的方程及不等式 (47) 第八讲不等式的应用 (56) 第九讲“设而不求”的未知数 (64) 第十讲整式的乘法与除法 (73) 第十一讲线段与角 (79) 第十二讲平行线问题 (88)
第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有
2000年上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（每小题7分，共70分） 1、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相较于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE=5，EF=2，则FG= 2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3， C 、 D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和． 3 若n 的十进制表示为99…9（共20位9），则n 3的十进制表示中含有 个数码9。 4 在△ABC 中，若AB=5，BC=6，CA=7，H 为垂心，则AH= 5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是 6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围 7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8、方程211134 x y xy ++=的整数解（x ，y ）= 9、如图，在正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于点O ，若△ABC 的面积为7，△OBC 的面积为2，则BM BA =
=，则y的最大值为 10、设x、y y 二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分） 11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。 12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论． 13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。