第三章 一阶微分方程的解的存在定理
3-1 求下列初值问题的近似解。
1） 求初值问题?????=+=0)0(2y y
x dx dy 的第三次近似解；
2） 求初值问题?????=-=0
)1(2y y
x dx dy 的第二次近似解。
解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在)0,0(，)0,1(的邻域内存在且唯一。下面求它们的近似解。
1） 0)(0=x φ，
2
)(20
1x xdx x φx
==?
，
2
20]4[)(2
5042x x dx x x x φx
+=+=?，
?
???
????????? ??++=x
dx x x x x φ0
2253220)(440016*********x x x x +++=。 2） 0)(0=x φ，
2
12)(21
1-==?
x xdx x φx
，
3011
412620212)(2351
222--++-=???
????????? ??--=
?
x x x x dx x x x φx
。 评注：逐次逼近函数序列00)(y x y =，?
-+
=x
x n n dx x y x f y x y 0
))(,()(10，在实际中
有广泛的应用。利用此序列求近似解时，须验证初值问题的解存在唯一，否则求出的结果可能并不是我们想要的近似解。
3-2 设1,11:),(≤≤+∈y x D y x ，求初值问题
?????=--=0
)1(22y y
x dx
dy 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
解 设2
2
),(y x y x f -=，显然，方程在D 上满足解的存在唯一性定理，则
1,1,4),(max ),(====∈b a y x f M D
y x ，
所以
4
1
)41,1min(),
min(===M b a h ， 方程过点)0,1(-的解的存在区间为：411≤+x ，即4
3
45-≤≤-x 。
设)(x ?是初值问题 0
)1(2
2?????=--=y y
x dx dy 的解，)(2x ?是第二次近似解，则
,0)(0=x ?
3
1
3)(312
1+==?-x dx x x x
?，
42
11
931863])313([)(3471232
2+-+--=+-=?-x x x x dx x x x x
?。
在区间4
1
1≤
+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 3
23224
1
!34)!12()()(L h ML x x =+≤-??， 取
L y y
f
=≤-=??22， 所以 24
1
41!324)()(322=?≤-x x ??。
评注：需要掌握第n 次近似解)(x n ?和真正解)(x ?在区间h x x ≤-0内的误差估计公
式1
)!
1()()(++≤
-n n n h n ML x x ??，在进行近似计算时，可以根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数)(x n ?。
3-3 讨论方程3
1
2
3y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点)0,0(的一切解。
解 设31
2
3
),(y y x f =，则
)0(2
13
2
≠=??-y y y f ， 故在0≠y 的任何区域上y
f
??存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件。
显然，0≡y 是通过点)0,0(的一个解；
又由方程
3
1
2
3y dx dy =得 2
3)(C x y -=。
所以通过点)0,0(的一切解为0≡y 及
?????≥>-≤=
0C , )( )()(
023
C x C x C x y 。 评注：寻找解的存在唯一性定理中的条件所满足的区域，就是寻找),(y x f 连续和关于
y 满足利普希兹条件的区域，困难在于利普希兹条件的验证，除用定义外，还常用下面的结
论：
y
f
??在D 上存在且有界，则),(y x f 在D 上关于y 满足利普希兹条件。 y
f
??在D 上存在且无界，则),(y x f 在D 上关于y 不满足利普希兹条件。 其中D 为某矩形区域。
3-4 证明格朗瓦耳(Gronwall)不等式：设K 为非负常数，)(t f 和)(t g 为在区间
βα≤≤t 上的连续非负函数，
且满足不等式?+≤t
ds s g s f K t f α,)()()(βα≤≤t ， 则有?≤t
ds s g K t f α
),)(ex p()(βα≤≤t 。并由此证明定理3.1中的唯一性结论。
证 1）0>K 时，令
?+=t
ds s g s f K t w α
,)()()(
则
)()()()()(t w t g t g t f t w ≤='。
由0)(>t w 可得
)()
()
(t g t w t w ≤'， 两边从α到t 积分得
?≤
-t
ds s g w t w αα,)()(ln )(ln
即有
?≤t ds s g w t w αα),)(ex p()
()
(0)(>=K w α
所以
?≤t
ds s g K t w α
),)(ex p()(
即有
?≤≤t
ds s g K t w t f α
),)(ex p()()(βα≤≤t 。
2）0=K 时，对任意0>ε，由于?≤
t
ds s g s f t f α
,)()()( 所以
?+≤t
ds s g s f t f α
ε,)()()(
由1）有
?≤t
ds s g t f α
ε),)(ex p()(
当+
→0ε时，有0)(≤t f 。 因为0)(≥t f ，即得0)(≡t f ，从而
?≤t
ds s g K t f α
),)(ex p()(βα≤≤t
综上所述，不等式成立。
唯一性的证明。
设)(),(t t ψ?是初值问题00)(),,(x t x x t f x =='的两个解，则有
?
+=t
t d f x t 0
))(,()(0ξξ?ξ?，?
+
=t
t d f x t 0
))(,()(0ξξ?ξψ。
于是
ξξψξ?ξξψξξ?ξψ?d L d f f t t t
t t t ??-≤-≤-0
)()())(,())(,()()(，
其中L 为利普希兹常数，由上面的不等式可知
0)()(0≤-≤t t ψ?，
因而有)()(t t ψ?≡。
评注：格朗瓦耳不等式是微分方程中的重要不等式，表明积分不等式与其解的关系。用格朗瓦耳不等式证明微分方程初值问题解的唯一性是一个很好的方法。
3-5 假定函数),(y x f 于),(00y x 的邻域内是y 的不增函数，试证初值问题
??
?=='00
)()
,(y x y y x f y （1） 在0x x ≥一侧最多只有一个解。
证 设初值问题（2）存在两个解)(),(21x y x x ??==，要证当0x x ≥时，有
0)()()(21≡-=x x x ???。
反证法。若当0x x ≥时，)(x φ不恒为零，即存在01x x ≥，使得0)(1≠x ?，不妨设
0)(1>x ?，由)(x ?的连续性及0)(0=x ?，知必存在0x ，100x x x ≤≤，使得
0)(0=x ?及0)(>x ?，10x x x ≤≤，
则有
dx x x f x x x
x i i i ?+=0
))(,()()(0???，2,1=i 。
而
dx x x f x x f x x x x
x ?-=-=0
))](,())(,([)()()(2121?????，其中10x x x ≤≤。
由0)()()(21>-=x x x ???及),(y x f 对y 的不增性，知
0))](,())(,([)()(0
2121≤-=-?dx x x f x x f x x x
x ????，10x x x ≤≤，
这与0)(1>x ?矛盾。
因此，对0x x ≥，有0)(≡x ?。
评注：此结论并没有给出初值问题解的存在性，只保证了如果初值问题有解，解必唯一。 3-5 假设函数),(y x f 在区域G 内连续并满足局部李普希兹条件及0)0,(=x f ；又方程
),(y x f y ='的满足初始条件00)(y x y =的解),,(00y x x y y =对一切0x x ≥有定义，试证
下列说法是等价的：
（1） 任给0>ε，可以找到正数),(0x εδδ=，使当δ≤0y 时，对一切0x x ≥有
ε<),,(00y x x y ；
（2） 任给0>ε及00x x >，存在正数),(0x εδδ=，使当δ≤),,(000y x x y 时，对一切
0x x >有ε<),,(00y x x y 。
证 因函数),(y x f 在区域G 内连续并满足局部李普希兹条件，故方程),(y x f y ='的满足初始条件00)(y x y =的解),,(00y x x y y =在区域G 内唯一存在且连续地依赖于初值。又由0)0,(=x f 知，方程在G 内有零解。
先证)2()1(?
0>?ε，由（1）
，存在),(011x εδδ=，使当10δ≤y 时，对一切0x x ≥有ε<),,(00y x x y 成立。
当然，对00x x ≥，有ε<),,(000y x x y 成立，因而存在εεδδ<=<),(0022x ，使得
2000),,(δ 再证)1()2(? 由（2），对任给0>ε和00x x ≥，存在02>δ，使2000),,(δ≤y x x y ，对一切0x x ≥，有ε<),,(00y x x y ，因为方程的解),,(00y x x y y =在G 内连续依赖于初值),(00y x ， 故对已给0>ε，存在01>δ使当10δ≤y 时，在区间00x x x ≤≤上，有ε<),,(00y x x y 。 又过点),(00y x 的解唯一且连续光滑， 故对任给0>ε，存在01>δ，当10δ≤y 时，对一切0x x ≥，均有ε<),,(00y x x y 成立。 3-6 假设函数),(y x f 及 y f ??都在区域G 内连续，又),,(00y x x y ?=是方程 ),(y x f y =' 满足初始条件),,(0000y x x y ?=的解，试证 y ??? 存在且连续，并写出其表达式。 证 1）因),(y x f 及 y f ??都在区域G 内连续，则f 在G 内满足局部利普希兹条件，故解),,(00y x x y ?=在它的存在范围内对00,,y x x 连续。 2）设由初值),(00y x 和0000),,(y y y x ??+足够小，所确定的解分别为 ),,(00y x x y ?= 和 ),,(000y y x x y ?+=ψ， 则这两个解均满足积分方程 ?+=x x dx y x f y y 0 ),(0 。 即 ?+=x x dx φx f y φ0 ),(0和?+?+=x x dx ψx f y y ψ0 ),(00， 所以 ?? ?-+??+?=-?-+?+?=-+?=-x x x x x x dx r y x f y dx y x f y dx x f x f y 0 0)]() ,([ )()) (,( )],(),([1000?ψ??ψ?ψθ??ψ?ψ 其中1r 是关于000,,,y y x x ?的连续函数，且当00→?y 时，01→r 于是有 ??-+??+=?-x x dx y r y x f y 0 10 ]),([ 1? ψ?? ψ， 即0 y z ?-= ? ψ是初值问题 ???? ?=+??=1)(]),([0 1x z z r y x f dx dz ? 的解，因此0 y z ?-= ? ψ是000,,,y y x x ?的连续函数。由上边微分方程解得 ?+??=?-= x x dx r y x f e y z 01]) ,([ ?? ψ， 故存在 ???→?=?-=??x x dx y x f y e y y 00]) ,([000lim ?? ψ?， ???=??x x dx y φx f e y φ0]) ,([0 ， 显然，它是00,,y x x 的连续函数。 评注：我们看到，在 y ??? 表达式中，包含有方程),(y x f y ='满足初始条件),,(0000y x x y ?=的解，一般来说，初值问题解的表达式很难得到，因此，偏导数公式 ???=??x x dx y φx f e y φ0]) ,([0 的实际应用并不广泛，但理论上表明初值问题解对初值的连续可微性。 3-7 假设函数)(x P 和)(x Q 于区间],[βα上连续，试证方程 )()(x Q y x P dx dy +=满足初始条件00)(y x y =的解),,(00y x x y y =，作为00,,y x x 的函数于区域 βαβαβα≤≤≤≤≤≤00,,y x x 上存在连续偏导数 0,,y y x y x y ??????，并写出其表达式。 证 1 因),,(00y x x y y =是方程 )()(x Q y x P dx dy += 满足初始条件00)(y x y =的解，故有 )(),,()(00x Q y x x y x P dx dy +=。 视y 为00,,y x x 的函数，即有 )(),,()(00x Q y x x y x P x y +=??， 又y Q P ,,关于00,,y x x 连续，故存在x y ??且连续。 2 设由初值),(00y x 和),(000y y x ?+所确定的解分别为),,(00y x x y y =和 ),,(000y y x x y y ?+=，则 ??++-+?++?+=-x x x x dx x Q y x x y x P y dx x Q y y x x y x P y y y y 0 ] ))(),,()(([ ] ))(),,()(([00000000 ?-+?=x x dx y y x P y 0 ))(( 0， ??-+=?-x x dx y y y x P y y y 0 0)(1， 即0 y y y z ?-=是初值问题 ?????==1 )()(0x z z x P dx dz 的解，因此0 y y y z ?-= 是000,,,y y x x ?的连续函数。解上方程得 ?=?-=x x dx x P e y y y z 0)(0 ， 故存在 ?→?=?-=??x x dx x P y e y y y y y 00)(000lim ，?==??x x dx x P e y y 0)(0 ， 显然，它在其存在范围内连续。 3 设由初值),(00y x 和),(000y x x ?+所确定的解分别为),,(00y x x y y =和 ),,(000y x x x y y ?+= 则 ??+--++=-?+x x x x x dx x Q y x P y dx x Q y x P y y y 0 0)]()([)]()([00， ?? +-+=-?+x x x x x dx x Q y x P dx x Q y x P y y 0 0)]()([)]()([ ?? -++-=?+x x x x x dx y y x P dx x Q y x P 0 00 ))(()]()([ ?-+?++-=x x dx y y x P x r x Q y x x y x P 0 ))((])(),,()([ 0100000 其中1r 是关于000,,,x y x x ?的连续函数，且当00→?x 时，01→r ，于是有 ??-+++-=?-x x dx x y y x P r x Q y x x y x P x y y 0 1000000)(])(),,()([， 即0 x y y z ?-= 是初值问题 ?????++-==1 000000)](),,()([)()(r x Q y x x y x P x z z x P dx dz 的解，因此0 x y y z ?-= 是000,,,x y x x ?的连续函数，解上方程得 ?++-=?-=x x dx x P e r x Q y x P x y y z 0)(10000 })]()([{， 所以， ?→?+-=?-=??x x dx x P x e x Q y x P x y y x y 00)(0000 00)]()([lim ，?+-=??x x dx x P e x Q y x P x y 0)(0000 )]()([ 在其存在范围内连续。 评注：本题也可直接用3-7题的结果得到证明。可以看到，对于线性方程，初值问题的解对初值的各个一阶偏导数只与初值有关，而与初值问题解的表达式无关，应用较为广泛。 3-8 求曲线族4)()(2 2 =-+-C y C x 的包络，并绘出图形。 解 从 ?? ?=----=-+-0 )(2)(24 )()(22C y C x C y C x 消去C ，得-C 判别曲线为 8)(2 =-y x 。 图3-1 经检验曲线 8)(2 =-y x 是曲线族4)()(2 2=-+-C y C x 的包络。如上图3-1所示。 评注：采用-C 判别曲线法求单参数曲线族的包络必须进行检验。 y 3-9 求解方程01)()( 23=--dx dy y dx dy x 。 解 将原方程变形为 2)(1 dx dy dx dy x y -=， 这是克莱罗方程，故其通解为 2 1 C Cx y - =。 由 ?????=-=--0 2301223py x p yp xp 消去p 得到-p 判别曲线，经检验曲线04273 2=+y x 是方程的奇解。 评注：一阶隐式微分方程的解除过通解，有时还有奇解。一阶微分方程的奇解（如果存在的话）是该方程通解的包络，反之，一阶微分方程通解的包洛（如果存在的话） 是该方程的奇解。因而为了求微分方程的奇解，先求出它的通解，然后采用-C 判别曲线法求单参数曲线族的包络。从本例中还可以看到，如果只需求微分方程的奇解，我们还可采用-p 判别曲线法，同样必须进行检验。 3-10 试证：就克莱罗方程来说，-p 判别曲线和方程通解的-C 判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解。 证 易知克莱罗方程 )(dx dy f dx dy x y += （1） 的通解为 )(C f Cx y += （2） -p 判别曲线为 ?? ?+'-=+='-=) ()()() (p f p f p p f px y p f x （3） 1证明-p 判别曲线上每一点都有方程的通解中的一条曲线通过。 设任给（3）的参数值0p p =，则它对应于（3）上的点),(00y x 为 ?? ?+'-='-=) ()() (000000p f p f p y p f x 再在（2）中选任意常数0p C =，则它所对应的特解为)(00p f x p y += （4） 在曲线（4）上取)(00p f x x '-==时，所对应的y 为 )()(0000p f p f p y +'-= 这就是说，对于曲线（3）上每一点),(00y x ，有曲线族（2）中的一条曲线（4）通过。 2 证明-p 判别曲线与方程通解中的通过同一点的曲线在该点相切。 由（3）得 p dp p f dp p f p f p p f dx dy =''-'+''-'-=)()]()()([ 故（4）与（2）在-p 判别曲线上每一点的斜率都相同。 3 证明方程通解的包络线（或方程的奇解）不包含在方程通解中。 因（2）是一直线族，（3）是以p 为斜率的曲线，对于不同的p 值，曲线（3）上的点),(y x 处的斜率不等，故（3）不可能是直线，因而（3）不包含在（2）之内。 由上述三点知（3）是（2）的包络。 又（2）的-C 判别曲线为 ?? ?'-=+=) () (C f x C f Cx y 与-p 判别曲线（3）形式相同，所以（5）和（3）同样是（2）的包络，从而为方程（1）的奇解。 评注：此题的证明过程给出了检验一曲线是否为一单参数曲线族的包络线的一种方法。 第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝ 孔口截面面积 重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=---- 小学解方程（经典50题） 35 3141=+ x x 2、45 9 4=- x ）（ 3、 18 5 1=+ x x 4、8 516 5=+ x 5、15 84 3 = ÷x 6、185 1=+x x 7、2753=x 8、 14 17 2= - x x 9、 9 88 9= ÷ x 10、33 211 3=-x 11、 0.4x=0.72 12、 3212 5=-x 13、283 11(=+x ） 14、 40 )7 21(=- x 15、 365 2=- x x 16、5574=+ x x 17、 16 5 4=÷ x 18、 6 53 2= x 19、10 495 13 2= - x x 20 5)4 18 3( =- x 21、 4 92 14 3= + x x 22、8 35 4= -x x 23、 9 55 68= ÷ x 24、 16 510 9=- x x 25、3 216 34 12 1? = - x x 26、 10 95 14 1= + x x 27、 6 53 510 15 3= ? + x 28、40 7)4 13 1(= + ?x 29、 10 1489 1÷ =- x x 30、 18 59 5= x 31、5 412=x 32、 156 5=x 33、 3 28 3= ÷ x 34、9 84 3= +x 35、 5 215 4= - x 36、 20 74 3= + x x 37、3 27 6= ÷x 38、 2 74 72 3= - x 39、 8 9 44 3÷= ÷ x 40、56 1=-x x 41、 214 3=+ x x 42、 12 )3 11(=+ x 43、15 5 25 1=+ x x 44、10 )4 18 3( =+ x 45、 24)7 11(=- x 46、4 36 1= ÷x 47、 5 215 7= ? x 49、 3 17 6= ÷ x 50、25 1852= x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68 53、5x+2(20-x)=82 54、 4x+2(35-x)=94 解方程测试题 请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 x-104=33.5 x+118=11.9 26.4×x=40 62.2-x=70.7 x÷31=21.0 69.4+x=87.4 94.8+x=48.2 37.3x=84.1 91.1x=38.7 x÷13.3=14.5 31.4x=59.8 41.7x=69.9 105x=82.6 x×7.1=10.7 x+75.4=16 x÷63=42.2 x-8=32.8 64.2x=78 14÷x=21 59.9-x=40 9.8+x=99.3 44.2-x=86.1 x÷35.0=9.0 52.6-x=52.0 x×63.4=62.7 2.8-x=52 x÷41.0=139 9.6x=97.2 51x=42.9 x-48.8=95 x×6.8=25.4 118+x=35 56.6x=54.0 23x=145 x+50.3=28.1 54.6+x=96.2 x+89.2=59.1 45x=48 28.7x=83.5 17.3x=60.8 x+101=20.8 55.9x=75.2 59.7-x=23 x÷61.6=55.0 45.3÷x=79.5 x-48.2=85 x×43.6=62.6 5.9x=6.1 80.3x=11.7 104x=47.7 x×100.7=70 92.1x=27.3 56x=56 x÷16.8=88.3 95x=90.8 49.6x=125 2.1+x=73.4 16.7÷x=76.8 x+99=37.9 33÷x=56.6 48.5÷x=61.8 x÷3.6=96.5 68.0÷x=73 x×16.8=5.0 26.9x=88.0 45.5x=87 x×82=48.1 88.5+x=20.8 53.3x=21.3 95x=42.1 68÷x=139 x+34.7=135 x-63.1=43 19.5÷x=116 1.6x=5.7 2.3x=68.1 55.6+x=99.4 94.8÷x=28.9 100.3÷x=101 x+21.0=128 17-x=6.6 x-51=95.5 33.7×x=126 1.8x=111 48.4x=56 x×43.3=93.6 65.6x=100.9 6.8÷x=78.7 38.7-x=90.8 100x=143 64+x=31.9 x×122=28.7 x-55.1=95 17-x=92.8 x+20.8=53.1 90.9x=80.1 30.6x=58 43.9-x=37.2 6x=25.6 66.6x=113 x×21.0=65.6 x×30.6=51.1 58x=88.5 86.1x=89.5 x÷19.2=22.3 8.9×x=55 94.5+x=36.4 129x=86.3 第二章 一阶微分方程的初等解法 x 2-1已知f(x) f(t)dt 1, x 0,试求函数f (x)的一般表达式。 0 x 解 对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得 x f (x) f (t)dt f 2(x) 0， f (X)丄 f(x) f 2(x) 0 ， 分离变量，可求得 代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x) 评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。 解由导数的定义可得 x(t s) x(t) x (t) lim s 0 s 2 |im x(s) x (t)x(s) s 0 [1 x(t)x(s)]s lim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s 显然可得x(0) 0，故 分离变量，再积分可得 x(t) [1 2 x (t)] !i 叫 x(s) x(0) s x (0) [1 x 2(t)] f(x) 、2(x C)' 1 2x 。 而是需将通解代回原方程来 2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s) 的函数x(t)，已知x (0)存在。 x(t) tan[x(O)t C], 再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。 评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。 2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因 1 xM(x,y) yN(x, y) 证方法1用凑微分法求积分因子。 我们有恒等式 M (x, y)dx N (x, y)dy 1 dx dv 2 {(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x 鱼din (xy)， x y 空翌din仝， x y y 所以原方程变为 -{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。 2 y 1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x -d ln(xy) d in 0， 2 2 M(x,y)x N(x,y)y y 由于M( x ,y) x N(x, y)y 为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y y I X MX" N(x,y)y % 巧F(in^)， M(x,y)x N(x,y)y y y N (x，y)y)(￥3)} y 用(x,y) 1 M(x,y)x 乘上式两边，得 N(x,y)y 微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 1 2 =-， 积分得 C x u +=ln 1 ， 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=， 得 0)2(4 224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1， 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。 简易方程 【知识分析】 大家在课堂上已经学了简单的解方程，现在我们学习比较复杂的解方程。首先，我们要对方程进行观察，将能够先计算的部分先计算或合并，使其化简，然后求出X的值。 【例题解读】 例1解方程：6X+9X-13=17 【分析】方程左边的6X与9X可以合并为15X，因此，可以将原方程转化成15X-13=17，从而顺利地求出方程的解。 解：6X+9X-13=17， 15X-13=17 15X=30 X=2。 例2解方程：10X-7=4.5X+20.5 【分析】方程的两边都有X,运用等式的性质,我们先将方程的两边同时减去4.5X,然后再在两边同时加上7,最后求出X. 解:10X-7-4.5X=4.5X+20.5-4.5X, 5.5X-7=20.5 5.5X-7+7=20.5+7 5.5X=27.5, X=5. 【经典题型练习】解方程:7.5X-4.1X+1.8=12 解方程:13X+4X-19.5=40 解方程:5X+0.7X-3X=10-1.9 解方程练习课【巩固练习】 1、解方程：7（2X-6）=84 2、解方程5（X-8）=3X 3、解方程4X+8=6X-4 4、解方程7．4X-3.9=4.8X+11.7 列方程解应用题 【知识分析】 大家在三四年级的时候一定学过“年龄问题”吧！记得那时候思考这样的问题挺麻烦的，现在可好啦！我们学习了列方程解应用题，就可以轻松地解决类似于这样的应用题。 【例题解读】 例题1 今年王老师的年龄是陈强的3倍，王老师6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等，陈强和王老师今年各是多少岁？ 【分析】要求陈强和王老师两个人的年龄，我们不妨设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，然后根据“王老师在6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等”这个数量关系式，列出方程。解：设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，可列方程：3X-6=X+10，2X=16，X=8 3X=3×8=24 答：陈强今年8岁，王老师今年24岁。 例题2 今年哥哥的年龄比弟弟年龄的3倍多1岁，弟弟5年后的年龄比3年前哥哥的年龄大1岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【分析】先表示出哥哥和弟弟今年的年龄，然后运用弟弟5年后，哥哥3年前的年龄作为等量关系。 解：设弟弟今年X，那么哥哥今年（3X+1）岁，可列方程 X+5=3X+1-3+1，X+5=3X-1，6=2X，X=3。 3X+1=3X3+1=10 答：哥哥今年10岁，弟弟今年3岁。 一阶微分方程典型例题 例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x . 解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N ?，且有 )(x N kx dt dx ?=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =?)(，积分之，kNt kNt ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0 0x N x c ?= 例2 求2 sin 2sin y x y x y ?=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y ?=′.当02 sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22 sin ?=, 积分之，得通积分 2 sin 44tan ln x c y ?=. 对应于02 sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin ≠y ，故所求通解中可能会失去使 02 sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y 的特解. 解法1 把原方程改写为x e y x y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x ????∫∫??∫∫??=+=?+=?+?????????? ∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x e x x y x 11+?=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx d =)(，积分后，得c e x xy x +?=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x e x x y x 11+?=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=?+?dx x xy dy x 满足初始条件 10 ==x y 之特解. 解 将原方程改写为1 cos 1222?=?+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ????????+∫?∫=∫??? c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2?+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =?，故特解为2sin 11 x y x ?=?. 例5 求方程 4y x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程 31y x y dx dy =?. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得 ?? ????+=????????+∫∫=∫?c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析. 例1：解方程组?? ? ??==++=++③②①y x z y x z y x 4225212 例2：解方程组?? ? ??=++=++=++③ ②①17216 2152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。 例3：解方程组?? ?=+-=② ①21 327 :2:1::z y x z y x (解法有两种) 分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系. 典型例题举例4：解方程组?? ? ??===++③② ①4:5:2:3:111z y x y z y x (解法有两种) 分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系. 例5：解方程组34,6, 2312.x y z x y z x y z -+=?? ++=??+-=? ①②③ 分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： （一） 消元的选择 1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。 典型例题举例6：解方程组2439,32511, 56713. x y z x y z x y z ?++=∨?? -+=∨???-+=? ??①②③ 分析：通过比较发现未知项y 的系数的最小公倍数最小，因此确定消y 。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。 例7、解方程组134********=-+-=++=+-z y x z y x z y x 例8、已知0432=-+z y x ，0543=++z y x ，求z y x z y x +-++的值。 列方程解应用题及解析 例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数． 分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如 果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又 根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出 方程． 解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65． 答：甲数是65，乙数是24． 例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天 思路1： 分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务 需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作 量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25 ％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因 此列出方程的等量关系是：提高后的工效x 所需的天数=剩下台数． 解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×=1600-400 100x=1200 x=12． 答：完成计划还需12天．例4 中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛 分析若把男、女生人数分别设为x人和y 人．依题意全体学生 的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确 定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数= （男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生 人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而 使问题得解． 解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人． 79x+71y＝（x+y）×76 79x+71y＝76x+76y 3x＝5y ∴x：y=5：3 总份数：5＋3=8． 在380～450之间能被8整除的最小三位数是384，所以参加邀 请赛学生至少有384人． 男生：384×=240（人） 5 8 女生：384×=144（人） 3 8 答：男生至少有240人参加，女生至少有144人参加． 例 5 瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入 100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已 知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值 a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈， 【同步教育信息】 一、本周教学主要内容： 列方程解决实际问题（1） 二、本周学习目标： 1、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。 2、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。 3、在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考，主动与他人合作交流，自觉检验等习惯。 三、考点分析： 经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解决问题的过程，在过程中自主理解并掌握有关方程的解法，加深对列方程解决实际问题的体验。 四、典型例题 例1、小强的爸爸今年37岁，比他年龄的3倍还大4岁，小强今年是多少岁？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）小强爸爸的年龄（已知）37岁；（2）小强的年龄（未知）乘3再加上4岁和他爸爸年龄一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小强今年多少岁不知道，可以设为x岁。 小强的年龄×3 + 4 岁 = 小强爸爸的年龄 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小强今年是x岁。 3x + 4 = 37 3x + 4 - 4 = 37 – 4 ┄┄（） 3x = 33 x = 33 ÷ 3 ┄┄（） x = 11 这道题你会检验吗？ 答：小强今年11岁。 这道题你还会列其它方程解答吗？（依据不同的数量关系可以列出不同的方程） 点评：实际解答这一题时，还可以想出几种不同的数量关系式。但是，对于符合题意的数量关系式，我们在解题时一般用最容易想到的数量关系式，即顺着题目的意思所想到的数量关系式。 例2、一种墨水有两种包装规格，大瓶容量是1.5升，比小瓶容量的4倍少0.9升，小瓶容量是多少？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）大瓶容量（已知）1.5升；（2）小瓶容量（未知）乘4减去0.9升和大瓶容量一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小瓶容量不知道，可以设为x升。 小瓶的容量×4 - 0.9升 = 大瓶的容量 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小瓶的容量是x升。 4x – 0.9 = 1.5 4x - 0.9 + 0.9 = 1.5 + 0.9 4x = 2.4 x = 2.4 ÷ 4 x = 0.6 这道题你会检验吗？ 答：小瓶的容量是0.6升。 点评：在解形如ax±b=c的方程时，要先把ax看作一个整体，根据等式的性质在方程的两边同时加上或减去或乘一个相同的数，变形为“ax= b”的形式，最后再求出x的值。 例3、一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？ 分析与解： 根据题目可以得出这一题的等量关系式是：三角形的面积=底×高÷2 微分方程例题选解 微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-== 。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+??=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 2 1[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2 y x x =+。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 12=-， 积分得 C x u +=ln 1， 原方程的通解为 ln x y x C =+。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3223--- 4222244 1)(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(4 14224y y x x d --=， 得 0)2(4224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--42242。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222=--r r ，特征根为 i r ±=1， 五年级解方程典型练习题 【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。 1、判断。 ①含有未知数的等式叫做方程。---------------------- （） ②x＋8是方程。----------------------------------- （） ③因为2=2×2，所以a=a×a。------------------------ （） ④方程一定是等式。----------------------------------（） 2、口算下面各题。 3.4a－a= a－0.3a= 3.1x－1.7x= 0.3x＋3.5x＋x= 15b－4.7b= 6.7t－t= 32x－4x－6x= x－0.5x－0.04x= 3、解方程。 2x＋0.4x=48(并检验) 8x－x=14.7 35x＋13x=9.6 4、列出方程，并求出方程的解。 ①x的7倍比52多25。②x的9倍减去x的5倍，等于24.4。 【课外训练】 1、解方程。5(x＋3)=35 x＋3.7x＋2=16.1 14x＋3x －1.2x=158 2、两个数的和是144，较小数除较大数，商是3，求这两个数各是多少？ 练习二 【知识要点】进一步学会解含有三步运算的简易方程。 1、解方程。（第1、2题写出检验过程） 0.52×5－4x=0.6 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋ 2.4×3=12.4 x＋(3－0.5)=12 7.4－(x－ 2.1)=6 2、列出方程，并求出方程的解。 ①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。 ②x的5倍比3个7.2小3.4。 ③一个数的3倍加上它本身 【课外训练】 1、在下面□里填上适当的数，使每个方程的解都是x=2。 □＋5x=25 5x－□=7.3 2.3x×□=92 2.9x ÷□=0.58 2、列方程应用题。 ①果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？ ②王阿姨买空11个暖瓶，付了200元，找回35元，每个暖瓶多少元？ ③一个长方形的周长是35米，长是12.5米，它的宽是多少米？ ★3、解方程：5x＋34=3x＋54 7x－27=13－3x 四年级解方程典型练习题 练习一 【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。 2、口算下面各题。 3.4a－a= a－0.3a= 3.1x－ 1.7x= 0.3x＋3.5x＋x= 15b－4.7b= 6.7t－t= 32x－4x x－0.5x－0.04x= 3、解方程。 2x＋0.4x=48(并检验) 8x－ x=14.7 35x＋13x=9.6 4、列出方程，并求出方程的解。 ①x的7倍比52多25。②x的9倍减去x的5倍，等于24.4。 ①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。②x的5倍比3个7.2小3.4。 ③一个数的3倍加上它本身 2、苹果：x千克 梨子：比苹果多270千克 求苹果、梨子各多少千克？ 3、两个数的和是144，较小数除较大数，商是3，求这两个数各是多少？ 练习二 1、解方程 0.52×5－4x=0.6 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋2.4×3=12.4 x＋(3－0.5)=12 7.4－(x－2.1)=6 5(x＋3)=35 x＋3.7x＋2=16.1 14x＋3x－1.2x=158 5x＋34=3x ＋54 【拓展训练】 1、在下面□里填上适当的数，使每个方程的解都是x=2。 □＋5x=25 5x－□=7.3 2.3x×□ =92 2.9x÷□=0.58 2、列方程应用题。 ①果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？ ②王阿姨买空11个暖瓶，付了200元，找回35元，每个暖瓶多少元？ ③一个长方形的周长是35米，长是12.5米，它的宽是多少米？ 练习三 1、①学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表 示，20x＋x表示。 ②一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典元，3本故事书和2本字典一共 是元。 ③甲数是x，乙数是甲数的3倍，甲乙两数的和是。 ④如果x=2是方程3x＋4a=22的解，则a= 。 2、解方程。 5x＋2x=1.4＋0.07 6x－3x=6÷5 x－13.4＋ 5.2=1.57 0.4×25－3.5x=6.5 7x＋3×1.4x=0.2×56 5×(3－2x)=2.4×5 2 第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变 量的微分方程、 、单项选择题 1.下列所给方程中，不是微分方程的是 (A) xy 2y ； (C) y y 0 ； 4 2?微分方程5y y xy (A) 1 ； (B) 2 ； 3. 下列所给的函数，是微分方程 (A) y C i cosx ； (C) y cosx Csinx ； 齐次微分方程 2y (3) ( x 2 (7x (B) (D) 0的阶数是( (C) 3 ； y (B) (D) 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是 (A) y e x y ； (B) xy (C) y xy 1 0 ； (D) (x ). 2 2 y C ； 6y)dx (x y)d y ). (D) 4 ； 0的通解的是( ). C 2 sin x ； G cosx ( ). y x ； y)dx (x 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是 (A) y (C) y 、填空题 c x y e ; xy x 0 ； (B) xy (D) (x 答(B). 答(C). C 2 si nx 答(D). y)dy 0. 答(A). ( 2 y x y)dx 答(D). 1. 函数y 5x 2是否是微分方程 xy 2y 的解？ 答: 是. 2 . 微分方程 dx dy 0, y x 3 4的解是 .答: 2 x 2 y 25 . y x 3 x 2 冬C . 3 . 微分方程 3x 2 5x 5y 0的通解是 . 答: y 5 2 4 . 微分方程 xy y ln y 0的通解是 答: y Cx e . 5 . 微分方程 1 2 x y -1 y 2的通解是 . 答: arcsin y arcsin x 6 . 微分方程 xy y y(ln y ln x)的通解是 . 答: _y x Cx e 三、解答题 y)； C . xy a(y 2 (x y)d y 1?求下列微分方程的通解. ⑵ (1) sec xtanydx s ec ytanxdy 0 ； 解: 解： dy 心y ⑶ —10 ； ⑷ dx 解: 解： 2 . 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 2x y y e , y x 0 0 ; (2) 解 : 解： ⑶ xdy 2ydx 0, y x 2 1; ⑷ 解: 解： y (y 2 x 3 o. y si nx yl ny 【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。 1、判断。 ①含有未知数的等式叫做方程。---------------------------------（） ②x＋8是方程。------------------------------------------------------（） ③因为2=2×2，所以a=a×a。------------------------------------（） ④方程一定是等式。-------------------------------------------------（） 2、口算下面各题。 3.4a－a= a－0.3a= 3.1x－1.7x= 0.3x＋3.5x＋x= 15b－4.7b= 6.7t－t= 32x－4x－6x= x－0.5x－0.04x= 3、解方程。 2x＋0.4x=48(并检验) 8x－x=14.7 35x＋13x=9.6 4、列出方程，并求出方程的解。 ①x的7倍比52多25。②x的9倍减去x的5倍，等于24.4。 【课外训练】 1、解方程。5(x＋3)=35 x＋3.7x＋2=16.1 14x＋3x－1.2x=158 x千克 2、苹果： x千克 270千克 梨子： 求苹果、梨子各多少千克？ ★3、两个数的和是144，较小数除较大数，商是3，求这两个数各是多少？ 【知识要点】进一步学会解含有三步运算的简易方程。 1、解方程。（第1、2题写出检验过程） 0.52×5－4x=0.6 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋ 2.4×3=12.4 x＋(3－0.5)=12 7.4－(x－2.1)=6 2、列出方程，并求出方程的解。 ①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。②x的5倍比3个7.2小3.4。更多免费资源下载小学数学试题中心 ③一个数的3倍加上它本身④20 20 20 20 x x 正好是9.6，求这个数。 360 【课外训练】 1、在下面□里填上适当的数，使每个方程的解都是x=2。 □＋5x=25 5x－□=7.3 2.3x×□=92 2.9x÷□=0.58 2、列方程应用题。 ①果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？ ②王阿姨买空11个暖瓶，付了200元，找回35元，每个暖瓶多少元？ ③一个长方形的周长是35米，长是12.5米，它的宽是多少米？ ★3、解方程：5x＋34=3x＋54 7x－27=13－3x 微分方程的例题分析及解法 本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解 法，微分方程的应用。 一、常微分方程的概念 本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基 本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定 理。 二、一阶常微分方程的解法 本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。 对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离； 对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解 非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式： ()()?? ????+??=?-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程 )(x y f y =' 令x y u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。 三、二阶微分方程的解法 1．特殊类型的二阶常微分方程 本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法： （1）)(x f y =''，直接积分； （2）),(y x f y '=''，令p y ='， （3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dy dp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。 2．二阶线性常系数微分方程 二阶线性常系数微分方程求解的关键是： （1）特征方程 对于相应的齐次方程，利用特征方程 02=++q p λλ 求通解： （2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点 )()(x P e x f m x μ= 和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~ cos )()(+= 设置特解* y 的形式，然后使用待定系数法。 四、微分方程的应用 求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应 该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相 应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。 一、疑难解析 （一）一阶微分方程 1．关于可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如 0)()()()(2211=+dy y g x f dx y g x f （1） 的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若 0)()(12≠y g x f ，则方程（1）可化为变量已分离的方程 dx x f x f dy y g y g ) ()()()(2112-= 两端积分，即得（1）的通解： C x F y G +=)()( （2） （2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求 出其通解为)sin(c x y +=，但显然1±=y 也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例 子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。 有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求 解。如齐次型微分方程。 )(x y f y ='或)(x y f dx dy = （3） 可用代换ux y =化为 新人教版七年级一元一次解方程计算题100道经典题型（全部） 一、解方程（移项与合并同类项）20分 1、x x 232-=- 2、463127.253.13?-?-=-+-x x x x 3、x x 21-=- 4、x 355-= 5、15=-x 6、1835+=-x x 7、x x 237+= 8、x x x 58.42.13-=-- 9、26473-=+-x x x 10、x x x 910026411-=-+ 11、x x x x 43987--=+- 12、x x x 25.132-=+- 13、x x 3.15.67.05.0-=- 14、3.05.064-=-+-x x x 15、152 +-=-x x 16、353 6+-=-x x 17、32 23 =x 18、168421x x x x x ++-+= 19、43 2214+=-x x 20、x x x 32 12-=- 二、解方程（去括号）30分 1、4)1(2=-x 2、5)1(10=-x 3、95)3(+=--x x 4、)12(1)2(3--=+-x x x 5、)15(2)2(5-=+x x 6、)4(3)2()1(2x x x -=+-- 7、1)1(234+-=+x x 8、x x x 31)1(2)1(-=--+ 9、)1(3)14(6)2(2x x x -=--- 10、)1(9)15(3)2(4x x x -=--- 11、)12(3)32(21+-=+-x x 12、x x x 31)1(2)1(-=--+ 13、)9(76)20(34x x x x --=-- 14、)3()2(2+-=-x x 15、)1(72)4(2--=+-x x x 16、)43(23)165(2--=+-x x x 17、)12(41)2(3--=+--x x x 18、)4(12)2(24+-=-+x x x 19、)1(9)14(3)2(2x x x -=--- 20、)1(9)14(3)2(2y y y -=--+ 21、)9(76)20(34x x x x --=-- 22、17}20]8)15(4[3{2=----x 23、2)]}4(8[2{3]5)4(3[2----=-+--x x x x x x 24、) 1(32 )1(2121-=??????--x x x第七章 微分方程经典例题
小学解方程经典50题
解方程练习题【经典】
【习题】第二章一阶微分方程的初等解法
微分方程例题选解
五年级数学简易方程典型练习题
一阶微分方程典型例题
三元一次方程经典例题
小学解方程经典例题
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
六年级列方程解决实际问题典型例题解析1(通用)
微分方程例题选解演示教学
五年级解方程典型练习题
四年级解方程典型练习题
微分方程(习题及解答)0001
五年级解方程典型练习题
(整理)微分方程的例题分析及解法
新人教版七年级一元一次解方程计算题100道经典题型(全部)教学提纲
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