1.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【考点】 等差数列、充分必要性
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知4652S S S d
+-=， 结合充分必要性的判断，若q
p
?，则p 是的充分条件，
若q
p
?，则p 是的必要条件，该题“0
>d
”?“0
2564
>-+S S S ”，故为充要条
件．
2.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前项和，若844S S =，则10a =
（ ）
（A ）
172
（B ）
192
（C ）10 （D ）12
【答案】B ∵公差1
d
=，8
4
4S S =，∴11118874(443)
2
2
a a +??=+
??，解得1a =
12
，∴
101119992
2
a a d =+=
+=
，故选B.
【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.学！
3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1
352,10
a a a =+=，则7a =（ ）
.5
A
.8
B
.10
C
.14
D
【答案】B
试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610
a d +
=，所以，
1
1021
6
a d -=
=
所以，7
16268
a a d =+=+=.故选B.
考点：等差数列通项公式.
【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答.
4. 【2014天津，文5】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n
项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.2
1 D .12
-
【答案】D
考点：等比数列
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前项和公式表示出，，，421S S S 然后依据，，，421S S S 成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前项和公式通过列方程或方程组就可以解出.
5. 【2014辽宁文9】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1
{2}n
a a 为递减数列，则
（ ） A ．0
d
< B ．0
d
> C ．10
a d
< D ．10
a d
>
【答案】C
试题分析：由已知得，111
2
2
n
n a a a a -<，即
111
21
2
n
n a a a a -<，1
n
1(a
)
21
n a a --<，又n 1a n a d
--
=，
故1
21a d
<，从而10
a d <，选C ．
【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性．
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用1{2
}n
a a 是递减数列，确定得到
111
21
2
n
n a a a a -<，得到结论.
本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力. 6. 【2015新课标2文5】设n S 是等差数列{}n a 的前项和,若1353
a a a ++=,则5
S =
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．11 【答案】A
【考点定位】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用.
【名师点睛】本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质,利用此性质可得
1532.
a a a +=高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,
在解答时要注意数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. 7. 【2015新课标2文9】已知等比数列{}n a 满足114
a =,()35441a a a =-,则2
a =
（ ）
A.2
B .1
1C.
2
1D.
8
【答案】C
试题分析：由题意可得
()2
35444412
a a a a a ==-?=,所以
3
41
82
a q
q a =
=?= ,故
2112
a a q ==
,选C.
【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算. 【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质
2
11n n n
a a a -+= 得到一个关于
4
a
的一元二次方程,再通过解方程求
4
a 的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本
量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.学#
8.【2014全国2，文5】等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a
成等比数列，则{}
n a 的前项和n S =
（ ）
A.
(1)
n n + B. (1)
n n - C.
(1)
2
n n + D.
(1)
2
n n -
【答案】A 由已知得，
2
4
28
a a a =?，又因为
{}n a 是公差为2的等差数列，故
2
222(2)
(6)
a d a a d +=?+，
2
2(4)
a +22(12)
a a =?+，解得
24
a =，所以
2
(2)n a a n d =+-2n =，故1()
(n 1)
2
n n n a a S n +=
=+．
【考点定位】1.等差数列；2.等比数列.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项的概念，等差数列的前n 项和公式，本题属于基础题，解决本题的关健在于熟练掌握相应的公式.
9.【2015高考广东，文13】若三个正数，，成等比数列，其中5a =+5c =-，
则b
=
．
【答案】
【考点定位】等比中项．
【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若，G ，成等比数列，则G 称为与的等比中项，即2
G a b
=．
10. 【2014高考广东卷.文.13】等比数列{}n a 的各项均为正数,且15
4
a a =,
则2
122232425lo g lo g lo g lo g lo g a a a a a ++++=
.
【答案】. 由题意知2
15
34
a a a ==,且数列{}n a 的各项均为正数,所以3
2
a =,
()()()
2
2
35
12345152433352
a a a a a a a a a a a a a ∴=??=?==,
()5
21222324252123452log log log log log log log 25
a a a a a a a a a a ∴++++===.
【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算,属于中等偏难题. 【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算，即等比数列{}n a 中，若m n p q
+=+（m 、、p 、
q *
∈N
），则m n
p q
a a a a =，()lo g lo g lo g a a a M N =M +N （0
a >，
1a ≠，0
M >，0
N
>）．
11.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n
a a a S +==为{}n a 的前n 项
和，若126
n
S =，则n
=
.
【答案】6
考点：等比数列定义与前n 项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.
12.【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，
7
a 成等比数列，且1221a a +
=，则1a =
，
d =
．
【答案】
2,13-
由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320
a d +=，又因为1221
a a +
=，
即131a d +=，所以121,3
d a =-=
.
【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.
13. 【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5
若这组数有21n +个，则1
1010
n a +=，
212015
n a +=，又12112n n a a a ++
+
=，所以1
5
a =；
若这组数有2n 个，则1101022020
n
n a a ++=?=，22015
n
a =，又
121n n n a a a a ++=+，所以15
a =；
故答案为5
【考点定位】等差数列的性质.
【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能
是奇数个.然后利用等差数列性质m n p q
m n p q a a a a +=+?+=+.2.本题属
于基础题，注意运算的准确性.
14.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前项的和为n S ,已知
3676344
S S =
=
,,则8a = ▲ .
【答案】32
【考点】等比数列通项
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
15.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列． 【答案】（1）(2)
n
n a =-；（2）3
2
)1(3
21
+?
-+=
n n
n
S ，证明见解+析．
试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2
q =-，1
2
a =-；（2）利用等差中项
证明S n +1，S n ，S n +2成等差数列．
试题详细分析：（1）设{}n a 的公比为．由题设可得12
1
(1)2(1)6a q a q q +=??++=-? ，解得2
q
=-，
12
a =-．
故{}n a 的通项公式为(2)
n
n a =-．
（2）由（1）可得1
1(1)22
()
13
3
1n
n n
n
a q S q
+-=
=--
+-．
由于3
2
1
2
142
222
()
2[()
]23
13
3
13
n n n n
n
n n n S S S +++++-+=--
++=-=-
，
故1n S +，n S ，2n S +成等差数列． 【考点】等比数列
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等
注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
16.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，等比数列{}n b 的前项和为n T ，11221,1,2
a b a b =-=+=
(1)若3
35
a b += ，求{}n b 的通项公式；
（2）若321T =，求3
S .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 时， .当 时， .
试题详细分析：（1）设 的公差为d ， 的公比为q ，则,
.由 得
d+q=3. ①
（1） 由 得 ②
联立①和②解得
（舍去），
因此 的通项公式 （2） 由得 .
解得
当 时，由①得 ，则 . 当 时，由①得 ，则 . 【考点】等差、等比数列通项与求和
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等
注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
17.【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210
a a +
=，
432
a a -=．
（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设等比数列{}n b 满足23
b a =，3
7
b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？
【答案】（I ）22
n
a n =+；（II ）6
b 与数列{}n a 的第63项相等.
试题详细分析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为4
32
a a -=，所以2
d
=.
又因为1210
a a +=，所以1210
a d +
=，故1
4
a =.
所以42(1)22n
a n n =+-=+
(1,2,
)
n =. （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为. 因为238b a ==，3
716
b a ==，
所以2
q =，1
4
b =. 所以61
642
128
b -=?=.
由12822n =
+，得63n =.
所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.
考点：等差数列、等比数列的通项公式.
【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：()11n
a a n d
=+-，等比数列的通项公式：1
1n n
a a q
-=．
18. 【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前项和为n S ，
n *
∈N
．已知11a =，232
a =
，3
54
a =
，且当2
n
≥
时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
（1）求4a 的值； （2）证明：112n n a a +?
?
-
????
为等比数列；
（3）求数列{}n a 的通项公式．
【答案】（1）7
8；（2）证明见解+析；（3）()1
1212n n a n -??
=-? ?
??
．
再将数列1
12
n n a a +?
?
-???
?的通项公式转化为数列12n n a ??
??
????????
???????
是等差数列，进而可得数列
{}n a 的通项公式．
试题详细分析：（1）当
2
n =时，
423458S S S S +=+
，
即43533541
5181124224a ?
?
?
???+++++=+++ ? ? ??
?
?
?
?
?，解得：47
8
a =
（2）因为
21458n n n
n
S S S S ++-+=+
（2
n ≥），
所
以
21114444n n n n n n
S S S S S S ++-+-+-=-（2
n ≥），即2144n n n a a a +++=（2
n ≥），因为312
5441644
a a a +=?
+==，所
以
21
44n n n a a a +++=，
因
为
()
21
2111
1111114242212
14242222
2
n n n n n n n n n n n
n n
n n
n n
a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----==
=
=
----
，所以数列
1
12n n a a +??
-????
是以2
111
2
a a -
=为首项，公比为
12的等比数列
（3）由（2）知：数列11
2n n a a +?
?
-
???
?
是以2
111
2
a a -
=为首项，公比为
12
的等比数
列，所以1
1112
2n n n
a a -+??
-
= ???
即
11
41122n n n n
a a ++-
=???? ? ???
??
，所以数列12n n a ??????
??
????
???????
是以
12
12
a =为首项，公差为的等差数列，
所以
()2144212n n
a n n =+-?=-?? ???
，即()()1
11422122n n n a n n -????
=-?=-? ? ?
????
，所以
数列{}n a 的通项公式是()1
1212n n a n -??
=-? ?
??
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式. 【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题．
本题通过将n S 的递推关系式转化为n a 的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件“2
n
≥”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识
点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义：1n n
a q
a +=（常数），等比数列的通项公式：1
1n n
a a q
-=，等差数列的通项
公式：()11n
a a n d
=+-．
19.【2016高考新课标2文数】等差数列{n a }中，3
4
57
4,6
a a
a a
+=+=.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ） 设[]
n
n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大
整数，如0.9]=0,2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）235
n n a +=
；（Ⅱ）24.
试题分析：(Ⅰ) 题目已知数列{n a }是等差数列，根据通项公式列出关于1a ，d 的方程，解方程求得1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）根据条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求n b ，需要对n
=
分类讨论，再求数列{}n b 的前10项和.
当n =
1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；
当n =
4,5时，23
2
3,2
5n n b +≤
<=； 当n =
6,7,8时，23
34,35n n b +≤<=； 当n
=
9,10时，234
5,4
5
n n b +≤
<=，
所以数列{}n b 的前10项和为1322334224
?+?+?+?=.
考点：等差数列的性质 ，数列的求和.
【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错；
20.【2016高考北京文数】（本小题13分） 已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且3
2
=b ，9
3
=b ，11b a =，4
14b a =.
（1）求}{n a 的通项公式； （2）设n
n n
b a
c +=，求数列}{n c 的前n 项和.
【答案】（1）21n a n =-（1n =，，，???）；（2）2
312
-+
n
n
试题分析：（Ⅰ）求出等比数列{}n b 的公比，求出11b a =，4
14b a =的值，根据等
差数列的通项公式求解；
（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列}{n c 的前项和. 试题详细分析：（I ）等比数列{}n b 的公比32
93
3b q
b ===，
所以21
1
b b q
==，4
327
b b q ==．
设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为1
11
a b ==，14
427
a b ==，
所以11327
d +=，即2
d
=．
所以21n
a n =-（1n =，，，???）．
()1
1321133
n n S n -=++???+-+++???+
()
12113
213
n
n n +--=+
-
2
312
n
n -=+
．
考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力
.
【名师点睛】1.数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1=q
或1≠q )等.
21.【2015高考四川，文16】设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1{
}n
a 的前
n 项和为T n ，求T n .
(Ⅰ) 由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
112
n
n
a =
所以T n ＝
2
1
1[1()]
11112
2
(112)
2
2
2
12
n
n
n
-+
++
==-
-
【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.
【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是S n 与a n 关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，
这种方
法中一定要注意首项a 1是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解+析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.
22.【2016高考四川文科】（本小题满分12分）
已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11
n n S q S +=+ ，其中
q >0，*
n N
∈
.
（Ⅰ）若2323,,a a a a +
成等差数列，求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线22
2
1n
y
x a -
=
的离心率为n e ，且2
2
e = ，求2
22
12n
e e e ++???+.
【答案】（Ⅰ）1
=n n
a q
-；（Ⅱ）1(31)
2
n
n +-.
试题分析：（Ⅰ）已知
n
S 的递推式1
1
n n S q S +=+，一般是写出当2
n
≥时，
11
n n S q S -=+，两式相减，利用1
n
n n a S S -=-，得出数列{}n a 的递推式，从而证明
{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离
心率定义得到n e 的表达式，再由22
e =解出的值，最后利用等比数列的求和公式
求解计算.
由2
3
2
3
+a a a
a ，，成等差数列，可得3
223
2=a
a a a ++，所以3
2=2,
a
a ，故=2q .
所以1
*
2
()n n
a
n -=?N .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1
n n
a
q
-=
.
所以双曲线22
2
1n
y x a -
=
的离心率n e =
由2
2
e
=
解得q =
所以，
2
2
2
2
2(1)
1222
2(1)
2
(11)(1+)[1]
1
[1]1
1(31).
2
n n n n n
e e e q q
q
n q q
n q n --++鬃?
=+++鬃?
+-=+++鬃?
=+
-=+-，
考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式 23.【2015高考重庆，文16】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92
.
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式，
(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）+1=2
n n a ，（Ⅱ）2
1
n
n
T =-.
试题分析：（Ⅰ）由已知及等差数列的通项公式和前n 项和公式可得关于数列的首项a 1和公式d 的二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式，
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可求出b 1和b 4的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式1(1)1n
n
b q T q
-=
-即可求得数列{}n b 前n 项和n T ．
试题详细分析： （1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得
(2)由（1）得141515+1=1==8
2b b a =，.
设{}n b 的公比为q,则341
q 8
b b =
=,从而2
q =.
故{}n b 的前n 项和
1(1)1(12)
21
112
n
n
n
n b q T q
-?=
=
=---.
【考点定位】1. 等差数列，2. 等比数列.
【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式，利用方程组思想求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn= Sn=当d≠0时，Sn是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式：an= a1qn-1an= akqn-k (其中a1
为首项、ak为已知的第k项， an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时， Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{an}中，若 m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-
S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法： a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：
高中数学数列公式大全 很齐全哟 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
一、数列基本公式： 1、一般数列的通项a n 与前n项和S n 的关系：a n = 2、等差数列的通项公式：a n =a 1 +(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1 为首项、 a k 为已知的第k项) 当d≠0时，a n 是关于n的一次式；当d=0时，a n 是 一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n =S n = S n = 当d≠0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1 ≠0）， S n =n a 1 是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式：a n =a 1 q n-1a n =a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k项，a n ≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n的正比例 式)； 当q≠1时，S n =S n =
三、高中中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n }中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n }中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+ b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列 {a n b n }、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3 d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,a q；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,a q,a q3(为什么？)
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，
等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1） 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。 例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ； （2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。
例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。 例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？ 例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。 例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。 例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。
一、高中数列基本公式： 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n= 2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、 a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时， a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n= S n= S n= 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式： a n= a1 q n-1a n= a k q n-k (其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，S n= S n= 三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则
4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列 {a n b n}、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 11、{a n}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 12、{b n}（b n>0）是等比数列，则{log c b n} (c>0且c 1) 是等差数列。 13. 在等差数列中： （1）若项数为，则 （2）若数为则，， 14. 在等比数列中：
数列公式汇总
人教版数学必修五 第二章数列重难点解析 第二章课文目录 2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前n项和 【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 【难点】 1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质 10
10 解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。 一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,3 2 1 n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：