第一章极限与连续（18学时）
§1.1 函数
§1.2数列的极限
§1.3函数的极限
§1.3无穷小（量）和无穷大（量）§1.4 函数的连续性与间断点
第二节数列的极限
一、概念的引入
二、数列极限的定义
三、数列极限的性质
教学要求：
1.理解数列极限的定义。
2. 了解收敛数列的性质，并会加以应用。
一、数列极限的定义
例如
2,4,8,,2,;
n
1111,,,,(),;2482
n
??? }
2{n
})2
1{(n ?,n n n x x 序列从小到大排列得到一个按照下标这些实数实数}.
{,,,,21n n x x x x 作称这个序列为数列，记 N n ，对应着一个确定的每个如果按照某一法则，对+
∈1. 数列
注: 1.在几何上，数列可看作数轴上的一个动点.
1
x 2x 3x 4
x n
x 2.数列可看作自变量为正整数n 的函数
+
∈=N
n n f x n ),(1
1,1,1,,(1),;
n +?? }
)
1{(1
??n 1
14(1)2,,,,,;
23n n n
?+? }
)
1({
1
n
n n ??+
越大，A n n 。
就越接近圆的面积S R
正六边形的面积1A 正十二边形的面积2
A
正形的面积1
2
6?×n n
A
,,,,,321n A A A A S 2. 概念的引入(1) 割圆术：
（圆的面积）
,n A n 就无限的接近于S 。
无限增大时当但无论n 有多大，A n ≠S
（2）截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
;
2
1
1=X 第一天截下的杖长为;
2
1
2122+=X 为第二天截下的杖长总和
;
2
1
21212n n X n +++= 天截下的杖长总和为第n
n X 2
1
1?=1
?
x
?
?
?
4
3?
8
71
x 2x 3x ?
??
12
如果当n 无限地增大时，x n 无限地接近于常数a ，.
12
1
1X ,n n n 就无限地接近于无限增大时当?=越大，.
11X n n 但达不到，就越接近与1
12
n n
X =?1
则说，当n 趋于无穷大时，
以为a 极限，记成{}n x ).
( lim ∞→→=∞
→n a x a x n n n 或记为n →∞，读作n 趋于无穷大
记为x n →a ，读作x n 趋于a
极限的直观说法:
.1))
1(1(lim ,02
1
lim :
=?+=∞→∞→n
n
n n n 直观上可以看出但是，数列3. 数列极限的定义1(1),n n x n =+2
10n
n n
x =1sin ,n x n n
=当n 越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？
问题1:当无限增大时, 是否无限接近于某一
n x n 问题2:如何用数学语言刻化“无限接近”?
确定的数值? 如果是, 如何确定?
|1|?n x 所谓x n 无限接近1，就是说可以任意小.
以为例来讨论数列极限的含义.(1)
{}{1}n
n x n
?=+如何用数学语言刻划上面这个变化趋势,即“无限接近于1”这个趋势？
=
?1n x ∵
n
n n 11)
1(1
=??当n 越来越大时，1/n 越来越小，从而x n 越来越接近于1。只要n 足够大，1/n 就可以小于任意给定的正数，所以说当n 无限增大时，x n 无限接近于1。如：
,100
1给定,1001
1<
n 欲使,100时只要>n ,
100
1
1n ,1000011
1给定,10000时只要>n ,
100011
1000n 要使,<
1110000n
这样，就定量地刻画了当时，
以1为极限的这一事实.下面给出数列极限的精确定义.
∞→n }{n x 一般, 任给ε>0, 不论多么小, ε
<=?n x n 1
|1|只须ε
1
>n . 因此, 从第11+???
???ε项开始, 以后各项都有
ε
x n 会越来越接近于1.
要使
注1：;.的无限接近与刻划了不等式a x a x n n ε
有关与任意给定的正数εN 数列有极限，也称该数列是收敛的.否则，称数列是发散的.
}{n x 成立.则称数列当n 趋于无穷大时以a 为极限，记作
}{n x εN 时，都有
}{n x ).
( lim ∞→→=∞
→n a x a x n n n 或.
}{}{a x a x n n 收敛于为极限也说以注2：
?a|<ε”的意思是说, 注3：定义中“当n>N时, 有| x
n
?a|<ε, 至于从第N+1项开始,以后各项都有|x
n
以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个
数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关.
而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的
前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质.
:
N 定义?ε其中
lim 0,,,.
n n n x A N N n N x A εε→∞
+=?
?>?∈>?<使恒有时;
:每一个或任给的?.
:至少有一个或存在?
lim n n x A →∞
=4. 数列极限定义的几何意义
?A
ε
+A ε
?A ?
x
1
x ?
2
x ?
3x N x ??1N x +?2
N x +??
??()
>n X n N ).
,A (U x ,N n ,N N ,0n ε∈>?∈?>ε??+恒有使得.
)N (,)A ,A (x ,N n n 落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当ε+ε?>
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
第二章.极限概念函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解， 因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正 严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法） 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜 作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：a i,a2，a3,?…，或者简单地记成｛a n｝。 观察这个数列取值变化，有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列a i，a2,a3,.…，假设存在一个确定的常数a，现在我们考虑变量a n a （显然这是一个反映数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数，无论它的数值有多么大或者多么小， 我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N，使得在这个a N元素后面 的所有的数列元素，都使得相应的变量a n a的值小于， 换一句话来说，对于任意的，总是存在一个N，当n>N时， 总是有a n a成立 这时我们就把a称为数列a1, a2,a3，...的极限。并且称数列 lim a n a a i，a2，a3,.…收敛于极限a。我们使用记号n 来表示该数列极限。 否则我们就说数列｛a n｝是发散的。
这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。 在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个： 1。数值是任意的。就是说只要存在一个的数值不满足定义的条件， 就不能说数列收敛于极限a。 这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的 都进行检验，才能得到最后的判断呢？不是的，在实际问题中，由于我们的 目的是希望知道变量a n a是否越来越小，一般只要取大于0,并且足够小（我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，），当然这样不能减少 我们对的任意取值进行验证的任务，但是我们所处理的数列，总是按照某 种特定的规律来变化，一般从这个数列的变化规律本身就可以找到由决定 的N的值，使得a n a小于，或者是找到反例。从而实现对所有可能的们进行判断?不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要 考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。 2.满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。 初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N 的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。 那么数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量 n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个函数的表达式称 为通项a n的通项公式。 不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，有时由变量n和第n项之 前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较 复杂，我们不过多的涉及。 利用极限的定义和应用不等式（绝对值不等式?）对一个数列进行检验是否存在极限，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。 答疑解难。 1 .数列的极限的定义当中，与N的取值是一一对应的吗？ ［答］:不是。 初学者对于极限的定义的叙述往往理解不够深入，并且常常产生歧义，这个问题就是最为典型的。 尽管在根据定义进行具体的极限分析时，常常是由推出N的表达式， 但这并不是意味着这两个变量之间具有一定的函数关系，这两个变量之间确 实是具有一定的关系，但决不是函数的关系，而是一种两个区间的相互影响与决定的关系，实际上，我们给出一个的意思，实际上是给出了一个区间， 同样由此而得到的N，也是一个区间的概念，而不是两个数值变量的关系，因此N的求法是很多形式的，实际问题当中，我们只是选择了最为方便的形式而已。 那么在不知道预先极限值时，有没有方法验证数列是否有极限，这就是相当重要的柯西收敛原理：
极限与连续的62个典型习题 习题1 设m i a i ,,2,1,0 =>，求 n n m n n n a a a 121)(lim +++∞ → . 解 记},,,max{21m a a a a =，则有 a a a a a n n n n m n n =≥+++11 21)()( ，a a n =∞ →lim .另一方面 n n n n n m n n m a ma a a a 11121)()()(?=≤+++ . 因为 1)lim (lim 11==∞→∞→n n n n m m ，故 a m a n n =?∞→1lim .利用两边夹定理，知 a a a a n n m n n n =+++∞ →121)(lim ，其中 },,max{21m a a a a =. 例如 9)9531(lim 1 =+++∞ →n n n n n . 习题2 求 )2211(lim 222n n n n n n n n n +++++++++∞ → . 解 n n n n n n n n n n n n +++++++++<+++++2222221121 1 212+++++ 高等数学竞赛极限与连续真题 1. 计算：22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 析： ),(08 21144 22 x x x x +-+=+ )(08 1 1124422x x x x +=+-+ 又)(02 3 )](01[)](0211[cos 2222224 x x x x x x e x x +-=++-+- =- 故22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022 22 24 40-=?+-+=??+-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2.计算求n n n n n n n ln )ln ln ( lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 析：n n n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n n n n n n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+ 令,ln t n n =则原式.)11(lim 21 0e t t t t =-++ → 3.计算：)1)1(31211(lim 1n n n -∞→-+++- 析： )21 4121(12131121312112n n n S n +++--+++=- -+-= =n n n n n n ++++++=+++-++++1 2111)214121(22131211 =)11 211111(1n n n n n ++++++ 第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．468 2, ,,357 极限为1 2．1111 1,,,,,2345 --极限为0 3．21 2212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞ x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x + → 无极限，趋于-∞ 二、设2 221, 1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 2 1 1 lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x -- →→=+= 22 2 lim ()lim(1)3x x f x x ++ →→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 11x f x e = +，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1 sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当 0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1 sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 22 1 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x , k Z ∈ ()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1 0ln tan x →为无穷小量； x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1 0ln tan x -→为无穷小量； 4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1 ln tan x →∞为无穷大量； 三、当0+ →x 时，2 x ，阶的无穷小量分别是谁？ 2 00lim lim 01x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 22 300lim lim 0 1 x x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 的高阶无穷小量。 第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x 第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函 2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则 1 f (x ) → （0 x → x 0） （3） 极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论） （5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论） （6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ? lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限； （2） 分子是正弦函数； （3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例 1】 求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】 求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习 （1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结: 极限与连续(包含第三章集合映射和函数) § 1函数及其特性 基本概念 1. 集合集合的表示方法集合的关系及运算(见书中概念) 2 ?映射 3. *函数定义域值域 函数的两要素：定义域对应法则 4. 反函数y=f(x) y= f_1(x) 注意(1)不是任一函数都存在反函数，反函数存在的条件； (2) 一个函数y=f(x)与它的反函数y= f _1(x)互为反函数; (3) y=f(x)与y二f'(x)图像关于直线y=x对称； (4) y = f (x)的定义域即为y二f」(x)值域，而y二f(x)的值域即为y二f '(X)的定义域。 5. 函数的基本性质 (1)有界性 界是不唯一的；函数的有界性与区间有关(如函数y二丄在区间(1, 2) x 有界，但在(0, 1)无界); (2)单调性函数的单调性在后面的导数应用中还会用到 函数的单调性也与区间有关(如函数y二x2在(」：,0)上是减函数， (0/ )上是增函数)；如一函数在某区间是严格增函数(或减函数)，则其必有 反函数。 (3)奇偶性(函数要定义在一对称区间上) 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称且f(0)=0;判断一函数的奇偶性只需验证f(x)与f(-x)关系. (4)周期性 f (x)= f (x+T)= f (x+ 灯) k 为整数 三角函数的周期性。 6. 幕函数，指数函数，对数函数 常用的指数函数：y二e x，常用的对数函数：y = In x ；指数函数与对数函 数互为反函数。 7. 基本初等函数 幕函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数。 对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握。 8. 复合函数 掌握两个（或多个函数）是如何复合构成新函数的（即复合函数是如何复合而成的）。 9. 初等函数 10. 分段函数 分段函数不是两个或多个函数，它是一个函数，只是自变量在不同的取值范围其函数表达式不同。 分段函数在分段点处极限的存在性，连续性，可导性等都是难点。 § 2数列极限 基本概念 1. 数列极限 数列极限是一常数，是随着数列项数的增加通项的一种变化趋势 2. 数列极限的四则运算 数列极限的四则运算的前提两个数列极限都存在。 § 3函数极限 一、基本概念 1. 函数极限 自变量的变化趋势共有6种情形: f （x）在（a,=）上有定义； f （x）在（- ：,a）上有定义； f （x）在（-，-a）一（a,二）上有定义; 结论：limf(x)=A二lim f(x)= lim f(x) = A X ?二x、二X W 曲型： (a) lim arctan x ，lim arctan x - XT讼 2 i q 2 (1) lim f (x)二A XT讼 (2) lim f (x)二A X T-°O (3) lim f(x)二A X T^O 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+- 第一节极限的定义二、两个重要极限三、无穷小的比较二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质五、函数连续性的定义***** 六、函数的间断点间断点分类: 例如: 内容小结练习备用题确定函数间断点的类型. 2. 求三、极限3. 无穷小例6. 求下列极限：令例7. 确定常数a , b , 使显然为其可去间断点. (4) (5) 为其跳跃间断点. 左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4. 定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议1 ．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2 ．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3 ．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．三、例题精解例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设问当为何值时， 第二章 极限与连续 第一节 极限的定义 思考题： 1. 在)(lim 0 x f x x →的定义中，为何只要求)(x f 在0x 的空心邻域),?(0δx N 内有定义？ 答：因为0x x →表示x 无限接近0x 而不等于0x ，故)(lim 0 x f x x →与)(x f 在0x 点有无定 义无关. 2. x x x sin lim +∞→是否存在，为什么？ 答：存在且为0. 因为01lim =+∞ →x x ，且1sin ≤x ，由无穷小的性质知0sin lim =+∞→x x x . 习作题： 1. 设?? ?><+=, 0,, 0, 1)(2x x x x x f 画出)(x f 的图形，求)(lim 0x f x -→及)(lim 0x f x +→并问)(lim 0 x f x →是否存在. 解：)(x f 的图像如下： )(l i m 0 x f x -→=)1(lim 2 +- →x x =1, )(lim 0 x f x +→=x x + →0 lim =0, )(lim 0 x f x -→≠)(lim 0 x f x + →. ∴ )(lim 0 x f x →不存在. 2. 函数1 1 )(-+=x x x f 在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？ 答：)(x f 当1→x 时是无穷大量, 当1-→x 时是无穷小量. 011l i m 1=-+-→x x x , ∞=-+→1 1 lim 1x x x . 3.举例说明A x f A x f A x f x x x ===∞ →-∞ →+∞ →)(lim ,)(lim ,)(lim 的几何意义. 解：例如：对x y 1= , 01 lim =+∞→x x 表示当x 沿x 轴的正向远离原点时, 曲线x y 1=无限靠近直线y =0; 01 lim =-∞→x x 表示当x 沿x 轴的负方向远离原点时, 曲线x y 1=无限靠近直线 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 求极限的常用方法 ① 利用极限的定义 数列极限的定义：lim 0,0,n n x a N n N ε→∞ =??>?>>当时，有ε <-a x n ； 函数极限的定义（ x x → ）： 0lim ()0,0,0|n f x A x x εδδ→∞ =??>?><-当|<时，有()f x A ε-<. 类似可定义其它形式下的函数极限. ② 利用单调有界准则和夹逼准则 熟悉数列极限和函数极限的单调有界准则. 利用夹逼准则可以证明下面的极限. 1lim 1(0),lim 1(0).x n n x a a a a →∞ →+∞ =>=> 这一结论可以推广为： 111lim max ,x k k i i x i k i a a →+∞≤≤=??= ??? ∑和111lim min .x k k i i x i k i a a →-∞≤≤=?? = ??? ∑ ③ 利用两个重要极限 0sin lim 1x x x →=，1lim 1e n n n →∞?? += ??? 或1lim 1x x x 骣÷?+÷?÷?桫=e . 01 、由重要极限及变量替换可以求下列极限： 0sin ()lim 1,()x x x x ??→= ()01()lim 1(),x x x x e j j ?+= ()0()() lim 1().g x x A x x x e j j ?+= 其中， lim ()0,lim ()x x x x x g x A ?→→==，极限过程 x x → 改为其它情形也有类似的结论. 02、 设 lim ()1,lim ()x x x x f x g x →→==∞ ，则利用重要极限有： 1 ()(()1)()()1 lim ()lim[1()1] . g x f x g x A f x x x x x f x f x e ??--→→=+-= 其中 lim ()(f(x)1). x x g x A →-=. ④ 利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限 01 、无穷小量乘以有界函数仍是无穷小量； 02 、熟悉常见的无穷小量：当0→x 时,有 x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(+x ～1-x e ；2 11cos ~ 2 x x -； 函数、极限、连续概念解析 1、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等。 A. x x g x x f ==)(,)()(2 B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 分析：从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。 正确答案：D 2、下列结论中正确的是（ ）。 A. 周期函数都是有界函数 B. 基本初等函数都是单调函数 C. 奇函数的图形关于坐标原点对称 D. 偶函数的图形关于坐标原点对称 分析：首先要清楚函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性的定义，还要知道奇偶函数的图形特点。 正确答案：C 3、周期函数是否一定有最小正周期？ 答：不一定有最小正周期．尽管我们所学的周期函数函数一般都有最小正周期，但周期函数不一定有最小正周期．例如常值函数()f x C =是一个以任意正数为周期的周期函数，它没有最小正周期。 4、判断下列数列的极限：（1）(1)n n ??-????， （2）1n e ???????? ?????? ?。 分析：本题只要求对数列的极限作出判断，根据数列极限的定义，利用观察法，看在n →∞的过程中数列通项n x 的变化趋势。 解：（1）因为n →∞时虽然(1)n n x n -=的符号时正时负，但(1)10n n n -=→， 所以数列(1)n n ??-????的极限为0。 （2）因为数列的通项11n n n x e e ??== ???，当n →∞时分母n e →∞，所以10n e →，故该数列的极限是0。 5、无界数列必发散吗？ 分析：已知性质：收敛数列必有界．用反证法。 正确答案：无界数列必发散。 6、发散数列一定无界吗？有界数列必收敛吗？ 分析：发散数列除了lim n n x →∞ =∞的情况外，还有其它情况。例如：数列(1)n n x =-发散，但有界。 正确答案：发散数列不一定无界，有界数列也不一定收敛。 7、无穷小量是很小的数，对吗？零是无穷小量吗？ 分析：无穷小量是指趋于零的变量。 正确答案：无穷小量不是很小的数，但零是无穷小量。 8、连续函数的三个要求缺一不可吗？ 分析：连续函数的三个要求为：①()f x 在0x 点有定义；②0lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=。三者如缺一，则为间断（不连续）。例如：①1()sin f x x =在0x =点无定义，故间断；②1sin ,0()1,0x f x x x ?≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，01limsin x x →不存在，故也间断；③1sin ,0()1, 0x x f x x x ?≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，且01lim sin 0x x x →=，但01lim sin 01(0)x x f x →=≠=，故间断。 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1 （1 （2（3）若B ≠0 （4（5）[] 0lim ()lim ( )n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数） i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 ()()222 22 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+= =-- 例2. 求3 x → 33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知() 111 12231 n x n n = +++ ??-? L L 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? L L 1111111 1 3311 n n n =-+-+-+- -- L L 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()() 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→? → +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即 一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠= ,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A + -→→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==. 3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ? φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ????? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2 (1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ? φ≤≤（,且 0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．高等数学竞赛极限与连续真题
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