(圆锥曲线)全国高中数学联赛试题一试

2000-2010年全国高中数学联赛试题一试(答案)

解析几何圆锥曲线部分

一、选择题

2000、已知点A 为双曲线x 2-y 2

=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A)

33 (B) 2

3

3 (C) 33 (D) 63 2002．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 2

9=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔPAB 面积等于3．这

样的点P 共有【答】（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2003. 设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线2

2

bx ay ab +=的图形是【答】（ ）

2003. 过抛物线()2

82y x =+的焦点F 作倾斜角为60?

的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B

两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ）

（A ）

163 (B)832004、已知M={

}

32|),(22

=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有

,φ≠?N M 则b 的取值范围是【答】（ ）

A ．[

26,26-

] B 。（26,26-）C 。（332,332-） D 。[

33

2,332-]

2005. 方程13

cos 2cos 3sin 2sin 2

2=-+-y x 表示的曲线是【答】（ ）

A. 焦点在x 轴上的椭圆

B. 焦点在x 轴上的双曲线

C. 焦点在y 轴上的椭圆

D. 焦点在y 轴上的双曲线

2007. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是【答】（ ）

二、填空题

2000、在椭圆122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若

该椭圆的离心率是

2

1

5-，则∠ABF =_________. 2003．设12,F F 是椭圆22

194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ?的面积等于_____________.

2005.若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2

x y =上.则该正方形面积的最小值为 .

2006. 已知椭圆22

1164

x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l

：

80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比

12

PF PF 的值为 .

2009.椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（0a b >>）上任意两点P ，Q ，若OQ OP ⊥，则乘积||||OQ OP ?的

最小值为_____________．

2009．已知直线L ：90x y +-=和圆M ：2

2

228810x y x y +---=，点A 在直线L 上，

B 、

C 为圆M 上两点，在△ABC 中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围

为

2010.双曲线2

2

1x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ．

三、解答题

2000、已知C 0:x 2

+y 2

=1和C 1:122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)。试问：当且仅当a ,b 满足什么条件时，

对C 1上任意一点P ，均存在以P 为项点,与C 0外切,与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论。

2002．已知点A (0，2)和抛物线y 2

=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．

2005.过抛物线2

x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足

1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FC

BF

，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.

2006. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12

-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证

明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m

m

y x 为抛物线12

-=kx y 与直线

x y =的一个交点.

2007已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1

>+

=x x x y 交于两个不同点M 和N 。求曲线C

在点M 、N 处切线的交点轨迹。

2008．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ?，求PBC ?面积的最小值．

2009.设直线l ：y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆

22

11612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线

22

1412

x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

2010．（本小题满分20分）已知抛物线2

6y x =上的两个动点A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ），其中12x x ≠且124x x +=．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值．

十年全国高中数学联赛试题一试(答案)

解析几何圆锥曲线部分

一、选择题

2000、已知点A 为双曲线x 2-y 2

=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A)

33 (B) 2

3

3 (C) 33 (D) 63 答案：C 。解析：如图所示，设BD=t ，则OD=3t-1，从而B （3t-1，t ）满足方程12

2=-y x ，

可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC 的面积是33.

2002．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y

2

9=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔPAB 面积等于3．这

样的点P 共有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3x +4y －12=0．

设点P (4cos θ，3sin θ)． 点P 与直线的距离d=12|cos θ+sin θ－1|

5，

当0≤θ≤π2时，d ≤12

5

(2－1)，S ABC ≤6(2－1)<3．即此时没有三角形面积=3；

当

π2<θ<2π时，d ≤12

5

(2+1)，S ABC ≤6(2+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B ． 2003. 2设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线2

2

bx ay ab +=的图形是【答】（ ）

题设方程可化为b ax y +=和12

2=+b

y a x ,观察图形可知； 2003.3 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60?

的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B

两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ）

（A ）

163 (B)83易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832=--x x ,从而弦AB

中点的横坐标为34

0=

x ,纵坐标3

40=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=

3

16

； 2004、已知M={

}

32|),(22

=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有

,φ≠?N M 则b 的取值范围是

A ．[

26,26-

] B 。（26,26-）C 。（332,332-） D 。[

332,332-] 答：[ ]

解：M

N ≠?相当于点（0，b ）在椭圆22

23x y +=上或它的内部

221,322b b ∴≤∴-≤≤

。 故选A 。

2005. 方程

13

cos 2cos 3sin 2sin 2

2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆

D. 焦点在y 轴上的双曲线

解：),2

3cos()22cos(,22

322

0,32π

ππ

π

π

π->-∴<

-

<-<

∴>+ 即

.3sin 2sin >

又,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32,

220>-∴<>∴<<<

<

ππ

π方程表

示的曲线是椭圆。

)()4

232sin(232sin

22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π

.

0)(,0)4232sin(.42324

3,432322

,0232sin ,02322<*∴>++∴<++<∴<+<

<-∴<-<

-

式π

ππ

π

ππ

π

即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。 2007. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是

（ ）

解：设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、

O 2，且离心率分别是

212r r c +和|

|221r r c

-的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

当r 1=r 2且r 1+r 2<2c 时，圆P 的圆心轨迹如选项B ；当0<2c <|r 1?r 2|时，圆P 的圆心轨迹如选项C ；当r 1≠r 2且r 1+r 2<2c 时，圆P 的圆心轨迹如选项D 。由于选项A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P 的圆心轨迹不可能是选项A 。 二、填空题

2000、在椭圆122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若

该椭圆的离心率是

2

1

5-，则∠ABF =_________. 答案：90° 如图所示，由

2

1

5-=a c ?c 2+ac-a 2=0，

()()2

2

2

222

2cos b

a a a c a

b a

ABF +??+-++=

∠=0

?则∠ABF=90°.

2003．设12,F F 是椭圆22

194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ?的面积等于_____4________.

21F PF ?是直角三角形，故21F PF ?的面积为4422

1

||||2121=??=?=

PF PF S ; 2005.若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2

x y =上.则该正方形面积的最小值为 80 .

解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为

),(11y x C 、),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联

立，得.1122,12

+±=?+=b x b x x

令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2

212

212

212

+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5

|

17|,b a a +=

∴②.

①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802

min 2=∴=a a

2006. 已知椭圆22

1164

x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，

点P 在直线l

：

80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比

12

PF PF 的值为 .

【解】 由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,F F ，P 三点的圆必定和直线l 相切于P 点。设直线l 交x 轴于

A (8--，则12APF AF P ∠=∠，即1

2APF AF P ??，即

122

PF AP

PF AF =

（1）， 又由圆幂定理，2

12AP AF AF =?（2）

，而1(F -

，2F ，

A

(8--，从而有18AF =

，28AF =+ 代入（1），（2

）得

12

1PF PF =

=

==。

2009.椭圆

222

2

1x y a

b

+

=（0a b >>）上任意两点P ，Q ，若OQ OP ⊥，则乘积OP

OQ ×的最

小值为____2

22

22b a b a +_________．

【解析】

设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ?????

?±± ? ? ?

?????

?，． 由P ，Q 在椭圆上，有 222

221

cos sin a b OP θθ=+ ①

222

221

sin cos a b OQ θθ

=+ ②

①+②得222

21111

a b OP OQ +=+．

于是当

OP OQ ==

OP OQ 达到最小值22

222a b a b +．

2009．已知直线L ：90x y +-=和圆M ：2

2

228810x y x y +---=，点A 在直线L 上，

B 、

C 为圆M 上两点，在△ABC 中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围

为___[3,6]_______

【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?

，由直线

AC 与圆M

相交，得

d ．解得36a ≤≤．

2010．双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .

解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,

交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为

99

1

(99)99494851k k =-=?=∑.

又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+?.

【解析】

三、解答题

2000、已知C 0:x 2

+y 2

=1和C 1:122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)。试问：当且仅当a ,b 满足什么条件时，

对C 1上任意一点P ，均存在以P 为项点,与C 0外切,与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论。

答案：所求条件为

2

1a +21

b

=1. 证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.

假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C 1内接,与C o 外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y 轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为

a x +b

y

=1,即bx+ay=ab.由于菱形与C O 外切,

故必有

2

2b a ab +=1,整理得

2

1a +21

b

=1. 必要性得证. 充分性:设

2

1a +21

b

=1,P 是C 1上任意一点,过P 、O 作C 1的弦PR ，再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为与C 1内接菱形.设 OP = r 1, OQ =r 2, 则点O 的坐标为(r 1cos θ, r 1sin θ),点Q 的坐标为(r 2cos(θ+

2π),r 2sin(θ+2

π

)),代入椭圆方程,得

()

2

2

1cos a

r θ+

()

2

2

1sin b

r θ=1,

2

22)]2cos([a r π

θ+

+22

2)]2sin([b

r π

θ+=1,

于是,21OP +21OQ =222111R R +=(22

22

sin cos b a θθ+)+[2

2)2(cos a

πθ++22)

2(sin b π

θ+] =

21a +2

1

b =1. 又在Rt △POQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则

h 1=21

OP +2

1OQ =1,故得h=1 同理，点O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1，故菱形PQRS 与C 0外切.充分性得证. [注]对于给出2

222b a b a =+ ，

2

2

b

a a

b +=1等条件者，应同样给分.

2002．已知点A (0，2)和抛物线y 2

=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．

解：设B (y 02

－4，y 0)，C (y 12

－4，y 1)．则

k AB =y 0－2y 20－4=1y 0+2．k BC =y 1－y 0y 21－y 20=1y 1+y 0

．

由k AB ·k BC =－1，得(y 1+y 0)(y 0+2)=－1．

∴ y 02

+(y 1+2)y 0+(2y 1+1)=0．

∴ △=(y 1+2)2－4(2y 1+1)=y 12

－4y 1≥0， ∴ y 1≤0，y 1≥4．

当y 1=0时，得B (－3，－1)，当y 1=4时，得B (5，－3)均满足要求，故点C 的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．

2005.过抛物线2

x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足

1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FC

BF

，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程

.

解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为

D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,2

1

(),1,0(是线段AB 的中点. ………………5分

设),(y x P 、),(2

00x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由1λ=EC

AE 知，

;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE

得.11,122

0222022λλλλ++-=+=x y x x

∴EF 所在直线方程为：,111111111111

12021

0112

01220212

01λλλλλλλλλλλλ++-

+++-

=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2

020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①…………10分

当21

0≠x 时，直线CD 的方程为：1

2202020--=x x x x y …②

联立①、②解得02

13

3x x x y +?

=????=??

，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312-=x y ………15分

当210=

x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：2

1=x ，联立解得???

?

??????????==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10

≠∴≠x x ∴所求轨迹方程为).3

2

()13(312≠-=x x y ………………………………………………20分

解二：由解一知，AB 的方程为),0,2

1

(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分 令,1,1,2211λλγ+==+===

CF

CB

t CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ?的中线， .22CBD CAD CAB S S S ???==∴

而

,2

3,232)11(212212*********=∴=+=+=+==??=??????γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ?的重心. ………………………………………………………………………10分

设),,(),,(2

00x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为

,3311),32(,313102

02000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(3

12-=x y

故所求轨迹方程为).3

2

()13(312≠-=

x x y ………………………………………………20分 2006. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12

-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证

明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m

m

y x 为抛物线12

-=kx y 与直线

x y =的一个交点.

【证明】 因为12

-=nx y 与x y =

的交点为00x y ==显然有00

1

x n x +

=。…（5分） 若),(00m

m y x 为抛物线12

-=kx y 与直线x y =的一个交点，则00

1

m

m k x x =+. …（10分）

记001m

m m k x x =+，则 10

110

1

()m m m m m k k x k nk k x +--=+-=-， (2)m ≥ （13.1）

由于1k n =是整数，2

22

200200

11()22k x x n x x =+

=+-=-也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数m ，

001

m

m m

k x x =+是正整数. 现在对于任意正整数m ，取001m

m

k x x =+

，使得12

-=kx y 与x y =的交点为),(00m m y x . …………… （20分）

2007. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1

>+

=x x x y 交于两个不同点M 和N 。求曲线

C 在点M 、N 处切线的交点轨迹。

解：设点M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为l 1、l 2，其交点P 的坐标为(x p ，y p )。若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1。

由方程组???

??+=+=1

1kx y x x y ，消去y ，得11

+=+kx x x ，即(k?1)x 2+x?1=0。由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x 1、x 2，故k≠1，且Δ=1+4(k?1)>0…(1)，

01121>-=

+k x x …(2)，01121>-=k x x …(3)，由此解得143<

x x y 1

+

=求导，得

2

11x

y'-=，则

2111|1

x y'x x -==，2211|2

x y'x x -==，于是直线l 1的方程为

))(11(1211x x x y y --=-，即)

)(1

1()1(121

11x x x x x y --=+-，化简后得到直线l 1的方程为

1212)11(x x x y +-=…(4)。同理可求得直线l 2的方程为2

222

)11(x x x y +

-=…(5)。(4)?(5)得

2

2)11(2

12122=-+-x x x x x p ，因为x 1≠x 2，故有21212x x x x x p +=…(6)。

将(2)(3)两式代入(6)式得x p =2。

(4)+(5)得)11(2))11(2(2212221x x x x x y p p +++-=…(7)，其中1

1

12

12121=+=+x x x x x x ，

12)1(212

)(2)(112

12212122212122122212

2212221-=--=-+=-+=+=+k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，代入(7)

式得2y p =(3?2k)x p +2，而x p =2，得y p =4?2k 。又由143<

25

2<

2008．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ?，求PBC ?面积的最小值．

[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．

直线PB 的方程:00

y b

y b x x --=

， 化简得 000()0y b x x y x b --+=．

又圆心(1,0)到PB 的距离为1，

1= ， …5分

故22222

000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，

易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，

同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0

022

y b c x -+=

-，002x bc x -=-，则

22

2

0002

0448()(2)x y x b c x +--=

-．

因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2

002y x =，则

2

2

2

04()(2)

x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014

()(2)4222

PBC x S b c x x x x x ?=

-?=?=-++--

48≥+=．

当20(2)4x -=

时，上式取等号，此时004,x y ==±．

因此PBC S ?的最小值为8． …20分2009. 由22

11612y kx m x y =+???+=??消去y 化简整理得()

2223484480k x kmx m +++-=

设()11A x y ，，()22B x y

，，则

122834km x x k +=-

+

()()()2

22184344480

km k m ?=-+-> ① ………4分

由22

1412y kx m x y =+???-=??消去y 化简整理得()

22232120k x kmx m ----=

设()34C x y ，，()44D x y

，，则

34223km x x k +=

-

()()()2

222243120

km k m ?=-+-+> ② …………8分

因为0AC BD +=，所以(

)()42310

x x x x -+-=，此时(

)()42310

y y y y -+-=．

由1234x x x x +=+得22

82343km km

k k -

=+-．

所以20km =或22

41

343k k -

=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和

②

得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，

由①和②

得k <．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分

2010.已知抛物线x y 62

=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值. 解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2

,222

10210y y y x x x +==+=

， 0122

1221212123

66

6y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=

.

线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(3

0--

=-x y y y . （1）

易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且

点

C

坐标为

)

0,5(.

（5分）

由（1）知直线AB 的方程为 )2(3

00-=

-x y y y ，即 2)(3

00+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62

=得

12)(2002+-=y y y y ，即 012222

002=-+-y y y y .（3）

依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以

222

00044(212)4480y y y ?=--=-+>,

32320<<-y . 221221)()(y y x x AB -+-=

2212

0))()3

(

1(y y y -+=

]4))[(9

1(2122120

y y y y y

-++

= ))122(44)(9

1(2

02020--+=y y y

)12)(9(3

22

020y y -+=

. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 2

2029)0()25(y y CM h +=-+-==.

（10分） 2

020209)12)(9(3

121y y y h AB S ABC +?-+=?=? )9)(224)(9(2

1312

02020y y y +-+=

3202020

)3

92249(2131y y y ++-++≤

73

14

= .

（15分）

当

且

仅

当

2

202249y y -=+，即

0y =,

A B 或

A B -时等号成立. 所

以

A B ?面

积的最大值为

73

14

.

（20分）

解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.

（5分）

设4,,,2

22

1212

222

11=+>==t t t t t x t x ，则

1

6161

0521222

121t t t t S ABC =

?的

绝

对

值

,

（10分）

2

222122

112

))656665(2

1(t t t t t t S ABC --+=?

221221)5()(23

+-=t t t t

)5)(5)(24(2

3

212121++-=t t t t t t

3

)314(23≤,

73

14

≤?ABC S ,

（15分）

当且仅当5)(212

21+=-t t t t 且42

22

1=+t t ，

即,6

571-=

t 6

572+-

=t ,66(

(33

A B +或

高中数学人教版选修1-1(文科) 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程(I)卷

高中数学人教版选修1-1（文科）第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方 程（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分）过已知双曲线-=1（b＞0）的左焦点F1作⊙O2：x2+y2=4的两条切线，记切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB=120°，则双曲线的离心率为（） 【考点】 2. （2分）(2018·石嘴山模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，以 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为（） A . B . C . D . 【考点】 3. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知圆：（为圆心），点，点 是圆上的动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹是（） A . 两条直线 B . 椭圆 C . 圆 D . 双曲线 【考点】 4. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为（） A . 8

B . 4 C . 4 D . 【考点】 5. （2分）(2017·常德模拟) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=± x，则双曲线C的离心率为（） A . B . C . D . 【考点】 6. （2分）“”是“直线与圆相切”的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 【考点】 7. （2分）双曲线的渐近线方程是（） 【考点】 8. （2分） (2019高二下·南山期末) 直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（）条. A . 1 B . 2

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：

（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；

二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题： 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为（ ） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ． 2 3 B ．3 C ．27 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三 角形，则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ． 163 B ．83 C ．316 D ．3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对

高考文科数学真题大全圆锥曲线老师版

试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2 213x y +=.所以3a =，1b =，2c =.所以椭圆C 的 离心率6 3 c e a = = . （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11 2131 BM y y k -+= =-. 17.（2015年安徽文）设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标 为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为510 。 （1）求E 的离心率e; (2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。 ∴a b 3 231＝5525451511052 222222=?=?=-?=?e a c a c a a b （Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2,2b a -）∴a b a b a a b b K MN 56 65232213 1==-+=

a b K AB -= ∴1522-=-=?a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 18.（2015年福建文）已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线 :340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于 4 5 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ A ） A ． 3(0, ]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4 1 19.（2015年新课标2文）已知双曲线过点() 4,3,且渐近线方程为1 2 y x =±,则该双曲线的标 准方程为 ．2 214 x y -= 20.（2015年陕西文）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ B ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2 p x =- ，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程. 21.（2015年陕西文科）如图，椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程；2 212 x y +=

高中数学圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由

高中数学圆锥曲线详解【免费】

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =

(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞

高二数学圆锥曲线专题((文科)

高二数学（文科)专题复习(十二）圆锥曲线 一、选择题 1. 设双曲线以椭圆19 252 2=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为（ ) Ａ.2± Ｂ．34± ?C.2 1± D.4 3 ± 2． 过抛物线x y 42 =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( ） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 3．从集合{１，２,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程122 22=+n y m x 中的m 和ｎ,则能组 成落在矩形区域B ＝｛(x ,y)｜ |x |<１１且｜y|<9}内的椭圆个数为（ ）?? A.43 Ｂ. ７2 Ｃ. 8６ Ｄ. 9０ ４. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、Ｆ2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F １P Ｆ2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ) (Ａ) 2 （B ）12 (Ｃ）2 1 5． 已知双曲线22 163 x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直 线2F M 的距离为( ) (Ａ） ?(B ） (C) 65?（D) 5 6 6．已知双曲线22a x -22 b y ＝1（a >０,b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点Ａ, △ＯＡＦ的面积为2 2 a (O 为原点),则两条渐近线的夹角为（ ）

7．直线ｙ=x ＋b (b ≠0)交抛物线2 12 y x =于Ａ、B 两点，O 为抛物线的顶点，OA OB ?=0,则b ＝____＿__． ８.椭圆22 1mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点,过AB 中点Ｍ与坐标原点的 直线的斜率为 2,则m n 的值为 9.过抛物线2 4y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,若 12y y +=则AB 的值为 10.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设A 、Ｂ为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=,则动点Ｐ的轨迹为双曲线； ②过定圆Ｃ上一定点Ａ作圆的动点弦AB,Ｏ为坐标原点，若1 (),2 OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ?④双曲线 135 192522 22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. ?其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号） 三、解答题 １1．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> 的一个焦点，且抛 物线与双曲线的一个交P( 3 2 点，求抛物线和双曲线方程。 12．已知抛物线ｙ２ =2px （p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为４、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B,OB 的中点为M.

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析

圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ； ②钝角10||||a b a b ?-<= == r r r r g r r g 。

高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则 有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)

(完整版)高中数学-圆锥曲线练习题含答案

圆锥曲线专题练习 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 4．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 6．如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 二. 填空题 7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。 8．设AB 是椭圆22 221x y a b +=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点， 则AB OM k k ?=____________。 三.解答题 9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。

10、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12- . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |= 3 24时，求直线l 的方程.

高考文科数学圆锥曲线专题复习

高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 图 象 x O y x O y 定 义 平面内到两定点21,F F 的距离的和为 常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭 圆即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆， 当2a ＝2c 时，轨迹是一条线段 21F F 当2a ﹤2c 时，轨迹不存在 平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝 对值为常数（小于21F F ）的动点的轨 迹叫双曲线即122MF MF a -= 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线 当2a ＝2c 时，轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在 标准 方 程 焦点在x 轴上时： 122 22=+b y a x 焦点在y 轴上时：122 22=+b x a y 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一 坐标轴上 焦点在x 轴上时：122 22=-b y a x 焦点在y 轴上时：122 22=-b x a y 常数 c b a ,,的关 系 2 22b c a +=，0>>b a ， a 最大， b c b c b c ><=,, 222b a c +=，0>>a c c 最大，可以b a b a b a ><=,, 渐近线 焦点在x 轴上时： 0x y a b ±= 焦点在y 轴上时：0y x a b ±= 抛物线：

图形 x y O F l x y O F l 方程 )0(22 >=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 焦 点 )0,2 (p )0,2(p - )2,0(p )2,0(p - 准 线 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = （一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x （1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-，椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心， 简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a c e = ?2)(1a b e -=。10<

高中数学圆锥曲线综合--求轨迹方程

圆锥曲线综合--求轨迹方程 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 圆锥曲线综合--求轨迹方程 求轨迹的常用方法： （1）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； （2）代入求轨法（坐标平移法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化，并且Q(x 1,y 1) 又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （3）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； （4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可 （5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均 用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 1、（1）一动圆过定点)0,1(A 且与定圆16)1(2 2 =++y x 相切，求动圆圆心的轨迹方程； （2）又若定点)0,2(A 定圆为4)2(22 =++y x 呢？ 2、△ABC 中，B （－3，8）、C （－1，－6），另一个顶点A 在抛物线y 2=4x 上移动，求此三角形重心G 的轨迹方程.

3、在平面直角坐标系中，若}2,{},2,{-=+=y x y x 8=+。求动点),(y x M 的轨迹C 的方程； 一、填空： 1．平面内到点A （0，1）、B （1，0）距离之和为2的点的轨迹为 2．已知M （－2，0）、N （2，0），动点P 满足|PM |－|PN |=4，则动点P 的轨迹方程是____________ 3．已知lg(2),lg |2|,lg(16)x y x -成等差数列，则点(,)P x y 的轨迹方程 __ 4．P 是椭圆15 92 2=+y x 上一点，过P 作其长轴垂线，M 是垂足，则PM 中点轨迹方程为______ 5．点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是 6．动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是 。 7、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。 8、倾斜角为 4 π 的直线交椭圆42 x +y 2=1于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 9、理）两条直线ax+y+1=0和x －ay －1=0(a ≠±1）的交点的轨迹方程是 二、选择： 10、,a b 为任意实数，若(,)a b 在曲线(,)0f x y =上，则(,)b a 也在曲线(,)0f x y =上，那么曲线(,)0f x y =的几何特征是（ ） （A ）关于x 轴对（B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x －y =0对称 11、方程2 2 2 2 (1)0x x y ++-=的图象是（ ） （A ）y 轴或圆（B ）两点（0，1）与（0，－1）（C ）y 轴或直线y =1±（D ）答案均不对 12、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 三、解答 17、已知动点p 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求p 点的轨迹方程。 18、抛物线y 2=x ＋1，定点A （3，1），B 是抛物线上任意一点，点P 在AB 上满足 BP ：P A =1：2，当点B 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程并指出轨迹是什么曲线？ 19、理）过原点作直线l 和抛物线642 +-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程。

高二数学圆锥曲线练习题及答案超经典习题

京翰提示：圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等,解答题目相对较难,同时平面向量的介入,增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等。 高二数学—圆锥曲线综合练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知|→ a |=|→ b |，→ a ⊥→ b ，且（→a +→b ）⊥（k → a -→ b ） ，则k 的值是( ) A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2 2、已知3a =r ，23b =r ，3a b ?=-r r ，则a r 与b r 的夹角是（ ） A 、150? B 、120? C 、60? D 、30? 3、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x=（ ） A 、23 B 、223 C 、323 D 、4 23 4、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x =（ ） A 、－3 B 、34 - C 、0 D 、 34 5．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 ( ） A ． 45 B ．2 5 C ．32 D ．4 5 6．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82 -= B ．y x 82 = C ． y x 162 -= D ．y x 162 = 7．若过原点的直线与圆2 x +2 y +x 4+3=0相切，切点在第三象限，直线的方程是( ） A ．x y 3= B ．x y 3-= C ．x y 3 3 = D ．x y 3 3- =

高二数学(文科)圆锥曲线题型汇总

高二数学(文科)圆锥曲线题型汇总

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高二数学（文）圆锥曲线复习 1.已知动圆过点(1,0)，且与直线x=一l 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 （ ） A ．x 2+y 2=l B ．x 2-y 2=1 C ．y 2 =4x D ．x=0 2.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>和抛物线2 2y px = ()0p >的离心率分别是123,,e e e ，则 （ ） A ．123e e e > B. 123e e e = C. 123e e e < D. 123e e e ≥ 3. 已知直线)0(1122 22>>=++-=b a b y a x x y 与椭圆相交于A 、B 两点。 （1）若椭圆的离心率为3 3 ，焦距为2，求椭圆的标准方程； （2）若OB OA ⊥（其中O 为坐标原点），当椭圆的离率]2 2 ,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值。

1.已知动圆过点(1,0)，且与直线x=一l 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 （ C ） A ．x 2+y 2=l B ．x 2-y 2=1 C ．y 2 =4x D ．x=0 2.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>和抛物线2 2y px = ()0p >的离心率分别是123,,e e e ，则 （ C ） A ．123e e e > B. 123e e e = C. 123e e e < D. 123e e e ≥ 3. 已知直线)0(1122 22>>=++-=b a b y a x x y 与椭圆相交于A 、B 两点。 （1）若椭圆的离心率为3 3 ，焦距为2，求椭圆的标准方程； （2）若OB OA ⊥（其中O 为坐标原点），当椭圆的离率]2 2 ,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值。 解：（1）.2,3,22.3 3,3322=-=====c a b a c a c e 则解得又即Θ .12 32 2=+∴y x 椭圆的标准方程为 …………3分 （2）由,0)1(2)(,1,122222222 22=-?+-?+?? ???+-==+ b a x a x b a y x y b y a x 得消去………4分 由.1,0)1)((4)2(2 2 2 2 2 2 2 2>+>-+--=?b a b b a a a 整理得…………5分 222112212122222 2(1) (,,),(,),,.a a b A x y B x y x x x x a b a b -+==++设则 .1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y …………7分 .01)(2,0),(21212121=++-=+∴⊥x x x x y y x x O OB OA 即为坐标原点其中Θ .02.012)1(222222 222222=-+=++-+-∴b a b a b a a b a b a 整理得 …………9分 2 222222211 12,e a e a a c a b -+=-=-=代入上式得Θ， ).11 1(2122e a -+=∴ …………11分 222 12111341[,],1,2,22422431e e e e ∈∴≤≤∴≤-≤∴≤≤-Q 2222 717313,,1,3162 a a b e ∴≤+≤∴≤≤+>-适合条件 由此得.26642≤≤a .6,623 42故长轴长的最大值为≤≤∴a