河北衡水中学2010届高三模拟试卷Ⅰ
雅创教育https://www.doczj.com/doc/3218737104.html,/数学试卷（理科）
审核：王君 校对：陈亮
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的
序号填涂在答题卡上）
1. 设全集{}*|lg 1U A B x N x ==∈< ，若{}|21,1,2,3,4U A C B m m n n ==+= ， 则集合B= （ ） A.{2，4，6，8} B ．{2，4，6，8，10} C.{1，2，4，6，8} D.{3，5，7，9}
2. 已知复数z 满足3
(12)12i z i +=+，则z 等于 （ ）
A.
3455i + B. 3455i -+ C. 3455i -- D. 3455
i - 3. 函数sin 2cos 23y x x π??
=-+ ???
的最小正周期是 （ ）
A.2
π
B.π
C.2π
D.4π 4. 已知向量,a b
满足1,4a b == ，且2a b ?≥ ，则a 与b 的夹角的取值范围是 （ ）
A.,6ππ???
??? B.0,3π?? ??? C ．0,3π?????? D.,3ππ??????
5. 已知()()()2
40z x x y y z ----=，则 （ ） A.,,x y z 成等差数列 B. ,,x y z 成等比数列
C.,,x y z 既成等差数列也成等比数列
D. ,,x y z 既不是等差数列也不是等比数列 6. 对于下列结论，正确的是 （ ） ①如果两条直线a 、b 分别与直线l 平行，那么//a b ②如果直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么//a β
③如果直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都垂直，那么a ⊥β ④如果平面β内的一条直线a 垂直平面γ，那么β⊥γ
A.①④
B. ①②
C. ①③④
D.①②④
7. 已知温哥华冬奥会男子冰壶比赛8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分成
,A B 两组，每组4支，则,A B 两组中有一组恰有两支弱队的概率为 （ ） A.
17 B. 2
7
C.
5
7
D.
67
8. 设函数246,0
()6,0
x x x f x x x ?++≤=?-+>?则不等式()(1)f x f <-的解集是 （ ）
A. ()()3,13,--+∞
B. ()()3,12,--+∞
C. ()3,-+∞
D. ()(),31,3-∞-- 9. 已知函数3
21()23
f x x ax bx c =
+++有两个极值点12,x x 且12,x x 满足12112x x -<<<<，则直线(1)30bx a y --+=的斜率的取值范围是 （ ）
A ．22,53??-
??? B ．53,22??- ??? C ．21,52??- ??? D ．22,,53????
-∞-+∞ ? ?????
10. 已知函数2()1()(0)21x F x f x x ?
?
=+
≠ ?-?
?
是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x （ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数
D.不是奇函数也不是偶函数
11. 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、
G 、H ，则
FG OH
的最大值为 （ ）
A.
12 B. 13 C. 1
4
D.不能确定 12. 在平面直角坐标系内，点P 到点(1,0)A 、(,4)B a 及到直线1x =-的距离都相等，如果这
样的点P 恰好只有一个，那么a = （ ）
A. 1
B. 2
C.22-或
D. 11-或
雅创教育https://www.doczj.com/doc/3218737104.html,/第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13. ()()()()()2
3
4
5
11111x x x x x ---+---+-的展开式中,3
x 的系数等于 .
14. 在四面体ABCD 中，6,4,5AB CD AC BD AD BC ======，则四面体ABCD 的外
接球的表面积为 。
15. 已知椭圆C 的焦点分别为()122,0F -和()
222,0F ，长轴长为6，设直线2y x =+交
椭圆C 于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标为 。 16. 关于函数2()()1x
f x x R x
=
∈+的如下结论：①()f x 是偶函数；②函数()f x 的值域是(2,2)-；③若12,x x ≠则一定有12()()f x f x ≠；④函数(1)f x +的图象关于直线1x =对
称；其中正确结论的序号有＿＿＿＿＿＿＿。（将你认为正确的结论的序号都填上） 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在
答题纸的相应位置）
17. 设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为
23
π
． （Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移
2
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．
18. 去年国庆期间，某商场进行促销活动，方案是：顾客消费1000元，便可获得一张奖券，
每张奖券的中奖率为20％，中奖后商场返还顾客1000元。小李购买一台价格为2400元的洗衣机，只能获得两张奖券，于是小李补偿50元给同事购买600元的上衣一件，可
以获得3张奖券，记小李抽奖后的实际开支为ξ元。 （１） 求ξ的分布列；
（２） 试说明小李出资50元便增加一张奖券是否划算？
19. 如图，在矩形ABCD 中，2,1,AB AD E ==是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ?向
上折起，使D 为D '，且平面D AE '⊥平面ABCE ． （Ⅰ）求证：AD EB '⊥；
（Ⅱ）求直线AC 与平面ABD '所成角的正弦值．
20. 数列{}n a 中，1410,4a a ==且满足*2120,n n n a a a n N ++-+=∈。 （１）求数列{}n a 的通项公式； （２）设12...,n n S a a a =+++求n S 。 （３）设**121
(),...(),(14)
n n n b n N T b b b n N n n =
∈=+++∈-求lim n n T →∞及是否存在最大的整
数k ，使得对任意*
n N ∈，均有128
n k
T >
成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。
21. 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，
，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF =
，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
22. 设抛物线2
12
y x =
上与点(6,0)A 距离最近的点为N ，点N 的纵坐标与横坐标的差为c 。已知函数3
2
()3f x ax bx x c =+-+在1x =±处取得极值。 （１）讨论(1)f 和(1)f -是函数()f x 的极大值还是极小值； （２）过点(0,16)P 作()y f x =的切线，求此切线的方程。
A
B
C
D
E
E
A
B
C D '
河北衡水中学2010届高三模拟试卷Ⅰ
雅创教育https://www.doczj.com/doc/3218737104.html,/数学试卷答案（理科） 一、CBBCA ADAAA CD 二、13.15 14.772π 15. 91
(,)55
- 16.②③ 17. 解：（Ⅰ）
2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++
sin 2cos 222sin(2)24
x x x π
ωωω=++=++
依题意得2223ππω=，故ω的值为32
. （Ⅱ）依题意得: 5()2sin 3()22sin(3)2244g x x x πππ?
?=-++=-+???
?
由5232()242k x k k Z π
ππ
ππ-
-
+∈≤≤
解得227()34312
k x k k Z ππ
ππ++
∈≤≤ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312
k k k Z ππ
ππ++
∈ 18. 解：（１）ξ的取值为2450，1450，450，－550
3464
(2450)()5125p ξ===
1
231448(1450)()55125p C ξ==??=
2231412
(450)()55125p C ξ==??=
311
(550)()5125
p ξ=-==
所以ξ的分布列为
ξ
2450 1450 450 －550
Ｐ
64125 48125 12125 1125
（２）6448121245014504505501850125125125125
E ξ=?+?+?-?= 设小李不出资50元时小李抽奖后的实际开支为η元，则η的取值为2400，1400，400
2416
(2400)()525p η===
1
2148(1400)5525p C η==??=
211
(4000)()525p η===
1681
240014004002000252525
E η=?+?+?=
E E ξη<，所以小李出资50元便增加一张奖券更划算。
19. 解:（Ⅰ）在Rt BCE ?中，222BE BC CE =+=，
在Rt AD E '?中，222AE D A D E ''=
+=，
∵2222
2AB BE AE ==+，∴AE BE ⊥．…………………………………………..2分
∵平面AED '⊥平面ABCE ，且交线为AE ， ∴BE ⊥平面AED '．
∵AD '?平面AED '，∴AD BE '⊥．………………………………………………5分 （Ⅱ）设AC 与BE 相交于点F ，由（Ⅰ）知
AD BE '⊥，
∵AD ED ''⊥，∴AD '⊥平面EBD '，
∵AD '?平面AED '，∴平面ABD '⊥平面EBD '，
且交线为BD '，……………………………………7分
如图19-2，作FG BD '⊥，垂足为G ，则FG ⊥平面ABD '，连结AG ，则FAG ∠是直线AC 与平面ABD '所成的角．…………………………………………..9分 由平面几何的知识可知
1
2
EF EC FB AB ==，∴12
33
EF EB ==
． 在Rt AEF ?中，22225
293
AF AE EF =
+=+
=
， 在中，
FG D E FB D B '='，可求得26
9
FG =．∴30sin 15FAG ∠=。
所以直线与平面所成角的正弦值为
30
15
。 …………………………………………..12分 20. 解：（１）由*
2120,n n n a a a n N ++-+=∈得{}n a 是等差数列，设公差为d ，由题意得
A B
C
D '
E F
G
19-2
4103,2d d =+∴=-，122n a n ∴=-。………………………………………３分
（２）由122n a n =-，当6n >时,0,n a < 当6n <时,0,n a >
6n ∴≤时,2121210122 (112)
n n n n
S a a a a a a n n n +-=+++=+++==-
6n >时,
212126786.........21160n n n n S a a a a a a a a a S S n n =+++=+++----=-=-+
故2
2
1161160
6
n n n
n S n n n ?-≤?=?-+>??
（３）11111
()(14)2(1)21
n n b n a n n n n =
==--++
11111111(1)()...()()2223112(1)
n n
T n n n n n ??∴=
-+-++-+-=??-++?? 1
lim 2
n n T →∞
∴=
。 若对任意的*
n N ∈，128n k T >
成立，即164
n k n >+对任意的*
n N ∈成立
*()1n n N n ∈+ 的最小值是12，1,32,642
k k k ∴<∴<的最大值是31。 即存在最大整数31k =，使对任意*n N ∈，均有128
n k
T >成立。
21. （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ············································ 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程2
2
(14)4k x +=， 故212
214x x k
=-=
+．①
由
6ED DF
= 知
01206()
x x x x -=-，得
021221510
(6)77714x x x x k
=+==
+； D
F B y
x
A
O
E
由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k =
+．所以2210
12714k k
=
++， 化简得2
242560k k -+=，解得23k =
或3
8
k =． ························································· 6分 （Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为
21112
22
2(1214)
55(14)
x kx k k h k +-+++=
=
+，
22222
22
2(1214)
5
5(14)
x kx k k h k +-+-+=
=
+． ·································································· 9分
又2215AB =
+=，所以四边形AEBF 的面积为
21222114(12)144()5222145(14)
k k k
S AB h h k k +++=+==++ 22≤， 当21k =，即当1
2
k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ······························ 12分 22. 解
：
(1)设(,)N x y 为抛物线2
12
y x =上一点，则
22241
(6)(6)4
MA x y x x =-+=-+
2
MA MA 与同时取到极值，令2
241()(6)4
f x MA x x ==-+
由2'()(2)(26)0f x x x x =-++=得2x =，而当x x →+∞→+∞或时，()f x →+∞
2x ∴=是()f x 的极小值点，此时2,2x y ==，即抛物线2
12
y x =
上与点(6,0)A 距离最近的点(2,2)N ，320,()3c f x ax bx x ∴==+-
2'()323f x ax bx =+-，依题意得，'(1)'(1)0f f =-=
即32303230
a b a b +-=??--=?，解得1,0a b ==，32()3,'()333(1)1)f x x x f x x x x ∴=-=-=-+ 令'()0,1,1f x x x ===-得，若'()0,11f x x x >><-或，'()0,11f x x <-<< 所以()f x 在(,1))-∞-∞上是增函数,在(1,+上是增函数，在(-1,1)上是减函数 所以(1)2f -=是极大值，(1)2f =-是极小值……………………………….6分
（２）曲线方程为33y x x =-，点(0,16)P 不在曲线上，设切点0,0()Q x y ，则点Q 的坐标满足32000003,'()3(1)y x x f x x =-=-
故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--，因为点P 在切线上，
3230000016(3)3(1)(),8,x x x x x ∴--=--=-化简得解得02,x =-所以切点为(2,2)Q --
所以切线的方程为9160x y -+=。………………………………………12分
雅创教育https://www.doczj.com/doc/3218737104.html,/ 雅创教育https://www.doczj.com/doc/3218737104.html,/ 雅创教育https://www.doczj.com/doc/3218737104.html,/
雅创教育https://www.doczj.com/doc/3218737104.html,/