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全国中考数学压轴题精选-解析几何详细解析

全国中考数学压轴题精选-解析几何

71.(中考江苏镇江28题)(本小题满分8分)探索研究 如图,在直角坐标系xOy 中,点P 为函数2

14

y x =

在第一象限内的图象上的任一点,点A 的坐标为(01),,直线l 过(01)B -,且与x 轴平行,过P 作y 轴的平行线分别交x 轴,l 于

C Q ,,连结AQ 交x 轴于H ,直线PH 交y 轴于R .

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(1)求证:H 点为线段AQ 的中点; (2)求证:①四边形APQR 为平行四边形;

②平行四边形APQR 为菱形;

(3)除P 点外,直线PH 与抛物线2

14

y x =

有无其它公共点?并说明理由. (中考江苏镇江28题解析)(1)法一:由题可知1AO CQ ==.

90AOH QCH ∠=∠=o Q ,AHO QHC ∠=∠,

AOH QCH ∴△≌△.

············································································· (1分) OH CH ∴=,即H 为AQ 的中点. ·

··························································· (2分) 法二:(01)A Q ,,(01)B -,,OA OB ∴=. ·················································· (1分) 又BQ x ∥轴,HA HQ ∴=. ···································································· (2分) (2)①由(1)可知AH QH =,AHR QHP ∠=∠,

AR PQ Q ∥,RAH PQH ∴∠=∠,

RAH PQH ∴△≌△. ·

············································································ (3分) AR PQ ∴=,

又AR PQ ∥,∴四边形APQR 为平行四边形. ············································· (4分)

②设2

14

P m m ?

? ??

?

,,PQ y Q ∥轴,则(1)Q m -,

,则2

114

PQ m =+. 过P 作PG y ⊥轴,垂足为G ,在Rt APG △中,

x

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2

1

1

4

AP m PQ ====+=.

∴平行四边形APQR为菱形. ····································································(6分)(3)设直线PR为y kx b

=+,由OH CH

=,得2

2

m

H

??

?

??

,,2

1

4

P m m

??

?

??

,代入得:2

2

1

.

4

m

k b

km b m

?

+=

??

?

?+=

??

2

2

1

.

4

m

k

b m

?

=

??

∴?

?=-

??

∴直线PR为2

1

24

m

y x m

=-.·····················(7分)设直线PR与抛物线的公共点为2

1

4

x x

??

?

??

,,代入直线PR关系式得:

22

11

424

m

x x m

-+=,2

1

()0

4

x m

-=,解得x m

=.得公共点为2

1

4

m m

??

?

??

,.

所以直线PH与抛物线2

1

4

y x

=只有一个公共点P.·······································(8分)

72(中考黑龙江齐齐哈尔28题)(本小题满分10分)

如图,在平面直角坐标系中,点(30)

C-,,点A B

,分别在x轴,y

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轴的正半轴上,且满足10

OA-=.

(1)求点A,点B的坐标.

(2)若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连结AP.设ABP

△的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围.(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以点A B P

,,为顶点的三角形与AOB

△相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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x

(中考黑龙江齐齐哈尔28题解析)解:(1

)10OA -=Q

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230OB ∴-=,10OA -= ·

······································································ (1分)

OB ∴=,1OA =

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Q 点A ,点B 分别在x 轴,y 轴的正半轴上

(10)(0A B ∴,, ·················································································· (2分)

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(2)求得90ABC ∠=o

············································································· (3分)

(0(t t S t t ??? ≤

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(每个解析式各1分,两个取值范围共1分) ················································ (6分)

(3)1(3

0)P -,

;21P ?

- ?

;31P ? ?

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;4(3P (每个1分,计4分) ··········································································································· (10分)

注:本卷中所有题目,若由其它方法得出正确结论,酌情给分.

73(中考海南省卷24题)(本题满分14分)如图13,已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ,直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m ),且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .

(1)求m 的值及该抛物线对应的函数关系式; (2)求证:① CB =CE ;② D 是BE 的中点;

(3)若P (x ,y )是该抛物线上的一个动点,

求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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(中考海南省卷24题解析)(1)∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上,

∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………(2分) ∴ B (-2,3)

∵ 抛物线经过原点O 和点A ,对称轴为x =2, ∴ 点A 的坐标为(4,0) .

设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………(3分)

将点B (-2,3)代入上式,得3=a (-2-0)(-2-4),∴ 4

1=a . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=

x x y ,即x x y -=24

1

. (6分) (2)①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2

过点B 作BG ∥x 轴,与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2,BG =4.

在Rt △BGC 中,BC =52

2=+BG CG .

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∵ CE =5,

∴ CB =CE =5. ……………………(9分)

②过点E 作EH ∥x 轴,交y 轴于H ,

则点H 的坐标为H (0,-5). 又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1),

∴ FD =DH =4,BF =EH =2,∠BFD =∠EHD ∴ △DFB ≌△DHE (SAS ),

∴ BD =DE .

即D 是BE 的中点. (3) 存在. 由于PB =PE ,∴ 点P 在直线CD 上,

∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.

设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b .

将D (0,-1) C (2,0)代入,得???=+-=0

21

b k b . 解得 1,21-==b k .

∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =2

1

x -1.

∵ 动点P 的坐标为(x ,x x -24

1

),

∴ 21x -1=x x -24

1

. ………………………………(13分)

解得 531+=x ,532-=x . ∴ 2511+=y ,25

11-=y .

∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+,251+)或(53-,2

5

1-).…(14分)

(注:用其它方法求解参照以上标准给分.)

74.(中考广东东莞22题)(本题满分9分)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边

AB 重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC 与BD 相交于点E ,连结CD . (1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).

(3)如图10,若以AB 所在直线为x 轴,过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10

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的平面直角坐标系,保持ΔABD 不动,将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置,FH 与BD 相交于点P ,设AF=t ,ΔFBP 面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式,并写出t 的取值值范围.

(中考广东东莞22题解析)解:(1

…………………………1分

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等腰;…………………………2分

(2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写对9对得3分)

①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似,分别是:△DCE ∽△ABE ,△DCE ∽△ACD ,△DCE ∽△BDC ,△ABE ∽△ACD ,△ABE ∽△BDC ;(有5对)

②△ABD ∽△EAD ,△ABD ∽△EBC ;(有2对) ③△BAC ∽△EAD ,△BAC ∽△EBC ;(有2对)

所以,一共有9对相似三角形.…………………………………………5分

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(3)由题意知,FP ∥AE , ∴ ∠1=∠PFB , 又∵ ∠1=∠2=30°,

∴ ∠PFB =∠2=30°,

∴ FP =BP.…………………………6分

过点P 作PK ⊥FB 于点K ,则FK BK ==∵ AF =t ,AB =8,

∴ FB =8-t ,1

(8)2

BK t =-.

D

C

A

E

图9

图10

在Rt △BPK

中,1tan 2(8)tan 30)26

PK BK t t =?∠=

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-?=-. ……………………7分 ∴ △FBP

的面积11(8)(8)226

S FB PK t t =

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??=?-?-, ∴ S 与t 之间的函数关系式为:

28)S t =

-

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,或243S t =-分 t 的取值范围为:08t ≤<. …………………………………………………………9分

75(中考甘肃兰州28题)(本题满分12分)如图19-1,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点,点A 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,5OA =,

4OC =.

(1)在OC 边上取一点D ,将纸片沿AD 翻折,使点O 落在BC 边上的点E 处,求D E

,两点的坐标;

(2)如图19-2,若AE 上有一动点P (不与A E ,重合)自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t 秒(05t <<),过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ,过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式;当t 取何值时,S 有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当t 为何值时,以A M E ,,为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M 的坐标.

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(中考甘肃兰州28题解析)(本题满分12分) 解:(1)依题意可知,折痕AD 是四边形OAED 的对称轴, ∴在Rt ABE △中,5AE AO ==,4AB =.

3BE ∴=.2CE ∴=.

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E ∴点坐标为(2,4)

. ··················································································· 2分 在Rt DCE △中,2

2

2

DC CE DE +=, 又DE OD =Q .

222(4)2OD OD ∴-+= . 解得:5

2

CD =

. D ∴点坐标为502??

???

, ·

····················································································· 3分

(2)如图①PM ED Q ∥,APM AED ∴△∽△.

PM AP ED AE ∴

=

,又知AP t =,5

2

ED =,5AE = 5522

t t

PM ∴=?=, 又5PE t =-Q .

而显然四边形PMNE 为矩形.

215

(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==?-=-+g 矩形 ·

················································· 5分 2

1525

228

PMNE

S t ??∴=--+ ???四边形,又5052<

∴当52t =

时,PMNE S 矩形有最大值25

8

. ······························································ 6分 (3)(i )若以AE 为等腰三角形的底,则ME MA =(如图①) 在Rt AED △中,ME MA =,PM AE ⊥Q ,P ∴为AE 的中点,

15

22t AP AE ∴===.

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又PM ED Q ∥,M ∴为AD 的中点. 过点M 作MF OA ⊥,垂足为F ,则MF 是OAD △的中位线, 1524MF OD ∴==,15

22

OF OA ==, ∴当52t =

时,5052??

<< ???

,AME △为等腰三角形.

此时M 点坐标为5524?? ???

,. ·············································································· 8分 (ii )若以AE 为等腰三角形的腰,则5AM AE ==(如图②)

在Rt AOD △

中,AD ===

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过点M 作MF OA ⊥,垂足为F .

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PM ED Q ∥,APM AED ∴

△∽△. AP AM

AE AD

=

55

5AM AE t AP AD ?∴====g

,12PM t ∴==.

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MF MP ∴==

5OF OA AF OA AP =-=-=-

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当t =

(05<),此时M

点坐标为(5-.······················ 11分

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综合(i )(ii )可知,5

2

t =

或t =A M E ,,为顶点的三角形为等腰三角形,相

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应M 点的坐标为5524?? ???

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或(5-. ······················································· 12分

76.(中考天津市卷26题)(本小题10分) 已知抛物线c bx ax y ++=232,

(Ⅰ)若1==b a ,1-=c ,求该抛物线与x 轴公共点的坐标;

(Ⅱ)若1==b a ,且当11<<-x 时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,求c 的取值范围; (Ⅲ)若0=++c b a ,且01=x 时,对应的01>y ;12=x 时,对应的02>y ,试判断当10<

(中考天津市卷26题解析)解(Ⅰ)当1==b a ,1-=c 时,抛物线为1232-+=x x y , 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ,3

12=

x . ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-,和103?? ???

. ········································· 2分 (Ⅱ)当1==b a 时,抛物线为c x x y ++=232,且与x 轴有公共点.

对于方程0232=++c x x ,判别式c 124-=?≥0,有c ≤31

. ·································· 3分

①当31=

c 时,由方程031232=++x x ,解得3

121-==x x . 此时抛物线为31

232+

+=x x y 与x 轴只有一个公共点103??- ???

,. ···························· 4分

②当3

1

<

c 时, 11-=x 时,c c y +=+-=1231, 12=x 时,c c y +=++=5232.

由已知11<<-x 时,该抛物线与x 轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为3

1

-=x ,

应有12

00.y y ??>?≤, 即1050.c c +??+>?≤,

解得51c -<-≤. 综上,3

1

=

c 或51c -<-≤. ····································································· 6分

(Ⅲ)对于二次函数c bx ax y ++=232,

由已知01=x 时,01>=c y ;12=x 时,0232>++=c b a y , 又0=++c b a ,∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23. 于是02>+b a .而c a b --=,∴02>--c a a ,即0>-c a .

∴0>>c a . ···························································································· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式 0])[(412)(4124222>+-=-+=-=?ac c a ac c a ac b ,

∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点,顶点在x 轴下方. ························· 8分 又该抛物线的对称轴a

b

x 3-

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=, 由0=++c b a ,0>c ,02>+b a , 得a b a -<<-2, ∴

3

2331<-y ;12=x 时,02>y ,观察图象,

可知在10<

77(中考湖北宜昌25题)如图1,已知四边形OABC 中的三个顶点坐标为O (0,0),A (0,n ),C (m ,0).动点P 从点O 出发依次沿线段OA ,AB ,BC 向点C 移动,设移动路程为z ,△OPC 的面积S 随着z 的变化而变化的图象如图2所示.m ,n 是常数, m >1,n >0. (1)请你确定n 的值和点B 的坐标; (2)当动点P 是经过点O ,C 的抛物线y =ax 2

+bx +c 的顶点,且在双曲线y =

115x

上时,求这时四边形OABC 的面积.

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(中考湖北宜昌25题解析)解:(1) 从图中可知,当P 从O 向A 运动时,△POC 的面积S

(第25题)

1

2

mz , z 由0逐步增大到2,则S 由0逐步增大到m ,故OA =2,n =2 . (1分) 同理,AB =1,故点B 的坐标是(1,2).(2分) (2)解法一:

∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O (0,0),C (m ,0),∴c =0,b =-am ,(3分) ∴抛物线为y =ax 2-amx ,顶点坐标为(

2

m ,-1

4 am 2).(4分)

如图1,设经过点O ,C ,P 的抛物线为l.

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当P 在OA 上运动时,O ,P 都在y 轴上, 这时P ,O ,C 三点不可能同在一条抛物线上, ∴这时抛物线l 不存在, 故不存在m 的值..① 当点P 与C 重合时,双曲线y =

11

5x

不可能经过P , 故也不存在m 的值.②(5分)

(说明:①②任做对一处评1分,两处全对也只评一分) 当P 在AB 上运动时,即当0

m

,2). ∵P 在双曲线y =

115x 上,可得 m =115,∵115>2,与 x 0=2

m

≤1不合,舍去.(6分)③

容易求得直线BC 的解析式是:2211m y x m m

=---,(7分) 当P 在BC 上运动,设P 的坐标为 (x 0,y 0),当P 是顶点时 x 0=

2

m

, 故得y 0=02211m x m m -

--=1m m -,顶点P 为(2m

,1m m -), ∵1< x 0=2m 2,又∵P 在双曲线y =11

5x 上,

于是,2m ×1m m -=115

,化简后得5m 2

-22m +22=0,

解得1m =

2m =分)

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2,2220,>∴-<

Q 2222,10

m -∴=

<

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与题意2

2

m

故由①②③④,满足条件的只有一个值:2210

m +=

.

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这时四边形OABC 的面积=1

(1)22

m +?

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165+.(10分) (2)解法二:

∵抛物线y =ax 2

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+bx +c 经过点O (0,0),C (m ,0) ∴c =0,b =-am ,(3分)

∴抛物线为y =ax 2-amx ,顶点坐标P 为(m 2 ,-1

4 am 2). (4分)

∵m >1,∴m 2 >0,且m

2 ≠m ,

∴P 不在边OA 上且不与C 重合. (5分)

∵P 在双曲线y =115x 上,∴m 2 ×(- 14 am 2)=115 即a =- 88

5m 3 .

.①当1<m ≤2时,12 <m

2 ≤1,如图2,分别过B ,P 作x 轴的垂线,

M ,N 为垂足,此时点P 在线段AB 上,且纵坐标为2, ∴-14 am 2=2,即a =-8

m 2 .

而a =-

885m 3 ,∴- 885m 3 =-8m 2 ,m =11

5

>2,而1<m ≤2,不合题意,舍去.(6分) ②当m ≥2时,m

2 >1,如图3,分别过B ,P 作x 轴的垂线,M ,N 为垂足,ON >OM ,

此时点P 在线段CB 上,易证Rt △BMC ∽Rt △PNC ,

∴BM ∶PN =MC ∶NC ,即: 2∶PN =(m -1)∶m 2 ,∴PN =m

m -1 (7分)

而P 的纵坐标为- 14 am 2,∴m m -1 =- 14 am 2,即a =4

m(1-m)

而a =-885m 3 ,∴- 885m 3

=4

m(1-m) 化简得:5m 2-22m +22=0.解得:m =

11±11

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5

,(8分) 但m ≥2,所以m =11-11

5 舍去,(9分)

取m =

11+11

5

. 由以上,这时四边形OABC 的面积为:

12 (AB +OC ) ×OA =1

2 (1+m ) ×2=16+11 5 . (10分)

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