全国中考数学压轴题精选-解析几何

71.（中考江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2

14

y x =

在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于

C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．

（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；

②平行四边形APQR 为菱形；

（3）除P 点外，直线PH 与抛物线2

14

y x =

有无其它公共点？并说明理由． （中考江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．

90AOH QCH ∠=∠=o Q ，AHO QHC ∠=∠，

AOH QCH ∴△≌△．

············································································· （1分） OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点． ·

··························································· （2分） 法二：(01)A Q ，，(01)B -，，OA OB ∴=． ·················································· （1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ···································································· （2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，

AR PQ Q ∥，RAH PQH ∴∠=∠，

RAH PQH ∴△≌△． ·

············································································ （3分） AR PQ ∴=，

又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ············································· （4分）

②设2

14

P m m ?

? ??

?

，，PQ y Q ∥轴，则(1)Q m -，

，则2

114

PQ m =+． 过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在Rt APG △中，

x

2

1

1

4

AP m PQ ====+=．

∴平行四边形APQR为菱形． ····································································（6分）（3）设直线PR为y kx b

=+，由OH CH

=，得2

2

m

H

??

?

??

，，2

1

4

P m m

??

?

??

，代入得：2

2

1

.

4

m

k b

km b m

?

+=

??

?

?+=

??

，

2

2

1

.

4

m

k

b m

?

=

??

∴?

?=-

??

，

∴直线PR为2

1

24

m

y x m

=-．·····················（7分）设直线PR与抛物线的公共点为2

1

4

x x

??

?

??

，，代入直线PR关系式得：

22

11

424

m

x x m

-+=，2

1

()0

4

x m

-=，解得x m

=．得公共点为2

1

4

m m

??

?

??

，．

所以直线PH与抛物线2

1

4

y x

=只有一个公共点P．·······································（8分）

72（中考黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，点(30)

C-，，点A B

，分别在x轴，y

轴的正半轴上，且满足10

OA-=．

（1）求点A，点B的坐标．

（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设ABP

△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A B P

，，为顶点的三角形与AOB

△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

x

（中考黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1

）10OA -=Q

230OB ∴-=，10OA -= ·

······································································ （1分）

OB ∴=，1OA =

Q 点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上

(10)(0A B ∴，， ·················································································· （2分）

（2）求得90ABC ∠=o

············································································· （3分）

(0(t t S t t ??? ≤

（每个解析式各1分，两个取值范围共1分） ················································ （6分）

（3）1(3

0)P -，

；21P ?

- ?

；31P ? ?

；4(3P （每个1分，计4分） ··········································································································· （10分）

注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．

73（中考海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .

（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；

（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，

求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

（中考海南省卷24题解析）（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，

∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)

∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .

设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分）

将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4

1=a . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=

x x y ，即x x y -=24

1

. （6分） （2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2

过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2，BG =4.

在Rt △BGC 中，BC =52

2=+BG CG .

∵ CE =5，

∴ CB =CE =5. ……………………（9分）

②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，

则点H 的坐标为H (0,-5). 又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，

∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），

∴ BD =DE .

即D 是BE 的中点. （3） 存在. 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，

∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.

设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b .

将D (0,-1) C (2,0)代入，得???=+-=0

21

b k b . 解得 1,21-==b k .

∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =2

1

x -1.

∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -24

1

)，

∴ 21x -1=x x -24

1

. ………………………………（13分）

解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，25

11-=y .

∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，2

5

1-).…（14分）

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

74.（中考广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边

AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10

的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.

（中考广东东莞22题解析）解：（1

）

…………………………1分

等腰；…………………………2分

（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）

①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)

②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分

（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°，

∴ ∠PFB ＝∠2＝30°,

∴ FP ＝BP.…………………………6分

过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则FK BK ==∵ AF ＝t ，AB ＝8，

∴ FB ＝8－t ，1

(8)2

BK t =-.

D

C

A

E

图9

图10

在Rt △BPK

中，1tan 2(8)tan 30)26

PK BK t t =?∠=

-?=-. ……………………7分 ∴ △FBP

的面积11(8)(8)226

S FB PK t t =

??=?-?-， ∴ S 与t 之间的函数关系式为：

28)S t =

-

，或243S t =-分 t 的取值范围为：08t ≤<. …………………………………………………………9分

75（中考甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，

4OC =．

（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E

，两点的坐标；

（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．

（中考甘肃兰州28题解析）（本题满分12分） 解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴， ∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．

3BE ∴=．2CE ∴=．

E ∴点坐标为（2，4）

． ··················································································· 2分 在Rt DCE △中，2

2

2

DC CE DE +=， 又DE OD =Q ．

222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：5

2

CD =

． D ∴点坐标为502??

???

， ·

····················································································· 3分

（2）如图①PM ED Q ∥，APM AED ∴△∽△．

PM AP ED AE ∴

=

，又知AP t =，5

2

ED =，5AE = 5522

t t

PM ∴=?=， 又5PE t =-Q ．

而显然四边形PMNE 为矩形．

215

(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==?-=-+g 矩形 ·

················································· 5分 2

1525

228

PMNE

S t ??∴=--+ ???四边形，又5052<

∴当52t =

时，PMNE S 矩形有最大值25

8

． ······························································ 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①） 在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥Q ，P ∴为AE 的中点，

15

22t AP AE ∴===．

又PM ED Q ∥，M ∴为AD 的中点． 过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线， 1524MF OD ∴==，15

22

OF OA ==， ∴当52t =

时，5052??

<< ???

，AME △为等腰三角形．

此时M 点坐标为5524?? ???

，． ·············································································· 8分 （ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②）

在Rt AOD △

中，AD ===

过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．

PM ED Q ∥，APM AED ∴

△∽△． AP AM

AE AD

∴

=

．

55

5AM AE t AP AD ?∴====g

，12PM t ∴==．

MF MP ∴==

5OF OA AF OA AP =-=-=-

∴

当t =

（05<），此时M

点坐标为(5-．······················ 11分

综合（i ）（ii ）可知，5

2

t =

或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相

应M 点的坐标为5524?? ???

，

或(5-． ······················································· 12分

76.（中考天津市卷26题）（本小题10分） 已知抛物线c bx ax y ++=232，

（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<

（中考天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，3

12=

x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103?? ???

，

． ········································· 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．

对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=?≥0，有c ≤31

． ·································· 3分

①当31=

c 时，由方程031232=++x x ，解得3

121-==x x ． 此时抛物线为31

232+

+=x x y 与x 轴只有一个公共点103??- ???

，． ···························· 4分

②当3

1

<

c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．

由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为3

1

-=x ，

应有12

00.y y ??>?≤， 即1050.c c +??+>?≤，

解得51c -<-≤． 综上，3

1

=

c 或51c -<-≤． ····································································· 6分

（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，

由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．

∴0>>c a ． ···························································································· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式 0])[(412)(4124222>+-=-+=-=?ac c a ac c a ac b ，

∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ························· 8分 又该抛物线的对称轴a

b

x 3-

=， 由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2， ∴

3

2331<-y ；12=x 时，02>y ，观察图象，

可知在10<

77（中考湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC 中的三个顶点坐标为O (0，0)，A (0，n )，C (m ，0)．动点P 从点O 出发依次沿线段OA ，AB ，BC 向点C 移动，设移动路程为z ，△OPC 的面积S 随着z 的变化而变化的图象如图2所示．m ，n 是常数， m ＞1，n ＞0． （1）请你确定n 的值和点B 的坐标； （2）当动点P 是经过点O ，C 的抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的顶点，且在双曲线y ＝

115x

上时，求这时四边形OABC 的面积．