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特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、(一阶线性递推式)设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当,其中}{n b 是以c 为公比的等比数列,

即01111,x a b c b b n n -==-. 证明:因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

d

x -=作换元,

0x a b n n -= 则.)(110011

n n n n n n cb x a c c

cd

ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--

当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是以c 为公比的等比数列,故;11-=n n c b b 当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n (证毕) 下面列举两例,说明定理1的应用.

例1.已知数列}{n a 满足:,4,N ,23

1

11=∈--=+a n a a n n 求.n a

解:作方程.2

3

,2310-=--=x x x 则

当41=a 时,.2

11

23,1101=+=≠a b x a

数列}{n b 是以3

1

-为公比的等比数列.

于是.N ,)31

(2112323,)31(211)

3

1(111

1∈-+-=+-=-=

-=---n b a b b n n n n n n

例2.已知数列}{n a 满足递推关系:,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列?

解:作方程,)32(i x x +=则.5

360i

x +-=

要使n a 为常数,即则必须.53601i

x a +-=

= 二、(二阶线性递推式)定理2:对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组);当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关

于A 、B 的方程组)。

例3:已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列

{}n a 的通项公式。

解法一(待定系数——迭加法) 由025312=+-++n n n a a a ,得

)(3

2

112n n n n a a a a -=

-+++, 且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,

3

2

为公比的等比数列,于是 11)3

2

)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入,得

a b a a -=-12,

)32

()(23?-=-a b a a ,

234)3

2

()(?-=-a b a a ,

???

21)3

2

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加,得

])3

2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=-。

a b b a a a b a n n n 23)3

2

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是:02532

=+-x x 。

3

2,121=

=x x , ∴1

2

11--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。 又由b a a a ==21,,于是

??

?-=-=???

?

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1

)

3

2

)((323--+-=n n b a a b a

三、(分式递推式)定理3:如果数列

}{n a 满足下列条件:已知1a 的值且对于N ∈n ,都有

h ra q pa a n n n ++=

+1(其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r h

a r qr ph -

≠≠≠1,0,),那么,可作

特征方程

h rx q

px x ++=

.

(1)当特征方程有两个相同的根λ(称作特征根)时,

若,1λ=a 则;N ,∈=n a n

λ

若λ≠1a ,则,N ,1∈+=

n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地,当存

,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在.

(2)当特征方程有两个相异的根1λ、2λ(称作特征根)时,则

11

2--=

n n n c c a λλ,,N ∈n

其中

).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=

-a n r p r p a a c n n 其中

例3、已知数列

}{n a 满足性质:对于

,

324

,N 1++=

∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解:依定理作特征方程

,324

++=

x x x 变形得,04222

=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特

征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有

.

N ,)221211(2313)(1

1212111∈?-?-?+-=--?--=

--n r p r p a a c n n n λλλλ

.N ,)51(521

∈-=

-n c n n

∴.

N ,1)51(521

)51

(5221

1112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ

即.N ,)5(24

)5(∈-+--=n a n

n n

例5.已知数列

}{n a 满足:对于,N ∈n 都有

.

325

131+-=

+n n n a a a

(1)若,51=a 求;n a (2)若,31=a 求;n a (3)若,61=a 求;n a

(4)当1a 取哪些值时,无穷数列

}{n a 不存在?

解:作特征方程

.325

13+-=

x x x 变形得,025102

=+-x x

特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第(1)部分解答.

(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn

a

(2)∵.,311λ≠∴=a a

λλr p r

n a b n --+-=

)1(11

51131)1(5

31?-?

-+-=

n ,

8121-+-=n 令

0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在,

当n ≤4,N ∈n 时,

517

51--=+=

n n b a n n λ.

(3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a

∴.,81

1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=

λλ

,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n

.N ,743

5581111

∈++=+-+

=+=

n n n n b a n

n λ

(4)、显然当31-=a 时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,

51=a 时,数列}{n a 是存在的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=

n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得

N

,11351∈--=n n n a 且n ≥2.

∴当

113

51--=

n n a (其中N ∈n 且N ≥2)时,数列}{n a 从第n 项开始便不存在.

于是知:当1a 在集合3{-或,

:113

5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无穷数列}{n a 都不存在.

练习题:

求下列数列的通项公式: 1.在数列

}{n a 中,,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ,求n a 。(key :

21)1(32---+?=n n n a )

2.在数列}{n a 中,,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ,求n a 。(key :)

14(31

-=n n a )

3.在数列}{n a 中,,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ,求n a 。(key :121-=+n n a )

4.在数列

}{n a 中,,

2,321==a a n n n a a a 313212+=

++,求n a 。(key :2

)31

(4147--?+=n n a )

5.在数列}{n a 中,,35,321==a a )4(3112n n n a a a -=++,求n a 。

(key :1

32

1-+=n n a ) 6.在数列

}{n a 中,,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12,且1=+q p .求n a .(

key :1=q 时,

))(1(a b n a a n --+=;1≠q 时,q q a b b aq a n n +---+=

-1))((1

7.在数列

}{n a 中,,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa (q p ,是非0常数).

求n a .(key : b

p q q p p a a n n )](1[1

---+= (q p ≠); b n a a n

)1(1-+=)(q p =) 8.在数列

}{n a 中,21,a a 给定,21--+=n n n ca ba a .求n a .

(key:

1

22211)(a c a a n n n n n ?--+?--=----αβαβαβαβ)(βα≠;若βα=,上式不能应用,此时,

.)2()1(1

122----?-=n n n a n a n a αα

附定理3的证明

定理3(分式递推问题):如果数列

}{n a 满足下列条件:已知1a 的值且对于N ∈n ,都有

h ra q pa a n n n ++=

+1(其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r h

a r qr ph -

≠≠≠1,0,),那么,可作

特征方程

h rx q

px x ++=

.

(1)当特征方程有两个相同的根λ(称作特征根)时,

,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则

,N ,1

∈+=

n b a n

n λ其中

.

N ,)1(11∈--+-=

n r p r

n a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n

a 不存在.

(2)当特征方程有两个相异的根1λ、2λ(称作特征根)时,则

11

2--=

n n n c c a λλ,,

N ∈n 其中

).(,N ,)(211

212111λλλλλ≠∈----=

-a n r p r p a a c n n 其中

证明:先证明定理的第(1)部分. 作交换

N ,∈-=n a d n n λ

λ

λ-++=

-=++h ra q

pa a d n n n n 11

h ra h q r p a n n +-+-=

λλ)(

h d r h q r p d n n ++-+-+=

)())((λλλλ

λλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=

]

)([)(2 ①

∵λ是特征方程的根,∴λ

.0)(2=--+?++=

q p h r h r q

p λλλλ

将该式代入①式得

.

N ,)

(1∈-+-=

+n r h rd r p d d n n n λλ ②

r p

x =

代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根

λ

,

r p ≠

于是.0≠-r p λ ③

当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n

故.N ,∈=+=n d a n n λλ

当01≠d 即λ≠1a 时,由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化:

.

1)(11

r p r

d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+?-+=--+=

+ ④

由λ是方程

h rx q px x ++=

的两个相同的根可以求得.

2r h

p -=λ

∴,

122=++=---+

=-+h p p h r

r h p p r

r h

p h r p r h λλ

将此式代入④式得

.N ,11

1

∈-+=

+n r p r

d d n n λ

令.N ,1∈=

n d b n n 则.

N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以r p r

λ-为公差的等差数

列.

.N ,)1(1∈-?

-+=n r p r

n b b n λ

其中

.11111λ-==

a d b

0,N ≠∈n b n 时,

.N ,1

∈+=

+=n b d a n

n n λλ

当存在

,N 0∈n 使00=n b 时,

λλ+=

+=0

001n n n b d a 无意义.故此时,无穷数列

}{n a 是

不存在的.

再证明定理的第(2)部分如下:

∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ,∴其中必有一个特征根不等于1a ,不妨令.12a ≠λ于

是可作变换

.

N ,2

1

∈--=

n a a c n n n λλ

21111λλ--=

+++n n n a a c ,将h ra q

pa a n n

n ++=+1代入再整理得

N

,)()(22111∈-+--+-=

+n h q r p a h

q r p a c n n n λλλλ ⑤

由第(1)部分的证明过程知

r p x =

不是特征方程的根,故.

,21r p

r p ≠≠λλ

故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得:

N

,2211211

∈--+

--+

?--=+n r p h q a r p h

q a r

p r p c n n n λλλλλλ ⑥

∵特征方程

h rx q

px x ++=

有两个相异根1λ、2λ?方程0)(2

=--+q p h x rx 有两个相异

根1λ、2λ,而方程

xr p xh

q x --=

-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.

∴2

22111,λλλλλλ-=---=--r p h

q r p h q

将上两式代入⑥式得

N

,2121211∈--=--?--=

-n c r p r

p a a r p r p c n n n n λλλλλλ

当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为

r p r

p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有

.))(()(

1

2121111211------=--=n n n r p r p a a r p r p c c λλλλλλ

当01=c 即11λ=a 时,上式也成立.

21

λλ--=

n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n

所以

.

N ,1

1

2∈--=

n c c a n n n λλ(证毕)

注:当qr ph =时,h ra q pa n

n ++会退化为常数;当0=r 时,h ra q

pa a n n

n ++=+1可化归为较易解的递

推关系,在此不再赘述.

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