特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、(一阶线性递推式)设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即
0101,;x b a a x a a n n n +===时当,其中}{n b 是以c 为公比的等比数列,
即01111,x a b c b b n n -==-. 证明:因为,1,0≠c 由特征方程得.10c
d
x -=作换元,
0x a b n n -= 则.)(110011
n n n n n n cb x a c c
cd
ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--
当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是以c 为公比的等比数列,故;11-=n n c b b 当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n (证毕) 下面列举两例,说明定理1的应用.
例1.已知数列}{n a 满足:,4,N ,23
1
11=∈--=+a n a a n n 求.n a
解:作方程.2
3
,2310-=--=x x x 则
当41=a 时,.2
11
23,1101=+=≠a b x a
数列}{n b 是以3
1
-为公比的等比数列.
于是.N ,)31
(2112323,)31(211)
3
1(111
1∈-+-=+-=-=
-=---n b a b b n n n n n n
例2.已知数列}{n a 满足递推关系:,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列?
解:作方程,)32(i x x +=则.5
360i
x +-=
要使n a 为常数,即则必须.53601i
x a +-=
= 二、(二阶线性递推式)定理2:对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组);当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关
于A 、B 的方程组)。
例3:已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列
{}n a 的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法) 由025312=+-++n n n a a a ,得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++, 且a b a a -=-12。
则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,
3
2
为公比的等比数列,于是 11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入,得
a b a a -=-12,
)32
()(23?-=-a b a a ,
234)3
2
()(?-=-a b a a ,
???
21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。
把以上各式相加,得
])3
2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=-。
a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。
解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是:02532
=+-x x 。
3
2,121=
=x x , ∴1
2
11--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-?+=n B A 。 又由b a a a ==21,,于是
??
?-=-=???
?
??+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1
)
3
2
)((323--+-=n n b a a b a
三、(分式递推式)定理3:如果数列
}{n a 满足下列条件:已知1a 的值且对于N ∈n ,都有
h ra q pa a n n n ++=
+1(其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r h
a r qr ph -
≠≠≠1,0,),那么,可作
特征方程
h rx q
px x ++=
.
(1)当特征方程有两个相同的根λ(称作特征根)时,
若,1λ=a 则;N ,∈=n a n
λ
若λ≠1a ,则,N ,1∈+=
n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地,当存
在
,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根1λ、2λ(称作特征根)时,则
11
2--=
n n n c c a λλ,,N ∈n
其中
).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=
-a n r p r p a a c n n 其中
例3、已知数列
}{n a 满足性质:对于
,
324
,N 1++=
∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.
解:依定理作特征方程
,324
++=
x x x 变形得,04222
=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特
征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有
.
N ,)221211(2313)(1
1212111∈?-?-?+-=--?--=
--n r p r p a a c n n n λλλλ
∴
.N ,)51(521
∈-=
-n c n n
∴.
N ,1)51(521
)51
(5221
1112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ
即.N ,)5(24
)5(∈-+--=n a n
n n
例5.已知数列
}{n a 满足:对于,N ∈n 都有
.
325
131+-=
+n n n a a a
(1)若,51=a 求;n a (2)若,31=a 求;n a (3)若,61=a 求;n a
(4)当1a 取哪些值时,无穷数列
}{n a 不存在?
解:作特征方程
.325
13+-=
x x x 变形得,025102
=+-x x
特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第(1)部分解答.
(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn
a
(2)∵.,311λ≠∴=a a
∴
λλr p r
n a b n --+-=
)1(11
51131)1(5
31?-?
-+-=
n ,
8121-+-=n 令
0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在,
当n ≤4,N ∈n 时,
517
51--=+=
n n b a n n λ.
(3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a
∴.,81
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=
λλ
令
,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n
∴
.N ,743
5581111
∈++=+-+
=+=
n n n n b a n
n λ
(4)、显然当31-=a 时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,
51=a 时,数列}{n a 是存在的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=
n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得
N
,11351∈--=n n n a 且n ≥2.
∴当
113
51--=
n n a (其中N ∈n 且N ≥2)时,数列}{n a 从第n 项开始便不存在.
于是知:当1a 在集合3{-或,
:113
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无穷数列}{n a 都不存在.
练习题:
求下列数列的通项公式: 1.在数列
}{n a 中,,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ,求n a 。(key :
21)1(32---+?=n n n a )
2.在数列}{n a 中,,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ,求n a 。(key :)
14(31
-=n n a )
3.在数列}{n a 中,,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ,求n a 。(key :121-=+n n a )
4.在数列
}{n a 中,,
2,321==a a n n n a a a 313212+=
++,求n a 。(key :2
)31
(4147--?+=n n a )
5.在数列}{n a 中,,35,321==a a )4(3112n n n a a a -=++,求n a 。
(key :1
32
1-+=n n a ) 6.在数列
}{n a 中,,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12,且1=+q p .求n a .(
key :1=q 时,
))(1(a b n a a n --+=;1≠q 时,q q a b b aq a n n +---+=
-1))((1
)
7.在数列
}{n a 中,,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa (q p ,是非0常数).
求n a .(key : b
p q q p p a a n n )](1[1
---+= (q p ≠); b n a a n
)1(1-+=)(q p =) 8.在数列
}{n a 中,21,a a 给定,21--+=n n n ca ba a .求n a .
(key:
1
22211)(a c a a n n n n n ?--+?--=----αβαβαβαβ)(βα≠;若βα=,上式不能应用,此时,
.)2()1(1
122----?-=n n n a n a n a αα
附定理3的证明
定理3(分式递推问题):如果数列
}{n a 满足下列条件:已知1a 的值且对于N ∈n ,都有
h ra q pa a n n n ++=
+1(其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r h
a r qr ph -
≠≠≠1,0,),那么,可作
特征方程
h rx q
px x ++=
.
(1)当特征方程有两个相同的根λ(称作特征根)时,
若
,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则
,N ,1
∈+=
n b a n
n λ其中
.
N ,)1(11∈--+-=
n r p r
n a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n
a 不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根1λ、2λ(称作特征根)时,则
11
2--=
n n n c c a λλ,,
N ∈n 其中
).(,N ,)(211
212111λλλλλ≠∈----=
-a n r p r p a a c n n 其中
证明:先证明定理的第(1)部分. 作交换
N ,∈-=n a d n n λ
则
λ
λ-++=
-=++h ra q
pa a d n n n n 11
h ra h q r p a n n +-+-=
λλ)(
h d r h q r p d n n ++-+-+=
)())((λλλλ
λλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=
]
)([)(2 ①
∵λ是特征方程的根,∴λ
.0)(2=--+?++=
q p h r h r q
p λλλλ
将该式代入①式得
.
N ,)
(1∈-+-=
+n r h rd r p d d n n n λλ ②
将
r p
x =
代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根
λ
,
r p ≠
于是.0≠-r p λ ③
当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n
故.N ,∈=+=n d a n n λλ
当01≠d 即λ≠1a 时,由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化:
.
1)(11
r p r
d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+?-+=--+=
+ ④
由λ是方程
h rx q px x ++=
的两个相同的根可以求得.
2r h
p -=λ
∴,
122=++=---+
=-+h p p h r
r h p p r
r h
p h r p r h λλ
将此式代入④式得
.N ,11
1
∈-+=
+n r p r
d d n n λ
令.N ,1∈=
n d b n n 则.
N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以r p r
λ-为公差的等差数
列.
∴
.N ,)1(1∈-?
-+=n r p r
n b b n λ
其中
.11111λ-==
a d b
当
0,N ≠∈n b n 时,
.N ,1
∈+=
+=n b d a n
n n λλ
当存在
,N 0∈n 使00=n b 时,
λλ+=
+=0
001n n n b d a 无意义.故此时,无穷数列
}{n a 是
不存在的.
再证明定理的第(2)部分如下:
∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ,∴其中必有一个特征根不等于1a ,不妨令.12a ≠λ于
是可作变换
.
N ,2
1
∈--=
n a a c n n n λλ
故
21111λλ--=
+++n n n a a c ,将h ra q
pa a n n
n ++=+1代入再整理得
N
,)()(22111∈-+--+-=
+n h q r p a h
q r p a c n n n λλλλ ⑤
由第(1)部分的证明过程知
r p x =
不是特征方程的根,故.
,21r p
r p ≠≠λλ
故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得:
N
,2211211
∈--+
--+
?--=+n r p h q a r p h
q a r
p r p c n n n λλλλλλ ⑥
∵特征方程
h rx q
px x ++=
有两个相异根1λ、2λ?方程0)(2
=--+q p h x rx 有两个相异
根1λ、2λ,而方程
xr p xh
q x --=
-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.
∴2
22111,λλλλλλ-=---=--r p h
q r p h q
将上两式代入⑥式得
N
,2121211∈--=--?--=
-n c r p r
p a a r p r p c n n n n λλλλλλ
当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为
r p r
p 21λλ--.此时对于N ∈n 都有
.))(()(
1
2121111211------=--=n n n r p r p a a r p r p c c λλλλλλ
当01=c 即11λ=a 时,上式也成立.
由
21
λλ--=
n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n
所以
.
N ,1
1
2∈--=
n c c a n n n λλ(证毕)
注:当qr ph =时,h ra q pa n
n ++会退化为常数;当0=r 时,h ra q
pa a n n
n ++=+1可化归为较易解的递
推关系,在此不再赘述.