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高中数学人教版B必修4练习——1任意角的概念和弧度制

高中数学人教版B必修4练习——1任意角的概念和弧度制
高中数学人教版B必修4练习——1任意角的概念和弧度制

练习一 任意角的概念和弧度制

一、选择题

1.下列角中终边与330°相同的角是( )

Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2.下列命题正确的是( )

Α.终边相同的角一定相等。 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象限的角。 D.小于?90的角都是锐角。

3.如果一扇形的弧长为2πcm ,半径等于2cm ,则扇形所对圆心角为( )

A.π

B.2π

C.

π2

D.

3π2

4.若α是第四象限角,则180°+α一定是( )

Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 5.一个半径为R 的扇形,它的周长为4R ,则这个扇形所含弓形的面积为( )

A.2112sin 222R ??

- ???

B.21sin 22R

C.212

R

D.221

sin 22

R R -

6.若α角的终边落在第三或第四象限,则2

α

的终边落在( )

A .第一或第三象限

B .第二或第四象限

C .第一或第四象限

D .第三或第四象限 二、填空题

7.若三角形的三个内角的比等于2:3:7,则各内角的弧度数分别为 . 8.将时钟拨快了10分钟,则时针转了 度,分针转了 弧度. 9.若角α的终边为第二象限的角平分线,则α的集合为______________________. 10.已知α是第二象限角,且,4|2|≤+α则α的范围是 . 三、解答题

11. 在0 与360

范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1)120-

(2)640 (3)95012'-

12.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(这括边界)

(1) (2) (3)

13.单位圆上两个动点M N ,,同时从(1

0)P ,点出发,沿圆周运动,M 点按逆时针方向旋转

π6弧度/秒,N 点按顺时针方向旋转π

3弧度/秒,试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.

能力题

14.如图,圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动,已知点A 每分钟转过θ角

(0πθ<≤),经过2分钟到达第三象限,经过14分钟回到原来位置,求θ的大小.

15.在扇形AOB 中,90AOB ∠=°,弧AB 的长为l ,求此扇形内切圆的面积.

练习一 任意角的概念和弧度制

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 答案

B

C

A

B

D

B

二、填空题

7.ππ7π6412,,

8.π

53

--

9.},4

32|{Z k k x x ∈+

π 10.]2,2

(),2

3(πππ?--

三、解答题 11.(1)240°,第三象限;(2)280°,第四象限;(3)129.48°,第二象限. 12.(1)},1359013545|{Z k k k ∈??+?≤≤??+?αα; (2)},904590|{Z k k k ∈??+?≤≤??αα;

(3)},360150360120|{Z k k k ∈??+?≤≤??+?-αα.

13.解:设从P 点出发后,t 秒时M N ,第三次相遇,则有ππ

6π63

t t +=,解得12t =(秒).

故M 走了π122π6?=弧度,N 走了π

124π3?=弧度,且知两点又回到了P 点.

能力题

14.解:由题目得142πk k θ=∈Z ,,即π7

k

θ=

,k ∈Z , 又0πθ<≤,所以022πθ<≤,

又2θ 在第三象限,即3π2π2θ<<,则π3π24θ<<,即ππ3

π274k <<.

解得

721

24

k <<,k ∈Z ,故4k =或5.

4π7

θ∴=或5

π7.

15.解:设扇形AOB 所在圆半径为R ,此扇形内切圆的半径为r ,

如图所示,则有R r =, π

2AB l R ==·.

由此可得r =

则内切圆的面积22

πS r ==.

高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点总结 第一章三角函数(初等函数二) ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

高中数学必修四第一章知识点梳理-

高中数学必修四第一章知识点梳理 一、角的概念的推广 ●任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角, 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见,正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合时,那么角的终边在第几象限(终边的端点除外),就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合时,终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和。 二、弧度制 ●角度定义制 规定周角的 360 1 为一度的角,记做1°, 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,角度制为60进制。 ●弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。 2、根据圆心角定理,对于任意一个圆心角α,它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关,而是一个仅与角α有关的常数,故可以取为度量标准。 ●弧度数 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ,那么,角α的弧度数的绝对值是r l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定,逆时针方向为正,顺时针方向为负。 三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义 设α是一个任意大小的角,α的终边上任意点P 的坐标是(x,y ),它与原点的距离r (0r = >) ,那么 1、比值 y r 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y r α=。

高一数学必修4:任意角的三角函数的定义

能 力 提 升 一、选择题 1.已知P (2,-3)是角θ终边上一点,则tan(2π+θ)等于( ) A.32 B.23 C .-32 D .-23 [答案] C [解析] tan(2π+θ)=tan θ=-32=-3 2. 2.如果θ是第一象限角,那么恒有( ) A .sin θ 2>0 B .tan θ 2<1 C .sin θ2>cos θ2 D .sin θ2

? ???? sin θ+cos θ<0,sin θcos θ>0,所以有sin θ<0,cos θ<0,所以θ是第三象限角. 5.α是第二象限角,P (x ,5)为其终边上一点,且cos α=2 4x , 则sin α的值为( ) A.104 B.64 C.24 D .-10 4 [答案] A [解析] ∵|OP |=x 2 +5,∴cos α=x x 2+5=24 x 又因为α是第二象限角,∴x <0,得x =- 3 ∴sin α= 5x 2+5 =104,故选A. 6.如果α的终边过点P (2sin30°,-2cos30°),则sin α的值等于( ) A.1 2 B .-12 C .- 32 D .- 33 [答案] C [解析] ∵P (1,-3),∴r =12+(-3)2=2, ∴sin α=- 32 . 二、填空题 7.已知角θ的终边经过点(- 32,1 2 ),那么tan θ的值是________.

人教A版高中数学必修四教案全

高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1.1 任意角 教学目标 (一)知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二)过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三)情感与态度目标

1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

高中数学必修4第一章复习总结及典型例题

必修四 第一章 复习 第一:任意角的三角函数 一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角,与角终边相同的角的集合}{|2,k k z ββπα=+∈ ,弧度制,弧度与角度的换算, 弧长l r α=、扇形面积2 1122 s lr r α==, 二:任意角的三角函数定义:任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(x ,y ),它与原点的距离是22r x y =+(r>0),那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a = tan ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。 三:同角三角函数的关系式与诱导公式: 1.平方关系:2 2sin cos 1 αα+= 2. 商数关系: sin tan cos α αα = 3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质

2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作sin()y A x ω?=+简图:五点分别为: 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换:相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换:sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换:sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定,ω有周期确定,φ有特殊点确定。 基础练习: 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ,该圆心角是1弧度,则扇形的面积= cm 2. 3、设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案(完整版) 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例: (1)1—20以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形;

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程2560 -+=的所有实数根; x x (8)不等式30 x->的所有解; (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出9个实例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数;

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+; ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-; ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式: sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=, ?2 cos 21cos 2 αα+= ,2 1cos 2sin 2αα-=. ⑶22tan tan 21tan α αα =-. 三、辅助角公式: () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x , 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由,决定

四、三角变换方法: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的 相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ①α2是α的二倍;α4是α2的二倍;α是2α的二倍;2α是4 α的二倍; ②2 304560304515o o o o o o =-=-=; ③()ααββ=+-;④ ()4 24 π π π αα+= --; ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--;等等 (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)“1”的代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转 化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有: 221sin cos sin90tan45o o αα=+== (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 (5)三角函数式的变换通常从:“角、名、形、幂”四方面入手; 基本原则是:见切化弦,异角化同角,倍角化单角,异名化同名, 高次降低次,特殊值与特殊角的三角函数互化等。

人教版高中数学必修四第一章单元测试(一)- Word版含答案

2018-2019学年必修四第一章训练卷 三角函数(一) 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 ) A . B . 2 3 C . D . 2 1 2.已知点33sin ,cos 44P ? ?ππ ??? 落在角θ的终边上,且[)0,2θ∈π,则θ的值为( ) A . 4 π B . 4 3π C . 4 5π D . 4 7π 3.已知3tan 4α= ,3,2α?? ∈ππ ??? ,则cos α的值是( ) A .45 ± B . 45 C .45- D .35 4.已知sin 24()5απ-=,32α?? ∈π,2π ???,则sin cos sin cos αααα+-等于( ) A . 1 7 B .17 - C .7- D .7 5.已知函数()(2)sin f x x ?+=的图象关于直线8 x π =对称,则?可能取值是( ) A . 2π B .4 π- C . 4 π D . 4 3π 6.若点sin cos ,t ()an P ααα-在第一象限,则在[)0,2π内α的取值范围是( ) A .35,,244πππ????π ? ????? B .5,,424πππ????π ? ????? C .353,,2442ππππ???? ? ????? D .3,,244ππ3π????π ? ?? ? ? ? 7.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax +=的图象不可能是( ) 8.为了得到函数sin 26y x π? ?=- ?? ?的图象,可以将函数cos2y x =的图象( ) A .向右平移6 π 个单位长度 B .向右平移3 π 个单位长度 C .向左平移 6 π 个单位长度 D .向左平移 3 π 个单位长度 9.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数()sin 0,0,02I A x A ω?ω?π? ?=+>><< ? ? ?的图象如右图所示,则当1 100 t = 秒时,电流强度是( ) 此 卷 只 装订 不密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

高一数学必修4任意角教案

1.1.1 任意角 教学目标 知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于360°角和负角; (2)理解并掌握正角、负角、零角的定义; (3)理解任意角以及象限角的概念; (4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法; 过程与方法 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写。 情感、态度与价值观 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学方法与教学用具 教学方法:学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成 本节课的教学目标。 教学用具:投影仪。 课型 新授课 课时 1课时 教学过程 (一)导入新课 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (二)研讨新课 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的分类: ③注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 顶点 A O

⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ④练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,构成一个集合S={β|β=α+k ·360 °,k ∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差360°的整数倍; ⑷ 角α+k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例2.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例3.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α|α=90°+ k ·180°,k ∈Z}. 例4.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. (三)反馈练习 1、下列角中终边与330°相同的角是( ) A .30° B .-30° C .630° D .-630° 2、-1120°角所在象限 是 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3、把-1485°转化为α+k ·360°(0°≤α<360°, k ∈Z )的形式是 ( ) A .45°-4×360° B .-45°-4×360° C .-45°-5×360° D .315°-5×360° 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( ) A .{α∣90°<α<180°} B .{α∣90°+k ·180°<α<180°+k ·180°,k ∈Z } C .{α∣-270°+k ·180°<α<-180°+k ·180°,k ∈Z } D .{α∣-270°+k ·360°<α<-180°+k ·360°,k ∈Z } (四)总结归纳 ①角的定义; ②角的分类: ③象限角; ④终边相同的角的表示法. (五)作业安排 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠.

高中数学 第三章 二倍角例题讲解素材 北师大版必修4(1)

二倍角例题讲解 两角和与差的三角函数以及由它们推出的倍角公式是平面三角学的重要内容,这部分内容是同角三角函数关系及诱导公式的发展,是三角变换的基础.它揭示了复角三角函数与单角三角函数间的相互关系和内在联系.是研究复角三角函数的性质和应用三角函数知识解决有关问题的有力工具. 三角变换涉及范围很广,包括求值、化简、恒等证明、三角形形状的判定、三角不等式的证明,三角数列求和、三角方程求解等等.虽然门类繁多,但从基本思想看,三角变换主要有以下几方面内容: 1.化多种三角函数为单一的三角函数. 2.化复角三角函数为单角的三角函数. 3.化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数. 抓住这些基本点就可以很好地理解“倍角公式”在三角函数教学中的地位.使我们在教学的各个环节中,对学生进行有意识地启发诱导.在教知识,教方法的同时,发展学生的逻辑思维能力. 倍角公式:αααcos sin 22sin ?=, ααα22sin cos 2cos -==1cos 22-α=α2sin 21-, α αα2tan 1tan 22tan -=, 揭示了三角变换中单角的三角函数与倍角的三角函数之间的关系.我们知道,把一个三角函数式等价地变成需要的形式,这就是三角变换.三角变换中利用倍角公式,可以对函数的结构作适当地调整. 例.已知:πθ<<0,求证:θθ cot 12cot +≥. 分析:求证的式中有单角,有半角,我们可以从“变角”入手. 2cot 21 2cot 12cot )cot 1(2cot 2θθθθθ---=+-=2 cot 2)12(cot 2θθ -. πθ<<0 ,∴220πθ<<,02cot >θ,0)12 (cot 2≥-θ. ∴0)cot 1(2cot ≥+-θθ,即θθcot 12cot +≥.

人教 B 版高中数学必修4第一章导学案

课题:角的概念的推广 第一章第 1 节第 1 课时 【学习目标】1.了解角的概念及推广。2.掌握终边相同的角及象限角的概念。 【学习重点】角的概念的推广。 【学习难点】1.角的旋转合成。2.终边相同的角的集合。【学习方法】阅读,讨论,练习 【学习过程】 一、预习成果展示(学生以思维导图形式展示预习成果) 二、小组探究解疑(小组合作学习新知,讨论解疑) 1.角的概念的推广: 2.角的加减法运算: 3.终边相同的角的集合: 4.象限角(轴上角): GAGGAGAGGAFFFFAFAF

三、反馈矫正点拨(将难点问题集中呈现,教师点拨) 1.(1)分别写出终边在x正半轴和负半轴,y正半轴和负半轴,x轴和y轴上的角的集合。 (2)分别写出第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的角的集合。 2.在直角坐标系中,判断下列语句的真假: (1)第一象限的角一定是锐角。 (2)终边相同的角一定相等。 (3)相等的角终边一定相同。 (4)小于90°的角一定是锐角。 (5)象限角为钝角的终边一定在第二象限。 (6)终边在直线y=3x上的象限角表示为0 060 ?,k∈Z。 k+ 360 3.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角: GAGGAGAGGAFFFFAFAF

(1)-150°(2)650°(3)-950°15′ GAGGAGAGGAFFFFAFAF

GAGGAGAGGAFFFFAFAF 4.射线OA 绕端点O 逆时针旋转270°到达OB 位置,由OB 位置顺时针旋转一周到达OC 位置,求∠AOC 的大小? 四、 强化巩固练习(通过精选习题训练巩固新知) 1.若α分别是第一,二,三,四象限的角,那么2 α分别是第几象限角?α2的终边又分别在哪呢?(你能总结出一点规律吗) 2.小明发现自己的手表走慢了10分钟,他想把时间调准那么时针和分针各旋转了多大的角度呢? 3.(1)若 ? <<

高中数学人教版必修4全套教案

第1,2课时1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角:按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究: 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

人教A版高中数学必修4二倍角的正弦余弦正切公式说课稿

二倍角的正弦、余弦、正切公式说课稿 教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时 一、教材分析 (一)本节教材的地位和作用: 教材的地位主要体现在以下几点: 1、本节内容是三角函数中最基础的知识之一。它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。 2、本节在本章中处于承上启下的地位。 3、三角函数是高考的热点问题,而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。 本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法,使学生体验的数学知识发生发展(形成)的过程,增进学生对数学知识的理解,增强学生学数学的兴趣和信心。 (二)、教学内容 本节课是在学生初步掌握了同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式及两角和与差的公式等内容的基础上而安排的,主要内容是二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用。 (三)、教学目标 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特

征,我制定了如下教学目标: 1 1.知识目标:以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,掌握二倍角公式,运用二倍角公式解决有关问题。 2.能力目标:灵活运用二倍角公式,培养学生观察分析问题的能力,寻找数学规律的能力,同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力。 3.德育目标:激发学生的学习兴趣,培养学生认真参与、积极交流的主体意识,培养学生的发散性思维、创新意识,提高数学素养。(四)、教学重点、难点 重点:理解并掌握二倍角公式;灵活运用二倍角公式解决有关问题。难点:二倍角公式的灵活运用,培养学生的转化、化归的数学思想。 二、教法分析 在教学中,我遵循以学生为主体,教师为主导的教学原则,采用启发式教学,逐步设疑、诱导、解疑,启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受,进而完成知识的内化,使书本的知识成为自己的知识。充分体现学生学习的主体地位。 教学手段:本节课使用了多媒体辅助教学,不仅可集中学生的注意力而且便于教学过程的调控与信息的及时反馈,提高了课堂的教学效率。 三、学法指导 学生的学是中心,会学、学活是目的,因而在教学中要特别重视学法

高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题

高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角,与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制,弧度与角度的换算, 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==, 二:任意角的三角函数定义:任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(x ,y ),它与原点的距离是22 r x y =+(r>0),那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。 三:同角三角函数的关系式与诱导公式: 1.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系: sin tan cos α αα = 3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质

2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为: 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换:相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换:sin()sin()y x y x ?ω?=+? =+ 振幅变换:sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数 sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定,ω有周期确定,φ有特殊点确定。 基础练习: 1、tan(600)-=o . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ,该圆心角是1弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4、函数 y =的定义域是_____ __ 5、的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ) (A )向左平移个6π单位 (B )向右平移个6π单位(C )向左平移个3π单位 (D )向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在

高中数学必修四第一章知识点(精华集锦)

高中数学必修4第一章三角函数知识点总结 文献编辑者——周俞江 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

可以利用数形结合思想,采用图示法巧妙对n α 角所在的象限做出正确判断。 一、代数法 就是利用已知条件写出α的围,由此确定n α角的围,再根据n α角的围确定所在的象限; 【例1】已知α为第一象限角,求2 α角所在的象限。 解:∵ α为第一项限角 ∴ 90360360+??k k <<α )(Z k ∈ 451802 180+??k k <<α )(Z k ∈ 若k 为偶数时: 则)(2Z n n k ∈=,则 453602 360+??n n <<α )(Z n ∈ ∴ 2 α角是第一象限角; 若k 为奇数时: 则)(12Z n n k ∈+=,则)(2253602 180360Z n n n ∈+?+? <<α ∴ 2 α角是第三象限角; 因此,2 α角是第一象限或第三象限角 【例2】已知α为第二项限角,求2 α角所在的象限。 解:∵ α为第二项限角 ∴ 180********+?<<+?k k α )(Z k ∈ 901802 45180+?<< +?k k α )(Z k ∈ 若k 为偶数时:)(2Z n n k ∈=,则 903602 45360+?<< +?n n α )(Z n ∈ ∴ 2 α角是第一象限角;

2019-2020年高中数学必修4(A)任意角的三角函数及诱导公式

2019-2020年高中数学必修4(A)任意角的三角函数及诱导公式 一.课标要求: 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角函数 (1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切)。 二.命题走向 从近几年的新课程高考考卷来看,试题内容主要考察三角函数的图形与性质,但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式,在处理一些复杂的三角问题时,同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。 预测xx 年高考对本讲的考察是: 1.题型是1道选择题和解答题中小过程; 2.热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用,这也是新课标教材的热点内容。 三.要点精讲 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置,绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置,就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边,叫终边,射线的端点叫做叫的顶点。 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角,它们彼此相差2k π(k ∈Z),即β∈{β|β=2k π+α,k ∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,如α∈{α|≤α≤}=[,]。 3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1,或1弧度,或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π,-2π等等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角的弧度数的绝对值是:,其中,l 是圆心角所对的弧长,是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住。 弧度与角度互换公式:1rad =°≈57.30°=57°18ˊ、1°=≈0.01745(rad )。 弧长公式:(是圆心角的弧度数), 扇形面积公式:。 4.三角函数定义 在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;;。 利用单位圆定义任意角的三角函数, 设是一个任意

人教版高中数学必修四 1.1.1任意角

一、选择题 1.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是() A.315°-5×360°B.45°-4×360° C.-315°-4×360°D.-45°-10×180° 解析:∵0°≤α<360°,∴排除C、D选项,经计算可知选项A正确. 答案:A 2.-435°角的终边所在的象限是() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:设与-435°角终边相同的角为α, 则α=-435°+k·360°,k∈Z. 当k=1时,α=-75°. 因为-75°角为第四象限角, 所以-435°角的终边在第四象限. 答案:D 3.若角α和β的终边关于y轴对称,则有() A.α+β=90°B.α+β=90°+k·360°,k∈Z C.α+β=k·360°,k∈Z D.α+β=180°+k·360°,k∈Z 解析:结合图形分析,知α+β=180°+k·360°(k∈Z). 答案:D 4.给出下列四个命题:①-75°角是第四象限角;②225°角是第三象限角;③475°角是第二象限角;④-315°角是第一象限角,其中真命题有() A.1个B.2个 C.3个D.4个 解析:由于-90°<-75°<0°,故-75°角为第四象限角;由于180°<225°<270°,故225°角是第三象限角;由于360°+90°<475°<360°+180°,故475°角是第二象限角;由于-360°<-315°<-270°,故-315°角是第一象限角,所以①②③④均为真命题. 答案:D 二、填空题 5.若角α满足180°<α<360°,角5α与角α有相同的始边,又有相同的终边,那么角α

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