电势能和电势、电势差 编稿：周军 审稿：隋伟
【学习目标】
1． 类比重力场理解静电力做功、电势能的变化、电势能的确定方法； 2． 理解电势的定义以及电势差的意义，会比较两点电势的高低； 3． 理解电势对静电场能的性质的描述和电势的叠加原理；
4． 明确场强和电势的区别与联系以及对应的电场线和等势面之间的区别和联系. 【要点梳理】
要点一、静电力做功的特点
在电场中将电荷q 从A 点移动到B 点，静电力做功与路径无关，只与A 、B 两点的位置有关. 说明：（1）静电力做功的特点不仅适用于匀强电场，而且适用于任何电场；
（2）只要初、末位置确定了，移动电荷q 做的功就是W AB 就是确定值.
要点二、电势能 要点诠释： (1)定义
电荷在电场中具有的势能叫电势能.类似于物体在重力场中具有重力势能.用Ep 表示. (2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功就等于电势能的减少量,即AB A B W =Ep -Ep .即静电力做多少正功,电荷电势能一定减少多少；静电力做多少负功,电荷电势能一定增加多少. （3）电势能的大小 ①零势点及选取
和计算重力势能一样，电势能的计算必须取参考点，也就是说，电势能的数值是相对于参考位置来说的.所谓参考位置，就是电势能为零的位置，参考位置的选取是人为的，通常取无限远处或大地为参考点. ②电势能的计算
设电荷的电场中某点A 的电势能为A Ep ，移到参考点O 电场力做功为W AO ，即AO pA pO W =E －E ，规定O 为参考点时，就有AO pA W =E ，也就是说电荷在电场中某点的电势能等于将这个电荷从电场中的该点移到零势点的过程电场力所做的功. (4)电势能与重力势能的类比
要点三、电势
(1)定义:
电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值,叫做这一点的电势,用?表示. 电势是表征电场中某点能的性质的物理量，仅与电场中某点性质有关，与电场力做功的值及试探电荷的电荷量、电性无关. （2）定义式: p E q
?=
（3）单位：电势的单位是伏特（V ），1V=1J/C
（4）电势高低与电场线的关系：沿电场线方向，电势降低. 要点四、等势面 要点诠释：
(1)定义:电场中电势相同的各点构成的面,叫做等势面. （2）等势面的特点：
①在同一等势面上各点电势相等，所以在同一等势面上移动电荷，电场力不做功； ②电场线跟等势面一定垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面； ③等势面越密，电场强度越大； ④等势面不相交，不相切.
（3）几种电场的电场线及等势面 ①孤立正点电荷：
②等量异种电荷：
③等量同种电荷:
注意：①等量同种电荷连线和中线上
连线上：中点电势最小
中线上：由中点到无穷远电势逐渐减小，无穷远电势为零. ②等量异种电荷连线上和中线上
连线上：由正电荷到负电荷电势逐渐减小. 中线上：各点电势相等且都等于零.
要点五、电势差 要点诠释：
1．定义：电荷q 在电场中A 、B 两点间移动时，电场力所做的功W AB 跟它的电荷量q 的比值，叫做A 、B 间
的电势差，也叫电压． 2.公式：AB
AB W U q
＝
3.单位：伏(V )
4．电势差与电势的关系：AB A B U ??＝－，电势差是标量，可以是正值，也可以是负值. 【典型例题】
类型一、静电力做功的特点
例1、如图所示，在场强为E 的匀强电场中有相距为L 的A 、B 两点，连线AB 与电场线的夹角为θ，将一电荷量为q 的正电荷从A 点移到B 点.若沿直线AB 移动该电荷，电场力做的功W 1＝__________；若沿路径ACB 移动该电荷，电场力做的功W 2＝__________；若沿曲线ADB 移动该电荷，电场力做的功W 3＝__________.由此可知，电荷在电场中移动时，电场力做功的特点是__________.
【答案】qELcos θ；qELcos θ；qELcos θ；与路径无关，只与初末位置有关
【解析】由功的定义式W=Fscos θ可得，电场力所做的功等于电场力与电荷在电场力方向的分位移scos θ的乘积.由图可以看出无论电荷沿哪个路径移动，电场力的方向总是水平向左的，电场力方向的分位移都是Lcos θ，所以电场力做的功都是qELcos θ，即电场力做功的特点是与路径无关，只与初末位置有关. 【总结升华】电场力做功的大小，与路径无关，只与初末位置有关，这是场力（重力、电场力）做功的一大特点. 举一反三
【变式】如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷为圆心的某一圆周交于B 、C 两点，质量为m ，
带电量为-q 的有孔小球从杆上A 点无初速度下滑,AB=BC=h,到B . 求:（1）小球由A 到B 过程中电场力做的功； （2）AC 两点的电势差.
【答案】1
2
AB W mgh =
2AC mgh U q =- 【解析】 因为Q 是点电荷，所以以Q 为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件.由A 到B 过程中电场力是变力，所以不能直接用W Fs =来解，只能考虑应用功能关系.
（1）因为杆是光滑的，所以小球从A 到B 过程中只有两个力做功：电场力的功W AB 和重力的功mgh ，由动能定理得：21
2
AB B w mgh mv +=
代入已知条件B V =
得电场力做功11322
AB W m gh mgh mgh =
-= （2）因为B 、C 在同一个等势面上,所以B C ??=，即AC AB U U = 由AB AB W qU = 得 2AB AC W mgh U q q
=
=-
类型二、电势高低及电势能大小的判断
例2、 如图所示，xOy 平面内有一匀强电场，场强为E ，方向未知，电场线跟x 轴的负方向夹角为θ，电子在坐标平面xOy 内，从原点O 以大小为v 0方向沿x 正方向的初速度射入电场，最后打在y 轴上的M 点．电子的质量为m ，电荷量为e ，重力不计．则（ )
A 、O 点电势高于M 点电势
B 、运动过程中电子在M 点电势能最大
C 、运动过程中，电子的电势能先减少后增加
D 、电场对电子先做负功，后做正功
【答案】D
【解析】由电子的运动轨迹知，电子受到的电场力方向斜向上，故电场方向斜向下，M 点电势高于O 点，A 错误，电子在M 点电势能最小，B 错误，运动过程中，电子先克服电场力做功，后电场力对电子做正功，故C 错误，D 正确.
【总结升华】1．比较电势高低的方法
(1)沿电场线方向，电势越来越低．
(2)判断出AB U 的正负，再由AB A B U ??＝－，比较A B ??、的大小，若0AB U ＞，则A B ??＞，若
0AB U ＜，则A B ??＜.
2．电势能大小的比较方法
(1)做功判断法
电场力做正功时电势能减小；电场力做负功时电势能增大．(对正、负电荷都适用). (2)依据电势高低判断
正电荷在电势高处具有的电势能大，负电荷在电势低处具有的电势能大. 举一反三
【变式1】关于电势与电势能的说法正确的是（ ） A 、电荷在电场中电势高的地方电势能大
B 、在电场中的某点，电量大的电荷具有的电势能比电量小的电荷具有的电势能大
C 、正电荷形成的电场中，正电荷具有的电势能比负电荷具有的电势能大
D 、负电荷形成的电场中，正电荷具有的电势能比负电荷具有的电势能小 【答案】CD
【解析】正电荷在电势高处的电势能比电势低处的电势能大，负电荷则反之，所以A 错．当具有电势为正值时，电量大的电荷具有的电势能大于电量小的电荷具有的电势能，当电势为负值，恰好相反，所以B 错．正电荷形成的电场中，电势为正值，这样电势与正电荷的电量来积为正值，而负电荷在正电荷形成的电场中电势能为负值，因此C 正确．负电荷形成的电场中，电势为负值，因而正电荷具有的电势能为负值，负电荷具有的电势能为正值，所以D 正确．
【变式2】如图所示,固定在Q 点的正点电荷的电场中有M ?N 两点,已知MQ D 、若把一负的点电荷从M 点移到N 点,再从N 点沿不同路径移回到M 点,则该电荷克服电场力做的功等于电场力对该电荷所做的功,电势能不变 【答案】AD 【高清课程：电势和电势能】 【变式3】一个正电荷从无穷远处（电势为0）移入电场中的M 点，电场力做功8.0×10-9 焦耳，若将另一个等量的负电荷从无穷远处移入同一电场中的N 点，必须克服电场力做功9.0×10-9 焦耳，则M 、N 两点的电势大小的关系是( ) A ．φN ＜φM ＜0 B ．0＜φM ＜φN C ．φM ＜φN ＜0 D ．0＜φN ＜φM 【答案】A 类型三、电场力做功及电场中的功能关系 例3、 如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m 的带 正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F 将小球向下压至某位置静止．现撤去F ，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为1W 和2W ，小球离开弹簧时速度为 v ，不计空气阻力，则上述过程中 ( ) A 、小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B 、小球的重力势能增加1W － C 、小球的机械能增加12 2 1W mv ＋ D 、小球的电势能减少2W 【答案】BD 【解析】本题考查势能大小和机械能守恒．由于电场力做正功，故小球与弹簧组成的系统机械能增加，机械能不守恒，故A 选项错误；重力做功是重力势能变化的量度，由题意知重力做负功，重力势能增加，故B 选项正确；小球增加的机械能在数值上等于除重力和弹力外，外力所做的功即W 2.故C 选项错误；根据电场力做功是电势能变化的量度，电场力做正功电势能减少，电场力做负功电势能增加，故D 选项正确． 【总结升华】电场中的功能关系 1．功能关系 (1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变； (2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变； (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化； (4)所有力对物体所做的功，等于物体动能的变化. 2．带电粒子在电场中做曲线运动时正负功的判断 (1)粒子速度方向一定沿轨迹的切线方向，粒子受力方向一定沿电场线指向轨迹凹侧； (2)电场力与速度方向间夹角小于90°，电场力做正功；夹角大于90°，电场力做负功. 3.电场力做功的计算方法 (1)由公式W Flcos θ＝计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W qElcos θ＝ (2)由W qU ＝来计算，此公式适用于任何形式的静电场 (3)由动能定理来计算：k W W E ?其他力力＋＝电场 (4)由电势能的变化计算：p1p2W E E 力＝－电场 举一反三 【变式1】 图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0.一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a 、b 点时的动能分别为26 eV 和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV ，它的动能应为（ ） A 、8 eV B 、13 eV C 、20 eV D 、34 eV 【答案】C 【解析】等势面3的电势为零，则电势能也为零.由于两相邻等势面的电势差相等，又知ka kb E E ＞，则a 点的电势能可表示为2qU -（U 为相邻两等势面的电势差），b 点的电势能可表示为qU . 由于总的能量守恒，则有：()ka kb E 2qU E qU +-=+ 即262qU 5qU -=+ 解得qU 7 eV = 则总能量为7 eV 5 eV 12 eV += 当电势能为8 eV -时，动能()0k E 12 eV 8 eV 2 eV =--=. 【高清课程：电势和电势能】 【变式2】一带电油滴在匀强电场E 中的运动轨迹如图中虚线所示，电场方向竖直向下,若不计空气阻力，则此带电油滴从a 运动到b 的过程中，能量变化情况为 A ．动能减小 B ．电势能增加 C ．动能和电势能之和减小 D ．重力势能和电势能之和增加 【答案】C 【高清课程：电势和电势能】 【变式3】在某一电场中，沿路径abc 移动一电子时，电场力做功分别为W ab =-4eV ，W bc =+2eV ，则三点电势 a b c ???、、大小关系为 ，电势最高点与最低点的电势差为 .若将该点电荷从c 点移到a 点，电场力做功为 . 【答案】φa >φc >φb 4V 2eV 类型四、电场线与等势面的关系 例4、 如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且AB=BC ，电场中的A 、B 、C 三点的场强分别为A B C E E E 、、，电势分别为A B C ???、、，AB 、BC 间的电势差分别为AB BC U U 、，则下列关系中正确的有( ) A 、A B C ???>> B 、C B A E E E ＞＞ C 、AB BC U U ＜ D 、AB BC U U = 【答案】ABC 【解析】沿着电场线的方向电势降低，所以A B C ???>>，选项A 正确；电场线密的地方电场强度大，所以C B A E E E ＞＞，选项B 正确；沿着电场线的方向电势降低U E l ?=?，在l ?相同（AB=BC ）的情况下，场强大的区间电势差也大，所以AB BC U U ＜，选项C 正确. 【总结升华】等势面的特点：电场中电势相等的点所组成的面为等势面.它具有以下特点： （1）各点电势相等． （2）等势面上任意两点间的电势差为零． （3）电荷沿着等势面运动，电场力不做功． （4）处于静电平衡状态的导体是一个等势体，其面为等势面． （5）匀强电场，电势差相等的等势面间距离相等，点电荷形成的电场，电势差相等的等势面间距不相等，越向外距离越大． （6）等势面上各点的电势相等但电场强度不一定相等． （7）电场线跟等势面垂直，且由电势高的面指向电势低的面. （8）两个等势面永不相交． 举一反三 【变式1】某同学研究电子在匀强电场中的运动时，得到了电子由a 点运动到b 点的轨迹(虚线所示)，图 中一组平行实线可能是电场线，也可能是等势面，则下列说法正确的是( ) A、不论图中实线是电场线还是等势面，a点的电势都比b点的电势低 B、不论图中实线是电场线还是等势面，a点的场强都比b点的场强小 C、如果图中实线是电场线，电子在a点动能较大 D、如果图中实线是等势面，电子在b点动能较小 【答案】D 【解析】如果实线是电场线，由运动轨迹判断，电子受水平向右的电场力，场强方向水平向左，a点的电势低于b点的电势，电子在a点动能较小；如果实线是等势面，由运动轨迹判断，电子受竖直向下的电场力，场强方向竖直向上，a点的电势高于b点的电势，电子在b点动能较小.故D项正确，其他三项都不正确. 【变式2】如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN. P点在y轴右侧，MP⊥ON.则( ) A、M点的电势比P点的电势高 B、将负电荷由O点移动到P点，电场力做正功 C、M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差 D、在O点静止释放一带正电粒子，该粒子将沿y轴做直线运动 【答案】AD 【解析】本题考查由电场线的分布确定电场的任意位置场强大小、电势高低及带电粒子在电场中力与运动的关系，意在考查考生对电场线、场强、电势、电势差等基本概念的理解能力．在静电场中，沿着电场线方向，电势降低，A项正确；负电荷在电场中受力方向与电场线的切线方向相反，故由O向P运动时，电场力做负功，B项错；由电场线的疏密程度可知，OM段的任意点场强均大于MN段任意点场强，故移动同一正电荷在OM段和MN段间运动，电场力在OM段做功较多，故OM两点间电势差大于MN两点间电势差，C 项错；根据电场线关于y轴对称，故y轴上场强方向处处沿y轴正方向，故带正电粒子受力始终沿y轴正方向，故粒子做直线运动，D项正确． 【高清课程：电势和电势能】 【变式3】如图所示的实线为一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点.带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（） A．带电粒子所带电荷的符号 B ．带电粒子在a 、b 两点的受力方向 C ．带电粒子在a 、b 两点的速度何处大 D ．带电粒子在a 、b 两点的电势能何处大 【答案】BCD 类型五、电场强度与电势的关系 例5、 如图，P 、Q 是等量的正点电荷，O 是它们连线的中点，A 、B 是中垂线上的两点，OA ＜OB ，用E A 、E B 和A ?、B ?分别表示A 、B 两点的电场强度和电势，则（ ） A 、E A 一定大于E B ，A ?一定大于B ? B 、E A 不一定大于E B ，A ?一定大于B ? C 、E A 一定大于E B ，A ?不一定大于B ? D 、 E A 不一定大于E B ，A ?不一定大于B ? 【答案】B 【解析】P 、Q 所在空间中各点的电场强度和电势由这两个点电荷共同决定，电场强度是矢量，P 、Q 两点电荷在O 点的合场强为零，在无限远处的合场强也为零，从O 点沿PQ 垂直平分线向远处移动，场强先增大，后减小，所以E A 不一定大于E B .电势是标量，由等量同号电荷的电场线分布图可知，从O 点向远处，电势是一直降低的，故A ?一定大于B ?，所以只有B 对. 【总结升华】电场强度与电势的大小没有直接的关系，它们是从两个不同的角度描述场性质的物理量. ⑴电势是反映电场能的性质的物理量，而电场强度反映电场力的性质的物理量 ⑵电势是标量，具有相对性，而电场强度是矢量. ⑶电势的正负有大小的含义，而电场强度的正负表示方向，并不表示大小. (4)电势与电场强度的大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可不为零，反之亦然. (5)电势和电场强度都是由电场本身的因素决定的，与检验电荷无关 举一反三 【变式1】在静电场中（ ） Ａ、电场处处为零的区域内，电势也一定处处为零 Ｂ、电场强度处处相同的区域内，电势也一定处处相同 Ｃ、电场强度的方向总是跟等势面垂直的 Ｄ、沿着电场强度的方向，电势总是不断降落 【答案】CD
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