北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题
2013.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 复数
21i
-化简的结果为
A.1i +
B.1i -+
C. 1i -
D.1i --
2.已知直线2,:2x t l y t =+??=--?（t 为参数）与圆2cos 1,
:2sin x C y θθ=+??=?
（θ为参数），则直线l 的倾斜角
及圆心C 的直角坐标分别是 A.
π,(1,0)4
B.
π,(1,0)4
- C.
3π,(1,0)4 D.
3π,(1,0)4
-
3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||?=a b a ,则实数x 的值为
A.1-
B.12
-
C.13
- D.1
4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出
的,n S 的值分别为
A.4,30n S ==
B.5,30n S ==
C.4,45n S ==
D.5,45n S ==
5.如图，P C 与圆O 相切于点C ，直线P O 交圆O 于,A B 两点，
弦C D 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．
的结论是 Ａ.BEC ?∽DEA ? B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =? D.2PC PA AB =?
6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==?+（*
,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为
A. 144
B.120
C. 108
D.72 8. 椭圆222
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点
B
P ，使得12F F P ?为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是
A.12(,)33
B.1(,1)2
C. 2(,1)3
D.111
(,)(,1)32
2
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.
10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n m n m
a a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项
和n S =_____. 11. 在26
1(
3)x x
+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)
12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱B D 的长为_________.
13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥??
+≤??≥+?
表示的平面区域内，
若点(,)P x y 到直线1y kx =-
的最大距离为___.k =
14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =
（0r <<
，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1
()2f =______________;关于r 的
方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数2
1()cos
cos
2
2
2
2
x x x f x =+-
，ABC ?三个内角,,A B C 的对边分别
为,,a b c .
（I ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()1,f B C +
=1a b ==，求角C 的大小.
16.（本小题满分13分）
D
A
B
C
汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A 型车
（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，
12,AB AC AA ===E 是B C 中点.
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
18. （本小题满分13分） 已知函数e
().1
ax
f x x =
- （I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.
19. （本小题满分14分）
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,E A E B 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O 为原点，求证：M O N ∠为定值.
20. （本小题满分13分）
已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x
=
在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一
阶比增函数”；若2
()f x y x
=
在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ?Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，
求证：(24)0d d t +->；
(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,
请问：是否存在常数M ，使得()f x ?∈ψ，(0,)x ?∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2013．1
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共
30分） 三、解答
题
(本大
题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）因为2
1()cos
cos
222
2
x x x f x =
+-
c o s 1
i n 222
i n c o s
2
12
1x x x x =+-=
+
+ πsin()6
x =+
………………6分
又sin y x =的单调递增区间为
ππ2π,2π 2
2
k k -+
（），()Z k ∈
所以令πππ2π2π2
6
2
k x k -
<+
<+
解得2ππ2π2π 3
3
k x k -
<<+
所以函数()f x 的单调增区间为2ππ
(2π,2π) 3
3
k k -
+
，()Z k ∈ ………………8分
(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16
B C ++
=，
又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)6
66
B C ++∈ 所以πππ,6
2
3
B C B C ++=
+=
，
所
以
2π3
A =
………………10分
由正弦定理sin sin B A b
a
=
把
1
a b ==代
入
，
得
到
1s
i n 2
B =
(12)
分
又
,
b a
π6
B =
，所以
π6
C =
………………13分
16.（本小题满分13分） 解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为
3A 3A ,B =
出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和
300.63020
=+
这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分 （II ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，
“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分
132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分
5
2010203014100100100100100
100
9125
=
?
+?+?=
该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
9
125
………………9分
（Ⅲ）设X 为A 型车出租的天数，则X 的分布列为
设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为
()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02 =3.62
E X =?+?+?+?+?+?+?
()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =?+?+?+?+?+?+?
=3.48
………………12分
一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………13分
17.（本小题满分14分）
(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接E O
因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以E O 为1A BC ?的中位线， 所以1//EO A B
………………2分
又EO ?平面1AEC ，1A B ?平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC
………………4分
（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，A C 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E
设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--
，
因为11
B M
C E ⊥，所以 110B M C E ?=
，解得1m =，所以1AM = ………………8分
（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==
，
设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =
，
则有1
00AE n AC n ??=?
??=?? ，得00x y y z +=??+=?，
令
1,
y =-则
1,1x z ==，所以可以取
(1n =-
， ………………10分
因为AC ⊥平面1
A
B B A 1
,取平面1
A
B B A 1
的法向量为
(0,2,0)AC =
………………11分
所
以
c
o
3
||
A C A
C A
C ?
<>
………………13分
平面
1
AEC 与平面1
A
B B A 1
所成锐二面角的余弦值
为
3
………………14分
18. （本小题满分13分） 解
：
当
1
a =时，
e
()1
ax
f x x =
-，
2
e (2)'()(1)
x
x f x x -=
- ………………2分
又(0)1f =-，'(0)2f =-， 所
以
()
f x 在(0,(0))f 处的切线方程为
21y x =-- ………………4分
（II ）2
e [(1)]
'()(1)
ax
ax a f x x -+=
-
当0a =时，2
1'()0(1)
f x x -=
<-
又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以 ()f x 的单调递减区间为
(,
1-
∞+∞ ………………6分
当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a
+= (7)
分
当0a >时，11a x a
+=
>，
所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a
+，
单调递增区间为1(
,)a a
++∞ ………………10分
当0a <时，11a x a
+=
<
所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a
+-∞，
单调递减区间为1(,1)a a
+，(1,)+∞ ………………13分
19. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =
所
以
抛
物
线
方
程
为
2
2y x
=，焦点坐标为
1
(,0)2
………………3分 （Ⅱ）设2
11(,)2
y A y ，2
22(
,)2
y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，
法一：
因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-
与抛物线方程联立得到 2(2)
2y k x y x =-??=?，消去x ，得：
2
240ky y k --=
则由韦达定理得：
121224,y y y y k
=-+=
………………6分 直线AE 的方程为：()12
1
2222
2
y y x y
--=
--，即()12222
y x y =
-++，
令2x =-，得
11242
M y y y -=
+
………………9分 同理可得：
22242
N y y y -=
+
………………10分 又 4
(2,),(2,)m m
O M y O N y -=-=- ，
所以12124422
M N O M O N y y y y ?=+=+?
++ 121212124[2()4]4[2()4]
y y y y y y y y -++=+
+++
44(44)
444(44)
k k
--
+=+
-+
+
0= ………………13分
所以OM O N ⊥，即M O N ∠为定值π2
………………14分
法二：
设直线l 方程为2x my =+
与抛物线方程联立得到 2
22x m y y x
=+??
=?，消去x ，得：
2
240y my --=
则由韦达定理得：
12124,2y y y y m
=-+=
………………6分 直线AE 的方程为：()12
12222
2
y y x y --=
--，即()12222
y
x y =
-++，
令2x =-，得
11242
M y y y -=
+
………………9分 同理可得：
22242
N y y y -=
+
………………10分 又 4
(2,),(2,)m m
O M y O N y -=-=- ，
121244(2)(2)
M N O M O N y y y y ?=+=+
++ 1212121
24[2()4]
4[2()
4]
y y y y y y y y -++=+
+++
4(424)
44(424)
m m --+
=+
-++
=
………………12分 所以OM O N ⊥，即M O N ∠为定值π2
………………13分
20. （本小题满分14分）
解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ?Ω， 即2
()()2f x g x x hx h x =
=--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分
而2
()()2f x h h x x h x
x
==-
-在(0,)+∞不是增函数，而2
'()1h h x x
=+
当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h < 综
上，得
h <
………………4分
(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++ 所以
()()4=
f a f a b c a
a b c
a b c
++<
++++，
所以4()a f a d a b c
=<++，
同理可证4()b f b d a b c
=<++，4()c f c t a b c
=<
++
三式相加得4()()()()24,
a b c f a f b f c d t a b c
++++=+<
=++
所
以
2d t +-
<
………………6分 因为
,d d a b
<所以(
)0,b a d ab
-<
而0a b <<， 所以0
d <
所以
(
d d +
-
………………8分
(Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ?∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立 我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ?∈+∞使得0()0f x >， 记
02
()0f x m x =>
因为()f x 是二阶比增函数，即2
()f x x
是增函数.
所以当0x x >时，
02
2
()()f x f x m
x
x >
=，所以2()f x mx >
所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>
这
与
()f x k
< 对
(0,)
x ∈+∞成立矛
盾 ………………11分
()0
f x ≤对(0,)x ∈+∞成立
所以()f x ?∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解 假设存在20x >，使得2()0f x =， 则因为()f x 是二阶增函数，即2
()f x x
是增函数
一定存在320x x >>，
322
2
3
2
()()
f x f x x x >
=，这与上面证明的结果矛盾
所以()0f x =在(0,)+∞上无解
综上，我们得到()f x ?∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立
所以存在常数0M ≥，使得()f x ?∈ψ，(0,)x ?∈+∞，有()f x M <成立
又令
1()(0)f x x x
=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，
又有
2
3
()1f x x
x
-=
在(0,)+∞上是增函数 ，所以()f x ∈ψ，
而任取常数0k <，总可以找到一个00x >，使得0x x >时，有()f x k > 所
以
M
的最小值 为
0 ………………13分
2020．1 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{} 223021=A x x x B x x x Z A B =--≤=-≤<∈?，且，则A.{}21--， B.{}10-， C.{}20-， D.{} 11-，2．设()11i a bi +=+(i 是虚数单位)，其中,a b 是实数，则a bi += A ．1 B.2 C.3 D.2 3．已知随机变量ξ服从正态分布()21N σ ，，若()40.9P ξ<=，则()21P ξ-<<=A ．0.2 B.0.3C ．0.4D ．0.6 4．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，计算其 体积V 的近似公式2136V L h ≈ ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．若圆锥体积的近似公式为2275V L h ≈，则π应近似取为A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 5．函数()()y f x y g x ==与的图象如右图所 示，则的部分图象可能是 本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 试题（数学）高三数学 山东省潍坊市2020届高三期末
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是
海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理科） 2010.1 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1． 函数1(0)y x x x =+ >的值域为 A ．[)2,+∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(][),22,-∞-+∞ 2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为 A ． B ．6 C ． D ．3 3．已知双曲线2 2 13 y x - =，那么它的焦点到渐近线的距离为 A ．1 B ． C ．3 D ．4 4．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是 A ．//,//m βαβ B ．,m βαβ⊥⊥ C ．,,m n n m αα⊥⊥? D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等 5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为 A ． 16 B ． 15 C ．1 3 D ． 25 6．如图，向量-a b 等于 A ．1224--e e B ．1242--e e C ．123-e e D ．123-+e e
7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数 学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种 8．点P 在曲线C ： 2 2 14 x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x = 于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点” D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点” 第II 卷（共110分） 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+?? =-?， （为参数） ， ，则直线l 的斜率为_______________. 10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为 1 ， 则输入的实数x 值为________________. 11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何 体的表面积为__________________. 12．设关于x 的不等式2* 2()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和 为n S ，则100S 的值为_______________________. 正视图侧视图 俯视图