新疆石河子第二中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题
一、单选题 3．已知集合，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．数列…的一个通项公式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．
是首顶
,公差
的等差数列,如果
,则序号等于（ ）
A ． 671
B ． 672
C ． 673
D ． 674 4．在等差数列
中，若3
4567450a
a a a a ++++=，则28a a +的值等于(
)
A ． 45
B ． 75
C ． 180
D ． 300
5．已知等比数列的公比，其前项的和为，则（ ）
A ． 7
B ． 3
C ．
D ． 6．已知数列
是公比为的等比数列，且
成等差数列，则公比的值为( )
A ．
B ．1或
C ．-2
D ． -1或
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 为（ ） A ． 65 B ．60 C ．55 D ．70 8．在
中，
，那么等于( )
A ． 135° B． 105° C． 45° D． 75°
9．已知向量,满足，
，，则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知
，则（ ）
A ．
B ． -
C ．
D ． -
11．设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若
，
，则
④若
，
，则
.
其中真命题的序号为（ ）
A ． ①③
B ． ②③
C ． ①④
D ． ②④
12．若函数满足
且时，，函数，则
函数
在区间
内的零点的个数为 （ ）
A ． 7
B ． 8
C ． 9
D ． 10
二、填空题 13．数列
的前项和
，则该数列的通项公式为__________．
14．动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥??
≥??+-≥?
，则2z x y =+的最小值为 .
15．直线
与圆：
的位置关系是_________．
16．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知11
3
a =
，且对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=?，若n S a <恒成立,则实数a 的取值范围为____________
三、解答题
17．在
中，角所对的边分别为.已知.
（1）求的值； （2）求
的面积.
18．已知等差数列的公差为，且方程
的两个根分别为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列
的前项和.
19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且524S S =， 221n n a a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
2n n
b n a =?，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20．已知x x x x x f 424cos 3)cos (sin sin 3)(-++=. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2
x π
∈时的值域；
21．如图，四棱锥
的底面ABCD 是菱形，
，
面ABCD ，E 是AB 的中点，
F 是PC 的中点．
Ⅰ求证：面PAB Ⅱ求证：
面PDE ．
22．已知圆M 的方程为()2
2
31x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过
点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B .
（1）若点P 的坐标为11,
2??
???
，求切线,PA PB 的方程； （2）求四边形PAMB 面积的最小值；
（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点。
参考答案
1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C 9．A 10．D 11．D 12．B
13．14．3 15．相交
16．
1
,
2
??
+∞????
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【详解】
（1），由余弦定理可得
,
,
（2）.
【点睛】
此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
18．(1);(2).
【解析】试题分析：（1）由题意，根据根与系数关系可求出数列
的首项与公差，再根
据等差数列的通项公式，从而问题可得解决；（2）由（1）可得数列的通项，观察其特点，可采用分组求和法进行计算，即将数列分为等比数列与等差数列两种特殊数列，再根据各自前项和公式进行运算，从而问题可得解.
试题解析：（1）由题知，
解得
故数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知，，
则
.
19．（1）1n a n =+（*n N ∈）．（2）()
21n n
T n =
+，
【解析】试题分析：（1）由已知条件利用等差数列的前n 项和与通项公式求出公差与公差，
由此能求出1n a n =+ ． （2）由()11112121n b n n n n ??
=
=- ??++??
，利用裂项相消法能求出数列{}n b 的前n 项和n T ．
试题解析;（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由524S S =， 221n n a a =-， 得()()111151084,
{
212211,
a d a d a n d a n d +=++-=+--解得12a =， 1d =，因此1n a n =+（*n N ∈）
． （2）因为()11112121n b n n n n ??
=
=- ??++??
，
∴()
11111112223121n n
T n n n ??=
-+-+?+-= ?
++??， 20．（1）略（2
）[1,3]； 【解析】
试题分析：先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数
()2sin(2)13f x x π
=-
+.（1）将23
x π
-
看成整体，然后由正弦函数sin y x =的最值可确定
函数()f x 的最小值，并明确此时x 的值的集合；（2）先求出23x π-的范围为2[,
]33
ππ
-，从
而sin(2)13
x π
≤-≤，然后可求出]2,0[π∈x 时，函数()f x 的值域；（3）将23x π-当
成整体，由sin y x =正弦函数的单调减区间3[2,
2],2
2
k k k Z π
π
ππ++∈中解出x 的取值范围，然后对k 附值，取满足]2
,2[π
π-
∈x 的区间即可.
试题解析：化简424()(sin cos )f x x x x x =++
222222cos )(sin cos )sin 2sin cos cos x x x x x x x -++++
22cos )2sin cos 1x x x x -++
sin 21x x =+
2sin(2)13
x π
=-+ 4分
（2）当]2
,
0[π
∈x 时，所以]3
2,3[3
2π
ππ
-
∈-
x ，所以sin(2)123
x π
-
≤-≤，从而
12s i n (2)133
x π
+≤-
+≤即]3,13[)(+-∈x f 9分
21．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 【分析】 Ⅰ由题意可知
为正三角形，则
， 由线面垂直的定义可知
，则
平面
PAB .
Ⅱ取PD 的中点G ，连结FG ，GE ，由几何关系可证得四边形BEGF 是平行四边形，故，
由线面平行的判断定理可得面
【详解】 Ⅰ
底面ABCD 是菱形，，
为正三角形，
E 是AB 的中点，
，
面ABCD ，
平面ABCD ，
，
，
平面PAB .
Ⅱ取PD 的中点G ，连结FG ，GE ，
，G 是中点，
且，
与BE 平行且相等，则四边形BEGF 是平行四边形，
，
平面PDE ，平面PDE ，
面
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判断定理，线面平行的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．（1）1x =或2120310x y +-=（2
（3）见解析 【解析】试题分析：（1）解：①当切线斜率不存在时，切线方程为1x =；②当切线斜率存在时，设切线方程为()1
12
y k x =-+
，根据直线和圆相切，求得k ，即可得到直线的方程； （2）由四边形PAMB 的面积S ，得到当PM 最小时，四边形的面积S 最小，转化为点到直线的距离，即可求解，即可求解面积的最小值. （3）设点()002,P y y ，得到圆心坐标是003,2y y +??
???
，进而得到圆的方程，利用圆系方程，进而可判定经过,,A P M 三点的圆必过定点. 试题解析：
（1）①当切线斜率不存在时，切线方程为x 1=； ②当切线斜率存在时，设切线方程为()1y k x 12
=-+
， 因为直线和圆相切，所以圆心()0,3
到切线的距离d 1==，解得21k 20
=-
， 所以切线方程为211
y x 1)202
=--+
（，即21x 20y 310+-=.
故所求切线方程为x 1=或21x 20y 310+-=. （2）四边形PAMB
的面积1
S 2MA PA PA 2
=?
??== 所以当PM 最小时，四边形PAMB 的面积S 最小.
又PM 的最小值是圆心()M 0,3到直线l :x 2y 0-=的距离， 即
min |PM |
=
. 所以四边形PAMB . （3）证明：过P,A,M 三点的圆即以PM 为直径的圆， 设点()00P 2y ,y ，则圆心坐标是003y y ,
2+??
???
， 以PM 为直径的圆的方程是()
2
2
003y x y y 2+??-+-= ??
? ()()220012y 0y 34??-+-??， 化简，得()2
2
000x y 2y x 3y y 3y 0+--++=，
即()()
22
0y 32x y x y 3y 0--++-=.（*）
令22
320{ x y 30x y y --=+-=，解得0{ 3
x y ==或6
5
{ 35
x y =
=
. 由于不论0y 为何值，点()0,3、63,55??
???
的坐标都适合方程（*）
，所以经过A,P,M 三点的圆必过定点，定点坐标是()0,3和63,55??
???
.
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系的综合应用问题，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的方程及直线与圆的位置关系等知识点的综合应用，此类问题的解答中要注意数形结合思想的应用，利用圆的性质转化求解是解答的关键，试题综合性较强，有一定的难度，属于中档试题.