2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题(题目改变)参考答案

交巡警服务平台的设置与调度优化分析

摘要

本文综合应用了Floyd算法，匈牙利算法，用matlab计算出封锁全市的时间为1.2012小时。并在下面给出了封锁计划。

为了得出封锁计划，首先根据附件2的数据将全市的道路图转为邻接矩阵，然后根据邻接矩阵采用Floyd算法计算出该城市任意两点间的最短距离。然后从上述矩阵中找到各个交巡警平台到城市各个出口的最短距离，这个最短距离矩阵即可作为效益矩阵，然后运用匈牙利算法，得出分派矩阵。根据分派矩阵即可制定出封锁计划：96-151,99-153,177-177,175-202,178-203,323-264,181-317, 325-325,328-328，386-332,322-362,100-387,379-418,483-483, 484-541,

485-572。除此以外，本人建议在编号为175的路口应该设置一个交巡警平台，这样可以大大减少封锁全市的时间，大约可减少50%。

关键词: Floyd算法匈牙利算法 matlab

一、问题重述

“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

警车的时速为60km/h, 现有突发事件，需要全市紧急封锁出入口，试求出全市所有的交巡警平台最快的封锁计划，一个出口仅需一个平台的警力即可封锁。

二、模型假设

1、假设警察出警时的速度相同且不变均为60/km h 。

2、假设警察出警的地点都是平台处。

3、假设警察接到通知后同时出警，且不考虑路面交通状况。

三、符号说明及一些符号的详细解释

A 存储全市图信息的邻接矩阵 D 任意两路口节点间的最短距离矩阵

X 01-规划矩阵

ij a ,i j 两路口节点标号之间直达的距离 ij d 从i 路口到j 路口的最短距离 ij b 从i 号平台到j 号出口的最短距离

ij x 取0或1，1ij x =表示第i 号平台去封锁j 号出口

在本文中经常用到,i j ，通常表示路口的编号，但是在ij d ，ij b ，ij x 不再表示这个意思，i 表示第i 个交巡警平台，交巡警平台的标号与附件中给的略有不同，如第21个交巡警平台为附件中的标号为93的交巡警平台，本文的标号是按照程序的数据读取顺序来标注的，在此声明；j 表示第j 个出口，如：第5个出口对应于附件中的路口编号为203的出口。但在论文给出的结果中使用的是附件中给的标号。

四、问题分析

本题要求交巡警平台最快的封锁计划，即可以在最短的时间内完成全市的封锁。全市共有17个出口，80个交巡警平台，这就要求我们在这个80个平台中选出17个作为出警平台，使这17个出警平台比任意其他的17个出警平台都能在更短时间内完成全市的封锁。那么这17个平台分别取封锁哪个出口即是我们要求的。

由于出警时的速度都是60/

km h，那么本题的核心就变为了最短路问题了，有最短的路径，就会有最短的时间。但是作为一个封锁计划，一定是全市各个出警平台同时开始封锁，那么我们只需求出这17个出警平台用时最多的那个最为本题要求的封锁时间。

这样我们的思路就非常明确了：

首先我们先求出80个交巡警平台到每一个出口的距离，这样就有了一个 的距离矩阵。

8017

然后我们开始对这80个交巡警平台进行任务分配，一个出口分一个平台，使每个平台到出口的距离之和最短。这个即匈牙利算法中的任务匹配问题了。

这样问题便得到了解决。

五、模型建立及求解

5.1模型的准备

1.为了便于分析，以及给读者更直观的理解，根据附件2中的“全市交通节

点数据”可以画出下图：

图1 全市交通图

2.将上述图转化为邻接矩阵，把数据存储在邻接矩阵中，如下矩阵所示

1112158222122

25825821

5822

582582a a a a a a A a a a ???????

? ?

?= ? ? ???

， 其中ij a 表示,i j 两路口节点标号之间直达的距离，当,i j 两路口节点标号之间有连接两点的路线时，ij a 记为两者之间的距离，若没有有连接两点的直达的路线，则记为∞。

5.2 问题模型建立及求解： 5.2.1 模型的建立

由上面的邻接矩阵A ，根据Floyd 算法可以算出任意两个路口节点标号之间的最短距离，得到如下的距离矩阵

111215822122

25825821

5822

582582d d d d d d D d d d ???????

? ?

?= ? ? ???

其中ij d 表示从i 路口到j 路口的最短距离。

根据交巡警平台路口编号以及出口位置的路口编号，我们从D 中提取出交巡

警平台与各个出口之间的距离矩阵tan dis ce ：

11

1211721

22

217801802

8017tan b b b b b b dis ce b

b b ???????

? ?

?= ? ? ???

为方便叙述，我们在此引入01-矩阵X ，与上面的tan dis ce 矩阵具有相同的大小，X 即为分配矩阵。

111211721

22

217801

802

8017x x x x x x X x x x ???????

? ?

?= ? ? ???

其中，ij x 取0或1，1ij x =表示第i 号平台去封锁j 号出口。 封锁全市的出口的所用的距离为

1780

11

tan ij ij

j i dis ce x

==∑∑

我们要求最短距离，所以目标函数为：

1780

11

min

tan ij ij

j i dis ce x

==∑∑

由于一个出口只能由一个交巡警平台去封锁，所以应满足条件

80

1

1(1,2,

,17)ij

i x

j ===∑；而且一个交巡警平台只能封锁一个或者零个出口，

所以应满足条件17

1

1

(1,2,,80)ij j x i =≤=∑。

综上，可以建立模型如下：

1780

11

min

tan ij ij

j i dis ce x

==∑∑

..s t 80

1

17

11(1,2,,17)

1(1,2,

,80)

ij i ij

j x j x i ==?==????≤=??∑∑

5.2.2 模型的求解

5.2.2.1 距离矩阵的求解（Floyd 算法）

输入：邻接矩阵A 输出：最短距离矩阵D 1) 初始化：[,][,]D u v A u v = 2) For k:1 to n For i:1 to n

For j:1 to n

If [,][,][,]D i j D i k D k j >+ then [,][,][,]D i j D i k D k j =+;

3) 算法结束

5.2.2.2 分配矩阵X 的求解

本题明显是任务分配问题，所以便直接采用现有的算法——匈牙利算法直接求解[1]。

输入：距离矩阵tan dis ce (即效益矩阵) 输出：分配矩阵X

Step1:变换效益矩阵,使新矩阵中的每行每列至少有一个0.

（1）行变换:找出每行最小元素,再从该行各元素中减去这个最小元素.

（2）列变换:从所得新矩阵中找出每列中的最小元素,再从该列各元素中减去这个最小元素.

Step2:进行试指派,以寻找最优解.

（1）逐行检查

从第一行开始,如果该行只有一个零元素,就对这个零元素打上括号,划去与打括号零元素同在一列的其他零元素,如果该行没有零元素,或有两个或多个零元素（已划去的不计在内）,则转下行.

打括号的意义可理解为该项任务已分配给某人.如果该行只有一个0,说明只能有唯一分配.划掉同列括号零元素可理解为该任务已分配,此后不再考虑分配给他人.当该行有两个或更多的零元素时,不计括号内的,其理由是至少有两个分配方案,为使以后分配时具有一定的灵活性,故暂不分配.

(2）逐列检查

在行检查的基础上,由第一列开始检查,如果该列只有一个零元素,就对这个零元素打括号,再划去与打括号零元素同行的其它零元素.若该列没有零元素或有两个以上零元素,则转下一列.

（3）重复（1）、（2）两步后,可能出现以下三种情况:

①每行都有一个零元素标出括号,显然打括号的零元素必然位于不同行不同列,因此得到最优解.

②每行每列都有两个或两个以上的零,这表示对这个人可以分配不同任务中的任意一个.这时可以从所剩零元素最少的行开始,比较这行各零元素所在列中元素的个数,选择零元素少的那列这个零元素打括号,划掉同行同列的其他它零元素,然后重复前面的步骤,直到所有0都作了标记.

③矩阵中所有零都作了标记,但标有(0)的元素个数少于m个,则转下步.

Step3:做最少的直线覆盖所有零元素,以确定该系数矩阵中能找到最多的独立0元素.

·对没有（）的行打√;

·对打√的行上所有含0元素的列打√;

·再对打√的列上有（）的行打√;

·重复上两步,直到过程结束;

·对没有打√的行划横线,对所有打√的列划垂线.

这就得到了能覆盖矩阵中所有0元素的最少直线数.

Step4:非最优阵的变换——零元素的移动.

（1）在没有被直线覆盖的所有元素中,找出最小元素;

（2）所有未被直线覆盖的元素都减去这个最小元素;

（3）覆盖线十字交叉处的元素都加上这个最小元素;

（4）只有一条直线覆盖的元素的值保持不变.

Step5:回到Step2,反复进行,直到矩阵中每行每列都有一个打（）的0元素为止,即找到最优解.

通过Matlab编程，我们得到如下结果：

交巡警平台路口编号封锁城市出口路口编号两者之间的距离（mm）

96 151 136.7433169

99 153 137.7727033

177 177 0

175 202 720.6915699

178 203 260.9737384

323 264 280.7569901

181 317 389.9959925

325 325 0

328 328 0

386 332 170.1597281

322 362 295.2729349

100 387 192.0129215

379 418 227.4081328

483 483 0

484 541 270.0635828

485 572 136.4331338

479 578 341.7491166

全部封锁的时间为上表中的最大距离（720.6915699）除以速度60 0mm/h(按比例尺等效过后的速度)，为1.2012小时，显然不合常理，通过观察上表的最后

一列，我们发现720.6915699远远大于周围的数，如果能够减小这个数，那么封锁整个城市的时间就会降下来。

从这个结果显示来看：在编号为175的路口应该设置一个交巡警平台，这样可以大大减少封锁全市的时间。

下表给出每个出口被封锁所花费的时间：

出口路口位置所用封锁时间（h）

151 0.227906 153 0.229621 177 0 202 1.201153 203 0.434956 264 0.467928 317 0.649993 325 0 328 0 332 0.2836 362 0.492122 387 0.320022 418 0.379014 483 0 541 0.450106 572 0.227389

578 0.569582

六、模型的评价与推广

6.1 模型优点

1、对题目所给数据大部分都进行了合理的应用和处理，对于实际问题理解的较为到位。

2、模型建立的思路简单清晰，算法较为灵活、执行效率教高。

3、模型能应用于其他种类的应急设施设置，整个模型有很好的通用性。6.2 模型缺点

1、在整个模型中我们都把所有的平台或者出口想象成一个点，这是在显示中不可能的。

2、模型中我们没有交通的堵塞的问题，认为出警速度是一致的。

参考文献

[1] 姜启元，《数学模型》第四版，北京：高等教育出版社，2011年

附录

Solution.m

clc;

clear all;

A=xlsread('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','全市交通路口节点数据','b2:c583');

X=A(:,1);

Y=A(:,2);

serve_plat=xlsread('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','全市交巡警平台','b2:b81');

city_out=xlsread('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','全市区出入口的位置','b2:b18');

road_start=xlsread('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','全市交通路口的路线','a2:a929');

road_end=xlsread('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','全市交通路口的路线','b2:b929');

name=xlsread('cumcm2011B附件2_全市六区交通网路和平台设置的数据表.xls','全市交巡警平台','a2:a81');

plat_location=A(serve_plat,:);

city_out_location=A(city_out,:);

plot(city_out_location(:,1),city_out_location(:,2),'*',plat_locat ion(:,1),plat_location(:,2),'r+');

legend('全市出口位置','全市平台位置');

hold on

for i=1:length(road_start)%%%%%%plot this city's routine

plot([X(road_start(i)),X(road_end(i))],[Y(road_start(i)),Y(road_end(i ))]);

end

plot(362,443,'o');

%%%%%%%%%%%%%%%%%next transform the graph into matrix%%%%%%%%%%%%%% D=ones(582);

for i=1:582%%%%i 表示路口的节点编号%%%%%%%%%%%%

m=find(road_start==i);

N=road_end(m);

D(i,N)=sqrt(abs(X(i)^2+Y(i)^2-X(N).^2-Y(N).^2));

end

D(D==1)=inf;%%%%%%%%至此矩阵生成完毕

D(logical(eye(size(D))))=0;%将对角矩阵变为0

%%%%%%%%%%look for the shortest road to the city_out for every serve_plat————useing Floyd%%%%%%%%%%%%%%%%%

m=length(serve_plat);

n=length(city_out);

distance=ones(m,n);%%%%%%initial the distance

Path=cell(m,n);

[Dis,path]=floyd(D);

for i=1:size(Dis,1)-1

for j=i+1:size(Dis,1)

if eq(Dis(i,j),Dis(j,i))==0

Dis(i,j)=min(Dis(i,j),Dis(j,i));

Dis(j,i)=Dis(i,j);

end

end

end

[Dis,path]=floyd(Dis);

for i=1:size(Dis,1)-1

for j=i+1:size(Dis,1)

if eq(Dis(i,j),Dis(j,i))==0

Dis(i,j)=min(Dis(i,j),Dis(j,i));

Dis(j,i)=Dis(i,j);

end

end

end

for i=1:m

for j=1:n

[distance1

path1]=router(Dis,path,serve_plat(i),city_out(j));

distance(i,j)=distance1;

Path(i,j)= {path1};

end

end

[Matching,Cost] = Edmonds(distance);

[m n]=find(Matching==1);

re=[];

for i=1:length(m)

re=[re distance(m(i),n(i))];

end

long=max(re);

time=long*1e5/(1e6)/60;

bihao=serve_plat(m);

Time=re/600;

function [Matching,Cost] = Edmonds(a)

Matching = zeros(size(a));

num_y = sum(~isinf(a),1);

num_x = sum(~isinf(a),2);

x_con = find(num_x~=0);

y_con = find(num_y~=0);

P_size = max(length(x_con),length(y_con));

P_cond = zeros(P_size);

P_cond(1:length(x_con),1:length(y_con)) = a(x_con,y_con);

if isempty(P_cond)

Cost = 0;

return

end

Edge = P_cond;

Edge(P_cond~=Inf) = 0;

cnum = min_line_cover(Edge);

Pmax = max(max(P_cond(P_cond~=Inf)));

P_size = length(P_cond)+cnum;

P_cond = ones(P_size)*Pmax;

P_cond(1:length(x_con),1:length(y_con)) = a(x_con,y_con);

exit_flag = 1;

stepnum = 1;

while exit_flag

switch stepnum

case 1

[P_cond,stepnum] = step1(P_cond);

case 2

[r_cov,c_cov,M,stepnum] = step2(P_cond);

case 3

[c_cov,stepnum] = step3(M,P_size);

case 4

[M,r_cov,c_cov,Z_r,Z_c,stepnum] = step4(P_cond,r_cov,c_cov,M);

case 5

[M,r_cov,c_cov,stepnum] = step5(M,Z_r,Z_c,r_cov,c_cov);

case 6

[P_cond,stepnum] = step6(P_cond,r_cov,c_cov);

case 7

exit_flag = 0;

end

end

Matching(x_con,y_con) = M(1:length(x_con),1:length(y_con));

Cost = sum(sum(a(Matching==1)));

function [D,path]=floyd(a)

%floyd算法通用程序，输入a为赋权邻接矩阵

%输出为距离矩阵D,和最短路径矩阵path

n=size(a,1);

D=a;

path=zeros(n,n);

for i=1:n

for j=1:n

if D(i,j)~=inf

path(i,j)=j;

end

end

end

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

if D(i,k)+D(k,j)

D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);

path(i,j)=path(i,k);

end

end

end

end

function [P_cond,stepnum] = step1(P_cond)

P_size = length(P_cond);

for ii = 1:P_size

rmin = min(P_cond(ii,:));

P_cond(ii,:) = P_cond(ii,:)-rmin;

end

stepnum = 2;

function [r_cov,c_cov,M,stepnum] = step2(P_cond)

P_size = length(P_cond);

r_cov = zeros(P_size,1);

c_cov = zeros(P_size,1);

M = zeros(P_size);

for ii = 1:P_size

for jj = 1:P_size

if P_cond(ii,jj) == 0 && r_cov(ii) == 0 && c_cov(jj) == 0

M(ii,jj) = 1;

r_cov(ii) = 1;

c_cov(jj) = 1;

end

end

end

r_cov = zeros(P_size,1); % A vector that shows if a row is covered c_cov = zeros(P_size,1); % A vector that shows if a column is covered stepnum = 3;

function [c_cov,stepnum] = step3(M,P_size)

c_cov = sum(M,1);

if sum(c_cov) == P_size

stepnum = 7;

else

stepnum = 4;

end

function [M,r_cov,c_cov,Z_r,Z_c,stepnum] = step4(P_cond,r_cov,c_cov,M) P_size = length(P_cond);

zflag = 1;

while zflag

row = 0; col = 0; exit_flag = 1;

ii = 1; jj = 1;

while exit_flag

if P_cond(ii,jj) == 0 && r_cov(ii) == 0 && c_cov(jj) == 0 row = ii;

col = jj;

exit_flag = 0;

end

jj = jj + 1;

if jj > P_size; jj = 1; ii = ii+1; end

if ii > P_size; exit_flag = 0; end

end

if row == 0

stepnum = 6;

zflag = 0;

Z_r = 0;

Z_c = 0;

else

M(row,col) = 2;

if sum(find(M(row,:)==1)) ~= 0

r_cov(row) = 1;

zcol = find(M(row,:)==1);

c_cov(zcol) = 0;

else

stepnum = 5;

zflag = 0;

Z_r = row;

Z_c = col;

end

end

end

function [M,r_cov,c_cov,stepnum] = step5(M,Z_r,Z_c,r_cov,c_cov) zflag = 1;

ii = 1;

while zflag

rindex = find(M(:,Z_c(ii))==1);

if rindex > 0

ii = ii+1;

Z_r(ii,1) = rindex;

Z_c(ii,1) = Z_c(ii-1);

else

zflag = 0;

end

if zflag == 1;

cindex = find(M(Z_r(ii),:)==2);

ii = ii+1;

Z_r(ii,1) = Z_r(ii-1);

Z_c(ii,1) = cindex;

end

end

for ii = 1:length(Z_r)

if M(Z_r(ii),Z_c(ii)) == 1

M(Z_r(ii),Z_c(ii)) = 0;

else

M(Z_r(ii),Z_c(ii)) = 1;

end

end

r_cov = r_cov.*0;

c_cov = c_cov.*0;

M(M==2) = 0;

stepnum = 3;

function [P_cond,stepnum] = step6(P_cond,r_cov,c_cov)

a = find(r_cov == 0);

b = find(c_cov == 0);

minval = min(min(P_cond(a,b)));

P_cond(find(r_cov == 1),:) = P_cond(find(r_cov == 1),:) + minval; P_cond(:,find(c_cov == 0)) = P_cond(:,find(c_cov == 0)) - minval; stepnum = 4;

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛C 题评阅要点 [说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 命题思路：企业退休职工养老金制度改革及退休推迟问题是一个热点课题。由于国情的复杂和数据的缺乏，对全国甚至一个地区的社会统筹基金进行总体规模的预测都是困难的，所以本题仅限于在现有制度下，对职工个人的基金和个人账户收支情况进行精算。本题的数学模型并不复杂，关键是学生正确理解养老金收支计算办法和题目的要求。 1 必要的假设 如下一些假设是基本的：1）假设我国在今后一个较长时间段内社会政治经济形势稳定，工资不会出现异常动荡。2）假设男女同工同酬。3）假设现有缴费及发放制度在一个充分长的时间段内不发生变化。4）假设附件2 中反映的该企业不同年龄的职工工资与企业平均工资的比例可以用来计算一个普通职工的养老保险缴费指数。5）假设只有个人账户中的储存额产生利息，而社会统筹基金账户中的储存额不产生利息。6）假设附件1中的社会平均工资为缴费工资。7）为便于计算，可以假设第i 岁参加工作、退休、死亡均是指在刚满i 周岁时，缴费年数为整数。 2问题一 虽然我国当前正处于经济快速发展期，但考虑到我国发展的战略目标是在二十一世纪中期达到中等发达国家的经济发展水平，而发达国家的工资增长率多比较低，所以应当假设我国未来的工资增长率会逐步降低。只要符合这一假设的预测方法，都可以认为是恰当的。如Logistic 模型以及其它阻滞型增长模型均可用，用这些方法得到的工资上限大约在2010年工资水平的3-4倍左右。但若假设工资以固定比例增长或线性增长、以及用线性或多项式拟合都是不恰当的，用灰色预测或指数预测也不恰当。 3 问题二 根据附件2，用加权平均方法容易求得该企业不同年龄段的职工工资与企业平均工资的比值，结果如下： 表1：该企业不同年龄段职工平均工资与企业平均工资的比值： 本题的本意是将此数据作为一个一般意义上的企业职工在不同年龄段时的缴费指数。如果学生在计算养老金支出时没有利用该数据，只考虑了一些特殊情况，如缴费指数取固定值，是不合题意的。对于60-64岁的职工的缴费指数，可以基于一些简单合理的假设进行预测。 在计算社会统筹基金账户和个人账户金额时，按年或按月缴存的两种计算方式都是可以的。 到退休时职工个人账户中的金额的计算模型如下： ∑k 退休前第k 年缴费额本息=∑k 退休前第k 年缴费工资×缴费率×k r )1( , 其中r 为银行利息。学生中可能会出现忘记计算个人账户利息或利息计算错误的情况。 因为社会统筹基金账户中的储存额不计利息，所以其中金额的计算模型如下： ∑k 退休前第k 年缴费额=∑k 退休前第k 年缴费工资×缴费率. 退休后第一个月领取的养老金=基础养老金+个人账户养老金，其中 基础养老金=（退休前一年社会平均工资+本人指数化月平均缴费工资）/2×缴费年限×1%； 个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数。 其中，

数学建模期末考试A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学

数学建模-B题-球队排名问题-答案详解

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

一个给足球队排名次的方法 戚立峰毛威马斌 （北京大学数学系,100871） 指导教师樊启洪 摘要本文利用层次分析法建立了一个为足球排名次的数学模型．它首先用来排名次的数据是否充分做出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计,然后给出名次．文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序．文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象．文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动．本模型比较完满地解决了足球队排名次问题,而且经过简单修改,它可以适用于任何一种对抗型比赛的排名．

云南财经大学校内数学建模选拔赛试题 .doc

2014年云南财经大学校内数学建模选拔赛试题 注意事项： （1）请希望参加今年全国大学生数学建模竞赛的同学积极参加校内选拔赛，但是要务必能够保证八月底提前一周回校参加集训，9月12日-9月15日参加竞赛。 （2）请各位同学下列4个问题中选一个问题，3人组队，按照全国大学生数学建模竞赛（cumcm）模板和格式要求书写论文。 （2）论文写好后，打印纸质文件，于6月20日11点前将论文交送到统数学院310办公室王天友老师，同时填写报名表。 A 人力资源安排问题 某高校数学系现有44名教师，其职称结构和相应的工资水平分布如表1所示。 表1 数学系的职称结构及工资情况 目前，该系承接有4个项目，其中2项项目实践，需要到现场监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是理论研究，分别在C 地和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的报酬不同，具体情况如表2所示。

表2 不同项目和各种人员的报酬标准 为了保证项目质量，各项目中必须保证各职称人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示。 表3 各项目对专业技术人员结构的要求 说明： 表中“1～2”表示“大于等于1，小于等于2”，其他有“～”符号的同理； 项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是讲师以上，助教不能参加；教授相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对教授的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他职称人员也有不同的限制或要求；

各项目客户对总人数都有限制； 由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。 (1) 收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是8+12+14+16=50，多于数学系现有人数44。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使数学系每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。 (2) 以一个星期为周期，如果每个教授最多只能工作四天，每个副教授最多只能工作5天，讲师和助教每天都可以工作。此时如何合理的分配现有的技术力量，使数学系一个星期的直接收益最大？并写出相应的论证报告。 B 客房价格确定和预定问题 旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。确定房间价格以及开展预定服务是是需要解决的问题。本文要求针对下面两个问题进行建模说明 1.宾馆往往采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺 季价格比较高，淡季价格略低。往年房间价格是确定今年房间价格的重要参考依据，下表给出了附表给出了某宾馆2008年1月～2011年12月期间，每月标准间平均价格(单位:元)，用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的标准房参考价格。可以收集更多的数据来佐证

2014年数学建模美赛题目原文及翻译

2014年数学建模美赛题目原文及翻译 作者：Ternence Zhang 转载注明出处：https://www.doczj.com/doc/3017598772.html,/zhangtengyuan23 MCM原题PDF： https://www.doczj.com/doc/3017598772.html,/detail/zhangty0223/6901271 PROBLEM A: The Keep-Right-Except-To-Pass Rule In countries where driving automobiles on the right is the rule (that is, USA, China and most other countries except for Great Britain, Australia, and some former British colonies), multi-lane freeways often employ a rule that requires drivers to drive in the right-most lane unless they are passing another vehicle, in which case they move one lane to the left, pass, and return to their former travel lane. Build and analyze a mathematical model to analyze the performance of this rule in light and heavy traffic. You may wish to examine tradeoffs between traffic flow and safety, the role of under- or over-posted speed limits (that is, speed limits that are too low or too high), and/or other factors that may not be

2017年中国研究生数学建模竞赛题

2017年中国研究生数学建模竞赛D题 基于监控视频的前景目标提取 视频监控是中国安防产业中最为重要的信息获取手段。随着“平安城市”建设的顺利开展，各地普遍安装监控摄像头，利用大范围监控视频的信息，应对安防等领域存在的问题。近年来，中国各省市县乡的摄像头数目呈现井喷式增长，大量企业、部门甚至实现了监控视频的全方位覆盖。如北京、上海、杭州监控摄像头分布密度约分别为71、158、130个/平方公里，摄像头数量分别达到115万、100万、40万，为我们提供了丰富、海量的监控视频信息。 目前，监控视频信息的自动处理与预测在信息科学、计算机视觉、机器学习、模式识别等多个领域中受到极大的关注。而如何有效、快速抽取出监控视频中的前景目标信息，是其中非常重要而基础的问题[1-6]。这一问题的难度在于，需要有效分离出移动前景目标的视频往往具有复杂、多变、动态的背景[7，8]。这一技术往往能够对一般的视频处理任务提供有效的辅助。以筛选与跟踪夜晚时罪犯这一应用为例：若能够预先提取视频前景目标，判断出哪些视频并未包含移动前景目标，并事先从公安人员的辨识范围中排除；而对于剩下包含了移动目标的视频，只需辨识排除了背景干扰的纯粹前景，对比度显著，肉眼更易辨识。因此，这一技术已被广泛应用于视频目标追踪，城市交通检测，长时场景监测，视频动作捕捉，视频压缩等应用中。 下面简单介绍一下视频的存储格式与基本操作方法。一个视频由很多帧的图片构成，当逐帧播放这些图片时，类似放电影形成连续动态的视频效果。从数学表达上来看，存储于计算机中的视频，可理解为一个3维数据，其中代表视频帧的长，宽，代表视频帧的帧数。视频也可等价理解为逐帧图片的集合，即，其中为一张长宽分别为 的图片。3维矩阵的每个元素（代表各帧灰度图上每个像素的明暗程度）为0到255之间的某一个值，越接近0，像素越黑暗；越接近255，像素越明亮。通常对灰度值预先进行归一化处理（即将矩阵所有元素除以255），可将其近似认为[0,1]区间的某一实数取值，从而方便数据处理。一张彩色图片由R（红），G（绿），B（蓝）三个通道信息构成，每个通道均为同样长宽的一张灰度图。由彩色图片

2011年全国大学生数学建模国赛B题程序

Matlab dijkstra算法 function [distance,path]=dijkstra(A,s,e) % [DISTANCE,PATH]=DIJKSTRA(A,S,E) % returns the distance and path between the start node and the end node. % A: adjcent matrix % s: start node % e: end node % initialize n=size(A,1); % node number D=A(s,:); % distance vector path=[]; % path vector visit=ones(1,n); % node visibility visit(s)=0; % source node is unvisible parent=zeros(1,n); % parent node distance=D(e); % the shortest distance path if parent(e)==0, return; end path=zeros(1,2*n); % path preallocation t=e; path(1)=t; count=1; while t~=s && t>0 p=parent(t); path=[p path(1:count)]; t=p; count=count+1; end if count>=2*n, error(['The path preallocation length is too short.',... 'Please redefine path preallocation parameter.']); end path(1)=s; path=path(1:count); function [y,fval,flag]=Hungary(C) %********************************************************************** % >> C=[2 15 13 4;10 4 14 15;9 14 16 13;7 8 11 9] % >> [y,fval]=Hungary(C) % M = % 0 0 0 1 % 0 1 0 0 % 1 0 0 0 % 0 0 1 0 % y = % 28 % >> %********************************************************************** ***** [m,n]=size(C); tempC=C; for i=1:m

2011-2012第一学期《数学建模》试题卷及答案

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷 班级： 姓名： 学号： 成绩：

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分) 1．模型 模型是所研究的系统，过程事物或概念的一种表达形式，也可只根据实验。图样放大或缩小而制成的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。 2．数学模型 当一个数学结构作为某种形式语言（既包括常用符号,函数符号，谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。 3．抽象模型 二、简答题（每小题满分8分，共24分） 1．模型的分类 按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类. 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等; 抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。 2．数学建模的基本步骤 1.模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的及要求，收集各种必要的信息。 2.模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题作出必要的合理的假设，是，问题的主要特征凸显出来，忽略问题的次要方面。 3.模型构成：根据说做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题。 4.模型求解：利用已知的数学方法来求上一步所得到的数学问题词时往往还要做进一步的简化。 5.模型分析：对所得到的解答进行分析，特别注意当数据变化时所得到的结果是否稳定。 6.模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较看是否符合实际； 7.模型应用：所建立的模型必须在实际中才能产生效益。

3．数学模型的作用 数学模型的根本作用在于它将客观模型比繁为简。化难为易，便于人们采用定量的方法，分析和理解实际问题，正因为如此数学模型在科学发展，科学预见，科学管理，科学决策调控市场乃至个人能高效个工作和生活等众多方面发挥着重要作用。 三、解答题（满分20分） F 题(9n+5, 9n+1) 某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司有10％支付基金流动到B城公司，B 城公司则有12％支付基金流动到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形? 解：设此后第K周末结算时，A城公司和B城公司的支付基金数分别是Ak和Bk(单位：万美元)，那么此刻有： Ak+1=0.9Ak+0.12Bk Bk+1=0.1AK+0.88Bk k=0,1……其中，初始条件：A0=260，B0=280 给出了这个问题的数学模型。通过一次迭代，可以求出各周末时Ak和Bk的数值，以下的表列出了1至12周末两公司的基金属（单位：万美元）

2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题

2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；

2011年数学建模B题

2011年全国大学生数学建模B题 交巡警服务平台的设置与调度 题目警车配置及巡逻问题的研究 摘要： 本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。 在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目m,将全区划分成m个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，找到最近的道路节点，作为警车的初始位置，由Floyd算法算出每辆警车3分钟或2分钟行驶路程范围内的节点。考虑区域调整的概率大小和方向不同会影响调整结果，本文利用模拟退火算法构造出迁移几率函数，用迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足D1的最小车辆数，即为该区应该配置的最小警车数目，用MATLAB计算，得到局部最优解为13辆。 在选取巡逻显著性指标时，本文考虑了两个方面的指标：一是全面性，即所有警车走过的街道节点数占总街道节点数的比例，用两者之比来评价；二是均匀性，即所有警车经过每个节点数的次数偏离平均经过次数的程度，用方差值来大小评价。 问题三：为简化问题，假设所有警车在同一时刻，大致向同一方向巡逻，运动状态分为四种：向左，向右，向上，向下，记录每个时刻，警车经过的节点和能够赶去处理事故的点，最后汇总计算得相应的评价指标。 在考虑巡逻规律隐蔽性要求时，文本将巡逻路线进行随机处理，方向是不确定的，采用算法2进行计算，得出相应巡逻显著指标，当车辆数减少到10辆或巡逻速度变大时，用算法2计算巡逻方案和对应的参数，结果见附录所示。 本文最后还考虑到4个额外因素，给出每个影响因素的解决方案。 关键词：模拟退火算法；Floyd算法；离散化 一问题的重述 110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。 现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该区域内共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下图的道路上。 该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要

2011全国数学建模B题论文

城市交通巡警平台的设置与调度 摘要 由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。本文要解决的就是某市设置交巡警服务平台设置方案，以及如何处理在确保突发事件问题。 对于第一问，根据附件中的各点的坐标和图中所给的各标志点之间的相邻关系，我们求得任意两个相邻标志点的直线距离，根据附件中的全市交通路口的路线做出了邻接矩阵，再用Floyd算法求得任意两点间的最短距离。在此基础上，为了确定需要增加平台的具体个数和位置，采用主成分分析法。应用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法进行搜索得到了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 对于第二问，给出了设置交巡警服务平台的可量化的原则和任务，对现有方案进行评价然后进行优化；案发地点在A区，题目没有给出逃犯的车速，这里要处理好，怎样叫实现了围堵也是需要考虑的问题。 关键字：邻接矩阵、距离矩阵、整数线性规划、主成分分析、surfer作图 一．问题的重述 警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。 （2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如果有明显不合理，请给出解决方案。 如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。 二、问题的分析 问题一中有三个小问题，分别讨论在现有巡警台不变的情况下，确定出每个巡警台的控制范围，要求在三分钟之内尽可能到达；当有案件发生时，各交巡警按预定的路线到达指定路口封锁该路口，要求我们给出各节点接到指示时他们的

2011数学建模竞赛题目

A: 网络舆论的形成、发展与控制 持有、接受、表达某种相同、相似的观点的人在社会人群中所占的比例超过一定的阀值，这时候这种观点就上升为舆论（opinions）。舆论在特定的条件下，产生巨大的社会力量，能够左右社会大众和政府的行为。 如今，互联网作为一个开放自由的平台，已经成为了世界的“第四媒体”。显然，网络舆论与传统舆论在形成、发展等方面有着诸多不同的特点，如何控制和引导网络舆论的形成与发展是当今社会的一个重要课题。作为开放的网络平台，加上其虚拟性、隐蔽性、发散性、渗透性和随意性等特点，越来越多的人们愿意通过互联网来表达自己的个人想法。现今，互联网已成为新闻集散地、观点集散地和民声集散地。 互联网上的信息内容庞杂多样，容纳了各种人群、各类思潮，对于社会上的一些敏感问题出现在网上而引起一些人的共鸣应是一种正常现象，但是由于各种复杂因素使这些敏感问题向热点演变，最后形成网络舆论并引起社会群众的违规和过激行动时，将影响到社会安定和其他政治问题，因此网络舆论的爆发将以“内容威胁”的形式对社会公共安全形成威胁，对网上的信息内容进行管理和控制将成为互联网进一步发展的必然趋势。 请在上述背景基础上，解决如下问题： （1）请在查找资料的基础上，给出网络舆论的基本概念和特性，分析影响网络舆论的各种因素； （2）运用你们所掌握数学知识，建立网络舆论形成的数学模型，使其能够对网络舆论的发展、变化趋势做出有效的判断，并能对网络舆论的态势做出客观的表述； （3）基于上述模型的基础上，请描述在网络舆论形成后，如何利用你们的模型来控制和引导网络舆论的发展趋势。

B题：水资源短缺风险综合评价 水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。 风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。 水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。 近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。 以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。 《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题： 1评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？ 影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。 2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？ 3 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立（?θ ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数， (0)0f =,(0)0g >且对任意θ 有 00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθ θ=-，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则

2011年全国数学建模B题答案

B 题： 交巡警服务平台的设置与调度 摘要 本题要根据实际情况分配交巡警平台的管辖范围，调度警务资源，合理设置交巡警平台的等问题。我们本着两个原则来设置管辖平台：1.尽可能使所有路口都能在3分钟内赶到；2.使平台间工作量较为平均。 本着最快封锁住全城，最快围堵住嫌犯的原则来调度警务资源。 针对问题一第一小问的分配管辖问题，我们用图论的知识将实际地图转化为无向图，再用matlab 求出每两个路口间的最短路径，最后用c++程序把每个路口分配到距离其最近的平台管辖范围内。分配结果见正文，有6个路口：28、29、38、39、61、92无法在3分钟内赶到。 针对问题一第二小问的调度警员封锁路口问题，为了最快封锁完全区，封锁时间取决于交警最后达到的一个路口所花费的时间决定，用图论中的最大最小化模型，求出到达最远路口的最短时间。将原来的双目标最大最小化问题转化为单目标最优化问题，利用0-1规划，约束13个路口和13个不同的平台一一对应，求出所有交警在路途上花费的总时长最短，用lingo 得到调度方案，封锁全城需要时间8.0155分钟。 出入口标号 12 14 16 21 22 23 24 28 29 30 38 48 62 派往的平台 12 16 9 14 10 13 11 15 7 8 2 5 4 针对问题一第三小问，我们考虑到第一小问分配结果有6个路口28、29、38、39、61、92无法在3分钟内赶到。所以我们以3分钟内到达6个路口为目标得到72种添加方法，在这些方案中，用平台间工作量不均衡度（即各个平台的工作量方差）决定最合理的增添方案。 针对问题二第一小问，我们看：1.所有路口是否能在3分钟内赶到；2.平台间工作量是否较为平均，来评判该城区的平台设置是否合理，发现有138个路口无法在3分钟内赶到，对于582个路口而言快达到四分之一了，并且平台之间的工作量差异巨大可以看出严重不合理。我们采用自己的方法用最大集合覆盖模型在平台数量不变的基础上重新设置平台。 针对问题五，我们对动态围堵逃犯的问题，我们先算出嫌犯t 3分钟内可能到达的路口合集，再让警方围堵住嫌犯可能到达的路口的毗邻路口，如果无法围堵，扩大范围，围堵下一圈可能到达的路口，通过lingo 算出能在11.28分钟内完成围堵，方案见正文。 关键字：0-1规划，图论，最大路径最小值，集合模型

2011年数学建模B题答案

load B1.txt %巡警站点号、横坐标、纵坐标（前三列）load B2.txt %起始点，末端位置号（两列） hzb=B1(:,2);%横坐标 zzb=B1(:,3);%纵坐标 start=B2(:,1);%起始位置 fina=B2(:,2);%末端位置 n=length(hzb);%坐标个数 m=length(start);%起始点个数：含重复 a=ones(n,n);%n阶矩阵 b=10000.*a;%b为矩阵a的值乘上10000 for i=1:m %每个始点出去 x=start(i); y=fina(i); if y<=92 s=((hzb(x)-hzb(y))^2+(zzb(x)-zzb(y))^2)^0.5; b(x,y)=s; b(y,x)=s;%双向图距离 end end path=zeros(n,20);%终点前一个路劲节点 distance=b(:,1:20);%二十个站到其他点的最短距离 u=0;

mindis=10000;%最短距离初始为10000 flag=1; s=zeros(n,1); for i=1:20 s=0.*s;%每次清零 flag=1;%bool型标量 for j=1:n if distance(j,i)<10000 path(j,i)=i;%若满足，就往下走 end end s(i)=1; for j=1:n % if flag==1 mindis=10000; for k=1:n if s(k)==0 & distance(k,i)30 % flag=0;

1998年全国大学生数学建模竞赛题

1998年全国大学生数学建模竞赛题目 B题灾情巡视路线 下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。 今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 (1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 (2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 (3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。(4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。 ?

灾情巡视路线模型 摘要 本文将求最佳巡视路线间题转化为图论中求最佳推销员回路（哈米尔顿回路）的问题,并用近似算法去寻求近似最优解。对赋权图中的路径分组问题定义了均衡度用以衡量分组的均衡性。对问题1和问题2先定出几个分的准则进行初步分组,并用近似算法求每一组的近似最佳推销员回路,再根据均衡度进行微调,得到较优的均衡分组和每组的近似最佳推销员回路。对问题1，运用求任意两点间最短路的Floyd算法,得出总路程较短且各组尽可能均衡的路线,各组的巡视路程分别为公里,公里,公里,总路程公里。对问题2,证明了应至少分为4组,并求出了分为4组时各组的较优巡视路线,各组的巡视时间分别为小时,小时,小时,小时。对问题3,求出完成巡视的最短时间为小时,并用较为合理的分组的准则,分成22个组对问题4，研究了在不影响分组的均衡条件下, T,t,V的允许变化范围,并得出了这三个变量的关系式,并由此对分三个组的情况进行了具体讨论。 关键词：最佳推销员回路问题哈米尔顿回路赋权图近似算法均衡度 一、问题重述 1998年夏天某县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各17个乡（镇）、35个村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 (1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 (2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时， 汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组； 给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 (3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时 间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 (4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳 巡视路线的影响。 二、问题分析 本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最分组方案和路线.将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回

2017全国数学建模B题

题目 摘要 1问题的重述 基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。对于整个过程当中，任务的定价问题成为了核心关键。当定价过高时，商家所付出的代价太大；当定价过低时，会员拒接此类任务，最终导致商品检查（任务）失败。请讨论以下问题: 问题一根据对所给的附件一已结束项目任务数据的研究，研究（找出）项目任务的定价规律，同时分析部分任务未完成的原因。 问题二根据问题一的情况为附件一中的项目设计一个新的任务定价方案，并且与原方案进行比较。 问题三考虑到实际情况中，绝大多数用户会争相竞争选择位置比较集中的多个任务，因此，商家（平台）考虑将这些任务联合在一起打包发布。基于这种条件，对问题二的定价模型进行相应的修改并且分析此类情形对最终任务的完成情况有什么影响。 问题四根据前三问分析所建立出来的定价模型给出附件三中新项目的任务定价方案，并且评价该方案的实施效果。 2问题分析 “拍照赚钱”的任务实际上就是通过劳务众包的方式进行工作，所谓众包就是将原本由企业内部员工完成的任务，以开放的形式外包给未知的且数量庞大的群体来完成。在本题所涉及到的自助式劳务众包平台，企业将所需搜集的信息通过APP这个平台，展现在大众面前，大众根据自身情况来对一系列任务进行选择性的完成，最终得到相应的奖金。 问题一中对于任务悬赏金额量的确定是由一系列因素决定的，包括任务发布者所期望得到的作品数量、同期不同发布商所给的悬赏金、任务的难易程度、任务的期限等，对于问题一我们可以将这些因素都考虑进去，挖掘出各因素对于定价的影响规律，最终确定项目任务的定价规律，在综合分析实际情况和用户的信誉程度影响，来归纳出任务未完成的原因。 问题二中对于任务未完成情况的再分析，在问题一建立的模型的基础上，再考虑任务量，交通便利性等因素，将这些因素考虑进去之后，充分考虑任务点周围会员的信誉值情况，讨论任务未完成跟低信誉会员之间有什么关系，建立新的任务定价模型再给出新的任务定价方案，最后结合计算机对任务进行模拟仿真，得到在新任务定价条件下的各区域任务完成率和总完成率，将这个指标与之前的指标进行比较，可判断新任务定价方案是否优于模型一。 问题三中对于任务分布聚集规律提出打包的思想，将几个分布较近的任务进行捆绑，所以问题二中对于会员信誉值的考虑方法不再适用于本问题，所以要提出另一种思路对信誉值进行考虑，同时会员选取任务包时会被预定任务限额所限制，所以在该模型当中应该将这个因素考虑进去，充分结合任务包内各个任务的分类情况以及任务包与任务包之间的距离提出两个修正因子，将模型一进行修正，