第二章一元二次方程
1、认识一元二次方程
【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。 2、能力培养：能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。 【学习重点】1、一元二次方程的定义； 2、一元二次方程的一般形式。 一、【课前导学】
1、下列是方程的是 ， ①x=0 ②x-2y=1 ③
42-=y
④12=x ⑤()92
=+b a ⑥x-2y ⑦a ≥b ⑧2x 2-3x+1 2、方程-3x+1=3叫 方程。 方程（x-3）（x+3）=-X 叫 方程。
方程2x+y=5叫 方程。方程
叫 方程。
3、多项式1232352-+-x x x 是 次 项式，最高次项是 ，三次项的系数是 常数项是 。
4、下列方程是整式方程的是 。 ①x-1=0 ②x-
21y=1 ③132-=x ④12
=-x x ⑤032=-x ⑥x-2y=7 ⑦
22=-x
x ⑧2x 2-3x+1=5 5
、若式子
是关于的一元一次方程，那么m __________。
6、已知关于x 的方程（k-1）x 2
+x+k 2
-1=0的一个根是0，则k= 。 7、已知m 是方程x 2
-x-1=0的一个根，则m 2
-m= 。
8
、要剪一块面积是的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，怎样求长方形铁片的长和宽？
（1）题中的等量关系为：
（2）如果设长方形的宽为xcm ，那么它的长为______cm ，根据题意可列方程： ________________________________________ （3）你能化简这个方程？
9、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x ，可得方程为_____________.
10、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ）。
A. x(x+1)=182
B. x(x-1)=182
C. x(x+1)=182×2
D. x(x-1)=182×2
11、一元一次方程的一般形式是 。 二、【学习目标】
1、理解一元二次方程的定义，记住一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式
2、准确说出一元二次方程的二次项、一次项、常数项
三、自学指导
1、幼儿园某教室地面的长为8m ，宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m 2
的地毯，如图，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
如果设所求的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为 m ，宽为 m 根据题意，可得方程
2、观察下面等式：
102+ 112+122=132+142
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：
； 如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为 、 、
、 ，根据题意可得方程：
3、如图，一个长为10m 的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m,那么低端滑动多少米？
根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m ，如果设梯子底端滑动xm ，那么滑动后梯
子底端距墙 m ，梯子顶端距地面的垂直距离为 m ，根据题意，可得方程：
观察上述三个方程，它们的共同点为：① ；② ； 象这样的方程叫做 。其中我们把
称为一元二次方程的一般形式，ax 2，bx ，c 分别称为 、 、 ，a 、b 分别称为 、 。 四、检测一
1、下列方程中哪些是一元二次方程？一元二次方程有：
①
；②
③
；④
；⑤
；⑥
2、一元二次方程的一般形式是__________.将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.
将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为_________ 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系
数为__________，常数项为__________.
3、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3x 2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x 2=0 4、根据题意，列出方程：
（1）有一面积为54平方米的长方形，将它的一边剪短5米，另一边剪短2米，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？21世纪教育网版权所有
（2）三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
5、关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0.
当k 时是一元二次方程；当 k 时是一元一次方程。
6、把方程2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分别是（）
A.3、7、1
B.2、-5、-1
C.1、-5、-1
D.3、-7、-1
五、【达标测评】
1、方程①x2-1=x; ②2x2-y-1=0; ③3x2-+1=0; ④中.其中是一元二次方程的是（）21教育网A. ①④ B. ①③④ C.① D. ①②
2、方程的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是_______。
3、将方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别
为____________。
4
、把方程：化成一般形式为__________________，其二次项系数为_____，一次项系数为
________，常数项为________。
5、已知是一元二次方程的一个根，则的值为____
6、指出下列一元二次方程的a 、b 、c的值。
（1）2x2―x＋1＝0 (2)―x2＋1＝0 (3)x2―x＝0 (4)―x2＝0 (5）（8-2x）(5-2x)=18
7、若方程+5x-3=0是一元二次方程，则m的值是。
8、若一元二次方程的常数项为0，则m的值为________。
9、关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_______。
六、【课堂作业】
1、一元二次方程的一般形式是( C )
A．x2＋bx＋c＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．ax2＋bx＋c＝0(a≠0) D．以上答案都不对
2、方程(2y＋1)(3y－2)＝y2＋2化为一般形式为 .
3、将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．______________________________________________________
4、已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋4m＝0，当m__≠ __时，它是一元二次方程，当m__＝ __时，它是一元一次方程．
5、某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，
则可列方程为_
6、设一个奇数为x，与相邻奇数的积为328，所列方程正确的是。
7、从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横竖都拿不进去，横着比门宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜拿着杆，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？8、一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（）
A. 7x2,2x,0
B. 7x2,－2x，无常数项
C. 7x2,0,2x
D. 7x2,－2x,0
9、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是
A. 2
B. －2
C. 0
D. 不等于2
10、方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常
数项是__________
七、【课后作业】
1、下列方程中，不是整式方程的是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
2、下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3、关于的方程是一元二次方程，求的值．
4、把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项．
（1）（2）
5、设和都是一元二次方程，求的值．[来源:21世纪教育网]
6、把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）（2）
2、用配方法求解一元二次方程（1）
一、【课前导学】
1、用平方根的意义求一元二次方程的准确解
（1）（2）（3）
（4）
（5）
2、填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x 2＋12x ＋_____＝(x ＋6)2 （2）x 2―4x ＋______＝(x ―____)2 （3）x 2＋8x ＋______＝(x ＋_____)2
3、解下列一元二次方程。
(1)x 2＝5； (2)(x+2)2
＝5； （1）(x+6)2
=36
（2）(x －21)2
=4
二、【学习目标】
（1）用开平方法解形如(x+m)2
=n(n ≥0)的方程;
（2）理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
三、【自学指导】
1、用直接开平方法解下列方程：
（1）x 2
＝9 （2）(x ＋2)2
＝16 (3) (x+1)2
－144=0 (4) (2x+1)2
=3
2、填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x 2―2x ＋_____＝(x ―___)2 （2）x 2＋x ＋_____＝(x ＋_____)2
(3) x 2
―
x ＋_______＝(x ―____)2 (4) x 2
―
x ＋_______＝(x ―___)
2、解方程：x +12x-15＝0，
移项，得： 两边都加上 ，得： 配方，得： 开平方，得： 即： 或
∴x 1= x 2=
2、例题：
解方程：x 2+8x ―9=0
解：移项，得：
配方，得： （两边同时加上一次项系数一半的平方）
即：
开平方，得：
即： ，或 所以：x 1= ，x 2=
3、配方法：通过配成 的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 。
四、【检测题】
1、解下列方程：
（1）x 2-10x+25=7 （2）x 2-14x=10 （3）x 2+3x=1 （4）x 2
+2x+2=18x+4
2、解方程（1）x 2+12x+25=0 （2）x 2+4x=10 （3）x 2-6x=11 （4）x 2-9x+19=0
3、如图，在一块长35m 、宽26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂
直的道路，
剩余部分种花草，要使剩余部分面积为850m 2
，道路的宽应为多少？
五、【达标测评】
1、用配方法解下列方程： （1） （2）
（3）
2、一个面积为120m 2矩形苗圃，它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？
3、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程
的一个根，求这个三角形的腰。
4、已知一元二次方程有一个根为零，求的值。
5、如图，矩形ABCD 的长AB=4cm.宽BC=3cm ，P 、Q 以1cm/s 的速度分别从A 、B 出发，沿AB 、BC 方向前进，经多少秒后P 、Q 之间的距离为cm?
六、【课堂作业】
1、解下列一元二次方程。
(1)x 2＝5； (2)(x+2)2＝5； （3）2(x+1)2－14=0
2、用配方法解方程：
（1）x 2+4x+3=0 （2）x 2―4x+2=0 （3）x 2-8x+15=0
3、用配方法解一元二次方程x 2－4x =5时，此方程可变形为（ ）
A.（x +2）2＝1
B.（x -2）2＝1
C.（x +2）2=9
D.（x -2）2＝9
4、用配方法解方程：
（1）0152=+-x x （2）x 2－2x －3＝0
七、课后作业
解下列一元二次方程。
（1）2220x x ++= （2）(8)16x x += （3）x 2
-3x-4=0
2、配方法（2）
一、课前导学 1、解下列方程：
（1）（2-x ）2
=3 （2）（x-2）2
=64 （3）2（x+1）2
=
2
9
2、用配方法解方程：
（1）x 2
-6x-40=0 （2）x 2
+4x+3=0 （3）x 2
-3
7
x=2
3、从一块正方形木块上锯掉2厘米宽的长方形木条，剩余部分的面积是48平方厘米，求这块正方形木板原来的面积。
二、学习目标
1、理解配方法，会用配方法解数字系数不为1的一元二次方程。
2、会用配方法解决一些实际问题。 三、自学指导
1、用配方法解方程：2x 2
-4x-1=0
解：方程两边同除以2，得 移项得
配方得 即：（ ）2
= 开平方得x-1= 所以，x 1= ,x 2= 2、解方程：3x 2+8x ―3=0
解：两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得： （方程两边都加上一次项系数一半的平方）
A D C
B E F
即： 所以x 1= ，x 2=
3、用配方法解一元二次方程，先将一元二次方程化为一般形式为
再配方成x 2
=p 或2
()mx n p +=(p ≥0)的形式，关键在于配方，配方时，方程两边都
。 4、用配方法解下列一元二次方程：02722
=--x x
四、检测题
1、用配方法解下列方程
(1) 01522
=-+x x （2）3x 2
―1＝2x
（3））2x 2
-7x+3=0
2、用配方法解下列方程
(1)2x 2－4x －1=0） （2））6x 2-x-12=0 （3）9x 2
=4(3x-1)
(4) 4
1x 2
－6x +3=0 （5）232122x x +=
3、已知关于x 的一元二次方程03242
2
=-+++k k x x 的一个根为0，求k 的值和方程的另外一个根。
有一面积为150m 2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m ），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆
的长为35 m ，求鸡场的长与宽各为多少
五、达标测评
1、用配方法解下列方程
（1）3x 2-6x=0 （2）2x 2
-3x-2=0
（3）4x 2-7x-2=0 （4）3x 2
-12=x+2
2、一个直角三家形的斜边长7cm ，一条直角边比另一条直角边长1cm.求两条直角边的长度。
3、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把个位数字与十位数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的这个两位数。
六、课堂作业
1、用配方法解下列方程
（1）2x 2-3x-1=0 （2）3x 2
-7x+2=0
2、如图，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB 边落在对角线AC 上，得到折痕AE ，则点E 到点B 的距离为是多少？
3、如图1，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB =16 cm ，AD =6 cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向D
移动.何时，点P 和点Q 的距离是10 cm ？
七、课后作业
1、解下列方程：
（1）3x2-9x+2=0 （2）2x2+6=7x （3）4x2-8x-3=0 （4）6x2-7x+1=0
2、解下列方程：（1）5x2-18=9x （2）4x2-3x=52 （3）5x2=4-2x
3、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系h=15t-5t2,小球何时能达到10m高？
4、印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏.八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮那么猴子总数是多少，两队猴子在一起，你能解决这个问题吗？
2.3 公式法
一、【知识链接】
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：
(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0
二、【自主学习】
1、用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2、总结
（1）、一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝
－b±b2－4ac
2a
（注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根）。
（2）、公式法：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
三、【合作交流】
例：解方程：（1）2x2＋7x＝4 （2）x2-2
2x+2=0 (3) 2x2-5x+4=0
讨论归纳：
用公式法解一元二次方程的步骤：
1）化成；
2）确定的数值；
3）求出b2－4ac的数值，并判别其是否是非负数；
4）若b2－4ac≥0，用求出方程的根，
若b2－4ac<0，直接写出原方程，不要代入求根公式。
四、【当堂检测】
1、不解方程判断下列方程是否有解：
(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0
总结：根的判别式：______________
1）当b2－4ac____0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
2）当b2－4ac_____0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
3）当b2－4ac______0时，一元二次方程无实数根。
2、下列一元二次方程中，有实根的方程是（）
（1）x2-x+1=0 （2）x2-2x+3=0（3）x2+x-1=0 （4）x2+4=0
3、用公式法解方程：8
)1
(5
12
32-
+
=
+x
x
x
五、【拓展延伸】
1、关于x的方程x2-2x+m=0有实数根，则m______
2、已知方程5x2+kx-10=0的一个根是-5，求它的另一个根及k的值。
2.4 分解因式法
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程
【教学过程】
一、知识链接
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为_________________的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为_________________，再用求根公式__________________求解, 根的判别式：______________。
1）当b2－4ac____0时，一元二次方程有两个实数根；
2）当b2－4ac______0时，一元二次方程无实数根。
3、选择合适的方法解下列方程：
①x2-6x=7 ②10(x＋1)2－25(x＋1)＋10＝0
二、自主探究
1、分解因式：
（1）5 x2－4x （2）x－2－x(2－x) (3) (x+1)2－25 (4) 4x2－12xy+9y2
2、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
3、用分解因式法解下列方程：
1）3x(x－1)=0; 2) (2x－1)(x+1)=0
三、合作交流
1、交流总结：
1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
2、因式分解法的理论根据是：如果ab=0,则。
2 例1：解下列方程：
1）5x2＝4x 2）x－2＝x(x－2) 3）(x＋1)2－25＝0。
4）4(2x-1)2＝9(x+4)2； 5）9
)3
(22
2-
=
-x
x
3、总结：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
1）将方程的右边化为_____；
2）将方程左边分解成两个_______的乘积；
3）令每个因式分别为零，得两个__________方程；
4）解这两个____________方程，它们的解就是原方程的解。
四、当堂检测
1、方程t
t=
2
的根为（）
A．0
=
t B．1
2
1
=
=t
t， C．0
2
1
=
=t
t D．1
=
t
2.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）
A.(2x－2)(3x－4)=0
B.(x+3)(x－1)=1
∴2x－2=0或3x－4=0 ∴x+3=0或x－1=1
C.(x－2)(x－3)=2×3
D.x(x+2)=0
∴x－2=2或x－3=3 ∴x+2=0
3、课本P69页想一想
4.解下列方程
（1）4x(2x+1)=3(2x+1) （2）
()0
25
1
22=
-
+
x
（3）
()()0
3
3
42=
-
+
-x
x
x（4）0
)2
(
25
)3
(42
2=
-
-
-x
x
五、拓展与延伸
1、方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是（）
A.x
1=b, x
2
=a B.x
1
=b, x
2
=a
1
C.x
1
=a, x
2
=b
1
D.x
1
=a2, x
2
=b2
2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值
2.6一元二次方程的应用
【目标、重点、难点】
1、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。
2、通过列方程解应用题，进一步提高学生的分析问题、解决问题的意识和能力。
【教学过程】
一、知识链接
1、用适当的方法解下列方程：
（1）x2＋2x＋1＝0 (2)x2＋x－1＝0
（3）（2-3x）+(3x-2)2=0 (4) 4(x-2)2=25
2、填空：
1）一个两位数，十位数字是a，个位数字是b,则这个两位数是______;
2)一个三位数，十位数字是a，个位数字是b,百位数字是c，则这个三位数是_________________________;
3）某工厂2006年总产值是a万元，2007比2006年增长了10%，则2007年的总产值为______________万元，2008比2007年增长了10%，则2008年的总产值为______________万元；若两年的增长率均为x,则2008年的总产值为__________________万元。
二、合作交流
1、例1、【数形结合问题】
P64 如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方
向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。一艘军舰从A
出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一
批物品送达军舰。
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相
遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
2、讨论交流
（1）、列方程解应用题的关键是______________________________：
（2）、列方程解应用题的步骤：例2、【利润问题】
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？
1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
2、某礼品店购进一批足球明星卡，平均每天可售出600张，每张盈利0.5元。为了尽快减少库存，老板决定采取适当的降价措施。调查发现，如果每张明星卡降价0.2元，那么平均每天可多售出300张。老板想平均每天盈利300元，每张明星卡应降价多少元？
3、一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人数是多少？
三、当堂检测
1、有一个两位数，两个数字的和为9，数字的积等于这个两位数的
7
2，求这个两位数。
2、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x ，则列方程为
______________________________ 3、【平均增长（或降低）率问题】：
一商店1月份的利润是2000元，3月份的利润达到2420元，若这两个月的利润的增长率相同，则增长率是多少？
变式训练：制造一种产品，原来每件的成本价是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，求平均每次降低成本的百分率。
小结：平均变化率问题的公式为 A=a （1+x ）n
其中a 为变化前的基数，x 为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n 为变化次数，A 为变化后的量。 四、拓展延伸
1、若设每年平均增长的百分数为x ，分别列出下面几个问题的方程：
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b 倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a 万元增加到b 万元，求每年平均增长的百分数．
2、某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x ，则列方程为_______________________________
5、有一面积为150 m 2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m ），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m ，求鸡场的长与宽各为多少米？
6、苹果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。实验发现，
每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。若要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
7、某商场将进货价为30元的台灯以
40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40-60元范围内，这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？