专题限时集训(二十一) 概率、统计
(建议用时：4 5分钟)
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________抽样．
分层 [由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．]
2．(2012·江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级中抽取________名学生．
15 [设应从高二年级抽取x 名学生，则x ∶50＝3∶10，解得x ＝15.]
3．若将一个质点随机投入如图20－5所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．
图20－5
π4 [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4
.] 4．(2014·江苏高考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．
13
[取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．
乘积为6的情况有：(1,6)，(2,3)，共2种情况．
所求事件的概率为26＝13
.] 5．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲，乙两人中有且只有一个被选取的概率为________．
23
[从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有C 24＝6种基本事件，而甲，乙两人中有且只有一个被选取包含C 12C 12＝4种基本事件，所以所求概率为46＝23
.] 6．若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的方差s 2
＝________.
265 [由2＋3＋7＋8＋a 5
＝5，得a ＝5，所以 s 2＝15[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5－5)2]＝265
.]
7．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．
2063
[因为正整数m ，n 满足m ≤7，n ≤9，所以(m ，n )所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m ，n 都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P ＝2063
.] 8．(2014·江苏高考)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图20－6所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
图20－6
24 [底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.]
9．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图20－7)，则成绩在[300,350)内的学生人数共有________．
图20－7
300 [因为所有小长方形的面积之和为1，所以50(0.001＋0.001＋0.004＋a ＋0.005＋0.003)＝1，即a ＝0.006.因此在[300,350)内的学生人数为0.006×50×1 000＝300.]
10．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频率分别如下：(10,20]，2；(20,30]，
3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.
则样本在(10,50]上的频率是________．
710
[因为样本在(10,50]上的频数共有2＋3＋4＋5＝14，所以样本在(10,50]上的频率是1420＝710
.也可从反面求解，即样本不在(10,50]上的频数共有4＋2＝6，所以样本在(10,50]上的频率是1－620＝710
.] 11．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码是________．
6 [设第一组中抽取的号码是x (1≤x ≤8)．
由题意可得分段间隔是8，
又∵第16组抽出的号码是126，
∴x ＋15×8＝126，∴x ＝6.
∴第一组中用抽签法确定的号码是6.]
12．分别在集合A ＝{1,2,3,4}和集合B ＝{5,6,7,8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为________．
34
[由古典概型的概念可得其基本事件为4×4＝16，其中积为偶数的有1,6；1,8；3,6；3,8；2,5；2,6；2,7；2,8；4,5；4,6；4,7；4,8，共12种，则概率为P ＝1216＝34
.] 13．(2016·盐城三模)甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为________．
【导学号：19592061】
89
[从两盒中随机各取一个球，共有3×3＝9种不同取法，其中均取白球的方式只有一种，故所求事件的概率P ＝1－19＝89.]
图20－8
14．(2016·南通三模)如图20－8是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为________．
2 [x 甲＝88＋89＋90＋91＋925
＝90.
x 乙＝87＋89＋90＋91＋935
＝90. ∴s 2甲＝15
[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2] ＝15
(4＋1＋0＋1＋4)＝2. s 2
乙＝15
[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2] ＝15
(9＋1＋0＋1＋9) ＝4.
∴s 2甲
乙.]
15．(2015·南通二模)从2名男生和2名女生中任意选取两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．
13
[设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，共4
种情况，则发生的概率为P ＝412＝13
.] 16．某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图20－9的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为________．
图20－9
71 [由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1，0.15，0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95.
所以本次考试数学成绩的平均分为x －
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.]
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
巧构几何图形证明代数问题 ——兼谈构造法 习题已知a,b,c,d为正数，a^2+b^2=c^2+d^2，ac=bd，求证a=d，b=c. 分析注意到条件a^2+b^2=c^2+d^2，如果把a，b；c，d分别看成两个直角三角形的直角边，那么a^2+b^2，c^2+d^2分别表示这两个直角三角形的斜边的平方。故可构造如下图形1。 ac=bd，即 BC*AD=AB*CD ∴BC/AB=CD/AD 又∠B=∠D=90 ?? ∴Rt⊿ABC 相似于Rt⊿ADC 但为公共斜边，故 Rt⊿ABC?Rt⊿ADC ∴AB=AD,BC=CD,即b=c,a=d. 评注把正数与线段的长联系起来，给代数等式附以几何意义，从而利用图形的特点巧妙地解决了上述习题。其证法十分简捷，独具风格，耐人寻味！其高明之处就在于选择了恰当的图形！这种思考方法的关键是把数和形结合起来以互相利用！对代数等式可以这样做，对不等式也可以。 应用 【例1】已知a，b是两个不相等的正实数，求证（a+b）/2 >ab
[证明] 以a+b为边长作正方形，然后过a,b的连接点作正方形各边的垂线（如图2），于是大正方形的面积为（a+b)^2,四个矩形的面积都是ab,这样得 （a+b）^2>4ab ab>0 ∴a+b>2ab 即（a+b)/2>ab 【例2】已知0<θ<∏/2，求证1
高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?
初中数学竞赛专题选讲 代数恒等式的证明 一、内容提要 证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。 具体证法一般有如下几种 1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。 2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。 3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。 4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边， 二、例题 例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1） 证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n） ＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2) ＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边 又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1) ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n 右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1 ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n ∴左边＝右边 例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc 证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1) ∵:a+b+c=0 ∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc 又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c） 两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3） 移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc 再证：由己知a=－b－c 代入左边,得 （－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3 ＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
全国一卷真题分析---概率统计 1.（2011年）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 2.（2012年）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，N n ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率． （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 3.（2013年）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下， 这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为1 2， 且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 1
利用复数妙解三角几何等问题 摘要 复数在高中涉及的知识点较少，在高考中占据的分数也不多，但却是很有特色的内容。因为复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式与三角、几何、代数等学科有着密切的联系。本文罗列了复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式，从解三角函数、几何、不等式、方程等几个问题论述复数在解决非复数数学问题的具体应用，充分认识、深刻理解、熟悉掌握和灵活运用复数的几个表示形式去解答，对学生的创新性思维素质和能力的培养具有重要意义。 关键字：复数；形式；解题；妙解 复数是高三最后一章的内容，短短几页，只有三节，但在高考中却占着一定的分值。高考中复数主要是以选择题与填空题的形式出现，只要掌握了复数的概念以及运算规律，就很容易得出答案。因此，教材的编排只简单介绍了复数的概念，复数的运算以及数系的扩充，没有作过多的介绍，其三角形式和指数形式只是在背景材料中提到过，并没有作详细的介绍。但在实际应用中，很多的数学问题，比如：三角问题、几何问题等我们也可以用复数的知识去解答。在高中数学中，复数把三角、平面几何、解析几何、代数在一定的程度上相互链接起来了，那我们应该如何巧妙地利用复数的不同表示形式去解答这类问题呢下面分别对这几方面进行探究。 1复数的不同表示形式简介 复数的代数形式 =+（其中x、y为实数），其中“i”叫做虚数复数的代数形式表示为z x yi
单位，21i =-，x 和y 分别叫做复数的实部和虚部。 复数的几何形式 图 在复平面上，每一个复数z x yi =+都能够由复平面上坐标为（x ，y ）的点 来表示，复数集C 和复平面上的点所称的集合之间建立了一个一一对应的关系：“任何一个复数z x yi =+都可以由复平面的唯一的一个点（x ，y ）来表示，反之，复平面内的任何一个点（x ，y ）都可以表示唯一的复数z x yi =+。” 复数z x yi =+←???→一一对应复平面内的点（x ，y ），这就是复数的几何表示形式。 复数的向量形式 我们知道，任何一个复数都与平面直角坐标系中的点构成一一对应的关系， 即：复数z x yi =+←???→一一对应复平面内的点M （x ，y ），而点M （x ，y ） ←???→一一对应平面向量。所以，复数z x yi =+←???→一一对应平面向量OM ，也就是说复数z x yi =+也可以用起点为原点，点M （x ，y ）为终点的向量OM 表示，OM 这个向量即是复数的向量表示形式。
11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位：它的平方等于,即; .对于复数： 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系：. 一一对应 .复数几何意义： 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知
探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么： 提出问题： ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 （交换律）, （结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：
统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t
3.2复数代数形式的四则运算 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义 整体设计 教材分析 复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一.复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材.对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过|hj量加法、减法法则来进行)，它不仅乂一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合. 课时分配 1课时. 教学目标 1.知识与技能目标 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义. 2.过程与方法目标 培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.情感、态度和价值观 培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 重点难点 重点：发数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点：复数加法、减法的几何意义. 教学过程 引入新课 我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究发数的加减运算. 探究新知 我们规定，复数的加法法则如下： 设Zi=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. 提出问题： 问题1：两个夏数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 问题2：当b=0, d=0时，与实数加法法则一致吗？ M题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？ 活动设计：学生独立思考，口答. 活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加, 虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项.
高考数学概率与统计 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
第16讲概率与统计 概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一“非等可能”与“等可能”混同 例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率． 错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为 P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36 ． 类型二“互斥”与“对立”混同 例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 错解A 剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对 立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．
类型三 “互斥”与“独立”混同 例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的 概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中 两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223 30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰 好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指 两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个 事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关 系是根本不同． 解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独 立， 则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同 例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次， 求第二次才取到黄色球的概率． 错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球” 为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293 =. 剖析 本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）= 46410915 ?=. 备用
三角形内有关角的三角函数恒等式的证明 张思明 课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式 教学目的： （1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。 （2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。 （3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。 教学对象：高一（5）班 教学设计： 一．引题：（A，B环节） 1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？ 拟答： ， …… ， ，
…… 这些结果是诱导公式，的特殊情况。 1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。 1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有： （1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2 (2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2. (3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2. (4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. (5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. (6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC. (7) 也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。 1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明： 提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。 二．第一层次的问题解决（C，D环节） 2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。 证法备考：（1）左到右：化积---->提取----->化积。 （2）左到右：化积---->提取----->化积sin(A+B)/2=cosC/2
毕业论文题目：用复数证明代数问题学号：24111101025 姓名： 教学院： 专业班级： 指导教师： 完成时间：2015年5月1日 教务处制
贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）任务书 注：本表一式一份，用于装订完整文本。
贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）学生诚信声明书本人郑重声明：本人所提交的毕业论文(设计)《》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果，论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果，均在论文中加以说明；对本文研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况，本人愿承担全部责任。 论文(设计)作者：（签字）时间：年月日 指导教师：（签字）时间：年月日 贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文(设计)《》是本人在校期间所完成学业的组成部分，是在指导教师的指导下完成的，论文（设计）工作的知识产权属于贵州工程应用技术学院。本人同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅；本人授权贵州工程应用技术学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、网页制作或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。毕业论文（设计）无论做何种处理，必须尊重本人的著作权，署明本人姓名。 未经指导教师和贵州工程应用技术学院同意，本人不擅自发表毕业论文(设计)相关研究内容或利用毕业论文(设计)从事开发和盈利性活动。毕业后若发表毕业论文(设计)中的研究成果，需征得指导教师同意，作者第一单位署名应为“贵州工程应用技术学院”，成果发表时本人工作（学习）单位可以在备注中注明。 论文(设计)作者：（签字）时间：年月日 指导教师：（签字）时间：年月日
18题-高考数学概率与统计知识点
高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ k n k k n p p C --)1(. 其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结
的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++2 1 P P (1) ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个 随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的 分布列如下： 称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ ，其中n 、p 为参数，并记：) ,;(p n k b q p C k n k k n =- . （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机
1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab ②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1) 2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b 3.己知：a+b+c=0 求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2 4.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+3 5.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz 6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c 7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c) 8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证： c b b a 1111-=- 9．己知：a c z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式 11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc
练习20 1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-1 2.左边－右边＝（a-b）2 3.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=…… 4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入 5.用z=x+2y代入右边 6.用已知的（左－右）×2 7.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式 8.在已知的等式两边都除以abc 9.设三个比的比值为k, 10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法
【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
证明题 1、设G 是群，a ∈G ，令C G （a ）= {x |x ∈G ，xa = ax }，证明：C G （a ）≤G 2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f （x ）∈ H }。证明：H /Kerf ≌H . 3、证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。 4、设R = ???? ??c o b a ，a ，b ，c ∈Z ，I = ???? ??o o x o x ∈Z 。 （1）验证R 是矩阵环Z 2×2的一个子环。 （2）证明I 是R 的一个理想。 5、设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2 b （a ，b ∈G ），证明 （G ， o ）构成一个群. 6、设R 为主理想整环，I 是R 的一个理想，证明R /I 是域?I 是由R 的一个素元生成 的主理想. 7、证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想. 8、设G 是群，H ≤G 。令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，?h ∈ H ，hx = xh }.证明： （1）N G （H ）≤G （2）C G （H ）△N G （H ） 9、证明数域F = {a ＋b 7|a ，b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群. 10、设R 是主理想环，I = （a ）是R 的极大理想，ε是R 的单位，证明：εa 是R 的 一个素元. 11、设G 与G 是两个群，G ~ G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f (x ) ∈ H }，证明：H ≤G 且H /K ≌H . 12、在多项式环Z [x ]中，证明： （1）（3，x ）= {3a 0＋a 1x ＋…＋a n x n |a i ∈Z }. （2）Z [x ]/(3，x )含3个元素. 13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |x G , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群． 14、在整数环Z 中, a, b Z,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a , b 的最大公 因数是一个素数。 f f
辅导讲义：概率与统计 一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量： 总体：在统计中，所有考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n (3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点： 它的总体个数有限的； 它是逐个地进行抽取； 它是一种不放回抽样； 它是一种等概率抽样． 10、系统抽样： 将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。 注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤： （1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。 （2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容 量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整 除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ； （4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，， 的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？ 简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。 系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法 有限性 第五讲恒等式的证明 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等． 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 1．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz． 分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边． 证因为x+y+z=xyz，所以 左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx) =xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz恒等式的证明
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