图1
图
2
二次函数压轴题解题技巧
引言:解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法，并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。
一、动态:动点、动线
１.如图,抛物线与x 轴交于A (x １，０)、B (ｘ2,0）两点,且x 1>x 2，与y 轴交于点C (0,4),
其中x 1、x 2是方程x ２
-2x －8=0的两个根.
（１）求这条抛物线的解析式; （2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作ＰE ∥AC ,交BC 于点Ｅ,连接ＣP ，当△CPE 的面积最大时，求点Ｐ的坐标;
(3)探究:若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ,使△QB Ｃ成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Ｑ
二、圆
2．如图1,在平面直角坐标系x Ｏｙ，二次函数ｙ=a ｘ2
+bx +c (a >０)的图象顶点为D ，与ｙ轴交于点C ，与x 轴交于点Ａ、Ｂ,点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3,0),OB ＝OC ， tan ∠ＡCO =错误!．
（1)求这个二次函数的解析式；
(2）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、Ｎ，且以ＭN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度;
（3)如图2,若点Ｇ(2，y ）是该抛物线上一点,点P 是直线A Ｇ下方的抛物线上的一动点,当点Ｐ运动到什么位置时，△ＡG Ｐ的面积最大?求此时点P 的坐标和△A ＧＰ的最大面积.
三、比例比值取值范围
3．如图是二次函数k m x y ++=2
)(的图象,其顶点坐标为M(1,-4). (１）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标; (2）在二次函数的图象上是否存在点Ｐ,使MAB PAB S S ??=
4
5
,若存在,求出Ｐ点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.
四、探究型
4. 如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、Ｂ两点的抛物线交x 轴于另一点C(3,０).⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△A ＢQ 是等腰三角形？ 若存在,求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
y
x
O C
B
A
五、最值类
5．如图,在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴交于A 、Ｂ两点, Ａ点在原点的左侧，B 点的坐标为(3，0),与y 轴交于Ｃ（0,-3）点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式．
（２）连结PO 、P Ｃ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形ＰOP /
Ｃ, 那么是否存在点P ,使四边形PO Ｐ/
Ｃ为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标;若不存在请说明理由. (3)当点Ｐ运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形AB ＰＣ的最大面积．
课后作业
1．在平面直角坐标系中，已知Ａ(－4，0),B (１，0),且以AB 为直径的圆交ｙ轴的正半轴于点C ,过点Ｃ作圆的切线交x 轴于点D ．
(1)求点C 的坐标和过A ,Ｂ,Ｃ三点的抛物线的解析式； (２)求点Ｄ的坐标； （3)设平行于x 轴的直线交抛物线于E ,F 两点，问:是否存在以线段EF 为直径的圆,恰好与x 轴相切？若存在,求出该圆的半径,若不存在,
请说明理由.
y
x O
C D B A 1 －4
2．已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OA ＢC 的边O Ａ在y 轴的正半轴上，ＯＣ在x 轴的正半轴上，OA =2,OC ＝3．过原点Ｏ作∠AO Ｃ的平分线交AB 于点D ,连接DC ，过点D 作D Ｅ⊥DC ,交ＯA 于点E ．
(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式; （2)将∠E ＤC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线
段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为5
6
，那么ＥF =２Ｇ
O 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)对于（２）中的点Ｇ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线ＧＱ与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由．
3.如图，抛物线y =ax 2
+ｂx +c (ａ≠0）与x 轴交于A (-3，０)、Ｂ两点,与y 轴相交于点C （0，3)．当x ＝－4和ｘ=2时，二次函数y =a ｘ 2
+ｂｘ＋c (ａ≠0)的函数值ｙ相等,连结AC 、ＢＣ. (1)求实数a ，b ，c 的值;
（2)若点Ｍ、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动,其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△ＢＭN 沿ＭＮ翻折，B 点恰好落在A Ｃ边上的P 处,求t 的值及点Ｐ的坐标;
4. 如图,抛物线y =
2
1x 2
+ｂx －2与x 轴交于A 、Ｂ两点,与y 轴交于C 点，且A (一1,0)． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论;
⑶点M （m ,0)是ｘ轴上的一个动点,当ＣM +DM 的值最小时，求m 的值．
面积最大
5、如图,在平面直角坐标系中,点A 、C 的坐标分别为(-1，０)、(０，
3－),点B 在ｘ轴上.已知某二次函数的图象经过A 、Ｂ、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1,点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合）,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Ｆ． (1）求该二次函数的解析式；
（2)若设点Ｐ的横坐标为m ，试用含ｍ的代数式表示线段PF 的长; (3）求△PBC 面积的最大值,并求此时点Ｐ的坐标.
y
x
B A F
P
x ＝1
C
O
6、在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (-４,0）,B (０，－4),C (2，0)三点． (1）求抛物线的解析式；
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ，△ＡM Ｂ的面积为S .求Ｓ关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值. (3）若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线ｙ=－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
讨论等腰
7、如图,已知抛物线y =
2
1x
2
+b ｘ＋c 与y 轴相交于Ｃ,与x 轴相交于A 、B ,点Ａ的坐标为（2，0),点C 的坐标为（0,－1）． (１)求抛物线的解析式；
（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作D Ｅ⊥ｘ轴于点D ，连结DC ,当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标； （3）在直线BC 上是否存在一点P ,使△ＡCP 为等腰三角形,若存在，求点P 的坐标,若不存
备用图
8、(武汉市中考)如图,已知抛物线y ＝x
2＋bx ＋3与ｘ轴交于点B （3，0)，与y 轴交于点A ，Ｐ是抛物线上的一个动点，点Ｐ的横坐标为m (ｍ＞3),过点Ｐ作y 轴的平行线PM ，交直线ＡB 于点Ｍ． （1）求抛物线的解析式;
(2)若以AB 为直径的⊙Ｎ与直线PM 相切,求此时点M 的坐标;
（３)在点P 的运动过程中，△AP Ｍ能否为等腰三角形？若能,求出点M 的坐标;若不能，请说明理由．
论直角三角形
９、如已知：如图一次函数ｙ＝2
1
x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y =
21x
２＋bx ＋ｃ的图象与一次函数ｙ＝2
1
x +1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，０） （1）求二次函数的解析式;(2）求四边形ＢＤEC 的面积S ； （3)在ｘ轴上是否存在点P ,使得△PB Ｃ是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在,求出所有的点P ，若不存在，请说明理由.
10、(九市联考)如图,抛物线与x 轴交于A (－1，0）、B （3,０)两点，与y 轴交于点C (0,-3），
设抛物线的顶点为Ｄ． (1)求该抛物线的解析式与顶点Ｄ的坐标; (2)以B 、Ｃ、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
(3)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以P 、Ａ、Ｃ为顶点的三角形与△BCD 相似?若存
在,请指出符合条件的点P 的位置,并直接写出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
讨论四边形
11、二次函数y =x
2+px ＋q （ｐ＜0）图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (０，－1),
△ABC 的面积为
4
5
．(1）求该二次函数的关系式;(2）过ｙ轴上的一点M (0,m )作y 轴的垂线,若该垂线与△ＡＢＣ的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
(３）在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形AC ＢD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
20１7中考二次函数压轴题专题分类训练
题型一:面积问题
【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (１,4),交x 轴于点A (3，0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线ＡB 的解析式； (2）求△CAB 的铅垂高ＣD 及S △CAB ;
（3）设点Ｐ是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点Ｐ,使Ｓ△PA Ｂ＝
8
9
S △CAB ,若存在,求出Ｐ点的坐标;若不存在,请说明理由．
【变式练习】
1.如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为（-２，0）,连结OA ，将线段ＯA 绕原点O 顺时针旋转1２0°,得到线段OB .
（1)求点B 的坐标; (2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;
（3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△B ＯC 的周长最小？若存在，求出点Ｃ的坐标;若不存在,请说明理由．
(４)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由.
2.如图，抛物线ｙ ＝ ax 2
＋ bx + ４与x 轴的两个交点分别为A (-４，0）、Ｂ（2，0),
图2
与ｙ轴交于点C ,顶点为Ｄ．Ｅ（1,２）为线段ＢC 的中点，BC 的垂直平分线与ｘ轴、y 轴分别交于Ｆ、Ｇ． （1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点Ｄ的坐标； (2）在直线EF 上求一点Ｈ,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长; （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △E ＦK 的面积最大？并求出最大面积．
3.如图,已知：直线3+-=x y 交x 轴于点Ａ，交y 轴于点Ｂ，抛物线y ＝ax 2
+ｂx ＋c 经过A 、Ｂ、C （1，0)三点． （１)求抛物线的解析式; (2)若点D 的坐标为(-１，0）,在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABＯ与ΔAＤＰ相似，求出点P 的坐标；
(３）在(2)的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔAＤE 的面积等于四边形APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标；如果不存在,请说明理由.
?题型二：构造直角三角形
【例2】如图，已知抛物线y =a ｘ２
+b ｘ+c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过Ａ(－1,0)、C （0，-3)两点，与x 轴交于另一点Ｂ． (1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（２）在抛物线的对称轴x =１上求一点M ,使点Ｍ到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；
（3）设点Ｐ为抛物线的对称轴x =1上的一动点,求使∠ＰCB ＝9０o的点P 的坐标.
E
【变式练习】
1．如图，抛物线y=与x轴交于Ａ、Ｂ两点(点A在点B的左侧)，与y轴
交于点Ｃ.（1)求点Ａ、B的坐标；（2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ＡCＤ的面积等于△ＡCB的面积时,求点D的坐标;
（３）若直线l过点E（４,０），M为直线l上的动点，当以Ａ、B、M为顶点所作的直角三
.
角形有且只有三个时,求直线l的解析式
3.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数ｙ=k(x2+x﹣１)的图象交于点Ａ(1，k)和点B（﹣1，﹣k)．（1)当k＝﹣2时，求反比例函数的解析式;（2)要使反比例函数和二次函数都是y随着ｘ的增大而增大,求k应满足的条件以及ｘ的取值范围;
（３)设二次函数的图象的顶点为Q，当△AＢQ是以ＡB为斜边的直角三角形时,求k的值
4.如图（１)，抛物线42
y x x =+-与ｙ轴交于点A ，E (0，b )为ｙ轴上一动点,过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点Ｂ、C .(1）求点A 的坐标；
（２)当b ＝０时（如图(2））,ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么?
(3）是否存在这样的ｂ,使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形,若存在,求出b ；若不存在，说明理由．
?题型三:构造等腰三角形
【例3】如图,已知抛物线32++=bx ax y （a ≠０）与x 轴交于点A (1，0)和点B （－3,0)，与y 轴交于点Ｃ. （1)求抛物线的解析式；
（２)在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由；
(３)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点Ｐ,使△CM Ｐ为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由.
y
x
C
B
A
O
E y
x
C
B
A
O
E 第26题
图（1）
图（2）
2.如图，抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴,点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC ＝BC.
（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（2)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在,求出所有符合条件的点P 坐标；不存在,请说明理由．
题型四：构造相似三角形
【例４】如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3)及原点O,顶点为Ｃ.
(1)求抛物线的解析式; (2)若点Ｄ在抛物线上,点Ｅ在抛物线的对称轴上,且Ａ、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标;
(3）P 是抛物线上的第一象限内的动点,过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点Ｐ，使得以P 、Ｍ、Ａ为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由．
【变式练习】
1.如图,已知抛物线经过Ａ(4,0），B(1,0)，Ｃ（0，-2）三点.?(1)求该抛物线的解析式；?（２）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?若存在,求出点Ｄ的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由．
(3）P是直线x=１右侧的该抛物线上一动点，过Ｐ作PM⊥ｘ轴,垂足为M，是否存在Ｐ点,使得以Ａ、Ｐ、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上2．如图，二次函数的图象经过点Ｄ(0,3
9
截得的线段AＢ的长为6．（1)求二次函数的解析式;
（2)在该抛物线的对称轴上找一点Ｐ，使PＡ＋PＤ最小，求出点P的坐标;
(3）在抛物线上是否存在点Q,使△ＱＡB与△ABC相似?如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由．
３．如图，二次函数ｙ=aｘ２＋bx+c的图象交x轴于Ａ（﹣１，0),B(2,0),交y轴于C（0,﹣2）,过A，C画直线．
(1)求二次函数的解析式；（2)点P在ｘ轴正半轴上,且P A=PC，求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线ＡＣ相切,切点为Ｈ.
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOＣ(点C与点A对应)，求点M的坐标;
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
?题型六：构造平行四边形
【例7】如图，在平面直角坐标系中,抛物线经过A(—１，0)，B（3,0）,Ｃ(0,—1）三点。（1)求该抛物线的表达式； (2)点Ｑ在y轴上,点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、Ｂ为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。?
【变式练习】
2.如图1，在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(－4，0)、Ｂ（0,-4)、Ｃ(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
（2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,△MＡB的面积为Ｓ,求S关于ｍ的函数关系式，并求出S的最大值;
（3）若点Ｐ是抛物线上的动点，点Ｑ是直线y=－ｘ上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、Ｂ、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
3.如图,抛物线y=ax2+bｘ+c交x轴于点A（﹣３,0）,点B(1，0),交y轴于点E（0,﹣3）．点C是点Ａ关于点B的对称点，点F是线段BC的中点,直线l过点Ｆ且与y轴平行.直线y=﹣x+m过点C,交y轴于D点. （1）求抛物线的函数表达式；
（２）点K为线段ＡB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CＤ交于点Ｈ，与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3）在直线ｌ上取点Ｍ，在抛物线上取点Ｎ，使以点Ａ，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.
【变式练习】
1．将抛物线c1：2
=-+沿x轴翻折，得到抛物线c２,如图１所示.
33
y x
（1)请直接写出抛物线ｃ２的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移ｍ个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段ＡE的三等分点时，求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、Ｎ、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值;若不存在，请说明理由.
?题型七:线段最值问题
【例9】如图,抛物线y=x2＋bｘ﹣2与x轴交于A,Ｂ两点，与y轴交于C点，A(﹣1,0）. （1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)判断△AＢＣ的形状，证明你的结论;
（3）点M（m,０)是x轴上的一个动点,当ＭC+ＭＤ的值最小时，求m的值.
【变式练习】
1． 如图,已知抛物线y =ax 2
＋ｂx +ｃ与y 轴交于点A (0,3),与x 轴分别交于B (１,0)、C (5，0)两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若一个动点P 自O Ａ的中点Ｍ出发,先到达ｘ轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F ),最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
2． （2011广东深圳)如图13，抛物线y=ａｘ2
＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1，4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（３,０) （１）求抛物线的解析式
（２)如图14，过点Ａ的直线与抛物线交于点E,交y 轴于点F,其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴,点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H,使Ｄ、Ｇ、F 、H
O y
x
A
B C
四点围成的四边形周长最小．若存在,求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
(3）如图１５,抛物线上是否存在一点Ｔ，过点T作x的垂线，垂足为M,过点Ｍ作直线MN ∥BＤ,交线段ＡD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在，求出点T的坐标；若不存在,说明理由．
【能力提升】 1． 已知,如图1１,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 点右侧),点H 、B 关于直线l :33y 对称.
(1）求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上; （２)求二次函数解析式；
（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ,求HN NM MK ++和的最小值.
【例1０】如图,已知直线1
12
y x =
+与y 轴交于点Ａ,与x 轴交于点D ，抛物线2
12
y x bx c =
++与直线交于Ａ、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 （1,0)。（1)求该抛物线的解析式;
（2）动点P 在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。 (3)在抛物线的对称轴上找一点M,使||AM MC -的值最大,求出点Ｍ的坐标。
A
B
K
H
x y O
l
图11
A B
K
H
x
y O l