畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门
第24章达标检测卷(120分，90分钟)
一、选择题(每题3分，共30分)
1．(2014·天津)cos60°的值等于( )
A.1
2
B.
2
2
C.
3
2
D.
3
3
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cos A的值是( )
A.4
5
B.
3
5
C.
3
4
D.
1
3
3．如图，要测量河两岸A，C两点间的距离，已知AC⊥AB，测得AB＝a，∠ABC＝α，那么AC等于( )
A．a·sinαB．a·cosα
C．a·tanαD.a
sinα
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是( )
A．a＝c·sin B B．a＝c·cos B
C．b＝c·sin A D．b＝
a
tan B
(第3题)
(第5题)
(第6题)
(第7题)
5．如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是4
3
，则sin α的值是( )
A .4
5 B .54 C .35 D .53
6．如图所示，在△ABC 中， cos B ＝
22，sin C ＝3
5
，BC ＝7，则△ABC 的面积是( ) A .212
B ．12
C ．14
D ．21
7．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( )
A .12
B .
55 C .255 D .1010
8．(2015·苏州)如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( )
A ．4 km
B ．(2＋2) km
C ．2 2 km
D ．(4－2) km
(第8题)
(第10题)
9．阅读材料：因为cos 0°＝1，cos 30°＝
32，cos 45°＝22，cos 60°＝1
2
，cos 90°＝0，所以，当0°＜α＜90°时，cos α随α的增大而减小．解决问题：已知∠A 为锐角，且cos A ＜1
2
，那么∠A 的取值范围是( )
A ．0°＜∠A＜30°
B ．30°＜∠A＜60°
C ．60°＜∠A＜90°
D ．30°＜∠A＜90°
10．(2015·泸州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tan C ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为( )
A ．13
B .15
2 C .272
D ．12
二、填空题(每题3分，共30分)
11．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________． 12．若∠A 是锐角，且sin A 是方程2x 2
－x ＝0的一个根，则sin A ＝________．
13．计算：3cos45°＋2tan60°＝________．
14．如图所示，在等腰三角形ABC中，tan A＝
3
3
，AB＝BC＝8，则AB边上的高CD的
长是________．
(第14题)
(第15题)
(第16题)
(第17题)
(第18题)
15．如图是一款可折叠的木制宝宝画板．已知AB＝AC＝67 cm，BC＝30 cm，则∠ABC 的大小约为________．(用科学计算器求值，结果精确到1°)
16．如图所示，已知A点的坐标为(5，0)，直线y＝x＋b(b＞0)与y轴交于点B，与x 轴交于点C，连接AB，∠α＝75°，则b的值为________．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于直线AC对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________．
18．(2015·重庆)如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB＝2，BC＝23，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE＝∠ACF，且CE＝CF时，AE＋AF＝________．
(第19题)
19．(2014·扬州改编)如图，已知∠AOB＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM 的长为________．
20．(2014·宜宾)规定：sin (－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x·cos y ＋cos x·sin y ，据此判断下列等式成立的是________(写出所有正确的序号)．
①cos (－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x·cos x ；④sin (x －
y)＝sin x·cos y －cos x·sin y.
三、解答题(26、27题每题10分，其余每题8分，共60分) 21．计算：
(1)2sin 30°＋2cos 45°－3tan 60°； (2)tan 2
30°＋cos 2
30°－
sin 245°tan 45°.
22．如图所示，在△ABC 中，CD⊥AB，sin A ＝4
5，AB ＝13，CD ＝12，求AD 的长和tan B
的值．
(第22题)
23．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B ＝cos ∠DAC. (1)求证：AC ＝BD ；
(1)若sin C ＝12
13
，BC ＝12，求△ABC 的面积．
(第23题)
24．如图，在四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB ＝BC ，AD ＝7，tan A ＝2.求CD 的长．
(第24题)
25．(2015·娄底)如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E 的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)
(第25题)
26．(2014·临夏)为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(参考数据：sin 75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)
(1)求车架档AD的长；
(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．
(第26题)
27．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8米，一楼到地平线的距离BC＝1米．
(1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？(结果精确到0.1米)
(2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．
(参考数据：sin18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan18°≈0.32)
(第27题)
答案
一、1.A
2．B 点拨：由余弦定义可得cos A ＝AC AB ，因为AB ＝10，AC ＝6，所以cos A ＝610＝3
5，
故选B .
3．C 点拨：因为tan α＝AC
AB
，所以AC ＝AB·tan α＝a·tan α.
4．B 点拨：在Rt △ABC 中，∠C＝90°，根据余弦的定义可得，cos B ＝a
c ，即a ＝c·cos
B.
5．A 点拨：由题意可知m ＝4.根据勾股定理可得OP ＝5，所以sin α＝4
5.
6．A 点拨：过点A 作AD⊥BC 于点D ，设AD ＝3x ，∵cos B ＝
2
2
，∴∠B＝45°，则BD ＝AD ＝3x.又sin C ＝AD AC ＝3
5，∴AC＝5x ，则CD ＝4x.∵BC＝BD ＋CD ＝3x ＋4x ＝7，∴x＝1，
∴AD＝3，故S △ABC ＝12AD·BC＝21
2
.
(第7题)
7．B 点拨：连接CD(如图所示)，可证得CD⊥AB.设小正方形的边长为1，在Rt △ABC 中，AC ＝10，CD ＝2，则sin A ＝CD AC ＝210＝5
5
.
8．B
9．C 点拨：由0＜cos A ＜1
2，得cos 90°＜cos A ＜cos 60°，故60°＜∠A＜90°.
10．A 点拨：如图，过点A 作AG⊥BC 于点G ， ∵AB＝AC ，BC ＝24，tan C ＝2， ∴AG
GC
＝2，GC ＝BG ＝12，∴AG＝24，
(第10题)
∵将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，过E 点作EF⊥BC 于点F ，
∴EF＝12AG ＝12，∴EF
FC ＝2，
∴FC＝6，
设BD ＝x ，则DE ＝x ， ∴DF＝24－x －6＝18－x ， ∴x 2
＝(18－x)2
＋122
， 解得：x ＝13，则BD ＝13. 二、11.
132 点拨：根据勾股定理，可求得斜边长为13，所以斜边上的中线长为132
. 12.12 点拨：解方程2x 2
－x ＝0，得x ＝0或x ＝12.因为∠A 是锐角，所以0＜sin A ＜1，所以sin A ＝1
2
.
13.36
2
14．4 3 点拨：∵tan A ＝
33
，∴∠A＝30°.又AB ＝BC ，∴∠ACB＝∠A＝30°，∴∠DBC ＝60°，∴CD＝BC·sin ∠DBC＝8×
3
2
＝4 3.
(第15题)
15．77° 点拨：根据题意，作平面示意图如图所示，过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝12BC ＝15 cm ，在Rt △ABD 中，cos ∠ABC＝BD AB ＝15
67
，故∠ABC≈77°. 16.
53
3
点拨：把x ＝0，y ＝0分别代入y ＝x ＋b 中，得B(0，b)，C(－b ，0)，所以OB ＝b ，OC ＝b ，所以OB ＝OC ，所以∠OCB＝45°.因为∠OCB＋∠OAB＝∠α＝75°，所以∠OAB ＝30°.因为
OB OA ＝OB 5＝tan 30°，所以OB ＝5tan 30°＝533，所以b ＝53
3
. 17.4
3 点拨：如图，过N 作NG⊥AD 于点G.∵正方形ABCD 的边长为4，M ，N 关于直线AC 对称，DM ＝1，∴MC＝NC ＝3，∴GD＝3.而GN ＝AB ＝4，∴tan ∠ADN＝GN GD ＝4
3
.
(第17题)
(第18题)
18.
43
3
点拨：如图，作FG⊥AC，易证△BCE≌△GCF(A .A .S .)， ∴BE＝GF ，BC ＝CG.∵在Rt △ABC 中，tan ∠ACB＝AB BC ＝223＝3
3，∴∠ACB＝30°，∴AC
＝2AB ＝4，∠DAC＝∠ACB＝30°，∵FG⊥AC，∴AF＝2GF ，∴AE＋AF ＝AE ＋2BE ＝AB ＋BE.
设BE ＝x ，在Rt △AFG 中，AG ＝3GF ＝3x ，∴AC＝AG ＋CG ＝3x ＋23＝4，解得x ＝4
3
3－2. ∴AE＋AF ＝AE ＋2BE ＝AB ＋BE ＝2＋433－2＝4
3 3.
(第19题)
19．5 点拨：如图，过点P 作PC⊥OB 于点C ，则MC ＝1，OC ＝12 cos 60°＝12×1
2＝6，
所以OM ＝OC －MC ＝6－1＝5.
20．②③④ 点拨：cos (－60°)＝cos 60°＝1
2，①错误；sin 75°＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝12×22＋32×22＝24＋64＝6＋2
4，②
正确；sin 2x ＝sin x·cos x ＋cos x·sin x ＝2sin x· cos x ，③正确；sin (x －y)＝sin x·cos (－y)＋cos x·sin (－y)＝sin x·cos y －cos x·sin y ，④正确．
三、21.解：(1)原式＝2×12＋2×2
2－3× 3
＝ 1＋1－3 ＝ －1.
(2)原式＝? ????332＋? ????322－? ??
??222
×1
＝ 13＋34－12
＝ 7
12
.
22．解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°.在Rt △ACD 中，∵sin A ＝CD AC ＝4
5，CD ＝12，
∴AC＝15，∴由勾股定理可求得AD ＝9，∴BD＝AB －AD ＝13－9＝4.在Rt △BCD 中，tan B ＝CD BD ＝12
4
＝3. 23．(1)证明：∵AD⊥BC，∴tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC＝AD AC .又tan B ＝cos ∠DAC，∴AD BD ＝AD
AC ，
∴AC＝BD.
(2)解：由sin C ＝AD AC ＝12
13，可设AD ＝12x ，则AC ＝13x ，由勾股定理得CD ＝5x.由(1)
知AC ＝BD ，∴BD＝13x ，∴BC＝5x ＋13x ＝12，解得x ＝23，∴AD＝8，∴△ABC 的面积为1
2×12×8
＝48.
(第24题)
24．解：如图所示，延长AB 、DC 交于点E ，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECB，∴tan A ＝tan ∠ECB＝2.∵AD＝7，∴DE＝14，设BC ＝AB ＝x ，则BE ＝2x ，∴AE ＝3x ，CE ＝5x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：(3x)2＝72＋142
，解得x ＝735，∴CE＝5
×735＝353，则CD ＝14－353＝73
. 25．解：在Rt △ADB 中，tan 60°＝123DB ，
∴DB＝123
3＝413.∴CF＝DB －FB ＋CD ＝413＋30.
∵α＝45°，
∴EF ＝CF ＝413＋30≈100.
答：点E 离地面的高度EF 约为100米．
26．分析：(1)在Rt △ACD 中利用勾股定理求AD 的长即可．
(2)过点E 作EF⊥AB 于F ，构造直角三角形求解，在Rt △EFA 中，利用锐角三角函数得EF ＝AE sin 75°.
解：(1)在Rt △ACD 中，AC ＝45 cm ，DC ＝60 cm ， ∴AD＝452
＋602
＝75(cm )， ∴车架档AD 的长是75 cm .
(2)过点E 作EF⊥AB，垂足为F ， ∵AE＝AC ＋CE ＝45＋20＝65(cm )，
∴EF＝AE sin 75°＝65 sin 75°≈62.79≈63(cm )， ∴车座点E 到车架档AB 的距离约为63 cm .
点拨：解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，通过构造直角三角形计算． 27．解：(1)由题意可得∠BAD＝18°.在Rt △ABD 中，AB ＝
BD tan 18°≈2.8－1
0.32
≈5.6(米)．
答：应在地面上距B 点5.6米远的A 处开始斜坡的施工． (2)能.
理由：如图，过点C 作CE⊥AD 于点E ，则∠ECD＝∠BAD＝18°.在Rt △CED 中，CE ＝CD·cos 18°≈2.8×0.95＝2.66(米).
∵2.66＞2.5，∴能保证货车顺利进入地下停车场．
(第27题)