陕西省长安一中高2011级高三第五次质量检测数 学 试 题（理）
第Ⅰ卷选择题 （共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．集合A={－1，0，1}，B={y|y=cosx ，x ∈A}，则A B= （ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1} 2．设x 是实数，则“x>0”是“|x|>0”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．已知,,a b c 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的
平面，
下
列
命
题
中
正
确
的
是
（ ） A ．a c b c a ?⊥⊥,//b
B ．a //α,b //αa ?//b
C ．α?γ⊥βγ⊥α,//β
D ．α//γ,β//α?γ//β
4．设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --??
+???
≥≤≥，则目标函数
z
＝
2
x
+4y 的最大值为
（ ） A ．10 B ．12
C ．13
D ．14
5．执行如图的程序框图，如果输入5p =，则输出的=S （ ）
A ．
1516
B ．
3116
C ．
3132
D ．
6332
6．设向量a , b 满足:1||=a , 2||=b , 0(=+?b)a a , 则a 与b 的夹角是 （ ）
A ．
30 B ．
60 C ．
90
D ．
120
7．一个多面体的三视图分别是正方形．等腰三角形和矩形，
其尺寸如图，则该多面体的体积为9
（ ）
（第5题）
A ．348cm
B ．324cm
C ．332cm
D ．328cm
8．已知)2
cos()(),2
sin()(π
π
-
=+=x x g x x f ，则下列结论中正确的是
（ ）
A ．函数)()(x g x f y ?=的周期为2；
B ．函数)()(x g x f y ?=的最大值为1；
C ．将)(x f 的图象向左平移
2π
个单位后得到)(x g 的图象；
D ．将)(x f 的图象向右平移2
π
个单位后得到)(x g 的图象；
9．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与
另一条渐近线交于点B ，若2=，则此双曲线的离心率为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
10．2()2,()2(0)f x x x g x ax a =-=+>，对10[1,2],[1,2],x x ?∈-?∈-使10()()g x f x =，
则ɑ的取值范围是
（ ）
A ．1(0,]2
B ．1[,3]2
C ．[3,)+∞
D ．(0,3]
试卷Ⅱ（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）．
11．若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a ．
12．从5名男医生．4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，
则不同的组队方案共有 种 （数字回答）． 13．在平面几何里，有：“若ABC ?的三边长分别为,,,c b a 内切圆半径为r ，则三角形面积为
r c b a S ABC )(2
1++=
?”
，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体BCD A -的四个面的面积分别为,,,,4321S S S S 内切球的半径为r ，则四面体的体积为 ”
14．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+且)(x f 在[—1，0]上是增函数，给出下
列四个命题：①)(x f 是周期函数；②)(x f 的图像关于1=x 对称；③)(x f 在[1，2]上是减函数；④)0()2(f f =，其中正确命题的序号是 。（请把正确命题的序号全部
写出来） 15．（考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做．则按所做的第一题评阅计分） A ．（选修4—4坐标系与参数方程） 已知圆C 的圆心为（6，2
π），半径为5，直线2(,R)πθαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=
B ．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a ---<的解集不是空集，则
实数a 的取值范围是 ； C ．（选修4—1 几何证明选讲），AB 为圆O 的直径，弦AC ．BD 交于点P ，若AB=3，CD=1，
则sin APD ∠= ；
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）已知函数2
12cos 2cos
2
sin )(2-+=x x x
x f ． （1）若()的值求απαα,,0,4
2)(∈=f ；（2）求函数)(x f 在??
?
??
?-ππ,4上最大值和最小值．
17．（本小题满分12分）甲．乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比
赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。设甲在每局中获胜的概率为p （p>12
）,且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5
9．（1）求p 的值；（2）
设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ 18．（本小题满分12分）
如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中， PA ABCD ⊥底面，E ．F 分别是PC ．PD 的中点，1PA AB ==，2=BC ． （I ）求证：EF ∥平面PAB ；
（II ）求证：平面⊥PAD 平面PDC ； （III ）求二面角B PD A --的余弦值．
19．（本题满分12分）已知数列}{n a 是首项为1公差为正的等差数列，数列}{n b 是首项为1
的等比数列，设n n n c a b =*()n ∈N ，且数列}{n c 的前三项依次为1，4，12， （1）求数列}{n a ．}{n b 的通项公式； （2）若等差数列}{n a 的前n 项和为S n ,求数列n S n ??
?
???
的前n 项的和T n ． 20．（本小题满分13分） 已知点P （4，4），圆C ：
22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：
22
22
1(0)x y a b a b +=>>有一个公共点A （3，1），F 1．F 2分别是椭圆的左．右焦点，直线PF 1与圆C 相切．
（1）求m 的值与椭圆E 的方程；
（2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ?
的取值范围． 21．（本小题满分14分）
已知函数0)ln()(2=--+=x x x a x x f 在处取得极值。 （1）求实数a 的值；
（2）求函数)(x f 的单调区间； （3）若关于x 的方程b x x f +-
=2
5
)(在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b 的取值范围。
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只
11． 1 12． 70 13． r S S S S V BCD A )(3
1
4321+++=
-四面体
14．①②④ 15． A ．
23
π； B ． a>-1；
C ．
3
． 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）
解：（1）212cos 1sin 21)(-++=
x x x f )cos (sin 21x x +=)4
sin(22π
+=x 由题意知 4
2
)4sin(22)(=
+=
πααf ，即 21)4sin(=+πα ∵),0(πα∈ 即 )45,4(4π
ππ
α∈+
∴12
76
54παππα=
?=+
（2）∵
即 4540ππα≤+≤ 2
2)4()(m a x ==πf x f ，21)()(min -==πf x f
17．（本小题满分12分）
解：（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225
9(1)p p +-=，解得2112p ,p ,p p ==>=或又故 （2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛
停止的概率为59，若该轮结束时比赛还将继续，则
甲．乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有
5552055
16999809981P(2),P(4)(1),P(6)(1)(1)1ξξξ====-?===-?-?=，则随机变量ξ的分布列为： 故52016266
9818181
E 246ξ=?+?+?= 18．（本小题满分12分）
解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建
立空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0P D C B A ∴
??? ?
?
??? ??21,1,0,21,1,21F E ，
??
?
??-=0,0,21，()1,0,1-=PB ，()1,2,0-=PD ，()1,0,0=AP ，
()0,2,0=，()0,0,1=，()0,0,1=．
（Ⅰ）∵,2
1
AB EF -
=∴∥，即EF ∥AB ， 又?AB 平面PAB ，EF ?平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ．
（Ⅱ）∵()()00,0,11,0,0=?=?，()()00,0,10,2,0=?=?， ∴DC AD DC AP ⊥⊥,，即DC AD DC AP ⊥⊥,．
又PAD AD PAD AP A AD AP 面面??=,, ，∴PAD DC 平面⊥．∵PDC DC 平面?， ∴平面PDC PAD 平面⊥．
（Ⅲ）设平面PBD 的一个法向量()z y x ,,=n ，则
∴?????=?=?0
0n n ，即???=-=-020z y z x ，解得平面APC 的一个法向量()2,1,2=n ．
π α π
≤ ≤ -
4
而平面APD 的一个法向量是()0,0,1=DC ，设二面角B PD A --为θ，则
()()3
21
30,0,12,1,2cos =??=
=
θ．即二面角
B PD A --的余弦值为3
2
．
19．（本小题满分12分）
解 1）设数列{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,则由题意知
1111211
1
()()4
(2)()12
a b a d b q a d b q =+=+=因为数列{}n a 各项为正数, 所以0d >
所以把a 1=1，b 1=1代入方程组解得?
??==21
q d
（2）由（1）知等差数列}{n a 的前n 项和S n =na 1+d n n 2
)
1(-
所以
2)1(1d n a n s n -+=所以数列n S n ??
????
是首项是a 1=1，公差为2d =21的等差数列
所以T n =n a 1+22)1(d n n -=n+4)1(-n n =4
32n n +
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，
得2(3)15m -+=． ∵m ＜3，∴m ＝1．
圆C ：22(1)5x y -+=．设直线PF 1的斜率为k ， 则PF 1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=． ∵直线PF 1与圆C =
解得111,22k k ==或．当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为36
11
，不合题意舍去．
当k ＝
1
2
时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）．2a ＝AF 1＋AF 2＝a =，a 2＝18，b 2
＝2．椭圆E 的方程为：22
1182
x y +
=． （Ⅱ）(1,3)AP = ，设Q （x ，y ），(3,1
)A Q x y =--
，
(3)3(1)36AP AQ x y x y ?=-+-=+- ．∵22
1182
x y +
=，即22(3)18x y +=，
而22(3)2|||3|x y x y +?≥，∴－18≤6xy ≤18．
则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． 3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ?=+-
的取值范围是[－12，0]．
21．（本小题满分14分）
解：（1）由已知得121)(--+=
'x a x x f )
()
()(21a x a x a x x ++-+-= 0)(='x f
101=∴=-∴
a a
a
（2）由（1）得1
)
1()1(21)(++-+-='x x x x x f
)1(1
)
23
(2->++-=
x x x x 由010)(<<->'x x f 得，由00)(><'x x f 得
)(x f ∴的单调递增区间为（—1，0），单调递减区间为),0(+∞ （3）令)25()()(b x x f x g +--=)2,0(,2
3
)1ln(2∈-+-+=x b x x x 则23211)(+-+='x x x g 令4
5
10)(-==='x x x g 或得（舍）， 当10<
当)1,0()(0)(21在即时x g x g x <'<<上递增，在（1，2）上递减 方程)2,0(2
5
)(在区间b x x f +-
=上有两个不等实根等价于函数)(x g 在（0，2）上有两个不同的零点。
00
(0)011(1)0ln 20ln 222(2)0ln 310ln 31
b b g g b b g b b -<>??
∴>?+->?<+
??????
-???? 212ln 13ln +<<-∴b 即实数b 的取值范围为2
12ln 13ln +<<-b
［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾
斜角α及其取值范围.
选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.
解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=
2
π
(2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =2
1
-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan
21-m ,α∈（0，2
π
）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan
21-m ，α∈(2
π
,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （
2
1
，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴ｋAB ＝ｋAC ，
.22
13
2
332+-=+--m 解得m =
2
1. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.
［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.
选题意图：强化斜率公式.
解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.
∵tan2α=ｋAB =
.4
3
)1(3)5(2=-----
4
3tan 1tan 22=-∴
αα
即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝3
1
或tan α＝－3. ∵tan2α＝
4
3
＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝
3
1. 因此，直线l 的斜率是
3
1 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.