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周世勋量子力学习题答案(七章全)

第一章绪论

1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长

m λ与温度T

成反比，即

b T m =λ （常数）

，并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。

[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ν

d +之间的辐射能量密度为

νπνρννd e

c h

d kT

h 1

183

由此可以求出波长在λ与λλ

d +之间的能量密度λλρd )(

由于 λν/c =,

λνd c

d 2

因而有：

λλπλλρλ

d e

d kT 1

8)(5

令

kT hc x =

所以有： 11

)(5

-=x e Ax λρ （4

4558c h T k A π=常数）

由 0)(=λλρd d 有

0)1(115)(254=??????---=λλλρd dx

e e x e x A d d x x x

于是，得： 1

)51(=-x e x

该方程的根为 965.4=x

因此，可以给出，k

xk hc T m 2014.0==

即

b T m =λ （常数）

其中

k hc

b 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--?????

k m ??=-310898.2

[注]

根据

1183

h e

c h νννπρ 可求能量密度最大值的频率：

令

（

）

]

[3=

因而可得

-x e

此方程的解

821

kTx

821

max

=-1

max max

其中

62559

380546

821

878

.5-

这里求得max

与前面求得的max

换算成的m

的表示不一致。

1.2 在

0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。

[解]德布罗意公式为

h =λ

因为价电子能量很小，故可用非相对论公式

μ2

p E=

代入德布罗意公式得

λ==

这里利用了电子能量E eV

=。将普朗克常数h，电子质量μ和电子电量电e的数值代入后

可得

λ==

取

V=，上式给出

708A

λ=

1.3 氦原子的动能

（

k为玻耳兹曼常数）, 求1

T k

=时, 氦原子的德布罗意波长。

[解] 当k T 1=时，氦原子的动能

k E 23=

氦原子是由两个质子、两个中子以及两个电子组成，其质量

e n p m m m 222++=μ

)

(2)(2n p e n p m m m m m +≈++=

kg 2710)67482.167252.1(2-?+?= kg 27106947.6-?=

所以氦原子在k T

1=时的德布罗意波长

h ???????=

=---23

2734

1038054.123

106947.621062559.62μλ

910258.1-?= )(m ?=A 58.12

1.4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

[解] （1）方法一：量子化条件

?=nh pdq ，一维谐振子的能量为

2221

2q p E μωμ+=

可化为

(

)

222

2=???

??+

μωμE q E

上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为

E a μ2=，

2μωE

b =

这个椭圆的面积为

nh v E

E ab pdq ==

==?ω

πμωμππ2222

故 nhv E

=，该式表明，一维谐振子的能量是量子化的。

方法二：一维谐振子的方程为

02=+q q

ω 其解为

)sin(δω+=t A q

dt t A dq )cos(δωω+=

而

)cos(δωωμμ+==t A q

p nh

A T A dt t A pdq T ==

+=∴

?22

)(cos 2

ωμωμδωωμ

而 )

(sin 212)(cos 21222222222

22δωμωμδωμωμωμ+++=+=t A t A q p E

nhv A ==

2221

μω

（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有

R H c e 2υμυ=

故

c R υ

μ=

这时因为没有考虑量子化，因此R 是连续的。

应用玻耳—索末菲量子化条件

?=nh pdq

把电子作圆周运动的半径转过的角度

作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量

υμ?μ?μ???R R R H P ==??? ????=??= 22221

==∴

π?ππμυ?υμ?20

22nh R c eH R d R d P

n eH nhc R ==

∴π2

其中 π

2h =

，可见电子轨道的可能半径是不连续的。

讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。

②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。

③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量

n E n ??? ??

+=21相比较，我们发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能

E 21

。但能级间的间隔则完全相同。前一事实说明

玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。

④

m eB n dt d ma E 2212

2 =

??? ??=θ动而

B M m eB

E B ?==

2 动?

根据统计物理学中的能均分定理，考虑到电子限制在平面内运动，自由度为2，所以电子在温度

?=k T 4和?=k T 100条件下的热运动能分别为：

2323110522.51038054.144--?=??===k kT E joul 2121038054.1100-?==k E joul

又将 10=B 特拉斯 24

109-?=B M joul/特拉斯代入（4）式

2410910910--?=??=?动E

joul

比较以上的计算结果可知：按经典统计理论计算较底温度下电子的能量与按旧量子理论计算的结果在数量级上非常接近，但在OK 附近或较高温度下，经典统计理论计算的结果与旧量子理论计算的结果相差甚远。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等。问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

[解] 由能量守恒定律，光子的能量ν

h 转化为电子的静止能量2

c m e

2c m h e =ν

e m 为电子的静止质量

c m h c

e ==νλm

8313410998.2101.91062559.6????=--

m 121043.2-?=??=-A 21043.2

第二章波函数和薛定谔方程

2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。

[证]：在定态中，波函数可写成：

(,)()E i t

r t r e

ψ-ψ=

并由此有：t E

i e r t r

)(),(**

ψψ=

代入几率流密度的定义式)]

,(),(),(),([2*t r t r t r t r i j

ψψψψμ?-?= 则有：)]()()()([2**r r r r i j

ψψψψμ?-?=

即 j 仅是空间坐标),,(z y x 的函数，与时间无关。

2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度。

（1）

ikr

e r

1=ψ （2）

ikr

e r

-=12ψ

从所得结果说明

1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内（即向原点）传播的球面波。

[解] 因

ikr e r

11=ψ，

ikr

e r

-=1*1ψ

则

111ψψr r r ik ??? ??-=? *

1*11ψψr r r ik ???

??+-=? 所以 ]

[21*1*11ψψψψμ?-?=

i j

????????? ??--??? ??+-=*11*11112ψψψψμr r r ik r r r ik i

3r r k μ=

上述结果说明j 的方向沿矢经r 的方向，即几率沿r 方向向外流动，所以1ψ表示向外传播的球面波。

（2）与（1）类似，求得 3

r r

k j μ-=

此结果表明j 的方向沿矢经r 的负方向，即几率流流向原点，所以2ψ表示向内传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场

??>∞≤≤<∞=a

x a x x x U 00

0)(

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 [解]：由于势函数

)(x U 不随时间变化

体系的状态波函数满足定态Schr?dinger 方程

)()()()(222x E x x U x m ψψψ=+?-

其中m 表示粒子的质量。

)()()(20222x E x U x dx d m ψψψ=+-

)(0∞=U ),0(a x x >< a 0

)()(2222x E x dx d m ψψ=- a x ≥≤0

令

22 mE

)

(220>-=

E U m β

（1）

0)()(2

22=-x x dx d ψβψ ),0(a x x >< （2）

0)()(222

=+x x dx d ψαψ )0(a x ≤≤

（3） x e x βψ=)( 0

（4） x e x βψ-=)( a x >

（5） x B x A x ααψcos sin )(+= a x ≤≤0

（6）

当

∞→0U 时，∞→β，由（4）式和（5）式有

0)(=x ψ ),0(a x x ><

（7）

根据波函数的连续性，（6）式和（7）式所表示的波函数分别在0=x

和a x =处连续：

0)0(==B ψ

0cos sin )(=+=a B a A a ααψ

由此得 0≠

A 0sin =a α

παn a = ,3,2,1=n

n π

α=

代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：

222m a n E π=

,3,2,1=n

即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：

x a n A x n πψsin

)(=

由波函数的归一化条件

?=1

)()(*

dx x x ψψ

，求得

A 2=

x a n a x n πψsin 2)(=

∴

2.4 证明（2.6—14）式中的归一化常数

A 1

[证] 已知（2.6—14）式的形式

???≥<+'=a

x a x a x a n A x n 0)(2sin )(π

由波函数的归一化条件

∞∞

-=1

dx ψ，有：

?-='=+'a

A a dx a x a n A 1)(2sin 22

所以

A 1

2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置

[解] 由谐振子状态波函数

1/2

()()

x n n x e H x αψα-

得到振子在点x 处出现的几率密度

()()()

x n n x x H x αωψα-==

当1=n

时，x x H αα2)(1=

223

12)(x e

x x απ

αω-=

由 0)(1=dx x d ω 有

1x α=±

，

x =

即振子处在第一激发态时几率最大的位置x =

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：

)()(x U x U -=，试证明粒子的定态波函数具有确定

的宇称。 [证]：由于势函数

)(x U 与时间t 无关，粒子的波函数)(x ψ满足定态Schr?dinger 方程：

)()()()(222

2x E x x U x dx d ψψψμ=+-

（1）

其中

是粒子的质量。将空间反演：x x -→

)()()()(22

22x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ

（2）

因为 )()(x U x U =-

所以（2）式可以写成

)()()()(2222x E x x U x dx d -=-+--ψψψμ

（3）

因而，)(x ψ和)(x -ψ都是体系哈密顿算符本征方程属于同一本征值E 的解，描写同一个状态，它们之间只可能相差一常数λ

)()(x x λψψ=-

引入空间反演算符，写成：

)()()(?x x x I λψψψ=-=

空间再反演一次，有

)()()(2x x x ψλλψψ=-= 写成：)()(?22x x I ψλψ=

则有 12

=λ 或 1±=λ

所以

)()(x x ψψ=- （对称的，即具有偶宇称）

)()

(x x ψψ-=- （反对称的，即具有奇宇称）

由此证得在一维势场中运动的粒子，当)()(x U x U =-时，粒子的波函数具有确定宇称。

2.7 一粒子在一维势阱

????

?≤>>=a

x a x U x U 0

)(0

运动，求束缚态（

00U E <<）的能级所满足的方程

[解] 因

)(x U 与时间无关，体系的波函数)(x ψ满足定态Schr?dinger 方程：

0)()]([2)(222=-+x x U E dx x d ψμ

即 0)(2)(222=+x E x dx d ψμψ a x ≤

0)()(2)(0222=--x E U x dx d ψμψ a x >

令 222 E μα=

202

)(2 E U -=

μβ

在

00U E <<的情况下，α，β

均为实数。以上方程可简写成

0)()(2

22=+x dx x d ψαψ a x ≤ 0)()(222=-x dx x d ψβψ a x >

方程的解为：

???

???>=-<=≤+==-a

x ce x a x Be x a x x A x x x x

ββψψδαψψ)()()sin()()(321

由波函数)(x ψ及其一阶微商dx x d )

(ψ，在a x -=，a x =处连续，即

)()(12a a -=-ψψ：)sin(δαβ+-=-a A Be a （1） )()(13a a ψψ=： )sin(δαβ+=-a A ce a

（2） )()(12

a a ψψ'=-'：)cos(δααββ+-=-a A Be a （3） )()(13

a a ψψ'='：)cos(δααββ+=--a A ce a

（4）由（1）、（3）两式，可得βδαα=+-)(a ctg

（5）由（2）、（4）两式，可得βδαα-=+)(a ctg

（6）

比较（5）式和（6）式，

)()(δαδα+=+--a ctg a ctg

πδαδαk a a 2+-=+ πδk = ,2,1,0±±=k )

12(2

)12(+=++-=+k k a a π

δπδαδα

,2,1,0±±=k

将

0π

δ=分别代入（5）式（或（6）式）

βαα-=a ctg )0(=δ

（7）

αα=a tg

)

(π

δ=

（8）

将α、

值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程

E U E ctga

--=022 μ （9）

E U E tga

-=022 μ （10）

由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10））解出，它们可以用如下图解法求解，令

2 E a a x μα== （11）

20)

(2 E U a

a y -==μβ

（12）

能级2

22x a E μ =，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组： ??

???=+-=220222a U y x y

xctgx μ 或

?????=+=22

0222a U y x y

xtgx μ

在0>x ，0>y 区域内的交点，如下图所示：

从图可以看到，束缚态的数目随园

)2(2

02222a U R R y x μ=

=+的半径R 增加而增加，即随乘

积02U a （“势阱参量”）的增加而增加，如果

U a 是有限的，则束缚态的数目也是有限的。如果)

,3,2,1,0(21

=+<≤N N R N π

π，则束缚态的数目是1+N 个

[附]

求对应的本征波函数，为此将0=δ

代入（1）、（2）式，有

C B -=

所以得到一组解

???

???>-=-<=<==-a

x Be x a x Be x a x x

A x x x x

ββψψαψψ)()(sin )()(321

（13）

同理，将

πδ=

代入（1）、（2）式，有C B =，于是得到另一组解

???

???>=-<=<==-a

x Be x a x Be x a x x A x x x x

ββψψαψψ)()(cos )()(321

（14）

第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场

)()(x U x U =-所导致的必然结果。奇宇称解（13）对应由（7）式或（9）式确定的能量E ，偶宇称

解（14）对应由（8）式或（10）确定的能量E 。

A 、

B 为归一化常数，由归一化条件1

)(2

=?∞

∞

-dx x ψ确定。

2.8 分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示

??????

?<≤≤-<≤<∞=x

b b x a U a x U x x U 0

00)(10

求束缚态的能级所满足的方程。

[解]：由于势函数)(x U 不显含时间，因而，体系的波函数满足Schr?dinger 方程

[]0)()(2)(22=-+

x x U E dx x d ψμ

代入势函数)(x U 的形式，则

[]

()????

?????>+<≤=++<≤=-+a

x x E dx x d b x a x U E dx

x d a x x U E dx x d )(2)(0)(2)(00)(2)(22

2122

0222ψμ

ψψμ

考虑

01<<-E U 的情形，令

022

2>=

E μα，()022021>+= E U μβ，()02212

2>+-= U E μβ

于是上述的微分方程组对写成

????????>=-<≤=+<≤=-b

x x dx

x d b x a x dx x d a x x dx x d 0)()

(0)()(00)()(222

122ψαψψβψψβψ

求解以上方程，并考虑到在0

率为限值，于是粒子体系的波函数为

???????=≤≤'+=<≤'+=<==---x x

i x i x x Ce x b

x a e B Be x a x e

A Ae x x x x αββββψψψψψ)()(0)(00)()(4

3212211

利用)(x ψ及dx x d )

(ψ的连续性。

???-='-'-='-='+'+='+='+--------b b i b i a i a i a a

b b i b i a

i a i a a Ce e B i e iB e B i e iB e A e A Ce e B Be e B Be e A Ae A A αββββββαββββββαββββββ2222112222112222110

C B B A A ,,,,''不全为零的条件是：

0000000011221122112222221122=--------------a

i a

a i a i a a

b b i b i b

b i b i e i e i e e e e e e e e i e i e e e ββββββββαββαββββββαββ

110

12222221122222211221

2222=-----+---------------a

i a

i b b i b i b

b i b i a

i a

i b b i b i b

b i b i a

e e e e i e i e e e e

i e

i e e i e i e e e e

ββαββαββββββαββαββββαβββββαβββ

???

?-----------a i a

i b i b i b

i a i b i b

i b e i e i e e e e i e i e i e i e

a sh 222222222222212ββββαββββαββαβββββ

????

???

?-------=------a i a

i b i b i b

i a i b i b

i b e e e e e

e e i e i e

a ch 222222222211ββββαββββααβββαβ

[][]a sh e e i e e a sh a b i a b i a b i a b i 1)()(2)()(1222

βαβββββββ------++-

[][]

a ch e e e e a ch i a

b i a b i a b i a b i 1)()(1)()(1212222βαββββββββ--------+-=

)(cos )(cos )(sin 21212122122a b a ch a b a sh a b a sh -+-+-ββββββαββββ

0)(sin 211=-+a b a ch ββαβ

a ch a

sh a b tg a b tg 11122222)()(ββββββαβαβ?

-=-+-+

or a

th a b tg a b tg 11

22222)()(βββ

ββαβαβ-=-+-+

在0>E

的情况下，体系处在非束缚状态，可以运动到无穷远处，因此体系的能量可以取大于零的任

意连续值。

第三章量子力学中的力学量

3.1. 一维谐振子处在基态

t i x e

x ωαπαψ2

/12

2)(--

???

??=，求

（1）势能的平均值

2221

x U μω=

;

（2）动能的平均值

2p T μ=

;

（3）动量的几率分布函数。

[解]：（1）

∞

-=dx x x x x )()(2

ψψ ?

∞

--=

e x x

22α

∞

∞-∞∞---???

???-?

-=?dx e xe x x 2222221

ααπ

μωαα

ππα221223

=?=

ωμω41

2122==

∴x U

（2）

()()p x p x dx ψψ∞

-∞

=??

∞∞

???? ?

?-=dx

e dx d i e

x x 2

2222ααπα

?∞∞

----=dx

e x x 2

2)(2242αααπα ???

???-?-=πααπαπα3

2221 α= μω21

211

T p ωμ∴=

能量的平均值：

ω21

=+=V T E

由

ω??? ??

+=21n E n 令

0=n （基态）

ω21

0=E

由上可知，处于基态的振子能量算符本征值等于振子动能、势能在基态中的平均值之和。

（3）为了求动量的几率分布函数，将),(t x ψ按平面波：

1/21

()(2)i

p x e ψπ=

展开

1/2

1(,)(,)(2)

x t C p t e

ψπ∞-∞

1/2

1(,)(,)(2)i px

C p t x t e

ψπ∞

--∞

∞∞

----??

? ??=dx

e e Px i x t i

/12/12

2)2(1αωπαπ2

()i t C p e

ω-=

1/2

1/21

()(2)x i px

C p e e

αππ∞-

--∞

= ???

1/2

()2x i px

dC p i

αππ∞-

--∞

=- ??

1/2

12x i x i Px px

i ip

e e e

dx ααααππ∞---

-∞-∞

-∞

??=---

? ?

???

1/2

222x i px

p e

dx ααππ∞-

--∞

=-??

22()

p C p α=-

()

()dC p p

C p α=-??

22()p C p Ae

α-

由归一化条件

2()1C p dp ∞-∞=?

可求得归一化常数2

/11?

? ??=πα A

21/2

2()p C p e

ααπ-

1/2

(,)p i t C p t e

ωααπ-

-=?

∴ 动量的几率分布函数：

()(,)()p p C p t C p e

αωαπ

3.2．设氢原子处在

r a (r ,,)

ψθ?-= 的态，0a 为玻尔半径，求

（1）r 的平均值；

（2）势能

r e 2

-的平均值；

（3）最可几的半经（4）动量的平均值（5）动量几率分布函数。 [解] 先检验ψ是否归一化。

????∞∞-==-∞

∞-=?θθπτψψπθπ?d drd r e a d a r

sin 10220230*

0??∞-=πθθ020230

sin 20d dr r e a a r

e a dr r e a a r a r a

r ??∞

∞-+∞

022220

2300

2220

221

r r r a a a re e

dr e a a ∞∞-

-∞=-

=-=?

这表明ψ是归一化的。

（1）????∞

∞-∞∞-==0200

2330*

sin 10π?

θθπτψψd d dr e r a d r r a r

2223323

220

2r r r a a a r e

dr r e

r e

a a a β∞-

∞∞==-+?

3020222023466

a a a dr e r a a r ===?∞

（2）

22222*3

0()sin r

a e e e U r d re

dr d d r r a ππψψτθθ?

π-

∞????=-=-=- ? ???????

2222

422r r r a a a e e e re

dr re

a a a ∞-

∞∞=-=-?

r a e e e a a ∞-

==-

这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。

（3）

a (r ,,)(r ,,)e

a ωθ?ψθ?π-

因而几率的分布为球对称的，径向几率分布

420()(,,)w r dr r r d dr π

ωθ?=Ω?0

22304r

a r e dr

a -= 022300422r

a dw(r )r r e dr a a -??=- ???

令

()

0dw r dr =，即得最可几半径 0a r =

（4）

212*?T p d ψψτμ=?0

0223

012r

a a e e d a τμπ--??=-

? ???

422

012r r

a a d d e

r e r drd dr dr a r πΩπμ-

-∞??=- ? ?????

022

22r

a r r e dr a a a μμ-∞??=

= ????

022a e s =

处于基态的氢原子能量的平均值

0212a e V T E s -

=+= 由 4

2s n e E n μ=- 令1=n 则有

122a e e E s s -=-= μ

因此处于基态的氢原子能量本征值等于动能与势能在基态中的平均值之和。（5）为求动量的几率分布函数，将),,(?θψr 按平面波展开

12/i

p r

(r,,)C(p )e

d ψθ?τ

π???

= ?

???

12/i

p r

C(p )(r ,,)e

d ψθ?τ

π-???

= ?

2230

0112/r /i p r cos a e e

r sin drd d a θ

θθ?

ππ--∞????= ? ???

????

∞--???

? ??-???

??=0

/1302/301)2(2dr r e e e pr i a pr i

pr i a r

πππ

∞???? ??--???? ??+-????????-???

??=0

112

/1300021dr e e r a p i r

p i a r p i a π

2230001112/i ip ip p a a a π--??

????????=+-- ? ? ???????????

222002

/1301/421?

??+?

??? ?

?= p a a a π

()

220

302

/130321

+???? ??=p a

a a π

()

3604

2220

2a w(P )a p π=+

3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是

0e r e J J θ==

sin e nlm

e m

J r ?ψμθ

[证] 已知氢原子状态波函数为

),()(?θψlm ne nlm Y r R =?θim m l nl lm e P r R N )(cos )(=

几率流密度

()

ψψψμ

?-?=**2 i J

在球极坐标中

?θ?θθe r e r e r r ??+??+??=

?s i n 11

??? ????-??=ψψ

ψψμr r i J r **2

??? ????-??=)()()(),(22r R r R r R r r R Y i n nl n nl lm ?θμ 0= ???

????-??=ψθψψθψ

μθ**2r i J

??? ????-??=),(),(),(),()(2*

*2?θθ?θ?θθ?θμlm lm lm lm nl Y Y Y Y r R r i

????????-??=

)(cos )(cos )(cos )(cos )(222θθθθθθμm l m l m l m

l lm nl P P P P N r R r i

???? ????-??=

),(),()(cos ),()(sin 2*

*2?θ??θθ??θθμ?lm lm lm lm nl Y Y Y Y r R r i J

)

(),()(sin 222im im Y r R r i lm nl --=?θθμ 2

)

,,(sin ?θψθμr r m nlm =

由J e J e

-= 则有

0=-=r er eJ J 0=-=θθeJ J e

)

,,(sin ?θψθμ??r r em eJ J nlm e -

=-=

3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多园周电流组成的

（1）求一园周电流的磁矩（2）证明氢原子磁矩为

??????

?--==)

(2)(2CGS c

me SI me M M z μμ

原子磁矩与角动量之比为

???????--=)

(2)(2CGS c

SI e L M z z μμ

[解] （1）作垂直于z 轴，半径为θsin r ，截面为dr rd ds θ=的圆环，由于电流密度矢量e J

垂直

于ds 面，故园环电流

dr rd J ds j ds J dI e e e θ??==?=

，由此求得一园周电流的磁矩 2232sin sin z e dM r dI r J d dr ?πθπθθ==

2sin nlm em r d dr

πθ

ψθμ

（SI ）

sin z n l m em dM r d dr c πθψθμ=-

（CGS ）

（2）

200

sin r z nlm em M r drd ππ

ψθθ

2sin r

nlm em r drd d π

πψθθ?

=-???

-=τψμd em nlm 2

2 μ2 em -

（SI ）

c em M z μ2 -

（CGS ）

图 22

（SI ）

（CGS ）

由于

m L z = 所以有 ???????--=c e

e L M z z μμ22

3.5 一刚性转子转动惯量为

I ，它的能量的经典表示式是

I L H 22

，L 为角动量，求与此对应的量子体

系在下列情况下的定态能量及波函数。（1）转子绕一固定轴转动（2）转子绕一固定点转动

[解]：（1）

???-= i L z

??=-?

2222

??22z L H I I ??==-

能量的本征方程：

)()(??ψ?ψE H =，或

)()(222

2?ψ?ψ?E I =??-

引入

22 IE

=+0)()(222

?ψλ?ψ?

d d λ?

?ψi Ae =)(

由波函数的单值性 )()2(?ψ?π

ψ=+

λ?λ?πi i Ae Ae =+)2( ? 12=πλi e

πλn 22=

? n =λ ,2,1,0±±=n

I n E n 22

2 =∴

，?

ψin Ae =

其中

21=

（2）

L H

2??2=，在球极坐标系中

???? ?

???+??? ??????-=22

sin 1sin sin 1??θθθθθ L

量子力学答案完整版周世勋第三版

找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ?? ? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 第一章绪论

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学(周世勋)课后答案-第一二章

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 λνc =，（2） ||λνρρλd d v =，（3）有这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：如果令x=kT hc λ ，则上述方程为这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x 以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 λ h P =。所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0?=<<），满足 e k m p E 22 =，因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1， eV c m e 621051.0?=。最后，对 E m h e 2= λ 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。自然单位制：在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c ，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k ）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV ）。例：1nm=5.07/keV ，1fm=5.07/GeV ，电子质量m=0.51MeV . 核子（氢原子）质量M=938MeV ，温度5 18.610K eV -=?.

量子力学教程(周世勋)课后答案详解-第一二章

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 λνc =，（2） ||λνρρλd d v =，（3）有 (),1 18)(| )(| |5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλ λ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

量子力学答案-周世勋

第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =???? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ

量子力学周世勋习题解答第四章

第四章习题解答 4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。解：? ??'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z r p i p p x )??()21()(3 ? ??'--=τπd e zp yp e r p i y z r p i )()21(3 ???'-??-??-=τπd e p p p p i e r p i z y y z r p i ))(()21(3 ? ?'-??-??-=τπd e p p p p i r p p i z y y z ）（3)21)()(( )()(p p p p p p i y z z y '-?? -??= δ ?''=τψψd L x L p x p p p x 2 *2)()( ? ??'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i 23)??()21( ???'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z r p i )??)(??()21(3 ?''-??-??-=τπd e p p p p i p z p y e r p i y z z y y z r p i ))()(??()21(3 ???'--??-??=τπd e p z p y e p p p p i r p i y z r p i y z z y )??()21)()((3 ??'-??-??-=τπd e p p p p r p p i y z z y ）（322 )21()( )()(22p p p p p p y z z y '-??-??-= δ # 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：x a n a x u n π sin 2)(= 能量：2 2 222a n E n μπ = 对角元：2sin 202 a xdx a m x a x a mm ==?π 当时，n m ≠ ???=a mn dx a x x a m a x 0)(sin )(sin 2π

周世勋量子力学教案

一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用表示一算符。二．力学量算符 1.坐标的算符就是坐标本身： 2.动量算符： , , 3.动能算符 4.哈密顿算符： 5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？

一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。四算符之积定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。，六算符的复共轭，转置，厄密共轭

1．两个任意波函数与的标积 2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量 3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即： 4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为

即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符 5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符

第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。即. 这种状态称为力学量的本征态。在这种状态下称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。二力学量算符的性质 1.力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。厄密算符的本征值必为实数证：设为厄密算符

量子力学(周世勋)课后答案-第一二章电子版本

量子力学(周世勋)课后答案-第一二章

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ，（1）以及 λνc =，（2） ||λνρρλd d v =，（3）有 (),1 18)(| )(|| 5 2 -?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λ ρ

对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

量子力学周世勋第二版课后习题解答第1章

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,??==-λ。证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1833-=，及λνc =、λλ νd c d 2-=得 1 185-=kT hc e hc λλλπρ，令kT hc x λ=，再由0=λ ρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=?≈==-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。解：010A 63.12m 1063.1232=?≈===-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，123K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。解：（1）方法1：谐振子的能量2222 12q p E μωμ+= 可以化为() 122222 22=???? ??+μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμE b E a ==，相空间面积为 ,2,1,0,2=====?n nh E E ab pdq νωππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为