第十一章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数 1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数. 记作∑∞
=1
n n
u
, 其中n u 称为级数的一般项.
2、部分和: 级数∑∞
=1
n n
u
的前n 项和 ∑==n
k k n
u S 1
称为级数∑∞
=1
n n
u 的部分和. 3、定义: 如果级数
∑∞
=1
n n
u
的部分和数列}{n S 有极限S ,即
S S n n =∞
→lim ,则称级数∑∞
=1n n u 收敛.S 称为级数∑∞
=1
n n u 的和, 并写
成
++++=321u u u S ∑∞
==1
n n
u
.
如果}{n S 没有极限, 则称级数
∑∞
=1
n n
u
发散.
4、余项: 级数 +++++++k n n n u u u 21称为级数∑∞
=1
n n
u
的余项,
记作n r . 显然: 级数
∑∞
=1
n n
u
收敛 ?
n n n n
r S u
+=∑∞
=1
?
0lim =∞
→n n r .
应用上常用n S 代替S ,其误差为||n r .
例1 讨论等比级数(几何级数)∑∞
=0
n n
aq
)0(≠a 的收敛性.
解
:
(1)
时
如果1≠q 1
2
-++++=n n aq
aq aq a S q
aq a n --=
1,11q
aq q a n ---= ,1时当 →n n q q a S n n -= ∴∞ →1lim ? 级数收敛, ,1时当>q ∞=∞ →n n q lim ∞=∴∞ →n n S lim ? 级数发散； (2) ,1 时当=q ∞→=na S n ? 级数发散； (3) ,1时当-=q +-+-a a a a 级数变为 不存在n n S ∞ →∴lim ?级数发散 所以 10 =q aq n n 收敛. 例2 证明级数∑∞ =1 n n 发散. 证明: 因)1(2 1 321+=++++=n n n S n ,∞=∞→n n S lim , 故 级数发散. 例 3 判别无穷级数 ++?++?+?) 1(1 321211n n 的收敛性. 解: 由于 )1(1+= n n u n ,1 11+-=n n 因此 1 1 1)111()3121()2111(21+- =+-++-+-=+++=n n n u u u S n n , 因 1)11 1(lim lim =+-=∞→∞→n S n n n , 故级数∑∞=1 n n u 收敛, 且 1)1(1 1 =+?∑∞ =n n n . 二、收敛级数的基本性质 以下假设∑∞=1 n n u 与∑∞ =1 n n v 收敛于S 与T , 则 1、 ∑∑∞=∞ ==11 n n n n u u λλ, (λ为常数). 证明: ∑==n k k n u W 1 λS S u n n k k λλλ→==∑=1 , )(∞→n . 2、 ∑∑∑∞ =∞=∞ =±=±11 1 )(n n n n n n n v u v u . 证明: ∑=±=n k k k n v u W 1 )(T S T S v u n n n k k n k k ±→±=±=∑∑==1 1 , )(∞→n . 3、 ∑∞ =1 n n u 收敛?对任意的非负整数m ,有 ∑∞ +=1 m n n u 收敛. 即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. 证明: 记 m n m n m m k k n S S u W -== +++=∑1 , 那么 S u n n =∑∞ =1 ?S S n →?m n m n S S W -=+m S S -→, )(∞→n . 、若 S u n n =∑∞ =1 ,则将级数的项任意加括号后所成的级数 S n n =∑∞ =1 σ . 反之不然. 证明: 设级数∑∞ =1 n n u 加括号后所成的级数为 ++++=++++=∑∞ =)(121211 n m n n u u u σσσσ ++++++++++++++--)()(212111211m m m n n n n n n u u u u u u , 那么 111 1n n k k S u W ==∑=,,,221 2 n n k k S u W ==∑= ,1 m m n n k k m S u W ==∑=, 故 S S W m n m m m n n ===∞ →∞ →∞ =∑lim lim 1 σ . (注意}{m n S 为} {n S 的子数列) 反之不然. 例如 ++++=+-++-+-000)11()11()11( 收敛, 但 +-++-+-111111 却是发散的！ 5、若 ∑∞ =1 n n u 收敛, 则0lim =∞ →n n u . 反之不然. (级数收敛的必要 条件) 证明: 01=-→-=-S S S S u n n n , )(∞→n . 反之不然. 例4 证明调和级数 ∑∞ =11 n n 发散. (注意0lim =∞ →n n u ) 证明: 假设级数收敛于S ,于是0)(lim 2=-=-∞ →S S S S n n n . 而 ,2 1221112121112==+++++≥+++++= -n n n n n n n n n n S S n n 那么 21)(lim 02≥-=∞→n n n S S ,矛盾. 故调和级数∑∞ =11 n n 发 散. 第二节 正项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 1、正项级数：若级数∑∞ =1 n n u 的各项0≥n u , 则称级数∑∞ =1 n n u 为正项级数. 2、定理1: 正项级数∑∞ =1 n n u 收敛?}{n S 有界. 此时S S n ≤ 证明: 因0≥n u ,于是11--≥+=n n n n S u S S ,可见}{n S 单调递增. 故 ∑∞ =1 n n u 收敛 ?}{n S 收敛 ?}{n S 有界. 此时显然有 S S n ≤ 3、定理2(比较判别法): 设 ∑∞=1 n n u 与∑∞ =1 n n v 均为正项级数, 且 n n v u ≤, ,2,1=n , 则 (1) ∑∞ =1 n n v 收敛? ∑∞ =1 n n u 收敛; (2) ∑∞ =1 n n u 发散 ?∑∞ =1 n n v 发散. 证明: 由条件知, n n k k n k k n T v u S =≤=≤∑∑==1 1 0, 那么 ∑∞ =1n n v 收敛?}{n T 有界?}{n S 有界?∑∞ =1n n u 收敛; (2) ∑∞ =1 n n u 发散?}{n S 无界?}{n T 无界? ∑∞=1 n n v 发散. 4、推论 (1) 若从N 项以后恒有: n n cv u ≤, (0>c 为常数),则定理2 结论仍成立. 例1 讨论 -p 级数 ++++++ p p p p n 14131211的收敛性.)0(>p 解: ① 若 ,1≤p 由于 n n p 1 1≥ ?-p 级数发散. ② 若,1>p 由于??--≤=n n p n n p p x dx n dx n 111 , 那么 ???-++++≤++++ =n n p p p p p p n x dx x dx x dx n S 1322111 31211 11111111111 111 --+??????-+=+≤+=+∞ -∞+?? p p p x p x dx x dx p p n p ＝＝, 可见}{n S 有界?-p 级数收敛. 总之, -p 级数∑ ∞ =11 n p n 收敛 ? 1>p . (2) 设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数, 那么 ① 若1>p , 且p n n u 1 ≤, ,2,1=n , 则∑∞ =1 n n u 收敛; 若n u n 1 ≥, ,2,1=n , 则∑∞ =1 n n u 发散. 例2 证明级数∑∞ =+1)1 (1 n n n 是发散的. 证明: ,11 ) 1)(1(1)1(1+=++>+n n n n n ,11 1 ∑∞ =+n n 发散而级数 .) 1(1 1 ∑ ∞ =+∴n n n 发散级数 5、定理3(比较判别法的极限形式): 设 ∑∞=1 n n u 与∑∞ =1 n n v 均为正项级数,若l v u n n n =∞→lim ，则 (1)当+∞<≤l 0时,若∑∞ =1 n n v 收敛,则 ∑∞ =1n n u 也收敛； (2)当∞≤ ∑∞ =1 n n v 发散,则 ∑∞ =1 n n u 也发散. 证明:(1)由+∞<≤l 0,对 ,01>+=l ε,N ?, 时当N n >1+=<-l l v u n n ε, 或 12+ n ,)()12(N n v l u n n >+<即, 若 ∑∞ =1n n v 收敛,则 ∑∞ =1n n u 也收敛； (2)由∞≤ n n =∞→lim ,此时+∞<≤k 0, 若 ∑∞ =1 n n u 收敛,则 ∑∞ =1 n n v 也收敛,可见,若 ∑∞ =1 n n v 发散,则 ∞=1 n n u 必发散. 推论(-p 极限法): 设∑∞ =1 n n u 为正项级数,且l u n n p n =∞ →lim , (1)当1>p ,+∞<≤l 0时,级数∑∞ =1 n n u 收敛; (2)当1≤p ,∞≤ =1 n n u 发散. 例3 判别级数∑∞ =1 1 sin n n 的敛散性. 解: n n n 1sin lim ∞→ n n n 11sin lim ∞→=,1= ? 级数∑∞ =1 1sin n n 发散. )1(=p 例4 判别级数∑∞ =+ 1 2)1 1ln(n n 的敛散性. 解: 1)1ln(lim 1)11ln(lim )1 1ln(lim 212 10 12 2222 =-→=∞→∞ →===+===?? ? ??+ =+ p p t t n t p n p n t t n n n n 令 , ? 级数∑∞ =+ 1 2 )1 1ln(n n 收敛. )12(>=p 6、定理4(比值判别法,达朗贝尔判别法): 设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数,若ρ=+∞→n n n u u 1 lim , (1)1<ρ时, 级数 ∑∞ =1 n n u 收敛； (2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞ =1 n n u 发散； (3)1=ρ时, 级数∑∞ =1 n n u 可能收敛也可能发散. 证明: (1) 1<ρ时, 对,02 1>-= ρ ε ,N ?,时当N n >,1 ερ<-+n n u u 有 r u u n n =+<+ερ1 , n n ru u <+1)12 1,(,<+= +=>ρ ερr N n ,12++ ,11+-+ 由于∑∞ =-1 1 m m r 收敛, 故 ∑∞ =+1 m m N u 收敛. ∴级数 ∑∞ =1 n n u 收 敛. (2) 1>ρ时, 对,02 1 >-= ρε ,N ?,时当N n >,1 ερ<-+n n u u 有 12 1 211>+=--=->+ρρρερn n u u , ,1n n u u >+ )(N n > 可见 .0lim ≠∞ →n n u ∴级数∑∞ =1n n u 发散. (2)’ +∞=ρ时, ,N ?, 时当N n >11 >+n n u u , 或 ,1n n u u >+ .0lim ≠∞ →n n u ∴级数∑∞ =1 n n u 发散. (3)1=ρ时, 级数 ∑∞ =1 n n u 可能收敛也可能发散. 例如: 级数∑∞ =11n n 发散, 而级数∑∞ =121 n n 收敛. 注意到这两个级数均有1=ρ. 例5 求! 10lim n n n ∞→. 解: 由于 10110 lim 10!)!1(10lim lim 11<=+=?+==∞→+∞→+∞→n n n u u n n n n n n n ρ, 那么级数∑∞ =1! 10n n n 收敛, 于是0!10lim =∞→n n n . 例6 证明级数 ∑∞ =-1)!1(1 n n 是收敛的,并估计误差||n r . 证明: (1) 由于101 lim !)!1(lim lim 1<==-==∞→∞→+∞→n n n u u n n n n n ρ, 故 级数收敛. (2) ?? ????++++++=+++++= )2)(1(1 111!1)!2(1)!1(1!1||n n n n n n n r n )! 1)(1(11 11!11111!132--= -? =?? ? ? ?++++≤n n n n n n n n , )1(>n . 例7 判别级数 ∑∞ =-1 )2)(12(1 n n n 的敛散性. : (1) 由于1)22)(12() 2)(12(lim lim 1=++-==∞→+∞→n n n n u u n n n n ρ, 此时无 法判断. (2) 但 14 1 )2)(12(lim lim 22 <=-=∞→∞→n n n u n n n n ，故得知级数 收敛. 7、定理5(根式判别法,柯西判别法): 设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数, 若 ρ=∞ →n n n u lim ， 则(1)1<ρ时, 级数 ∑∞ =1n n u 收敛； (2)1>ρ或+∞=ρ时,级数∑∞ =1 n n u 发散； (3)1=ρ时, 级数∑∞ =1 n n u 可能收敛也可能发散. 证明: (1) 1<ρ时, 对,02 1>-= ρ ε ,N ?,时当N n >,ερ<-n n u 有 r u n n =+<ερ, n n r u <)12 1,(,<+= +=>ρ ερr N n 由于 ∑∞ =1 n n r 收敛, 故级数 ∑∞ =1 n n u 收敛. (2) 1>ρ时, 对,02 1 >-= ρε ,N ?,时当N n >,ερ<-n n u 有 12 1 21>+=-- =->ρρρερn n u , 1>n u )(N n > .0lim ≠∞ →n n u ∴级数∑∞ =1 n n u 发散. (2)’ +∞=ρ时, ,N ?,时当N n >1>n n u , 或 ,1>n u 同样 .0lim ≠∞ →n n u ∴级数∑∞ =1 n n u 发散. (3) 1=ρ时, 级数 ∑∞ =1 n n u 可能收敛也可能发散. 例如: 级数∑∞ =11n n 发散, 而级数∑∞ =121 n n 收敛. 注意到这两个级数均有1=ρ. (1 lim lim lim 01lim ln lim ln ln ======+∞→+∞→+∞ →∞ →∞ →e e e e e n t t t t t t n n n n n t t ) 例8 证明级数 ∑∞ =11 n n n 是收敛的,并估计误差||n r . 证明：(1) 由于101 lim lim <===∞→∞→n u n n n n ρ, 故级数收敛. (2) ++++++=+++3 21)3(1 )2(1)1(1||n n n n n n n r ++++++<+++321) 1(1)1(1)1(1n n n n n n ?? ????++++++=+ 21)1(1 111)1(1n n n n n n n n n n n n n n )1(1 1)1(11 111)1(111+= +?+=+-?+= ++. 第三节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 一、交错级数 1、交错级数：指下列形式的级数 +-++-+--n n u u u u u 14321)1( 或 +-++-+-n n u u u u )1(321 . 其中 0>n u , ,2,1=n . 2、定理6(莱布尼茨定理): 设 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n u 为交错级数, 若满足 (1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞ →n n u , 则 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n u 收敛, 且级数和1u S ≤,其余项n r 的绝对值 1||+≤n n u r . 证明: (1) 记n S 为级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n u 的部分和. 考察级数 ∑∑∞=-∞ =-=1 1 1 )(n n n n n u u v . 由于,01≥--n n u u 有 )()()(21243212n n n u u u u u u S -++-+-=- n n n u u u u u u 21222321)()(------=-- 1u ≤ 可见}{2n S 有界, 于是正项级数 ∑∞ =1 n n v 收敛, .lim 12u S S n n ≤=∴∞ → (2) ,0lim 12=+∞ →n n u s S S S n n n n n =+=∴+∞ →+∞ →)(lim lim 12212 (3) ,lim 1u S S n n ≤=∴∞ → 则 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n u 收敛. (4) 注意到级数 +-=++21n n n u u r 也满足本定理的两个 条件, .1+≤∴n n u r 9 证明级数 ∑∞ =--1 11)1(n n n 是收敛的,并估计误差||n r . 证明：(1) 由于01 lim lim ==∞→∞→n u n n n 且n n u u ≤+1, ,2,1=n , 故 级数收敛. (2) .1 1 1+= ≤+n u r n n 二、绝对收敛与条件收敛 1、概念 (1) 绝对收敛的级数∑∞=1n n u ：∑∞ =1||n n u 收敛； (2) 条件收敛的级数 ∑∞=1 n n u ：∑∞ =1 ||n n u 发散, 但∑∞ =1n n u 收敛. 例如: 级数∑∞ =--1 21 1)1(n n n 绝对收敛, 而级数∑∞ =--1 11)1(n n n 条件收敛. 2、定理7: ∑∞ =1 ||n n u 收敛 ? ∑∞ =1 n n u 收敛. 反之不然. 证明: 因 |||)|(21 0n n n n u u u v ≤+=≤, 故∑∞ =1 n n v 收敛. 又因||2n n n u v u -=, 故∑∞ =1 n n u 收敛. 反之不然. 例如∑∞ =--1 1 1) 1(n n n 收敛, 但 ∑∞ =11 n n 发散. 例10 判别级数 ∑∞ =1 2 sin n n n α 的敛散性. 解: 由于22 1 sin ||n n n u n ≤=α, 可见∑∞ =1 ||n n u 收敛, 从而 ∑∞ =1 2 sin n n n α 收敛. 3、说明: 设 n n n u u 1 lim +∞→=ρ 或 n n n u ||lim ∞→=ρ , (1) 若1<ρ,∑∞ =1n n u 收敛. (2) 若1>ρ, ∑∞ =1 n n u 发散. 例11 判别级数 ∑∞ =?? ? ??+-1 2 1121)1(n n n n n 的敛散性. 解: 由于12 1121||>→??? ??+=e n u n n n , 所以级数发散. *4、级数的交换性：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级 数也收敛，且与原级数有相同的和(即绝对收敛具有可交换性). 注意：(1)条件收敛级数不具有交换性； (2)条件收敛级数经适当改变项的位置后构成的级数 可收敛到任一指定的实数！ 第四节 幂级数 一、函数项级数的概念 1、 定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则 ++++=∑∞ =)()()()(2 1 1 x u x u x u x u n n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. 2、收敛域 (1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞ =1 )(n n x u 收敛； 发散点I x ∈0—— ∑∞ =1 )(n n x u 发散； (3) 收敛域D —— ∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体D ； (4) 发散域G —— ∑∞ =1 )(n n x u 的所有发散点的全体G . 3、和函数)(x S —— ∑∞ ==1 )()(n n x u x S , D x ∈. 4、余项)(x r n —— )()()(x S x S x r n n -=, ∑== n k k n x u x S 1 )()(, D x ∈. 注: ①只有在收敛域D 上, )(x r n 才有意义； ② 0)(lim =∞ →x r n n , D x ∈. 二、幂级数及其收敛性 1、定义: 形如 n n n x x a )(0 ∑∞ =-的级数称为幂级数. 当00 =x 时, 幂级数为∑∞=0 n n n x a , 其中常数n a 称为幂 级数的系数. 显然: D x ∈0(收敛域)，即幂级数总在0x x =点处收敛. 例如: ∑∞ =0 n n x , ∑∞ =-0!) 1(n n n x 均为幂级数. 显然: ∑∞ =0 n n x 的收敛域)1,1(-=D ,其发散域 ),1[]1,(+∞--∞= G . 且和函数,11 )(0 x x x S n n -= =∑∞ = 1|| 、阿贝尔定理: 设 ∑∞ =0 n n n x a 与 ∑∞ =0 ||n n n x a 的收敛域分别为D 和1D (显然 D D ?1),那么 (1) 若D x ∈0, 则 ||||0x x (2) 若D x ?0, 则 ||||0x x >?,有D x ?, 当然也有1D x ?. 证明: (1) D x ∈0? ∑∞ =0 n n n x a 收敛 ?00 →n n x a 0 >?===>M M x a n n ≤||0 | |||0x x <===>n n n n n n x x M x x x a x a 000||||≤?=,而∑∞ =00n n x x 收敛, 因 10 , ? ∑∞ =0 | |n n n x a 收敛? 1D x ∈?∑∞ =0 n n n x a 收敛 ?D x ∈. (2) D x ?0,假若有D x ∈1满足||||01x x >) 1(由==>∑∞ =0 n n n x a 收 敛? D x ∈0 矛盾. 所以||||0x x >?,有D x ?, 当然也有1D x ?. 注意: (1) 若D x ∈0, 则 D x x ?-|)||,|(00(收敛域), )0(0≠x ； (2) 若D x ?0, 则 G x x ?+∞--∞)|,(||)|,(00 (发散域). 3、推论: 若 ∑∞ =0 n n n x a 在R 中存在非零的收敛点和发散点,则必 0>?R ,使得 (1) 当R x <||时, 则 ∑∞ =0 n n n x a 收敛且绝对收敛； (2) 当R x >||时, 则 ∑∞ =0 n n n x a 发散. 注意：①当R x =||时, 幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 可能收敛也可能发散； ②若b a ,分别为幂级数的收敛点和发散点,则 ||||b R a ≤≤. 4、收敛半径与收敛区间 (1) 收敛半径R ——满足推论3中的正数R 称为∑∞ =0 n n n x a 的收敛 半径. (2) 收敛区间I ——具有收敛半径R 的∑∞ =0 n n n x a 的收敛域. 注: I 有四种可能的形式: ),,(R R -),,[R R -],,(R R -].,[R R - (3) 规定 ① 幂级数只在0=x 处收敛, 定义0=R , 收敛区间}0{=I ； ② 幂级数对一切实数都收敛, 定义+∞=R , 收敛区间),(+∞-∞=I . 例如: 幂级数 ∑∞ =0 n n x 的收敛半径1=R ,其收敛区间 )1,1(-=I . 5、R 的计算 定理: 设 ρ=+∞→n n n a a 1 lim (或ρ=∞→n n n a ||lim ), 则 ?? ? ??+∞==∞+≠=. ,0 ,0 ,, 0 ,/1ρρρρR 常用公式: 1lim +∞→=n n n a a R . : (1) 若+∞<<ρ0, 因||||| |lim 11x x a x a n n n n n ρ=++∞→, 那么 ∑∞=0 ||n n n x a 收敛1 ||≠?x ρ1|| ρ 1=R . (2) 若0=ρ, 由(1)知 ∑∞ =0 ||n n n x a 对一切实数都收敛, 那 么+∞=R . (3) 若+∞=ρ, 0≠?x ,由于 +∞==+∞→++∞→||||||lim ||||lim 111x a a x a x a n n n n n n n n , 可见∑∞ =0||n n n x a 对一切非零实数都发散, 那么0=R . 例1 求幂级数∑∞ =--0 1 )1(n n n n x 的收敛半径与收敛区间. 解: (1) 1 lim +∞→=n n n a a R 11 lim =+=∞→n n n . (2) 当1=x 时, 级数为∑∞ =-1)1(n n n 收敛； 当1-=x 时, 级数为∑∞=11 n n 发散. 故收敛区间是]1,1(-. 例2 求幂级数∑∞ =0!n n n x 的收敛区间. 解: 1 lim +∞→=n n n a a R +∞=+=+=∞→∞→)1(lim !)! 1(lim n n n n n ,故收敛区间是),(+∞-∞. 3 求幂级数∑∞ =0 !n n x n 的收敛半径. 解: 1 lim +∞→=n n n a a R 011 lim )!1(!lim =+=+=∞→∞→n n n n n . 例4 求幂级数∑∞ =022 ) !()!2(n n x n n 的收敛半径. 解: 令2 x t =,幂级数变形为∑∞ =0 2 )!()!2(n n t n n , 显然t x R R = 41 )12)(22()1)(1(lim !!)!22()!2()!1()!1(lim lim 1 = ++++=+++==∞→∞→+∞→n n n n n n n n n n a a R n n n n n t , 那么2 1 = =t x R R . 例5 求幂级数∑∞ =?-12)1(n n n n x 的收敛区间. 解: (1) 令1-=x t ,幂级数变形为∑∞ =?12n n n n t , 2) 1(2lim 2)1(2lim lim 11 =+=?+?==∞→+∞→+∞→n n n n a a R n n n n n n n t . (2) 当2-=t 时, 级数为 ∑∞ =-1 1)1(n n n 收敛； 当2=t 时, 级数为∑∞=11n n 发散. 故∑∞ =?12n n n n t 的收敛区间是 ]2,2(-=t I . 那么∑∞ =?-12)1(n n n n x 的收敛区间为]3,1(-=x I . 无穷级数内容小结 1.数项级数：∑∞=1n n u ，称∑==n i k n u s 1为前n 项部分和。 若存在常数 s,使n n s s ∞ →=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。 2.数项级数性质：1)∑∞ =1n n Cu =C ∑∞=1n n u ；2)若级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 收敛于σ,s ，则级数∑∞ =±1n n n v u 收敛于 σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。5）若级数∑∞=1n n u 收敛，必有0lim =∞ →n n u 3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞ =-11n n aq = +++++-12n aq aq aq a (0≠a ) 若,1 第10章 无穷级数 【学习目标】 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 【能力目标】 【教学重点】 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 【教学难点】 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 【教学方法】 启发式、引导式 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课 §１ 第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6 第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课 习题课 10. 1 常数项级数的概念和性质 一、无穷级数的概念 定义10.1 设有无穷序列 123,,, ,, n u u u u ??????, 则由此序列构成的表达式 123 n u u u u +++???++???称为无穷级数, 简称级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 如果(1,2,...)n u n =都为常数，则称该级数为常数项级数，简称数项级数；如果 (1,2,...)n u n =为变量x 的函数()n u x ，则称该级数为函数项级数. 二、数项级数的敛散性概念 级数的部分和: 作级数∑∞ =1n n u 的前n 项和 华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日 摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。 §4.2 复变函数项级数 教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用 判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级 数的收敛半径；能用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑将简单函数表示为级数． 教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间 接法和 01 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： §4.2.1 复变函数项级数 设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为 1 ()n n f z ∞ =∑. 【定义】※设1 ()n n f z ∞ =∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E 的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()() n n S z S z →∞ =存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数 1 ()n n f z ∞ =∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称 1 ()n n f z ∞ =∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1 ()n n f z ∞ =∑在E 上的 和函数.记为1 ()()n n S z f z ∞ == ∑或者()lim ()n n S z S z →∞ =, {}()n S z 称为 1 ()n n f z ∞ =∑的部分和函数列. §4.2.2 幂级数 1．【幂级数的定义】通常把形如： 20 010200 () ()()n n n C z z C C z z C z z ∞ =-=+-+-∑ 0()n n C z z ++-+L L 的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数 () n n n C z z ∞ =-∑的系数与中心点. 若00z =, 则幂级数0 () n n n C z z ∞ =-∑可简化为 n n n c z ∞ =∑(标准幂级 第十章 无穷级数 习题10-1 3. 判定下列级数的敛散性: （1）∑∞ =- +1)1(n n n ; （2）∑ ∞ =+-1 ) 12)(12(1 n n n ; （3） ++++?+?) 1(13212 11n n ; （4） ++++6 πsin 6 π2sin 6 πsin n ; （5）∑∞ =+ +-+1 )122(n n n n ; （6） ++ + + 4 3 3 1 3 1 3 13 1; （7）2 2 111111()()()323 2 3 2 n n -+-++- + ; （8） ++-+++++1 2129 77 55 33 1n n ; （9）)(1 21 12-∞ =+- ∑n n n a a （0a >）; (10) ++ + ++ + + ++ n n ) 11(1) 311(1) 211(11 1113 2 . 解（1）因为 11)1()34()23()12(-+= - +++- +- +-=n n n S n 当 ∞→n 时，∞→n S ，故级数发散. （2）因为 )1211 21 ( 21 )12)(12(1 +- -= +-n n n n ) 12)(12(1 7 515 313 11 +-+ +?+ ?+?= n n S n )]1 211 21 ( )5 131()3 11[(2 1+- -+- +-=n n ]1 21 1[2 1+- = n , 当∞→n 时，2 1→n S ，故级数收敛. (3) 因为 1 11) 1(1+-= +n n n n ， ) 1(14 313 212 11++ +?+ ?+?= n n S n 幂级数求和函数方法概括与总结 常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑ 第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性： (1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑ 无穷级数总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 无穷级数总结 一、概念与性质 1. 定义：对数列12,, ,n u u u ，1 n n u ∞ =∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分 和 数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =，称级数收敛，否则称为发散. 2. 性质 ①设常数0≠c ，则∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n cu 有相同的敛散性； ②设有两个级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1 n n v ，若∑∞==1 n n s u ，σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =±=±1 )(n n n s v u σ； 若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 发散； 若∑∞ =1 n n u ，∑∞=1 n n v 均发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 敛散性不确定； ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数∑∞ =1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的 和． 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞ →n n u ； 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若0lim =∞ →n n u ，则∑∞ =1n n u 未必收敛； ③若∑∞ =1 n n u 发散，则0lim =∞ →n n u 未必成立． 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若0n u ≥，则∑∞ =1n n u 称为正项级数. ② 审敛法： （i ） 充要条件：正项级数∑∞ =1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界. （ii ） 比较审敛法：设∑∞=1 n n u ①与∑∞ =1 n n v ②都是正项级数，且 (1,2,)n n u v n ≤=，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散. A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散； B. 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若有1p >使得1 (1,2,)n p u n n ≤=，则∑∞ =1 n n u 收敛；若 1 (1,2,)n u n n ≥=，则∑∞ =1 n n u 发散. C. 极限形式：设∑∞ =1 n n u ①与∑∞ =1 n n v ②都是正项级数，若lim (0)n n n u l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n v 有相同的敛散性. 注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞ =-?? ???≥<-=11 1 11n n r r r a ar 发散； ②-p 级数：∑ ∞ =???≤>1 111n p p p n 时 发散 时收敛； 第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈， 无穷级数总结 一、概念与性质 1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1 数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散. n 2. 性质 ① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性； n1 n1 ② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ， v n ，则 (u n v n ) s ； n1 n1 n1 n1 n1 若 u n 收敛， v n 发散，则 (u n v n ) 发散； n1 n1 n1 若 u n ， v n 均发散，则 (u n v n ) 敛散性不确定； n1 n1 n1 ③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和． n1 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ； n1 n 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 . n1 ② 审敛法： i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界 ②若 lim u n 0 ，则 u n 未必收敛； n1 (ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若② n 1 n 1 收敛则①收敛；若①发散则②发散? A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若② 发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散； 1 B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若 n 1 n n 1 1 U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散? n n 1 C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则 n 1 n 1 n V n U n与V n有相同的敛散性 n 1 n 1 注：常用的比较级数： a ①几何级数：ar n1 1 r r 1 n 1 发散r| 1 ②p级数：［收敛P 1时. n 1 n p发冃攵P 1时， ③调和级数：丄1 1 1 发散. n 1 n 2 n (iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若 n 1 ①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散. n a n n 1 n a n n 1 注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1 与2，虽然佃乩1，n a n n n 1 n n 1 n n a. lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛? n' n 1 n n 1 n a n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛, n (iv )根值判别法(柯西判别法)设 第十章 无穷级数 1．判断下列级数的敛散性： （1）Λ Λ++++?+?)2(1421311n n （2）Λ Λ++++++)31 21()3121()3121(22n n （3） Λ Λ++++++2cos 5cos 4cos 3 cos n π π π π 解：（1）由 )211(21+-=n n u n ，所以43)2111211(21→ +-+-+=n n S n （∞→n ） 故原级数收敛，且其和为43 。 （2）由 ΛΛ+++++++)31 21()3121()3 121(22n n ∑∞ =+=1) 3121(n n n 而级数∑∞=121n n 及∑∞ =131n n 均收敛，故原级数收敛。 （3）由0 12 cos ≠→+=n u n π ，（∞→n ），故原级数发散。 注：应用（1）中的技巧，可得对任何自然数p ，有： )1211(1)(1 p p p n n +++= +∑Λ。 2．判别下列级数的敛散性。 （1）)1ln(1∑∞ =+n n π （2）∑∞ =?11 n n n n （3）∑∞ =-+12)1(2n n n （4）)1sin (10∑?∞ =+n n dx x x π （5）∑∞ =1!n n n n （6）∑∞=+++12)1()1)(1(n n n x x x x Λ（0≥x ） （7）n n n a b ∑∞ =1)(，其中a a n →，a b a n ,,皆为正数，0≠a 。 解：（1）由 n n u n π π~)1ln(+= （∞→n ），又 ∑∞ =1n n π 发散，故由比较判别法知， 原级数发散。 （2）由 1111 →=?n n n n n n （∞→n ），又 ∑∞ =11 n n 发散，故由比较判别法的极限形式 可知，原级数发散。 （3）法1： n n n n n u )21(2 12)1(21 -+=-+= -，而∑∞ =-1121 n n 及 n n ∑∞ =-1)21 (均收敛，故原级数 第十二章 无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑= 3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛,则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛. 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. 2、 交错级数： 莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。 条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。 其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、 和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项 积分.(R 不变,收敛域可能变化). 第十章 无穷级数 【考试要求】 1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与 p 级数的敛散性． 4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间． 6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法． 【考试内容】 一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义 一般地，如果给定一个数列 1u ，2u ，L ，n u ，L ，则由这数列构成的表达式 123n u u u u +++++L L 叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为 1 n n u ∞ =∑，即 1231 n n n u u u u u ∞ ==+++++∑L L ，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念 作常数项级数 1 n n u ∞ =∑的前n 项和121 n n n i i s u u u u ==+++=∑L ，n s 称为级数 1 n n u ∞ =∑的部分和，当n 依次取1,2,3,L 时，它们构成一个新的数列 11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，L ， 12n n s u u u =+++L ，L ． 如果级数 1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞ =，则称无穷级数1 n n u ∞ =∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成 123n s u u u u =+++++L L 或者 1 n n u s ∞ ==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1 n n u ∞ =∑发散． 3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛于和s ，则级数 1 n n ku ∞ =∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数 的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑分别收敛于和s 、σ，则级数 1 ()n n n u v ∞ =±∑也收敛，且 其和为s σ±． （3）在级数 1n n u ∞ =∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性． （4）如果级数 1n n u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞ =． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞ 不为零，则级数 1 n n u ∞ =∑一定发散． 4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数 级数 2 1 n n n q q q q ∞ ==++++∑L L 或 20 1n n n q q q q ∞ ==+++++∑L L 称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛； 当 1q ≥时级数发散． （2）调和级数 级数知识点总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第十二章无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑ = 3211 正项级数： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ? 两个收敛级数的和差仍收敛，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数 去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有 界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞ =1n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散. ? ，当：1 数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n 第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。 第一节 常数项级数的概念和性质 一、 概念 常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ? ? ?, u n , ? ? ?, 则由这数列构成的表达式u 1 + u 2 + u 3 + ? ? ?+ u n + ? ? 叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞ =1n n u , 即 3211???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项 u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞=1 n n u 的前n 项和n n i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211 称为级数∑∞ =1 n n u 的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1 n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞ →lim , 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收 敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成 3211 ???++???+++==∑∞ =n n n u u u u u s 如果}{n s 没有极限, 则称 第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n无穷级数内容小结讲课讲稿
0） 若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑ ∞=11n n 发散。 4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞ =1 n n u 为正项级数 方法：1）比较审敛法：设∑∞=1 n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞ =1n n v 收敛， 则级数∑∞=1n n u 收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散。2）比较审敛法的极限形式：若 l v u n n n =∞→lim )0(+∞<
第十章无穷级数
数项级数敛散性判别法。(总结)
复变函数项级数
第10章 无穷级数习题详解
幂级数求和函数方法概括与总结
第十二章数项级数31263
无穷级数总结
第十二讲函数列与函数项级数
无穷级数总结
第十章 无穷级数
级数知识点总结
第十章无穷级数
级数知识点总结
数学分析：第章数项级数
函数列与函数项级数
无穷级数
第十二章-无穷级数(整理解答)
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