谈数学解题的外形联想策略张祖寅 （江苏省无锡市第一中学 ２１４０００）
人的数学思维有宏观与微观两个方面．宏观上，数学思维乃是生动活泼的策略创造，如直觉顿悟、联想类比等；微观上，数学思维却要求步步为营，言必有据，进行严谨的逻辑演绎畅宏观思维是从整体出发，进而推断、把握问题的方向，促使直接、快速发现知识的规律，具有创造性，因而它是思维的主导方面；微观思维则是寻根究底、追本溯源，从推理的角度来论证所发现的知识规律是否成立畅学生在学习数学的认知过程中，对每一个知识点的发现、理解和运用，都离不开宏观和微观两方面的思维畅长期的解题经验和解题教学的实践表明，完美的解题与广泛的数学联想是密切相关的畅对有些问题我们通常说“想不到”，实际上应该说是“联不上”畅因此，要想提高解题能力，首先要在解题中提高联想水平畅“外形联想”是根据问题的条件或结论所显露的外形结构特征联想与之密切相关的另一数学模式畅它不仅能达到另辟蹊径化难为易的目的，还能丰富我们的想象能力．
１ 联想根的判别式
对于形如ｂ２－４ａｃ的结构问题，从宏观上可以联想一元二次方程，类比其判别式求解畅例１ 已知２ｂ－２ｃ＝ａ，求证：ｂ２≥４ａｃ畅
分析 由ｂ２≥４ａｃ即ｂ２－４ａｃ≥０，从而联想到某一元二次方程有实根畅而已知条件可化为
ａ－２
２
２
＋ｂ－２
２
＋ｃ＝０，这表明一元二次方
程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０有实根－２
２
畅于是ｂ２－４ａｃ≥
０，即ｂ２≥４ａｃ畅
例２ 已知９ｘ＋３ｙ＋ｚ＝０，ｙ２－４ｘｚ＝０（ｚ≠０），求
ｙ
ｘ的值畅
分析 常规方法是消去ｚ，转化为ｘ，ｙ的方程，然后再进行讨论求解畅而ｙ２－４ｘｚ＝０外形结构酷似一元二次方程判别式，因此联想到一元二次方程；又９ｘ＋３ｙ＋ｚ＝０，可知３是关于ｍ的方程ｘｍ２＋ｙｍ＋ｚ＝０的根，由Δ＝ｙ２－４ｘｚ＝０，故３＋３＝－
ｙ
ｘ，即
ｙ
ｘ＝－６畅
由数式结构联想到判别式，体现了对数式结
思维状态时，教师要抓住时机给予开导，教师“举一”，学生应该“反三”，这样才能达到较好的教学效果．启发的本质是激发学生的求知欲和学习兴趣并引导学生开展积极的思维活动．其中的“愤”、“悱”是学生好知乐学精神的体现．善于启发的教师能化平淡为神奇，不会启发的教师正好相反．上面的两位教师都善于启发引导．需要注意的是启发不能过，要把握好度，否则就会干扰学生的学习．因此，循循善诱才是一种教学艺术．
?激励
激励，就是激发鼓励的意思，它属于即时性评价的范畴．激励还具有诊断、调控和导向的作用．从枟论语枠中我们看到，孔子在开展教学活动时，经常启发学生提问，枟论语枠记载学生提问有一百多次，对于好的问题，总是加以肯定和鼓励．上面的优秀青年教师也善于使用激励性语言，经常使用的激励语有：“好，非常好！”“太好了，说得非常正确！”“你的想法很好！请继续说！”“这样做，已经很好了，如果观察到这一关系，还能做得更简洁！”“数学要想学得好，数形结合少不了！”等．恰到好处的激励，可以使学生的心情变得愉悦，兴趣得到培养，自信心得到增强．可以说，激励是一种鼓励学生探究的艺术．
?激情
激情是一种强烈激动的情感，反映了一个人的精神状态．课堂需要激情，没有激情的教师，就没有激情的课堂，没有激情的教师，就培养不出有激情的学生．沉闷的课堂是无趣的，也不利于学生的学习和思维．有激情的教师最受学生的欢迎，教师要重视培养自己的激情，平时多观察、多学习、多实践，把对数学的爱、教学的爱、生活的爱充分展示出来，以此来感染学生，点燃他们学习数学的热情．上面第一位教师就是一位激情型教师，其课上得也比较精彩．可以说，激情主要是用来调节课堂气氛的艺术．
构的灵活联想，巧妙地运用辩证思维对发展学生的创造性思维、培养学生的综合素质、提高教学质量起到很好的作用畅
２ 联想余弦定理
在数学解题中，常会碰到形如ａ２
＋ｂ２
＋ｋａｂ＝ｃ２（ａ，
ｂ，ｃ＞０，｜ｋ｜＜２）的结构，这自然会联想到余弦定理，进行几何代换，从而把代数问题转化为三角问题，使比较隐蔽的关系直观化畅
例３ 求ｓｉｎ２
１９°＋３ｓｉｎ１９°ｓｉｎ１１°＋ｓｉｎ２
１１°的值畅
分析 本题用纯三角的方法较为繁琐，由所
求式子外形结构联想到△ＡＢＣ中余弦定理ａ２
＝ｂ２
＋ｃ２
－２ａ?ｂ?ｃｏｓＡ的变形公式：
ｓｉｎ２
Ａ＝ｓｉｎ２
Ｂ＋ｓｉｎ２
Ｃ－２ｓｉｎＢ?ｓｉｎＣ?ｃｏｓＡ，
于是令△ＡＢＣ中，Ｂ＝１９°，Ｃ＝１１°，则Ａ＝１５０°畅
则ｓｉｎ２
１９°＋ｓｉｎ２
１１°＋３ｓｉｎ１９°ｓｉｎ１１°＝ｓｉｎ２１９°＋ｓｉｎ２
１１°－２ｓｉｎ１９°ｓｉｎ１１°ｃｏｓ１５０°＝ｓｉｎ２
１５０°＝
１４
．本题还可发现：ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２
β＋３ｓｉｎαｓｉｎβ
中只要α＋β＝３０°，
其值均为１
４
！上述解法之简捷，令人赞叹，并由此可得到问题编设的真谛，不禁会大胆设想：
ｓｉｎ２
α＋ｓｉｎ２
β＋２ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝ｓｉｎ２
（α
＋β）；
ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β－２ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓ（α＋β）＝ｓｉｎ２
（α
＋β）．
例４ 已知ｘ，ｙ，ｚ为正数，且满足方程组ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝１，ｙ２＋ｚ２
＋ｙｚ＝３，ｚ２
＋ｘ２
＋ｚｘ＝４，试求ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ的值畅分析 原方程组可化为
ｘ２
＋ｙ２
－２ｘｙｃｏｓ１２０°＝１２
，
ｙ２＋ｚ２－２ｙｚｃｏｓ１２０°＝（３）２，ｚ２＋ｘ２－２ｚｘｃｏｓ１２０°＝２２．图１
以上结构类似余弦定理，且
右边常数有１２＋（３）２＝２２
的特征，于是可构造如图１中的Ｒｔ△ＡＢＣ，使∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１，
ＢＣ＝３，则ＡＢ＝２畅
在Ｒｔ△ＡＢＣ内作点Ｏ，使∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝１２０°，则ＡＯ＝ｘ，ＣＯ＝ｙ，ＢＯ＝ｚ畅
因为Ｓ△ＡＯＣ＋Ｓ△ＣＯＢ＋Ｓ△ＢＯＡ＝Ｓ△ＡＢＣ，于是１２ｘｙｓｉｎ１２０°＋１２ｙｚｓｉｎ１２０°＋１
２
ｚｘｓｉｎ１２０°＝
３２
，从而可得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝２畅解题离不开方法的迁移、思维的联想和知识的交融，要摒弃僵化的、固定的思维模式畅特别当我们屡攻不克或繁琐难解时，应当纵横联想，变换方法畅
３ 联想两点距离
在解析几何中，点Ａ（ｘ１，ｙ１）和Ｂ（ｘ２，ｙ２）之间的距离用公式可表示为｜ＡＢ｜＝（ｘ１－ｘ２）２
＋（ｙ１－ｙ２）２
，它不仅能帮助我们解许多解析几何的问题，而且在其他数学问题中也能发挥重要作用畅
例５ ａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２∈Ｒ，求证：ａ２
１＋ｂ２
１＋ａ２
２＋ｂ２
２≥（ａ１＋ａ２）２
＋（ｂ１＋ｂ２）２
畅
分析 该题用根式及不等式性质可得证明，
但比较繁琐畅若从外形结构形式，可联想到三角形两边之和大于第三边，把不等式看作是三角形三边之长，在平面直角坐标系中构造图形，使三边满足结论畅取Ｏ（０，０），Ａ（ａ２，ｂ２），Ｂ（ａ１＋ａ２，ｂ１＋ｂ２），由｜ＯＡ｜＋｜ＡＢ｜≥｜ＯＢ｜（等号当且仅当Ｏ，Ａ，Ｂ共线取到）可得证畅
当然，若联想到复数的模，利用复数中｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜≥｜ｚ１＋ｚ２｜，
设ｚ１＝ａ１＋ｂ１ｉ，ｚ２＝ａ２＋ｂ２ｉ，同样可证不等式成立畅
例６ 已知５ｘ＋１２ｙ－６０＝０，求ｘ２
＋ｙ２
的最小值畅
分析 按常规解法，是把问题转化为求一元函数的最小值，思路清晰，但运算较繁畅若从已知式的外形结构联想，ｘ２
＋ｙ２
表示原点到点（ｘ，
ｙ）的距离，而点（ｘ，ｙ）又在直线５ｘ＋１２ｙ－６０＝０上，因此ｘ２
＋ｙ２
的最小值即为原点到直线５ｘ＋１２ｙ－６０＝０的距离畅从而（ｘ２
＋ｙ２
）ｍｉｎ＝ｄ＝｜０＋０－６０｜５２＋１２
２＝６０１３畅
例７ 求二元函数ｆ（ｕ，ｖ）＝（ｕ－ｖ）２
＋
（２－ｕ２
－
９ｖ
）２
的最小值畅分析 本题是求二元函数极值，题型生疏，直接求解较为困难畅从其右式外形结构联想，即
图２
为Ａ（ｕ，２－ｕ２），Ｂ（ｖ，９
ｖ
）
两点间距离的平方畅而点Ａ，Ｂ分别是半圆Ｃ１：ｘ２
＋ｙ２
＝２（ｙ≥０），等轴双曲线Ｃ２：ｘｙ
＝９上的动点，
于是只需求Ｃ１与Ｃ２上的点之间的最短距离．作出Ｃ１与Ｃ２后易得：ｆ（ｕ，
ｖ）的最小值为２２畅
联想能充分调动记忆中储存的信息，触发创造性思维的火花畅不同的联想产生不同的解题方法畅
４ 联想三角公式
有些数学问题，从所给关系式结构来看与三角公式十分相似，由此建构三角模型解题畅
例８ 设ａ，ｂ是非零实数，且满足ａｓｉｎπ５＋ｂｃｏｓ
π５ａｃｏｓπ５
－ｂｓｉｎ
π５
＝ｔａｎ８π１５，求ｂａ的值畅分析 从宏观上观察等式两边结构发现与两角和的正切公式“似像非像”，于是作局部调整，将左式分子分母同除以ａｃｏｓπ５，并同时变化右式
得
ｔａｎπ５
＋ｂ
ａ１－ｂａｔａｎ
π５
＝ｔａｎ（π５＋π３），
从而得ｂａ＝ｔａｎπ
３＝３畅
哲学家康德就曾说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，联想这个方法往往能指引我们前进．”
例９
已知函数
ｆ（ｘ１
－
ｘ２）＝
ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）
１＋ｆ（ｘ１）ｆ（ｘ２），且ｆ（ａ）＝１（ａ≠０），则ｆ（ｘ）的
一个周期为 畅
分析 由于条件隐蔽，要想直接求出周期，难度很大畅由ｆ（ｘ１－ｘ２）＝
ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）
１＋ｆ（ｘ１）ｆ（ｘ２）
的外
形结构联想到正切差角公式ｔａｎ（α－β）＝
ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ，而ｔａｎπ４＝１，
则４ａ是ｆ（ｘ）的一个周期畅先从联想猜出周期，然后用４ａ代入验证即可畅
例１０ 任给７个实数，求证：其中至少有两
个数ｘ，ｙ满足０≤
ｘ－ｙ１＋ｘｙ≤
３
３
畅分析 若从７个实数着手，难度较大，但待
证式颇似三角公式ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ
，由此联想三角模型．设给定７个实数为ｔａｎαｉ（ｉ＝１，２，３，４，５，６，７）且αｉ∈（－π２，π２），０与３
３
分别为ｔａｎ０与ｔａｎ
π
６，将（－π２，π２
）分为６个区间：（－
π２，－π３］，（－π３，－π６］，（－π６，０］，（０，π
６
］，（π６，π３］，（π３，π２）．则必有两个ａｉ同属一个区间，不妨设α１，α２属同一区间，且α１≥α２，那么０≤α１
－α２≤π
６，而ｔａｎ（α１－α２）＝ｔａｎα１－ｔａｎα２１＋ｔａｎα１ｔａｎα２＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，
且０≤ｔａｎ（α１－α２）≤３３，即０≤ｘ－
ｙ１＋ｘｙ≤３
３
畅联想可发现新的数学知识，类比可寻求到解决数学问题的方法和途径；可培养学生的发散思维、创造思维及合情推理能力．此题因联想到正切和三角模型，使解法简洁明了！
５ 联想直线斜率
我们知道：ｙ２－ｙ１
ｘ２－ｘ１
表示平面上两点Ｐ１（ｘ１，
ｙ１）和Ｐ２（ｘ２，ｙ２）连线的斜率．有些代数、三角问题，从表面上看似乎不能用斜率公式来解，但只要我们注意观察，对它进行适当的变形，便可类比斜率公式，结合图形解之畅
例１１ 求证：２－２３
３
≤
３－ｓｉｎθ
２＋ｃｏｓθ
≤
２＋２３３
畅
图３
分析
观察式子
３－ｓｉｎθ２＋ｃｏｓθ
，联想到直线的斜率公式，那么其意义即为：点Ａ（２，３）与点Ｍ（－ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）两点所
确定直线的斜率．
而Ｍ点的轨迹是圆ｘ２＋ｙ２
＝１，由图３可知：当点Ｍ位于切点Ｍ１时ｙ最小，ｙｍｉｎ＝２－２３
３
，
当点Ｍ位于切点Ｍ２时ｙ最大，ｙｍａｘ＝
２＋２３３
，于是２－２３３≤３－ｓｉｎθ２＋ｃｏｓθ≤２＋２３３畅
例１２
若ａ≠
ｂ，求证：－１
＜
１＋ａ２
－１＋ｂ
２
ａ－ｂ＜１畅
图４
分
析
由
１＋ａ２
－１＋ｂ
２
ａ－ｂ的外
形结构联想到点Ａ（ａ，１＋ａ２
）
与Ｂ（ｂ，１＋ｂ２）两点连线的斜
率，而点Ａ，Ｂ又是等轴双曲线ｙ２
－ｘ２
＝１上支上的两点，其渐近线的倾斜角分别为４５°和１３５°，从而－１＜ｋＡＢ＜１，即－１＜
１＋ａ２
－１＋ｂ
２
ａｂ
＜１畅
例１３ 设ａ＞ｂ＞０，ｍ＞ｎ．求证：ａｍ
－ｂｍ
ａ＋ｂ＞
ａｎ
－ｂｎ
ａ＋ｂ
畅分析 原不等式等价于：（ａｂ）ｍ－１（ａｂ）ｍ＋１＞
（ａｂ
）ｎ
－１（ａｂ）ｎ＋１．（倡）（倡）式左边表示过点Ａ（
ａｂ）ｍ，（ａｂ
）ｍ
与Ｐ（－１，１）两点直线的斜率，右边表示Ｂ（
ａｂ）ｎ，（ａｂ
）ｎ
与Ｐ（－１，１）两点直线的斜率，因ａ＞ｂ＞０，ｍ＞ｎ，则（ａｂ）ｍ
＞（ａｂ）ｎ，而点Ｂ在
点Ａ的左下方畅于是ｋＰＡ＞ｋＰＢ，即（ａｂ）ｍ
－１（ａｂ
）ｍ
＋１＞
（ａｂ
）ｎ
－１（ａｂ
）ｎ＋１
，故ａｍ－ｂｍａ＋ｂ＞ａｎ－ｂｎ
ａ＋ｂ畅联想不是空穴来风，更不是硬拼硬凑，它是机敏的表现！
根据中学数学的学习特点，在教学中，我们应特别注意引导学生辩证地、多视角地去思考、分析
问题，注意启发学生对中学数学特有的理论体系与思维方法进行分类总结、综合概括、灵活运用，解决实际问题畅６ 联想曲线定义定义揭示了事物本质属性，所以有些问题如能联想曲线定义所得解法常较为简捷畅
例１４
解方程：ｘ２
－８ｘ＋１７
＋
ｘ２
＋８ｘ＋１７＝１０．
分析 从外形结构上可类比：平面上两个两点距离和为１０，于是联想到椭圆的定义，因此将原方程变形为：（ｘ－４）２
＋１＋
（ｘ＋４）２
＋１
＝１０．令ｙ＝１，则方程表示点（ｘ，ｙ）到两定点（４，０），（－４，０）的距离和为１０，符合椭圆的定义，那么点（ｘ，ｙ）满足椭圆方程：ｘ２
２５＋
ｙ２
９
＝１．又因为ｙ＝１，所以ｘ２
２５＋１９＝１，于是ｘ＝±１０２３
，即原方程的
解为：ｘ＝±１０２３
畅
例１５ 解方程：｜｜ｘ－３｜－｜ｘ＋３｜｜＝２畅分析 从外形结构可类比：平面上两个距离之差的绝对值等于２，于是联想到双曲线的定义，因此
将
原
方程变
形为：
｜
（ｘ－３）２
－（０－０）２
－（ｘ＋３）２
－（０－０）２
｜
＝２，
那么原方程表示点（ｘ，０）到点（－３，０），（３，０）的距离之差为２，即（ｘ，０）应是以点（－３，０），（３，０）为焦点，２ａ＝２的双曲线的顶点．由ａ＝１，ｃ＝３可得ｂ２
＝８，所以双曲线方程为ｘ２
－ｙ２
８
＝１，令ｙ＝０得ｘ＝±１，
即原方程的解为ｘ＝±１畅例１６ 已知ｃｏｓ４
αｃｏｓ２β＋ｓｉｎ４
αｓｉｎ２
β＝１，求ｃｏｓ
４
βｃｏｓ２α
＋ｓｉｎ４
βｓｉｎ２
α
的值畅分析 从已知式的外形结构可联想到圆或
椭圆方程．
联想１：Ａｃｏｓ２
αｃｏｓβ，ｓｉｎ２
αｓｉｎβ
在圆ｘ２＋ｙ２
＝１上，点Ｂ（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）也在圆ｘ２＋ｙ２
＝１上，则过Ｂ的切线ｌ的方程为ｘｃｏｓβ＋ｙｓｉｎβ＝１畅把点Ａ代入切线ｌ的方程中，显然Ａ∈ｌ，从而点Ａ也是切点，由切点的唯一性可知点Ａ与点Ｂ重合，即ｃｏｓ２
αｃｏｓβ
＝
ｃｏｓβ，ｓｉｎ２αｓｉｎβ＝ｓｉｎβ，从而ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２β，ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ２β，故ｃｏｓ４β
ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ４βｓｉｎ２α＝１畅
联想２：点Ａ（ｃｏｓ２α，ｓｉｎ２α），点Ｂ（ｃｏｓ２β，ｓｉｎ２β）都是椭圆ｘ２ｃｏｓ２β＋ｙ２ｓｉｎ２β＝１上的点，又过点Ａ的椭圆切线方程为ｘ＋ｙ＝１，过点Ｂ的椭圆切线方程也为ｘ＋ｙ＝１，由切点的唯一性可知点Ａ与点Ｂ重合，即ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２β，ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ２β，故ｃｏｓ４β
ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ４βｓｉｎ２α＝１畅
不同的联想产生不同的解法，联想产生方法，方法在联想中生成畅
联想就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段．因为有了联想，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想，来找到具有创新性的解题方法畅
７ 联想数列求和
等差、等比数列求和公式形式简单，结构精巧，很能给人联想空间畅
例１７ 已知｜ａ｜＜１，｜ｂ｜＜１，证明：１
１－ａ２
＋
１
１－ｂ２
≥
２
１－ａｂ
畅
分析 此题常见证明方法有：作差比较法、
综合法、分析法、三角换元法、放缩法畅
由于｜ａ｜＜１，｜ｂ｜＜１，则联想到等比数列求和公式：１
１－ａ２
＝１＋ａ２＋ａ４＋ａ６…，
１
１－ｂ２
＝１＋ｂ２＋ｂ４＋ｂ６＋…，
所以１
１－ａ２＋
１
１－ｂ２
＝２＋（ａ２＋ｂ２）＋（ａ４＋
ｂ４）＋（ａ６＋ｂ６）＋…≥２＋２ａｂ＋２ａ２ｂ２＋２ａ３ｂ３＋…＝２（１＋ａｂ＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ３＋…）＝２
１－ａｂ
畅这是一种构思巧妙、精彩简洁的证明畅
著名数理逻辑学家、哲学家罗素风趣地说：“数学不仅拥有真理，而且还拥有至高的美———一种冷峻而严肃的美，正像雕塑所具有的美一样……”
例１８ 设Ｋｎ＝１?２＋２?３＋…＋
ｎ（ｎ＋１）．求证：不等式ｎ（ｎ＋１）
２
＜Ｋｎ＜（ｎ＋１）２
２
畅
分析 由要证的结论我们联想到两个数列公式：
ｎ（ｎ＋１）
２
＝１＋２＋３＋…＋ｎ；
（ｎ＋１）２
２
＝
１
２
［１＋３＋５＋…＋（２ｎ－１）＋（２ｎ＋１）］．
因此将Ｋｎ的通项公式中的ｎ（ｎ＋１）进行适当放缩，构建数列，再求和即可．
而ｎ＜ｎ（ｎ＋１）＜
ｎ＋（ｎ＋１）
２
＝
２ｎ＋１
２
，于是求和即得
ｎ（ｎ＋１）
２
＜Ｋｎ＜
（ｎ＋１）２
２
畅创造一个数列的思路产生在丰富的联想之后，而一旦构建了一个模型，则问题解决得又快又轻松畅联想是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法畅
８ 联想向量数乘
由于ａ?ｂ＝｜ａ｜?｜ｂ｜ｃｏｓθ，则｜ａ?ｂ｜２≤｜ａ｜２?｜ｂ｜２畅因此，对于正数积ａｂ≤ｃｄ的问题，常常可联想向量解之畅
例１９ 设ａ，ｂ为不等的正数，求证：（ａ４＋ｂ４）（ａ２＋ｂ２）＞（ａ３＋ｂ３）２畅
分析 联想向量的数量积，设ｐ＝（ａ２，ｂ２），ｑ＝（ａ，ｂ），
则（ａ３＋ｂ３）２＝（ｐ?ｑ）２＝｜ｐ｜２?｜ｑ｜２ｃｏｓ２θ≤｜ｐ｜２?｜ｑ｜２＝（ａ４＋ｂ４）（ａ２＋ｂ２）畅
又ａ，ｂ为不等的正数，那么ｐ≠±ｑ，即θ≠０，π，于是（ａ４＋ｂ４）（ａ２＋ｂ２）＞（ａ３＋ｂ３）２畅
丰富的联想产生于良好的数学记忆能力和知识迁移能力畅数学问题的解决离不开联想，而顺利实现合理联想的关键，在于能否清晰地把握知识之间的内在联系畅
从以上例子看到，联想解题的关键是从外形结构深入问题内部，把握问题特征，进而恰当地变形，在此基础上展开联想．而联想的关键又来自对问题的结构、数值等特点进行敏锐的观察和认识．类比联想从不同的途径沟通了函数、方程、不等式以及数与形之间的关系，体现了不同数学概念之间有机和谐的统一，发挥了基本数学思想的作用，不失为一种实用而有效的方法畅
考研数学答题技巧临场解题策略及黄金战术原 则 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
考研数学答题技巧：临场解题策略及黄金战术原则 正确运用考研数学临场解题策略及黄金战术原则，不仅可以预防各种由于解题习惯造成的不合理丢分和计算失误，而且还能合理安排解题次序和答题时间，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。 一、面对难题的两大临场解题策略：缺步解答和跳步解答。 会做的题目当然要力求做对、做全、拿满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分。铁军老师介绍面对难题的两种重要策略。 1、策略之一——缺步解答：对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是，将它划分为一个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的语言文字转化成数学语言和相应数学公式，把条件和目标译成数学表达式等，都能得分。而且可望从上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。 2、策略之二——跳步解答：解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底。
如果题目有两问，第一问做不上，可以把第一问当做已知条件，先完成第二问，这叫跳步解答。如果在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。 二、黄金战术原则：六先六后，因人制宜 1、战术之一——先易后难。就是先做小题和简单题，后做综合题和大题。根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难解题。但要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退。 2、战术之二——先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生都难，确保情绪稳定。 对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的战略战术。即先做那些内容掌握到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目，让自己产生“旗开得胜”的效果，从而有一个良好的开端，以振奋精神、鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学中所谓的“门槛效应”。之后做一题得一题，不断产生激励，稳拿中低，见机攀高，达到超常发挥、拿下中高档题目的目的。 3、战术之三——先同后异。就是说，先做同科同类型的题目，思维比较集中，知识和方法的沟通比较容易。考研题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”转移过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。
浅谈小学数学解题策略 摘要：小学数学教学是小学阶段教学的重要容，数学学习的主要方式是运用所学知识解答各类数学习题，因此，在小学数学教学过程中培养学生的解题能力，是数学教学的重要任务之一。数学题目虽然有各种不同的类型和变化，但在解答过程中还是有规律可循的，作为小学数学教师，要注意在教学过程中锻炼学生的数学思维能力，引导学生掌握数学的解题方法，使学生能够在学习过程中做到举一反三，从而有效地提高学生的数学学习能力。本文就小学数学解题策略进行了分析和探究，发表一些个人的看法。 关键词：小学数学；解题；策略 小学数学教学是学生数学学习的启蒙阶段，这一阶段对学生数学思维的形成、数学学习习惯的培养、数学核心素养的发展都具有重要的意义，在数学教学过程中引导学生运用数学思维解决数学问题，可以使学生建立对于数学问题的整体认知，逐渐发展学生分析问题和解决问题的能力，是数学教学的重要任务之一。一位好的数学教师，不仅会教给学生数学知识，更要注意发展学生的数学能力。实践证明，在数学教学过程中锻炼学生的解题能力，可以使学生的思维更加灵活、思路更加开阔，面对问题时能够从不同的角度思考，
解决问题的效率也会更高。基于以上原因，笔者结合自己多年的教学实践对小学数学解题策略进行了分析论述，希望能为大家提供一些有益的借鉴。 一、鼓励猜想，通过发散思维解题 小学生的思维灵活，在教学过程中，教师要注意鼓励学生进行发散性思维，针对同一个问题从不同的角度进行猜想，通过猜想明确解题思路，在此基础上找到适合的解题方法。在引导学生进行发散性思维的过程中，教师要注意保护学生的自信心，应最大限度地调动学生学习的积极性，有意识地给学生创造良好的意境，鼓励学生大胆猜想，使学生的自觉沟通数学知识的某种联系，构建数学对象，灵活运用各种思维方法和方式，找出解题途径，克服思维僵化，生搬硬套，解题呆板，运算繁琐等不良倾向。学生思维的发散性是在思维过程中不受解决模式的束缚，从问题个性中寻找共性，从不同方向不同角度去猜想、延伸、拓展。如在解决小学数学问题时，教师往往去尝试一题多变、一题多用、一题多解等训练，较好地培养和锻炼了思维的发散性。例如，一题多问是以相同条件启发学生通过联想，提出问题，以促进学生思维的灵活性。如教学“用分数解决问题”后，课件出示：一本故事书有150页，小明第一天看了全书2/5，第二天看了全书3/10，？根据屏幕信息，你可以提出哪些问题？学生都提出了不同的问题，接着学生?思考边回答，并在本子
浅谈小学数学教学策略 在教学改革飞速发展的今天，摆在每一位老师面前的是怎样让学生高效地获得新知，在数学方面获取新知更显得尤为重要，那么什么样的教学策略最有效呢?著名教育家赞赞可夫说过教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的精神需求，这种教学方法就能发挥高度有效的作用，我也非常赞同这个观点，现在结合自己的教学经验谈一下体会： 一、用爱心为学生搭建求知的桥梁 1、设置教学情境，激发学生的求知欲望，让学生主动参与 要摒弃传统意义上的数学课堂，抓住学生的心里特征，积极给学生营造学习的氛围，培养学生学习数学的兴趣；课下多与学生沟通，做学生的朋友，了解学生对数学课的看法，及时调整自己教学方法。 2、注重学生求知的过程，让学生有的放矢 让学生在课堂上去体验成功的快感，放手让他们自己去发现问题，进而解决问题，给学生留下足够的思考空间，从而去获取新知，放手让学生去学数学。 3、合作学习是学生获取新知的重要途径 在数学学习中，小组合作学习是很好的形式，一道题，放在小组中，大家经过讨论进行有选择性的商议，这时，思维活跃的孩子可以阐述自己的意见，而对于不爱发言的孩子，在小范围内也留给了他表现的空间，给自己的同桌讲讲，在大家的充分参与下，对研究的数学结果进行初步的统一，然后把研究的结果展示给全班同学，这时，学生对知识的思考过程进行再现，这样，不仅有利于学生思考问题，更有利于学生理解掌握数学。 二、培养学生养成良好的课堂习惯。 著名教育家叶对陶说：“什么是教育？简单一句话，就是要养成良好的习惯。”良好的习惯一旦形成，就会变成人生道路上前进的巨大力量，终身受益；反之，从小忽视良好习惯的培养，而让不良习惯发展形成恶习，将贻误终身。那么数学课上，要注意培养学生哪些好的习惯呢？ 1、独立思考习惯。 发现问题能够独立思考是一种良好的思维品质，遇到问题要善于主动思考，养成认真钻研，耐心细致的习惯，这样才能就养成良好的思维习惯。 2、合作交流习惯。
小学数学的几种解题策略 张继荣 摘要：小学数学问题的策略还很多，教师要根据各种数学问题的特点，学生认知水平和知识之间的联系，实时的教给学生解决问题的策略，培养学生解决问题的方法，提高学生解决问题的技能和技巧，提高学生数学的综合素质。 关键词：解题思想枚举策略替换的策略假设策略转化策略 所谓数学解题方法是指解决数学问题中，学习者为实现某种目标所采用的一些相对系统的解题思想和方法，它既是由多种具体方法优化组合而成的一种系统化的方法体系，同时又是由多个步骤有机结合而构成的一种有序的思维活动程序。数学解题策略既是考察学习效果的基本因素，同时也是衡量个体解决问题能力的重要标志。有效的解决问题的策略能帮助学生以较少的时间利用所学的知识去尽可快的解决数学问题。 一、枚举（列举）策略 枚举法是一种重要的数学方法,有很多较复杂的问题,常常是从具体情况一一枚举,从中找出 规律和方法再加以解决的。 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 解：需要考虑吃的天数和吃的顺序不同。一天吃完：7；两天吃完：5+2，2+5，4+3，3+4；三天吃完：3+2+2，2+3+2，2+2+3。 答：一共有8种不同的吃法。 二、替换的策略 所谓替换策略，就是用一种相等的数值、数量、关系、方法、思想去替代变换另一种数值、数量、关系、方法、思路的一种策略。 例如：学校买了4张桌子和9把椅子，共用504元。1张桌子和3把椅子的价钱正好相等。桌子和椅的单价各是多少元？ 【分析与解】 本题中要求桌子和椅子的单价两个未知量，我们在解答时，可以根据“1张桌子和3把椅子的价钱正好相等”这一条件，将桌子和椅子分别进行替换，就可以消去一个未知量，求出另外一个未知量，从而得出该题的答案。 解法一：用椅子替换桌子。由于1张桌子和3把椅子的价钱正好相等，则4张桌子和（3×4）12张椅子的价钱正好相等。这样，4张桌子和9把椅子的价钱就和（12＋9）21把椅子的价钱相等，共是504元。于是便可以先求出椅子的单价再求出桌子的单价了。即：504÷（9+3×4）=504÷21=24（元），24×3＝72（元）。 解法二：用桌子替换椅子。由于1张桌子和3把椅子的价钱正好相等，则9把椅子就和（9÷3）3张桌子的价钱正好相等。这样，4张桌子和9把椅子的价钱和（4＋3）7张桌子的价钱正好相等，共是504元。于是便可以先求出桌子的单价再求出的单价了。即：504÷（4＋9÷3）＝504÷7＝72（元），72÷3＝24（元）。 三、假设的策略 题中要求两个或两个以上的未知数量，解题时可以先假设要求的两个或两个以上的未知量相等或先假设要求的一个未知量与题目中的某一已知数量相等，使题意明朗化、简单化。再按照题里的已知条件进行推算，把假定的加以纠正和调整，从而得到正确答案。
浅谈高中数学解题策略实践方法 发表时间：2019-08-22T15:51:57.230Z 来源：《教育学文摘》2019年9月总第313期作者：张春香 [导读] 使学生掌握解决数学问题的方法作为高中数学教育的生命力所在，对于学生的数学学习有着重要的意义。云南省迪庆州藏文中学674400 摘要：随着高中数学课程改革的进行，培养学生们的自主学习能力和知识转移应用能力已成为高中数学的重要教育目标。在高中数学的教学实践中，我们发现，对于高中学生而言，他们当前学习的数学知识是复杂抽象的，导致学生在学习过程中往往畏难不前。因此，本文将对高中数学解题的教育战略进行深入研究，以期提高学生的学习效率，培养学生的解决问题的能力，这对教师来说是具有重要意义的。 关键词：高中数学解题策略实践方法教学建议 使学生掌握解决数学问题的方法作为高中数学教育的生命力所在，对于学生的数学学习有着重要的意义。在传统的高中数学课上，教师们尽管传授了数学知识和基本的解题方法，并通过大量的题海战法，提高了学生解决数学问题的速度，但是从长期来看，学生的数学学习热情将会在无聊的题海实践中逐渐消失。 作为数学教师，我希望以个人在教育实践中学习到和总结的经验，启发各位教育同仁的高中数学解题策略的实践教学。 一、加强数学教材的应用 高中数学教师上课时教授的数学知识来自于教材的应用价值。在教学过程中，教师应当注重教材的价值，充分发挥教材的重要作用，探索其中蕴含的数学思想，用适当的教学方法教给学生数学知识。 教师们首先要创造民主、和谐的授课氛围，培养学生们的创意性思考。提高高中数学解题教学效率的需要要求教师优化教学结构，建立和谐的师生关系。在日常生活中，教师可以与学生以平等的态度交流教学的有效方法，了解学生喜欢的解题教学模式和数学学习中的瓶颈，这有利于教师们转换教育战略，优化教育设计，提高教育效率性。 其次，教师能够通过创建课堂环境而激发学生对学习的兴趣。 最后,是教师应当提高自己的专业解题能力,这要求高中数学教师要对教育方法进行革新,改变传统的“全面”授课模式,摸索自主合作探究解题模式的实施。例如，当我们进入到“三角函数”的授课时，可以以提问的方式引导学生自主地探究学习三角函数的题目，在共同探究中教学了学生类比、变换、数形组合的数学解题思想。 二、引导学生了解题目条件 解决数学问题的开始在于认真审视题目。在教授数学解题的课上，教师们通过培养学生的阅读能力和根据学生的实际情况，可以示范性地将题目的文本词汇转换成数学语言的能力，帮助学生快速地提取出题目中的关键词和关键数据。在高中数学解题策略的实际教育中，由于许多学生的疏忽和对问题审视不清楚、不仔细，造成了对题目的误读和误解，因此，教师应该整理学生对问题的看法，帮助他们挖掘数学题目中的重要条件。厘清数学解题过程，应该对所有问题确立明确的审视标准。 我们引入一个高中数学题目来探析函数图像和题目所给条件之间的关系：“第一个选项是A同学刚离开家没多久，就想起来家里的钥匙没有带，落在桌子上了，于是原路折返。第二个选项是A同学以正常速度开车，在回家路上遭遇了严重的交通堵塞。第三个选项是由于时间有限，A同学提高了行驶速度。”为了找出符合函数图像的条件,学生们首先可以通过A同学的活动过程中涉及的关键词找到明确的线索,引导学生们整理出A 同学“出门—折返——堵塞—加速”的行动过程，然后对函数图像中的x轴与y轴代表的意思进行探析，构建时间和速度的分段函数图像。教师要在学生掌握基础知识的过程中树立明确的数形结合解题理念，提高学生的题目阅读和解读能力，真正提高学生的数学解题技巧。 三、综合多种多样的题目解法 高中数学教师要想真正提高学生数学的解题能力，不能只交给学生题目的答案，更重要的是要传授学生各种不同的数学解题思维。在抽象性、平面化的高中数学课上，教师很难仅仅教授基础知识就让学生拥有解决问题的能力。为了在解决问题的过程中，学生可以灵活运用所学的知识，通过消化知识进行数学问题分析，教师的教学内容应该从基础知识扩散到解决问题的智慧，教师们必须重视学生们的数学素养。 从“数列”知识的情况来看，这一部分的知识点在高考数学分值中占很大比重。因此，教师在讲授这一课题的时，要将讲课过程设计得非常细致，并可以用一个课时的时间向学生详细说明这一类题型的多种解题方法，以此来作为教授的方法。举例来说，如果已知数列{an}中a1=2，an=4an-1-3(n≥2)，求{an}的通项公式。在解决这一道数学题时，数学教师可以引导学生通过等比数列来获得{an}。求数列前n项和的方法，也可以依照题目的含义通过倒序相加法、公式法、裂项相消法、错位相减法、并项求和及分组求和法算出最后答案。以此类推，在解决其他的数列与函数计算及不等式综合题，高中教师也可以花一个课时的时间来分析典型例题的不同做法，让学生对这些题型的解题策略有更深的理解和掌握。 参考文献 [1]张文尼数学思维能力在高中数学教学中的培养探究[J].新教育时代电子杂志（学生版），2017年15期。 [2]蒋晓军现代信息技术条件下的教育创新研究[J].语数外学习（高中数学教学），2014年4期。
高一数学学习方法：数学解题思维和解题技巧_名师指点 高中数学学习，方法很重要，今天，学习方法网小编为大家整理了高一数学学习方法，供大家参考！更多内容尽请关注学习方法网！ 高一数学学习方法：数学解题思维和解题技巧 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
浅谈初中数学证明题解题技巧与步骤 北师大版初中数学教材中《证明》占三章节，教材这样安排的目地是想：通过对《证明》的学习，让学生通过对图形的性质及相互关系进行大量的探索，在探索的同时，使学生经历推理的过程，进行了简单的推理训练，从而具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。但生活很丰满，现实很骨干，许多学生在实际解决证明题的过程中，却因为种种原因而感到无从下手！那如何求解证明题呢？如何让学生不再畏惧证明题呢？通过对教材中《证明》的教学，根据学生的认知水平，本人认为可以从以下六个方面来解决： [例题] 证明：等腰三角形两底角的平分线相等 1.弄清题意 此为“文字型”数学证明题，既没有图形，也无直观的已知与求证。如何弄清题意呢？根据命题的定义可知，命题由条件与结论两部分组成，因此区分命题的条件与结论至关重要，是解题成败的关键。命题可以改写成“如果………..，那么……….”的形式，其中“如果………..”就是命题的条件，“那么…….”就是命题的结论，据此对题目进行改写：如果在等腰三角形中分别作两底角的平
分线，那么这两条平分线长度相等。于是题目的意思就很清晰了，就是在等腰三角形中作两底角平分线，然后根据已知的条件去求证这两条平分线相等。这样题目要求我们做什么就一目了然了！ 2.根据题意，画出图形。 图形对解决证明题，能起到直观形象的提示，所以画图因尽量与题意相符合。并且把题中已知的条件，能标在图形上的尽量标在图形上。 3.根据题意与图形，用数学的语言与符号写出已知和求证。 众所周知，命题的条件---已知，命题的结论---求证，但要特别注意的是，已知、求证必须用数学的语言和符号来表示。 已知：如图（1），在△ABC中，AB=AC, BD、CE分别是△ABC的角平分线。 求证：BD=CE 4.分析已知、求证与图形，探索证明的思路。 对于证明题，有三种思考方式： （1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
浅谈小学数学解题策略Last revision on 21 December 2020
浅谈小学数学解题策略 摘要：小学数学教学是小学阶段教学的重要内容，数学学习的主要方式是运用所学知识解答各类数学习题，因此，在小学数学教学过程中培养学生的解题能力，是数学教学的重要任务之一。数学题目虽然有各种不同的类型和变化，但在解答过程中还是有规律可循的，作为小学数学教师，要注意在教学过程中锻炼学生的数学思维能力，引导学生掌握数学的解题方法，使学生能够在学习过程中做到举一反三，从而有效地提高学生的数学学习能力。本文就小学数学解题策略进行了分析和探究，发表一些个人的看法。 关键词：小学数学；解题；策略 小学数学教学是学生数学学习的启蒙阶段，这一阶段对学生数学思维的形成、数学学习习惯的培养、数学核心素养的发展都具有重要的意义，在数学教学过程中引导学生运用数学思维解决数学问题，可以使学生建立对于数学问题的整体认知，逐渐发展学生分析问题和解决问题的能力，是数学教学的重要任务之一。一位好的数学教师，不仅会教给学生数学知识，更要注意发展学生的数学能力。实践证明，在数学教学过程中锻炼学生的解题能力，可以使学生的思维更加灵活、思路更加开阔，面对问题时能够从不同的角度思考，解决问题的效率也会更高。基于以上原因，笔者结合自己多年的教学实践对小学数学解题策略进行了分析论述，希望能为大家提供一些有益的借鉴。
一、鼓励猜想，通过发散思维解题 小学生的思维灵活，在教学过程中，教师要注意鼓励学生进行发散性思维，针对同一个问题从不同的角度进行猜想，通过猜想明确解题思路，在此基础上找到适合的解题方法。在引导学生进行发散性思维的过程中，教师要注意保护学生的自信心，应最大限度地调动学生学习的积极性，有意识地给学生创造良好的意境，鼓励学生大胆猜想，使学生的自觉沟通数学知识的某种联系，构建数学对象，灵活运用各种思维方法和方式，找出解题途径，克服思维僵化，生搬硬套，解题呆板，运算繁琐等不良倾向。学生思维的发散性是在思维过程中不受解决模式的束缚，从问题个性中寻找共性，从不同方向不同角度去猜想、延伸、拓展。如在解决小学数学问题时，教师往往去尝试一题多变、一题多用、一题多解等训练，较好地培养和锻炼了思维的发散性。例如，一题多问是以相同条件启发学生通过联想，提出问题，以促进学生思维的灵活性。如教学“用分数解决问题”后，课件出示：一本故事书有150页，小明第一天看了全书2/5，第二天看了全书3/10，根据屏幕信息，你可以提出哪些问题学生都提出了不同的问题，接着学生思考边回答，并在本子上填空，然后指名学生板演。通过这个训练，提高了学生思维的敏捷性和灵活性，培养了学生的发散性思维，促进了学生解决问题能力的提高。 二、鼓励画图，通过数形结合解题
浅谈小学数学教学设计策略 要让课堂教学充分体现学生的自主性，建立一个开放的、充满活力的课堂教学新体系，教师首先应在课堂教学设计上下功夫。教学设计就是教师依据数学学科和学生的特点，认真钻研教材，分析教学任务和教学对象，从而对教材实行再组织，设计教学方案的过程。下面就新课程下的数学教学设计来谈谈自己的一些想法： 一、深入了解学生，找准教学起点 要想学生通过40分钟的学习有所提升，首先就要了解学生的认知发展水平和已有的知识经验基础，也就是确定教学起点。教学起点就是学生在学习新的知识之前已具有的相关知识和技能以及相关学习的认知水平与态度。它是影响学生学习新知识的重要因素。：十一世纪是信息高速发展的时代，学生了解信息的途径很多，远比原来要快、要多，有时可能远远超出了教师的想象，所以教师事先想好的教学起点不定是真实的起点。教师要想从学生的实际出发来设计教学过程，首先就要了解教学的真正起点。 二、客观分析教材，优化教学内容 教材是实现教学计划的重要载体，也是教师实行课堂教学的主要依据。要真正地用好教材，教师能够从以下几方面来思考： 1．为实现教学目标，教材提供的内容是否都有用，哪些需要补充，哪些能够删除或改变； 2．教材提供的教学顺序是否需要重新组合； 3．本节课的教学重点、难点是什么。只有解决了几个问题，才能使教学内容更易于教师教学，学生更易于自主探索。 在教学三年级上册《秒的理解》一课中，教材提供的是春节联欢晚会倒计时的一个场景来导入新课，从而感悟1秒钟的时间很短来揭示课题的。但是这场景时问过去较长了，对学生来说感受不大。于是我结合了刚刚前几天学校组织观看过的神舟六号发射前的倒计时来实行导入，不但使学生感受了1秒很短，更让学生了解祖国航空事业的发展，感受数学就在我们身边。在设计教学时，又插入刘翔在雅典奥运会上的成绩，明白1秒甚至比1秒更短的时间往往起着决定性的作用。通过学生课前收集时问格式，课堂交流，对学生实行了珍惜时间的教育。这样安排，使学生接受教学内容更丰富，史富有时代特色。 三、制定明确目标，贯穿各个细节 教学目标足教学的出发点，也是教学的归宿，它是教学设计中必须考虑的要素。数学教学的目标一定要着眼于学生可持续发展水平的培养，要在认真分析学生的起点，全面了解课程标准对学段的目标，以及客观分析教材的基础上，制定具体、可行的教学目标。规定学生在一节课结束后掌握哪些知识与技能，使哪些情感与态度得到发展。 在设计《秒的理解》时，要求学生： 1．能理解时间单位‘秒”，知道1分种=60秒，体会1秒，了解1秒的价值；2．能在开放的活动中发挥自己的观察力和想像力，通过看一看、说一说、算一算等，逐步培养初步的数学思维水平； 3．初步建立1分1秒的时间观点，体验数学与生活的联系，渗透爱惜时问的教育，教育学生珍惜分分秒秒。 四、活跃教学活动，增浓学习氛围
浅谈高中数学解题策略张忠传 发表时间：2018-11-07T10:05:53.660Z 来源：《教育学》2018年10月总第157期作者：张忠传 [导读] 只有将知识的学习与解题技巧相互结合，才能够在考试中更好地解决问题，学习的效率才会大大提高。安徽省金寨第一中学237322 摘要：在教学过程中，教师要注重对学生解题思维的教授与培养，引导学生在解题的过程中不断总结方法与规律，提高学生解题时的准确率与效率，从而减轻学生学习的压力，在解题方面能够更加自如。只有将知识的学习与解题技巧相互结合，才能够在考试中更好地解决问题，学习的效率才会大大提高。 关键词：高中数学解题策略有效性 一、多元方程的问题——逆向思维解题策略 在解决多元方程的问题中，最为常用的就是逆向思维的方法。在多元方程的解题中，如果仅仅是通过题目条件，正常地进行问题的分析与解决，就会遇到许多新的不必要的麻烦，导致问题不能及时地解决；并且多元方程的解决要求学生思维的转变，这对于很多同学来说存在一定的困难，因为惯性思维会阻碍其纵深发展。因此，在对多元方程的解决中就应该有意识地采取逆向思维的方法。新课改要求的过程和方法，需要让同学们打破常规，积极改变自己的思维模式，思维也要有所突破，老师在教学引导中应该鼓励同学们用逆向思维去解答。 例1：实数l，m，n，满足m-n=8，且mn+l2+16=0。求证：m+n+l=0。 分析：用顺推法直接求得l、m、n的值，运算量很大且容易出现运算错误。简单的方法是用韦达定理的逆定理，从题目中的两个条件来结合进行计算，求出m、n的关系，然后进行关系的转换，将其转变为x的关系，再带入到原式中进行求解。 证明：由m-n=8可以得到m+（-n）=8，由mn+l2+16=0得到m（-n）=l2+16，那么根据m和n的关系就能够将两者通过一个新的未知数x来代替，则m、-n即为一元二次方程x2-8x+l2+16=0的两个根。又因为m、-n为实数，所以，△=（-8）2-4（l2+16）≥0，解得4l2≥0，所以l=0，则m，-n即为一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，解得m=-n=4，则有m+n+l=0成立。 以上就是通过逆向思维的方法，由此也能够看出在面对这种多元函数的证明问题时，通过逆向思维就能够有效地解决。 二、函数与方程问题——分类讨论解题策略 1.在解方程中的应用。 在高中初级阶段解方程中最为常见的就是所给的未知数或者条件有着两方面的情况，此时就需要借助分类讨论的方法对每一个未知的情况分几个方面进行讨论求解。 2.在函数题目中的应用。 例2：当m=____时，函数y=（m+5）x2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。 解：当（m+5）x2m-1是一次项时，2m-1=1，m=1，整理为y=13x-3。当（m+5）x2m-1是常数项时，2m-1=0，m=1/2，整理为y=7x+5/2。m+5=0，m=-5，整理为y=7x-3。 在讨论（m+5）x2m-1的情况时，就需要分为两种情况，第一种就是为一次项，第二种就是结果为常数。而通过不同的m值也就能够得到不同的解果，最终进行整理就能够得出正确的答案。 三、不等式证明问题——构造函数解题策略 在解决不等式问题时最为适合采用构造函数的解题策略。通过构造函数的方法，能够将不等式的问题转化为函数方程的问题，并根据题目中的信息，来求出相应方程的单调性、值域、定义域，从而结合多种条件来证明不等式的正确。 例3：如已知a、b、c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1，证明ab+bc+ca+1>0。 对于该不等式的解题过程：构造函数f（x）=（b+c）x+bc+1，证明x（-1，1）时函数f（x）>0恒成立。当b+c=0时，f（x）=1-b2>0恒成立。当b+c≠0时，函数f（x）=（b+c）x+bc+1在区间（-1，1）上是单调的。由于f（1）=bc+b+c+1=（b+1）（c+1）>0，f（-1）=bc-（b+c）+1=（1-b）（1-c）>0，因此f（x）=（b+c）x+bc+1在区间（-1，1）上恒大于零。 综上可知，当|a|<1、|b|<1、|c|<1时，ab+bc+ca+1>0恒成立。 所以，通过以上的解题，就能将一些不等式的问题通过函数的方法来解决，更加有效。 总之，高中数学对于学生的逻辑思维方面有着更高的要求，高中数学的学习阶段也要更加重视对学生数学思维以及解题思维的培养，培养学生做题时的应变性以及灵活性，从而提高解题的效率。教师在教学过程中也要不时地将自己多年解题经验中得来的解题方法教授给学生，渗透学习思维。数学题目的形式千变万化，但是核心不会改变，只要学生能够熟练地掌握解题技巧，并且灵活地运用，相信不管遇到什么问题都能迎刃而解，更好地达到学习的目标。 参考文献 [1]梅松竹冷平王燕荣城乡数学教师对新课程的解题教学的研究——函数解题技巧[J].教育与教学研究，2010，（08）。 [2]马玉武探究数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育（下旬刊），2012，（12）。 [3]李文婕解题思维在高中数学教学中的应用探析[J].中华少年教育论坛，2017，（03）。 [4]吴冬香探究高中数学解题教学方法的应用研究[J].中国考试教育周刊（上、下旬），2017，（12）。
初中数学解题思路和方法 一、选择题的解法 1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。 2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关； 在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。 3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略；每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。 二、常用的数学思想方法 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。 在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。 4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。 为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。 5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。 配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。 6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。 换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。 7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然； 则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。这种思维过程通常称为“执果寻因” 8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果”
浅谈小学低年级数学解决问题的策略 鹤鸣山小学:佘莎 解决问题是小学数学教学的重要内容。它能使学生把认数和计算中所掌握的基础知识以及基本数量关系运用于实际。但是，由于低年级学生年龄小，理解力不够，问题解决就成为低年级数学学习的难点。要提高小学低年级学生解决问题的能力，在教学中要注重以下策略： 一、理解题意是前提，如何培养孩子的审题能力。 低年级审题能力从“看图说话”开始培养。即从图中找数学信息，根据数学信息提问题。 在加法的初步认识这节课，看到主题图大部分孩子会说出3+1=4这个加法算式，但却不会完整的表述数学信息，并提出用加法解决的问提。教师可以引导学生说看到的数学信息，小丑的左手有1个气球，右手有3个气球，一共有几个气球?这样反复的说，反复的训练只到大部分孩子看到图的第一反映不是列出算式，而是找出相关数学信息用语言表达出来,并提出问题，这就是数学中的看图说话，也是看图编题，为以后的解决问题打下基础。 二、图示解题法在低年级解决问题中的应用。
在低年级，学生年龄小，接受能力差，掌握的知识大部分是具体的，需要通过直观演示和实际操作，才能对所学基础知识牢固掌握，直观演示和实际操作能激发学生学习的兴趣和求知欲，能调动学生学习的主动性、积极性，但是不可能所有的题目都用直观教具一一演示，而应该逐步培养他们的抽象思维。 在一年级上册看图解决问题即大括号和问号的认识这一节课中，同样先让孩子们说信息提问题，左边有4只兔子，右边有2只兔子，一共有几只兔子？再把看到的信息和问题用画图的方式表示出来。即把看图理解图意，说出图题意，再把图意用简单的图形符号表示出来，在画图中建立数学模型，开始渗透图示解题法。 具体形象思维是低年级学生思维的主要形式，因此在教学过程中，注重从学生的思维特点出发，加强直观教学，用具体化、形象化的内容，借助学生熟悉的实物——直观教来进行教学，来提高学生学习的兴趣，然后启发诱导学生抛开具体实物来加深对知识的理解。例如：一年级下册第12面。思考题我们一共有10个男生，老师让我们每2个男生之间站一个女生，一共要站进多少个女生？可以先把题目改成我们一共有5个男生，老师让我们每2个男生之间站一个女生，一共要站进多少个女生？先让几个学生上讲台站一站，再让孩子们画图理解，然后再用自己喜欢的方法解决这道题目。 三、数量关系是基础，加强数量关系的分析和训练。 小学低年级问题解决所涉及到的数量关系都是基本的数量关系,
浅谈小学数学课堂教学存在的问题及对策 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
浅谈小学数学课堂教学存在的问题及对策 溢水中小李敏新课程标准实施背景下，小学数学课堂教学中存在的诸多问题，并有针对性地加以分析，提出相应的对策。着重强调小学数学课堂教学形式的科学性和教学活动的实效性，以此希望我们每位老师能静下心来反思自己的教学行为，并力求通过运用科学有效的方式，扎扎实实地上好每堂课，不断提高小学数学课堂教学质量。在新课程标准实施的背景下,全新的教学理念营造了全新的小学数学课堂教学文化，无论是教师的教育观念、教学方式和学生的学习方式也都发生了很大的变化。这是新课程实施后数学课堂教学的亮点，然而在这一转变过程中也显露出一个值得我们思考的问题：如何避免课堂教学的过于形式化，提高教学活动的实效性，真正落实新课程标准这是我们必须思考的问题。下面就此问题，结合课堂教学实际，谈一些我的看法。 一、小学数学课堂有效教学中存在的问题 1、不能准确把握教材，缺乏对教材的研究新小学数学课程标准规定了在数学课堂教学中要实现三维目标。就目前的数学教学来看，很多教师往往会出现教材吃不透，理解不到位， 缺乏对教材的研究，看似课堂中热热闹闹，很为成功，其实仔细分析，偏离了重点、难点，学生凑了热闹，基础性的知识都没有学好。比如在一年级《认识物体》教学中，这一单元要求学生直观认识正方体、长方体、圆柱和球，对它们形状、特点有整体的、笼统的感知，形成初步的表象，只要能识别这些物体，能找出生活中的这些形状的物体即可，不要求学生对物体的特征做规范的语言描述。而有的教师，特别是青年教师在讲课时，往往归纳出特征并板书出来，过高要求学生记住，提高了教学要求，这样做往往使学生失去学习兴趣。这就谈不上什么有效课堂了。因此，教师专业培训必须回归理性，回归到教材的把握研究上来。 2、教学方法单一，教学方式传统 由于受年龄限制小学生对自身的控制能力相对比较弱枯燥的学习很难使他们的注意力保持长时间的集中。而我们小学课堂里的学生们，都是新世纪出生的独生子女，从小在优越的环境下成长。在家长的精心教育下有着比以往学生更好的基础，同样他们拥有更强的个性思想，往往不愿接受单一的教育方式。因此，再用以往单向的由教师向学生传播知识的这种“注入式”的教学方式肯定无法取得理想的教育效果。教师只关注自己如何教，把知识单纯的灌输给学生，必然无法得到学生的共鸣，甚至遭到学生的排斥，
浅谈中学数学中的若干变形技巧-中学数学论文 浅谈中学数学中的若干变形技巧 江苏高邮市三垛中学赵静 变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。变形是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化的准备阶段。本文旨在通过探讨变形技巧在数列问题、不等式问题、因式分解等问题中的若干应用，来揭示中学数学常见的一些变形技巧，帮助学生掌握变形的一般规律与特点，培养良好的发散性思维与创新精神。 一、掌握变形技巧的意义 在代数运算中变形是用来帮助解答疑难问题时，在原代数式基础之上进行转换的方法。我们在解题时，由于条件不充分或者不明显，常常需要求助于变形做适当的转换。变形的意义在于把题目中的已知与求解的有关性质联系起来，从而使题目中分散的元素集中，把问题转化为另一种形式，便于利用有关的定义、公理、定理等达到解题的目的；当题中的条件与结论之间的关系不够明确时，变形还可以把所需的关系揭露出来，使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简，从而找到解决问题的途径。 二、变形技巧在数列中的应用 （一）给定初始条件，数列的递推方程为：an+1=pan+q（p≠1）型
等形式的变形，在不等式中还可以通过变元与消元、增、减项变成“积”一定以及放缩法等形式来变形，在因式分解中还可以通过主元变形等，这里就不再一一叙述。总之变形是为了便于利用某些理论进行运算架设的桥梁，是把代数式中固有的但不很明显的性质得以明确地显示出来的催化剂。变形的用途很广，虽然题目千差万别，解题方法多种多样，变形也因题而异．只要我们大胆探索，深入
研究，就会找到其内在的规律。 参考文献： [1]马永传．递推数列通项公式求法及技巧[J]．六安师专学报，1999. [2]郭立军．运用基本不等式的变形技巧[J]．数学学习与研究(教研版)，2008. [3]候有歧.运用均值不等式解题的变形技巧[J].中学数学杂志，2007. [4]李开丁.在证明不等式中几种常用的等价变形形式[J].高等数学研究，2004. [5]郭茂华．因式分解中常用的几类变形技巧[J]．时代数学学习，1998.
本科生毕业论文（设计）册 学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 班级 2006级A班 学生孔祥东 指导教师麻常利
河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书 编号：数信学院2010届613 论文（设计）题目：浅谈中学数学解题方法 院系：数信与信息科学学院专业：数学与应用数学班级： 06A班 学生姓名：孔祥东学号： 2006012613 指导教师：职称： 1、论文（设计）研究目标及主要任务 深入研究中学（特别是高中）的数学问题，探寻用更短的时间解决更多的中学数学问题，以及掌握处理大多数中学数学问题的通法通解。 2、论文（设计）的主要内容 本文针对中学的几种典型的数学方法进行了研究和总结，并以示范性典例和再现性典例的形式加以归纳和再现，以典型题来阐述各数学方法的精妙。 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 半年来对中学数学试题的广泛研究，尤其是北京地区高考题的研究，加之对众多教辅资料的研读与分析，结合自己的心得和体会加以研究和归纳。 4、主要参考文献 [1] 郑毓信、肖柏荣、熊萍数学思维与数学方法论 [M]. 成都：四川教育出版社 [2] 陆书环、傅海伦数学教学论[M]. 北京：科学出版社 [3] 张雄、李得虎数学方法论与解题研究 [M]. 北京：高等教育出版社 [4] 周房安.数学选择题解答策略[J].广东教育，2006,(04).62～63. [5] 傅钦志.高考解题中的优先策略[J].高中数理化，2004,(02).1～2. 指导教师签名：系主任（教研室主任）签名： 年月日年月日 学院审查意见：教学院长签名：年月日
河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院数学与应用数学专业 2010 届
浅谈小学数学中解决问题的策略 策略是经过思维而形成的一种高级的解决问题的方法，它具有较强的价值性。解决问题的策略，不仅可以让学生在解决问题的过程中获取知识形成的体验，更重要的是能为学生解决相关问题提供有力的支撑，触类旁通，举一反三。只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题。学生对解决问题策略的理解和掌握，对他们的后续发展是举足轻重的。所以，教师在教学中，应该加强对解决问题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解决问题的能力。下面是我在教学实践中对学生解决问题策略指导的一些尝试探索。 一、 工具法 工具法就是狠抓学生对数学中最基本的概念、性质、定律、公式、数量关系、计算法则等的理解和掌握，这些工具性的知识要让学生理解吃透。比如：求几个相同加数和的简便运算，用乘法解答，求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。学生真正理解了乘法的意义后，应用这类知识去解决相关的问题就迎刃而解了。例如：学校举行跳绳比赛，李红每分跳168下，陈亮跳的是李红的87,王伟跳的是陈亮的76。王伟每分钟跳多少下? 学生理解了分数乘法的意义后，很快就知道了要求王伟每分钟跳的，先要求出陈亮跳的。求陈亮跳的，就是求168下的87, 算式为:168×87=147(下),求王伟跳的就是求147下的7 6,
算式为:147×76=126(下) 又例如:水果店运来苹果20筐,运来梨的筐数是苹果的41,又是桔子筐数的95.运来桔子多少筐? 学生根据题意找到等量关系:苹果筐数的41=桔子筐数的9 5 ,根据分数 乘法的意义,把等量关系变为:苹果筐数×41=桔子筐数×9 5,根据题里告诉的苹果20筐,等量关系变为:20×41=桔子筐数×9 5,要求桔子的筐数,就设桔子筐数为X,这样就列出方程: 95X=20×41,求出方程的解,问题就解决了。 又如：速度×时间=路程 单价×数量=总价 工作效率×工作时间=工作总量；C 长=（a+b ）×2、C 正=4a 、 C 圆=2×3.14×r 或C 圆=3.14×d 、S 长=ab 、S 正=a 2 、S 平=ah 、 S 三= ah ÷2、S 梯=（a+b ）h ÷2、S 圆=3.14R 2、 S 环=S 外圆-S 内圆=3.14（R 2-r 2）等。学生理解和掌握了这些常见的数量关系、公式，能大大得提高他们解决问题的能力。 例如：一辆自行车轮胎的外直径是70厘米。小强骑这辆自行车通过一座1000米长的大桥，如果车轮平均每分钟转100周，大约几分钟能通过？ 引导学生分析：要求时间，就要知道路程与速度。路程题里直接告诉的，是1000米。速度题里没有直接告诉，就要先求速度，根据题里的信息，这辆自行车的车轮平均每分钟转100周，那么就要先求车轮1周转的米数，也就是求车轮这个圆的周长：3.14×70=219.8（厘米），这样就能求车轮的速度：219.8×100=21980（厘米）=219.8（米），