第２５卷第３期２００５年９月北京服装学院学报Ｊｏｕｍａ王ｏｆＢｅ硒ｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＣｌｏｔｈｉｎｇＴｅｃｈｎｏ崦ｙＶ０１．２５Ｎｏ．３Ｓｅｐ．２００５
积分型柯西中值定理中间点的渐近性质
王成伟
（北京服装学院基础课部，北京１０００２９）
摘要：本文得到积分型柯西中值定理中间点的渐近性质的主要结果是受｝三＝丁；写，其中
挖由定理的条件所决定．
关键词：中值定理；中间点；渐近性质
中图分类号：０１７２．１文献标识码：Ａ文章编号：１００１一０５６４（２００５）０３—００４２一０３
近几年来，关于积分第一中值定理和积分第二中值定理的中间点的渐近性质的讨论已有一些结果［卜２｜，但未涉及积分型柯西中值定理中间点的渐近性质．本文对积分型柯西中值定理中间点的渐近性质进行了全面的讨论，并得到了令人满意的结果．为了本文的定理及其证明需要，我们先给出１个引理：
引理ｌ［３１（积分型柯西中值定理）设，（￡），ｇ（￡）在闭区间［ｎ，ｚ］内连续，且ｇ（￡）不取零值，则存在一点拿∈（ｎ，ｚ），使
瞧：器．㈩Ｊ口，、‘，
，．、
ｒｚ一，亡、’
…Ｉｇ（￡）ｄ￡孙引１定理及证明
定理ｌ设函数，（￡），ｇ（￡）满足：
１）函数，（￡），ｇ（￡）在［口，ｚ］上连续；
２）在［口，ｚ］上ｇ（￡）≠０；
３）Ｐ（￡）＝轰碧，９ｈ）（ｔ）在口点连续，９７（口）＝矿（口）＝…＝９ｈ－１）（口）＝ｏ，妒ｈ）（口）≠ｏ．那么，积分型柯西中值定理中的ｅ如果满足极限ｌｉｍＥ卫存在，则
璺置２√南．ｏ?４Ｚ一口Ｖ咒１＿上
证明构造辅助函数
收稿日期：２００４—０９—１６
作者简介：王成伟（１９６２一），男，副教授，硕士联系电话：０１０—６４２８８３４８
第３期王成伟：积分型柯西中值定理中间点的渐近性质４３
［练叫掘州ｔＭ沪出）］『狲。
Ｇ（∞＝上—１ｉ万万一＝——Ｆｉ声一，（２）
在口点对９（｝）作Ｔａｙｌｏｒ展开
９（搴）：９（口）＋里！ｊ；÷皇止（享一口）ｎ，
其中ｅ１在ｎ与享之间．
将上式代入（２）式，并将（２）式两端取极限得
警（小壁学（暑）”烨：学烛（暑卜（３）
ｚ?口ｚ一口咒！、Ｚ一口，Ｚ一口挖！ｚ一口、Ｚ一口，另一方面，对（１）式两边取极限，并反复应用洛比达法则得
警㈦：墅等哉垮：墅哮尝：粤黔渊蟀（小ｇ（口）烛黼＝黜．（４）
比较（３）式和（４）式，我们得到
烛譬２√高．
ｚ?口Ｚ一口Ｖ，ｌ十上
当竹＝１时，由定理１我们可以得到下面的定理２．当竹＝１时，在定理１中的条件（３）中“９７（￡）在口点连续”这个条件可以变弱，在定理２中改为“Ｐ７（口）存在”即可．定理２设函数，（ｚ），ｇ（ｚ）满足：
１）函数，（￡），ｇ（ｔ）在［口，ｚ］上连续；
２）在［口，ｚ］上ｇ（￡）≠Ｏ；
３）记妒（￡）＝基茜，且９７（口）存在，９７（口）≠０．
积分型柯西中值定理中的ｅ如果满足：极限１ｉｍ￡卫存在，那么
，．￡一口ｌ
烛冀２专?
ｚ一４Ｚ一口二
证明构造辅助函数
ｆｚｒｚ
Ｉ，（ｚ）ｄｚ—Ｐ（口）Ｉｇ（￡）ｄ￡
Ｆ（ｚ）＝止—弋ｉ再Ｌ?（５）
［雠叫∞炳出叭沪出）］ｆ狲。
Ｆ（引＝丛——百ｉ了一＝——ｉ＝寿—一＝
翌㈤二翌∽』！竺竺竺血
上式两边取极限，并应用洛比达法则得
螂（ｚ）２妒‰）ｇ（口）墅暑．
ｚ‘’’口工—’口ＪＬ“
另一方面，对（５）式两边取极限，并应用洛比达法则得
唧㈦：烛唑拦产：烛匮潍：
号墅哞掣ｇ（ｚ）＝号尹‰）小）．
比较（６）式和（７）式，我们得到
烛暑＝丢．
３结论（６）（７）
在积分型柯西中值定理中，如果令ｇ（￡）＝１，则可得到
引理２（积分中值定理）设．厂（￡）在闭区间［口，ｚ］内连续，则存在一点ｅ∈（口，ｚ），使
Ｉ，（￡）ｄｆ＝，（ｅ）（ｚ一口）．
因此，由定理１和定理２，我们可得到以下２个推论：
推论１设函数．厂（￡）满足：
１）在［口，ｚ］上连续；
２）厂（口）存在，厂（口）≠０．
积分中值定理中的ｅ如果满足：极限ｌｉｍ＆存在，那么
，．ｅ一口１
婴冀２言?
ｚ一－口Ｚ一口二
推论２设函数．厂（￡）满足：
１）在［口，ｚ］上连续，在［ｎ，ｚ）内，ｚ阶可导；
２），‘”’（￡）在口点连续，厂（口）＝厂（口）＝…＝，（”一１’（ｎ）＝０，，‘”’（ｎ）≠０．积分中值定理中的ｅ如果满足：极限ｌｉｍ盥存在，那么
．．￡一口１
坚恶｝ｉ２虿‘（下转第５０页）ｚ斗。一口二、Ｉ．ｒ写印Ｊｕ姒，
［２］王兵团，王秋嫒，何伟．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ数学软件简明教程与数学实验［Ｍ］．北京：中国铁道出版社，２００２
［３］盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２
ＬａｇｒａｎｇｅＩｎｔｅｒＤｏｌａｔｉｏｎｉｎＰｏｗｅｒＥｘｐｏｎｅｎｔＦｏｒｍ
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Ａｂｓｔｍｃｔ：Ａｎｅｗ１ａｇｒａｎｇｅｉｎｔｅｒｐ０１ａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｎｐｏｗｅｒｅｘｐｏｎｅｎｔｆｏｍｗａｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｎｅｗｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｍｅｔｋ）ｄ，ｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ１ａｗｉｎｆｏｍｕｌａｆｏｎｎａｒｅｐｒｅＳｅｎｔｅｄｆｏｒＳｅＶｅｒａｌｋｉｎｄｓｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌａｇｒａｎｇｅｉｎｔｅｒｐ０１ａｔｉｏｎｐ０１ｙｎｏｍｉａｌ；ｌａｇｒａｎｇｅｉｎｔｅｒｐ０１ａｔｉｏｎｐ０１ｙｎｏｍｉａｌｉｎｐｏｗｅｒｅｘｐｏ—
ｆｏｍｕｌａｆｏｍ；ｍａｘｉｍｕｍ１ｉｋｅｌｉｈＤ０ｄｅＳｔｉ－ｎｅｎｔｆｏ咖；ｐａｒａｂｏｌｉｃｉｎｔｅｒｐ０１ａｔｉｏｎ；ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ１ａｗｉｎ
ｍａｔｅ
（上接第３８页）
参考文献
［１］郑权．积分第一中值定理中的￡在数值积分上的应用［Ｊ］．工科数学，２００２，１８（５）：１１１—１１６
［２］吴至友，夏雪．积分第二中值定理“中间点”的渐近性［Ｊ］．数学的实践与认识，２００４，３４（３）：１７０一１７６
［３］徐永琳．积分型ｃ¨ｃｈｙ中值定理的推广【Ｊ］．高等数学研究，２００４，７（２）：１７一１８
ＡｓｙｍｐｔｏｔｉｃＢｅｈａＶｉｏｕｒｏｆＭｅｄｉａｎｔｆｏｒＩｎｔｅｇｒａｌＦｏｒｍ
ＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ
Ｃａｕｃｈｙ’ｓ
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（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＦｕｎｄ锄ｅ１１ｔａｌＣｏｕ墙髂，Ｂｅ站ｉｌｌｇＩ∞ｔｉｔｕｔｅｏｆＣｌｏｔｈｉｌｌｇＴ∞ｈｎ０１０９ｙ，Ｂｅ砧ｉｌｌｇ１０００２９，ＣｌｌｉｒＩａ）
Ａｂｓｔ瑚ｎ：ＴｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｏｆｔｈｉｓｎｏｔｅｉｓｔｈａｔｔｈｅｍｅｄｉａｎｔｆｏｒＣａｕｃｈｙ’ｓｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍｏｆｉｎ—ｔｅｇ加ｐｅｓａｔｉＳｆｉｅｓｔｈａｔ烛暑＝焉，ｗｈｅｒｅ帕ｓｔａｔｅｄｉｎｏ…ｈ…ｍ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ；ｍｅｄｉａｎｔ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｕｒ
积分型柯西中值定理中间点的渐近性质
作者：王成伟， WANG Cheng-wei
作者单位：北京服装学院基础课部,北京,100029
刊名：
北京服装学院学报（自然科学版）
英文刊名：JOURNAL OF BEIJING INSTITUTE OF CLOTHING TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：2005，25(3)
被引用次数：5次
参考文献(3条)
1.郑权积分第一中值定理中的ξ在数值积分上的应用[期刊论文]-工科数学 2002(05)
2.吴至友.夏雪积分第二中值定理"中间点"的渐近性[期刊论文]-数学的实践与认识 2004(03)
3.徐永琳积分型Cauchy中值定理的推广[期刊论文]-高等数学研究 2004(02)
相似文献(10条)
1.期刊论文胡晶地中值定理"中间点"的渐近性态-高等数学研究2009,12(1)
数学分析中的各中值定理都只肯定了"中间点"的存在性,并没有给出其具体位置和确定其位置的方法.通过对中值定理"中间点"的渐近性态的研究,可以确定"中间点"在某区间内的渐近位置,从而为近似计算提供帮助.综述在区间[α,χ]上的各中值定理"中间点"当χ→+∞时的渐近性态,给出两个新的渐近估计式.
2.期刊论文李莉.LI Li关于中值定理"中间点"的渐近性-辽宁师范大学学报（自然科学版）2000,23(4)
在Azpeitja 对Talor 定理"中间点"的渐近性研究和李文荣对Canchy中值定理"中间点"的渐近性研究的基础上,进一步讨论了中值定理"中间点"的渐近性问题,给出并证明了一个新的结论,并指出该结论是上述两个结果的推广.
3.期刊论文王伟.WANG Wei积分第二中值定理"中间点"的渐近性态-南通大学学报（自然科学版）2006,5(2)
讨论当积分区间长度趋于无穷大时,积分第二中值定理的"中间点"的渐近性态,在较弱的条件下,获得积分第二中值定理的"中间点"当积分区间长度趋于无穷大时的渐近估计式.改进和推广了相关文章中的一些最新结果.
4.期刊论文王丽萍.WANG Li-ping对广义柯西中值定理--"中间点"渐近性的证明-沈阳化工学院学报2005,19(1) 着重对柯西中值定理"中间点"渐近性的问题做出更深入的探讨,得出关于广义柯西中值定理"中间点"渐近性的两个新的命题并给予证明.
5.期刊论文赵奎奇.ZHAO Kui-qi积分学第一中值定理"中间点"的渐近性研究新进展-大学数学2008,24(2)
对积分学第一中值定理的中间点当区间长度趋于零时的渐近性研究.新得到的结果不仅包含了过去若干已有结果,而且对涉及函数f(x),g(x)要求的条件几乎就是中值定理的,一个为连续,一个为可积不变号.
6.期刊论文苏简兵.张金环.SU Jian-bing.ZHANG Jin-huan积分型Cauchy中值定理的逆问题及中间点的渐近性-
大学数学2006,22(5)
讨论了积分型Cauchy中值定理的逆问题,并就此积分型Cauchy中值定理讨论了在积分区间长度趋于零时"中间点"ξ的渐近性.
7.期刊论文帅雁丹.SHUAI Yan-dan Lagrange中值定理"中间点"的渐进性-重庆工商大学学报（自然科学版）
2009,26(5)
对Lagrange中值定理"中间点"的渐进性作了定性研究.通过对f(x)在(a,b)内低阶可导情形的研究,发现规律,即把f(x)在(a,b)内低阶可导可推广至
n阶连续可导的情形,进而把正整数n推广到正实数m,并得到了更一般性的结论:lim b→a ξ-a/b-a=m√1/m+1.
8.期刊论文戴立辉.刘龙章.DAI Li-hui.LIU Long-zhang积分型Cauchy中值定理中间点的渐近性-大学数学
2009,25(3)
讨论了当区间的两个端点都趋于其内一定点时,积分型Cauchy中值定理"中间点"ξ的渐近性,推广并改进了文献[1]之中的相应结果.
9.期刊论文戴立辉.吴亭.DAI Li-hui.WU Ting积分第一中值定理中间点的渐近性-闽江学院学报2009,30(2)
利用泰勒公式,对Jacobson B,李文荣,吴亭的渐近定理、渐近速度定理的证明方法进行了改进,并对其相应结果进行了推广,研究了当区间的两个端点都趋于其内一定点时,积分第一中值定理中间点的渐近性及其收敛速度.
10.期刊论文赵奎奇.ZHAO Kui-qi积分第二中值定理"中间点"的渐近性再研究-数学的实践与认识2008,38(18)
继续研究积分第二中值定理,建立了其"中间点"渐近性的几个结果,他们可以认为是对刘文武,吴致友,夏雪等人结果的改进和推广.
引证文献(5条)
1.程希旺微分中值定理中值点渐进性研究的新进展[期刊论文]-数学的实践与认识 2009(14)
2.程希旺泰勒中值定理中值点的分析性质[期刊论文]-数学的实践与认识 2009(4)
3.邬凌柯西中值定理的注记[期刊论文]-绵阳师范学院学报 2007(8)
4.王成伟关于右矩形公式的注记[期刊论文]-北京服装学院学报（自然科学版） 2007(2)
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