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国科大王焕华X射线晶体学作业参考答案

X 射线晶体学作业参考答案

第三章：晶体结构与空间点阵

1. 六角晶系的晶面指数一般写成四个(h k -h-k l )，但在衍射的计算和处理软件中，仍然用三个基矢(hkl )。计算出六角晶系的倒格基矢，并写出六角晶系的两个晶面之间的夹角的表达式。已知六角晶系的基矢为

解：根据倒格子的定义式，计算可得：

()

k a c j ac b j i ac a 2***323Ω=Ω=+Ω=πππ 任意两个晶面(hkl)和(h ’k ’l ’)的晶面夹角θ是： (

)()()()2

2222222222222222222222222'''''''3''''434'3)''(2)''(4'3''''434'3)'2')(2('3arccos l a k k h h c l a k hk h c ll a k h hk c kk hh c l a k k h h c l a k hk h c ll a k h k h c hh c G G G G l k h hkl l k h hkl +++?+++++++=

+++?+++++++=????

? ???= θ

2. 分别以晶格常数为单位和以实际大小写出SrTiO 3晶胞中各离子的坐标，并计算SrTiO3的质量密度和电子数密度。

解：Sr 原子量87.62，电子数38；Ti 原子量47.9，电子数22；O 原子量15.999，电子数8 （数据取自国际衍射数据中心）。

质量密度：

c c j i a b i

a a =+-==)2321(

电子数密度：

3.*为什么位错不能终止于晶体内部？请说明原因。

答：作为一维缺陷的位错如果终止在晶体内部，则必然在遭到破坏的方向上产生连带的破坏，因此一根位错线不能终止于晶体内部，而只能露头于晶体表面（包括晶界），同时Burgers vector 的封闭性（守恒）也要求位错不能终止在晶体内部。同时，若它终止于晶体内部，则必与其他位错线相连接，或在晶体内部形成封闭线，形成封闭线的位错称为位错环。

4.* 阅读论文以下论文

1) S. B. Zhang, S.-H. Wei, and Alex Zunger ，Physical Review B , V ol. 63, 075205

(2001)；

2) Eun-Cheol Lee, Y .-S. Kim, Y .-G . Jin, and K. J. Chang ， Physical Review B , V ol. 64,

085120 (2001)

并用V-K 符号写出论文中讲到的p 型ZnO 中可能存在的各种点缺陷, 简要说明该符号的含义。（供物理、材料专业的有关同学选作）

答：

??+)(|2Zn ， ()??-2O V ，()"+2Zn V ，()

"-|2O III 族掺杂：

III 族掺杂：

缺陷联体：

第四章：衍射的运动学理论

1 设计固熔体消光材料Ca 1-x Sr x TiO 3或Sr 1-x Ca x VO 3，求出其中的掺杂浓度x 。选一种固熔体，写出详细的论证与解决步骤。

注1：CaTiO 3: cubic,3.827 ?； SrTiO 3: cubic,3.905 ?；SrVO 3: cubic,3.841 ? 注2：各原子或离子的散射因子拟合参数参见网络课堂上的上传国际表格，也可通过网络搜索得到；目前O 2－的参数只能用O －的参数代替(x)。

解一：取用Ca 1-x Sr x TiO 3固溶体

重复上述步骤，得到x=0.4593,基本收敛。所以材料配比为34593.05407.0O Ti Sr Ca 解二：取用Sr 1-x Ca x VO 3固溶体

x =0.55

该值已经收敛，所以最后的化合物为Sr 0.45Ca 0.55VO 3（如果不考虑V 3+成分）。

2. 推导出双分子气体Br 2气的散射强度I 与散射矢量Q 的关系式，写出详细的论证与解决步骤，并使用任何你喜欢的计算机语言编写程序，画出Br 2气的I －Q 曲线。改变Br 2分子的结构（此即化学键长），I －Q 曲线有何变化？

解：

每个Br 2分子内两个原子之间的散射相干，要振幅叠加；但不同Br 2分子之间无固定相位差，非相干，要强度叠加。

结构因子：∑?+==

rj r Q i r Q i j hkl fe f e

Q f F j hkl )( 其中j f 为原子散射因子。散射强度为： O 2中氧原子间距|r|固定，但不同氧分子的r 的取向不同，并且随时间变化，因此应对r 的方向进行平均才得到测量强度

r 的取向呈球分布所以，测量强度与Q 的关系为:

()

)(222r Q i r Q i e e f f Q I ??-++=r Q i r Q i e e ?-?=()r Q i e f f Q I ?+22方向平均22＝??=??αα?αααd d d d e e iQr r Q i sin sin cos ()Qr Qr d e iQr sin 4sin 20cos ==?πααππα()

???? ??+==Qr Qr f Q I I )sin(122

图2-1 I-Q 曲线

若再考虑极化因子则：

θλ

πsin 22=Q ，单位为r /2π，所以λθ?=r Q 2/sin ，设λ=1.54 ? (Cu K α辐射) 程序为：

r=1.52;

Q=0.01:0.04:6; % unit: 2*pi/r

c=(Q/(2*r)).^2;

f=3.0485*exp(-13.2771*c)+2.2868*exp(-5.7011*c)+1.5463*exp(-0.3239*c)+0.867*exp(-32.9089*c)+0.2508;

Intensity=2*f.^2.*(1+sin(Q*r)./(Q*r)); %Unit: r02

ssita=Q./(2*r)*1.54;%sin(sita)

ssita_2=sqrt(1-ssita.^2).*2.*ssita;%sin(2sita)

fa=(1+(1-2.*ssita.^2).^2)/2./ssita_2;%计算洛仑兹因子和极化因子

Intensity=Intensity.*fa;

%semilogy(Q,Intensity)

plot(Q,Intensity)

xlabel('Q (2\pi/r)', 'FontWeight','Bold','FontSize',15)

ylabel('Intensity', 'FontWeight','Bold','FontSize',15)

改变Br 2分子中的原子间距，可以看出散射峰之间的距离随原子间距的增大而减小，这符合正空间的材料结构与其散射花样之间是倒易关系（傅立叶变换）。

3. EuTiO 3具有理想的立方钙钛矿结构，其晶格常数与SrTiO 3的相等，均为3.905 ?，这二者可以组成一个比较理想无应力体系，用于研究复杂结构的氧化物薄膜无应力生长的机理。

a) 从课程网站上下载实验数据，使用你喜欢的任何软件画出EuTiO 3粉末的XRD

谱，然后计算并标出各个衍射峰的指数（写出计算过程和结果）。

b) *（选做）写一个电脑程序计算 EuTiO 3 的粉末衍射谱，5°<2q <80°, l=1.54 ? (Cu

K a 辐射)。可以用任何你喜欢的语言。解决方案中应包括程序代码，两列数据（角度和强度）和相关图线，其中一张图谱是实验数据和计算数据的比较。计算程序需要考虑的因素包括:

1) 原子形状因子

2) 结构因子

3) Debye-Waller 因子

4) Compton 散射

5) 热漫散射

()22cos 1)sin(1222θ+???? ??+==Qr Qr f Q I I

6) 有限尺寸因子

7) 多重性因子

8) 仪器分辨率

关于仪器分辨率，X 主光束的发散角为0.12°，探测器的前狭缝处在距样品17cm 远处，缝宽为0.1 mm, 因此张角为0.03°, 根据实验测量结果，二者的卷积大约为0.13°。解：

(1) 衍射峰的位置由布拉格方程决定，其衍射峰的强度由以上因素决定：

λθ=sin 2d 立方结构的面间距：222l

k h c

d ++= c 为晶格常数。 (100)方向，即h=1,k=l=0。2

c d = 所以c 2sin λ

θ= c

2a r c s i n λθ==11.372 deg 。 (H K L)

%布拉格方程计算衍射峰的位置,其中第7项不存在,因为 h^2+k^+l^!=7

lamda=1.54;%入射x 光波长

c=3.905; %晶格常数

for i=1:1:10

d=2*c/sqrt(i);

sita(i)=asin(lamda/d);

end

sita/pi*180 %转化为角度

接下来以(100)方向为例计算衍射强度：

各参数的意义为：

I ：衍射的强度； I 0：入射X 射线的强度；

R 0：样品到衍射环的距离；re=e2/4pe0mc2，电子的经典半径；

N 0：单位体积样品中晶胞的数目；λ：X 射线的波长；

Vcr ：样品被X 射线照射到的面积；F ：为结构因子；

M f ：多重性因子；M e 2-：为温度因子即Debye-Waller 因子。

(1+cos22qB ）/sin2qBcosqB ：角因子，也称为洛仑兹-偏振因子。

A 为吸收因子。

现已知晶格常数，和入射X 射线波长，再假定样品的体积一定，则可合并一些常数则累计强度为：

'0k I I = M B

B B f e M F 2222cos sin 2cos 1-+θθθ A 又因为A 和M e 2-都受θ变化的影响，且两者变化方向相反，虽然数值不完全相等，但大致可抵消[1]，故用相对强度表示为：

B B f M F I θθθcos sin 2cos 1222+=相对 1. 考虑原子形状因子：

原子结构因子的计算公式为:

c e a f i b i +?=∑-41

)/(sin 2)/(sin λθλθ

(6) 通过查阅International Table of Crystallography 可获得c b a i i ,, θ=11.372，λ=1.54 A 代入上式可得：

f_Eu= 56.6490 f_O=7.2621 f_Ti=16.8091

2. 结构因子：

首先计算其结构散射因子为：∑=rj

r Q i j hkl j hkl e Q f F )(

其中:))((.*

**c z b y a x c l b k a h r Q j j j j hkl ++++==2)(j j j lz ky hx ++π

∴∑++=rj lz ky hx i j hkl j j j e

Q f F )(2)(π

(100)方向即h=k=0，l=1；将(2)式具体展开可得:

F 001=)1(πππi i o i Ti Eu e e f e f f ++++=o Ti Eu f f f --

|F 100|2 =1061.3。

3. 多重性因子

(100)方向的多重性因子是6。

这里给出(100)，(110)，(111)，(200)，(210)方向的衍射峰。

图3-1衍射峰的衍射谱，从左到右分别为(100)，(110)，(111)，(200)，(210)

源程序如下：

clear;

si=[11.372 16.192 19.970 23.226 26.162 ];%各衍射峰的出现位置,这里计算前5个 lamda=1.54;%入射X 线波长

sita=si./180.*pi;%角度转化为弧度

Q=sin(sita)./lamda;%计算国际晶体学表中的

%计算原子结构因子

O_1=[4.19160 12.8573 1.63969 4.17236 1.52673 47.0179 -20.307 -0.01404 21.9412]; %氧离子-1

Ti_4=[19.5114 0.17884 8.23473 6.67018 2.01341 -0.29263 1.52080 12.9464 -13.280]; %正四价钛离子

Eu_2=[24.0063 2.27783 19.9504 0.173530 11.8034 11.6096 3.87243 26.5156 1.36389]; a=zeros(1,4);b=zeros(1,4);c=0;

for i=1:4

a(i)=Eu_2(2*i-1); b(i)=Eu_2(2*i);

end

c=Eu_2(2*i+1);

f_Eu=form_factor(a,b,c,Q)

for i=1:4

a(i)=Ti_4(2*i-1); b(i)=Ti_4(2*i);

end

c=Ti_4(2*i+1);

f_Ti=form_factor(a,b,c,Q)

for i=1:4

a(i)=O_1(2*i-1); b(i)=O_1(2*i);

end

c=O_1(2*i+1);

f_O=form_factor(a,b,c,Q)

%原子结构因子

fstr=zeros(1,5);

jiaodu=(1+cos(2.*sita).^2)./sin(sita)./sin(sita)./cos(sita);%角因子

fstr(1)=(f_Eu(1)-f_Ti(1)-f_O(1)).^2;%100面的晶胞结构因子

fstr(2)=(f_Eu(2)+f_Ti(2)-f_O(2)).^2;%110

fstr(3)=(f_Eu(3)-f_Ti(3)+3*f_O(3)).^2;%111

fstr(4)=(f_Eu(4)+f_Ti(4)+3*f_O(4)).^2;%200

fstr(5)=(f_Eu(5)-f_Ti(5)-f_O(5)).^2;%210

Mf=[6,12,8,6,24];%多重性因子

In=fstr.*Mf.*jiaodu;%最后的衍射峰的相对强度

stem(2*si,In);

xlabel('2\theta/(deg)','FontName','Times','FontSize',15,'FontWeight','Bold');

ylabel('Intensify','FontName','Times','FontSize',15,'FontWeight','Bold');

axis([10,55,0,12e5]);

4. 判断CsCl 结构的X 射线衍射谱中，(100)和(200)衍射谱线的强度那个大，为什么？【参考答案】

如果是单晶体，则可根据单晶体反射强度公式计算(100)和(200)衍射峰的强度比值 ()()20020022001001002

1002001002sin /22sin /2θθθθP F P F I I = 是大于1还是小于1来判断这两个衍射峰强度的大小。

其中(100)和(200)的多重性因子相等。

查阅CsCl 的晶格常数，假设所用X 射线是Cu K α辐射，则可计算上面单晶和多晶的I 100和I 200的比值。

?????

经过计算可知，CsCl 的（200）峰强度要高于（100）峰的强度。

注意：有的固体物理学教材上的解释－高指数晶面的原子面密度小（如方俊鑫、陆栋的1980版《固体物理学》上册P26：“又由于面上的原子密度大，对射线的散射强，因而密勒指数简单的晶面族，在X 射线衍射中，往往为照片中的浓黑斑点所对应”）是错误的。

5. 为什么实际测到的衍射峰都来自低指数晶面的衍射？【参考答案】

首先，无论是衍射仪还是面探测器，其探测的最大衍射角2θ是180?，根据布拉

格公式λθ=22sin 2hkl d 可知，()2

2/2sin 2λθλ>=hkl d ，即实际探测到的衍射面的晶面间距不能小于波长的一半。因此，高指数hkl 的晶面不能满足布拉格方程，也就是说，实际测量到的衍射峰都来自低指数晶面。

第二个方面的原因是，高指数晶面的衍射峰出现在高衍射角位置，但原子的散射因子随角度的增加而快速衰减，所以受此影响高角处的衍射峰强度很小，大于一定的角度衍射峰强度就会衰减到难以测量的程度，所以高指数晶面的衍射不出现。

其他方面的原因还有Lorentz 因子，德拜温度因子也对高角处的衍射峰有限制。 ()()()()()()()()20020020020010010010010022002

100200100200100220021002001002sin sin /2cos 2sin sin /2cos 2cos 2cos θθθθθθθθθθm P m P F F L L P P F F I I powder powder ==

6. (选作) 阅读文章[Qun Shen, Stefan Kycia, Determination of interfacial strain distribution in quantum-wire structures by synchrotron x-ray scattering, Phys. Rev. B55, 15791 (1997)]，从中体会对特殊的问题如何应用X射线衍射的运动学理论，并根据你所学运动学理论方法，写一篇对该论文的评论(Review)文章，要求讲明：

1)所要解决的问题；

2)所采用的方法的原理，必要时将论文中省去的强度表达式的推导写出来；

3)所获得的结果及其意义；

4)对解决方法的评论。

第六章衍射实验方法

问题1：我现在在挪威奥斯陆大学交流学习，7月初就回去了。他们新买了一台衍射仪，但是还没有调试好。用这台仪器测试ZnO/c-sapphire样品，分别在31.14°,34.52°,37.56°,41.73°存在很明显的峰位，其中第二个和第四个峰位应该是ZnO和蓝宝石，但是第一个和第三个不知道来自哪儿，会不会是和光源的单色性有关？

可以看出，所用的靶是铜靶，可以推算出，第一个和第三个峰是来自于Cu的Kβ辐射，衍射峰仍然是ZnO（002）和Al2O3（006）。这意味着狭缝卡光源的位置不准，没有靶Kβ卡去。下面是我计算的各个峰位和波长的对应关系：

实验： 31.14°, 34.52°, 37.56°, 41.73°

Cu Kα1： Al2O3 (005) 34.4926 Al2O3 (006) 41.682

ZnO(002) 34.4775

Cu Kα2： Al2O3 (005) 41.5808 Al2O3 (006) 41.7902

ZnO (002) 34.5055

Cu Kα平均Al2O3 (005) 34.5224 Al2O3 (006) 41.7186

ZnO (002) 34.5055

Cu Kβ Al2O3 (005) 31.1 Al2O3 (006) 37.52

ZnO (002) 31.02

有几个问题，还想向王老师请教一下：

(1) 如果探测器探测到的直通光不是高斯分布，这对测试结果影响有多大呢？

直通光不是高斯分布的原因，我想到的有：

a，X射线源光斑本身存在强度分布，由于狭缝原因，卡到的光斑不是高斯对称分布。这种情况，只要光源单色性好，应该是不影响测试结果的。

b，由于探测器之前的狭缝影响，这种原因肯定会影响探测结果。

答：只要薄膜和衬底的峰不重合，则不影响分峰，但影响峰位的精细拟合；如果要根据峰形变化分析缺陷的类型，则有致命的影响，不能使用。

但是固定探测器做rocking curve，峰形比较对称，这是不是就可以说明探测器的狭缝没有问题？

答：不能说明。

(2) 我们在测试theta-2thate时，总是要先通过固定探测器进行omega扫描和固定theta进行探测器扫描，寻找到最优化的theta及2theta值，这样做的目的是为了消除晶面斜切的影响。对于同步辐射站上，我们可以根据优化后的结果重新定义theta及2theta值；但是对于衍射仪，这个该怎么定义？

答：2theta都不能重新定义，theta定义方式相同，也可以不定义。

(3) 所有角度的定义是以什么为参照呢？如果这个参照不对，是不是会影响衍射峰的位置（也就是测试结果与实际结果存在偏差）？

答：2theta以直通光为参照，theta开始时以样品表面为参考，得到衍射角2theta之后，可以以Bragg 角为参考，也可以仍然以表面为参考。

问题2：、在劳厄法中，如果采用X射线管或X光机作光源，为什么降低光源的加速电压会导致透射式劳厄衍射图样中靠近中心的衍射点消失，但不会导致反射式劳厄衍射图样中的衍射点消失？

参考：由E=hν =hc/λmin=eV，得出λmin= hc/(eV)，所以，如果加速电压V降低，则X光的最短波长λmin就会增大，从而满足劳厄条件的衍射点Q＝Ghkl＝4π/λ?sinθ > 4π/λmin ?sinθ，因而低角度处的－即靠近中心的－衍射点会消失。

问题3、在粉末的X射线衍射中，具有同样面间距的衍射晶面是否具有同样的系统消光条件？为什么？

参考答案：是。因为（写出晶胞结构因子表达式，指出，晶面间距相等，则Q＝G hkl相等，各原子的位置r j不变，所以晶胞结构因子相等，因此计算结果相等，所以如果其一系统消逛，则另外一个也系统消光，即系统消光条件相同。可以面心立方晶系的（300）和（221）为例计算说明）。

中国科学院研究生院课程编号：312 012H

怀柔园区试题课程名称：X X 射线晶体学（一）

2013 3 －2014 4 秋季学期任课教师：王焕华

1．（10 分）（非生化类专业必须选3-A；生化类专业可任选一题。可多选，但不多得分）

（1－A）（非生化类专业必选）某人使用Cu 靶X 光机作为光源测量一个晶体样品的X 射线衍射，发现衍射

谱（横坐标2

面左侧示意图），他先是确

定了该主峰是来自某一晶面的K 1 衍射，随后他猜测左侧伴峰来自同一晶面的K 2 衍射成分，请你帮忙判

断该猜测是否成立（4 分），简要写出理由（6 分）。

【答】：该猜测不成立。因为K 2 的波长比K 1 的波长大，根据布拉格公式，同一晶面的K 2 衍射峰应该

出现在K 1 衍射峰的右侧。

（1－B）（生化类专业选作）下图所示的布拉菲点阵属于六角晶系，以常用的密勒指数的对称形式写出下面

ABC 的晶面（C点处于竖直方向相邻阵点的中心）的所有等效晶面（6 分），并指出该晶系的

特征对称元素（4 分）。

【参答】：共12 个对称晶面（略）（写对 4 个以上就得全分，多写而写错者不扣分）。一个六度对称轴（6）。

120

(1-A) 衍射谱示意图（1－B）六角晶系点阵和过ABC 的晶面

2．（20 分）请简要分析回答：（1）一个单晶薄膜样品，如果其厚度方向（面外方向）上只有一个晶粒，那么

用衍射仪的什么扫描方式、在哪个方向上扫描能测出该薄膜的厚度？如何由实验数据获得厚度？能否通过

某一衍射峰的摇摆曲线获得厚度？为什么？（15 分）（2）单晶和多晶的摇摆曲线有什么不同？（3）如果多

晶样品的一个特定的衍射峰的摇摆曲线在180

么？（材料类专业（2）、（3）

问题任选其一答对可得 5 分；物理类专业两问题都答对方可得 5 分）。

【参答】：

（12

有一个晶粒，所以该方向

上的晶粒尺寸就是薄膜厚度；不能，因为摇摆曲线测量的方向与厚度方向垂直，而且其宽度主要包含了晶

粒间取向偏离平均取向的部分。（15 分）

（2）单晶样品的摇摆曲线的FWHM 很窄，多晶样品的FWHM 很宽，甚至在360

向均匀的情况）。（5/2.5 分）

2(deg.)

（3）特定的衍射峰的摇摆曲线如果在180

分布有（两个）择优取向

（（5/2.5 分）。

3．（20 分）采用劳厄法测量Si 单晶的衍射花样，假设二维探测器对样品所张的立体角足够大，试回答：

（1）在二维探测器上能否出现(001)、(002)、(003)及其对称晶面的分离的衍射斑点？写出必要的分析依

据；

（2）衍射角最小的衍射斑点来自那个晶面族？简要写出必要的分析过程。

【参答】：（如果考虑实际Si 晶体系统消光不完全）(001)、(002)、(003)这几个晶面互相平行，与入射光的

夹角相等，所以布拉格条件选择出的衍射光线的衍射角相同，因此这几个衍射斑重合，不分离。对称晶面

(010)、(020)等的衍射点与前者分离，但一般不能同时满足布拉格条件，所以不出现。（答对前者蓝色部分

即可得全分；用系统消光作答也可，但因为缺少针对方法的分析，少得 2 分）（理论上简要分析后得出结论：）如果入射光的波长范围足够大，而且最小波长足够小，那么衍射角最

小的衍射点来自与入射光线夹角最小的那个晶面族。（实际上入射光最小波长有限，理论上满足布拉格条件

的晶面的衍射通常小到可忽略，实际波长等实验要素不知道，所以，对本问题可简化作答：如果考虑（001）

等面实际上系统消光不完全，则最小衍射角的晶面族为｛100｝；如果粗略按照金刚石结构的系统消光来回

答，最小衍射角对应的晶面族为｛111｝。两种回答都给全分）。

4．（25 分）（非生化类专业必须选3-A；生化类专业可任选一题。可多选，但不多得分）

(3-A)（非生化专业必选）我们知道，原子散射因子f 总是随着散射角2

而减小，但是，SrTiO 3 单

2002）衍射峰的强度却比低角处的（001）衍射峰强（假设实验

条件是Mo 转靶X 0.71 ?）。请分析原因（不考虑德拜－谢勒因子，不考虑异常色散校正），并

指出决定（002）峰强度高于（001）峰强度的关键因素，计算该因素在（002）峰和（001）峰处的解析

表达式（用符号表示即可，不需要计算数值，例如，A 离子在(421)、B 离子（303）衍射峰处的原子散射

因子分别记为f A (421) 和 f B (303)）。

【参答】：（类作业题，略）

(3-B)（生化类专业选作）在粉末样品的X 射线衍射实验中，各项因素都做了仔细

扫描谱中各衍射峰的强度仍然比X 射线衍射运动学理论计算的峰值小，简要回答其原因是什么（10 分）。

要使该样品的衍射数据更好地适合运动学理论结构精修，应在样品制备上作何改进（5 分）？怎样用衍射

仪区分样品是单晶体还是多晶体？（10 分）

【参答】：（初级消光；次级消光；充分研磨使晶粒细小；后略）

5．（25 分）已知Eu 2 Ti 2 O 7 呈立方结构，其空间群符号为Fd3m，晶格常数为10.193 ?。在测量Eu 2 Ti 2 O 7 粉末

样品的X 射线衍射谱之前，先用Si（111）单晶片（a＝5.428?）校准所用的X 射线波长，测得Si（111）

14.6350228.4574-2

品的X 射线衍射谱如图所示。

请根据图中A、B、C 三个衍射峰的峰位计算确定其衍射面指数，写出必要的解决步骤（只写对答案不给分），

并在图中括号内标出衍射面指数。

试：1）Eu 2 Ti 2 O 7 的点阵型式是什么？（2 分）

2) 确定所用的X 射线的波长（精确到小数点后第四位）；（5 分）

3) 根据图中标出的衍射峰A, B, C 的峰位角，计算确定它们各自对应的衍射指数，写出必要步骤，并

在后面的括号中标明。（15 分）

4) 该衍射谱出现了较高衍射指数，原因是什么？（3 分）

【略解】：（1）由Eu 2 Ti 2 O 7 的空间群符号中的 F 可知，其点阵型式是面心立方点阵。

（2）Si（111）面间距：13386 . 3

428 . 5

2 2

111

l k h

d （?）

由布拉格公式可得X 射线波长

2d 111 sin(2/2)=2×3.13386×sin(28.4574/2)=1.5406 （?）( ( 利用2 2

值3 3 分) )

（3）

（4）该衍射谱出现较高指数的衍射峰是因为晶格常数与X 光波长相比较大（或者说晶格常数较大）。因为

根据布拉格公式和晶面间距公式，晶格常数较大，则晶面间距较大，对应的衍射角较小，所以较高指

数晶面的衍射峰可以出现在探测角度范围内。（所以，遇到问题请分析，不要生搬硬套一些知识）

华科大有限元分析题及大作业题答案——船海专业(DOC)

姓名：学号：班级：

有限元分析及应用作业报告一、问题描述图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3)当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。

二、几何建模与分析图1-2力学模型由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图1-2所示，建立几何模型，进行求解。假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3 三、第1问的有限元建模本题将分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算。 1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences为Structural 2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是PLANE42（Quad 4node42），该单元属于是四节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为三节点单元；六节点三角形单元选择的类型是PLANE183（Quad 8node183），该单元属于是八节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为六节点单元。因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。 3）定义材料参数 4）生成几何模 a. 生成特征点 b.生成坝体截面 5）网格化分：划分网格时，拾取所有线段设定input NDIV 为10，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到200个单元。 6)模型施加约束：约束采用的是对底面BC全约束。大坝所受载荷形式为Pressure，作用在AB面上，分析时施加在L AB上，方向水平向右，载荷大小沿L AB由小到大均匀分布（见图1-2）。以B为坐标原点，BA方向为纵轴y，则沿着y方向的受力大小可表示为： ρ（1） = gh P- =ρ g = - 10 {* } 98000 98000 (Y ) y

统计学试题库及答案

统计学试题库及答案 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

《统计学》试题库知识点一：统计基本理论和基本概念一、填空题 1、统计是、和的统一体，是统计工作的成果，是统计工作的经验总结和理论概括。 2、统计研究的具体方法主要有、、和。 3、统计工作可划分为、、和四个阶段。 4、随着的改变，总体和是可以相互转化的。 5、标志是说明，指标是说明。 6、可变的数量标志和所有的统计指标称为，变量的具体数值称为。 7、变量按分，可分为连续变量和离散变量，职工人数、企业数属于变量；变量按分，可分为确定性变量和随机变量。 8、社会经济统计具有、、、等特点。 9、一个完整的统计指标应包括和两个基本部分。 10、统计标志按是否可用数值表示分为和；按在各个单位上的具体表现是否相同分为和。 11、说明特征的名称叫标志，说明特征的名称叫指标。 12、数量指标用表示，质量指标用或平均数表示。 13、在统计中，把可变的和统称为变量。 14、由于统计研究目的和任务的变更，原来的变成，那么原来的指标就相应地变成标志，两者变动方向相同。二、是非题 1、统计学和统计工作的研究对象是完全一致的。 2、运用大量观察法，必须对研究对象的所有单位进行观察调查。 3、统计学是对统计实践活动的经验总结和理论概括。 4、一般而言，指标总是依附在总体上，而总体单位则是标志的直接承担者。 5、数量指标是由数量标志汇总来的，质量指标是由品质标志汇总来的。 6、某同学计算机考试成绩80分，这是统计指标值。 7、统计资料就是统计调查中获得的各种数据。 8、指标都是用数值表示的，而标志则不能用数值表示。 9、质量指标是反映工作质量等内容的，所以一般不能用数值来表示。 10、总体和总体单位可能随着研究目的的变化而相互转化。 11、女性是品质标志。

《结构分析中的有限元法》2015-有限元习题-参考答案

本科有限元习题参考答案

2015年3月10日作业 1、简述力学课程中介绍的各种力学模型的简化条件、基本假设和适用范围（包括有拉压杆模型、弯曲梁模型、平面应力和平面应变模型、轴对称模型、板模型、壳模型等） 2、给出弹性力学问题中平衡方程、几何方程、物理方程的表达式及其意义。（1）平衡方程：

zy yz xz zx yx xy z yz xz z y xy zy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττττττττσττσττσ====+??+??+??=+??+??+??=+??+??+??,000，物理意义：应力分量与体力分量之间的关系。（2）几何方程： z u x w y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x ??+??=??+??=??+??=??=??=??=γγγεεε,,,, 物理意义：应变分量与位移分量之间的关系。（3）物理方程： [] [] [] zx zx yz yz xy xy y x z z z x y y z y x x G G G E E E τγτγτγσσμσεσσμσεσσμσε1,1,1) (1 ) (1 )(1 ===+-=+-=+-= 物理意义：应变分量与应力分量之间的关系。 3、简述最小势能原理的主要内容和主要公式。根据虚功原理得到：??=-Γ T Ω T T 0Td Γδu d Ω）F δu -σδε（，由 )(21εδσεδδεU T T =?? ? ??=则0)21((=Γ-Ω-=∏??ΩΓ）Td u d F u T T T p σεδδ 其中，??ΩΓ Γ-Ω-=∏Td u d F u T T T p )21 (σε即为系统的总势能，它是弹性体变形势能和外力势能之和。上面变分为零式表明：在所有区域内满足几何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取驻值(可证

国科大信息检索作业

国科大2013年秋季《现代信息检索》第一次作业(第一章到第五章) 以下每题10分，共计100分。 1、习题1-4 a.时间复杂度O(x+y)。因为倒排记录表记录的文档号是按照从小到大排列的，在扫描Brutus对应的倒排表的时指针指向文档号为x，扫描Caesar对应的倒排记录表的指针对应的文档号为y，如果xy，caesar指针后移。 b.时间复杂度是O(N)，N是全部的文档数。因为结果集的大小取决于文档数N，而不是倒排记录表的长度。 2、习题1-7 对于原始的查询，按照倒排记录表的长度从小到大查询会节省查询复杂度 (tangerine OR trees) = O(46653+316812)=O(363465) (marmalade OR skies) = O(107913+271658) = O(379571) (kaleidoscope OR eyes) = O(46653+87009) = O(300321) 即顺序为：(kaleidoscope OR eyes) AND (tangerine OR trees)AND(marmalade OR skies) 3、习题1-10 UNION(p1,p2) answer ←{ } while p1!=NIL and p2!=NIL do if docID(p1)=docID(p2) then ADD(answer,docID(p1)) p1<- next(p1) p2<-next(p2) else if docID(p1)

有限元答案

1.1有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的？（1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。（2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。（3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。 1.3单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别? 单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。单元Kij物理意义Kij即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第j个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.2什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？ (1)在外力作用下，物体内部将产生应力ζ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为应变能。 (2)外力势能就是外力功的负值。 (3)势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零 δΠp=δUε+δV=0 此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即 δ2ΠP=δ2Uε+δ2V≧0 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件，其中附加了几何方程和位移边界条件。 2.3什么是强形式？什么是弱形式？两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？等效积分形式通过分部积分，称式 ∫ΩC T(v)D(u)dΩ+∫ΓE T(v)F(u)dΓ为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。区别：弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤：对场函数要求较低阶的连续性。 2.4为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什么？只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。 2.6为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz法收敛的条件是什么？（1）在Ritz 法中，N决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精确的；如果试探函数取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，近似解将趋近于精确解。然而，通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。可见，变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答，近似性就源于此。（2）采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的，因而变分法的应用受到了限制。（3）Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性的要求，当试探函数的项数趋近于无穷时，则Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。 3.1构造单元形函数有哪些基本原则？形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式，其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包括常函数和一次式，即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多项式，可在单元内部配置节点。然而，这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性，除非不得已才加以采用。形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求，即满足完备性要求和协调性条件。 3.1构造单元形函数有哪些基本原则？试采用构造单元的几何方法，构造T10 单元的形函数，并对其收敛性进行讨论。通常单元位移函数采用多项式，其中的待定常数由节点位移参数确定，因此其个数应与单元节点自由度数相等。根据实体结构的几何方程，单元的应变是位移的一次导数。为了反映单元刚体位移和常应变即满足完备性要求，位移函数中必须包含常数项和一次项，即完全一次多项式。 3.3何谓面积坐标？其特点是什么？为什么称其为自然坐标或局部坐标？（1）三角形单元中，任一点P(x,y)与其3个角点相连形成3个子三角形,其位置可以用下述称为面积坐标的三个比值来确定： L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A 其中A1,A2,A3分别为P23,P31,P12的面积。（2）面积坐标的特点： a T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li b面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。 c三个节点的面积坐标分别为节点1（1, 0, 0）、节点2（0, 1, 0）、节点3（0, 0, 1），形心的面积坐标为（1/3, 1/3, 1/3）。 d单元边界方程为Li=0(i=1,2,3) e在平行于23边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标L1（L1对应的三角形具有相同的高和底边），而且L1就等于此直线至23边的距离与节点1至23边的距离之比值。

中国科学院大学数值分析MATLAB大作业(计算机学院开设)

7.编程实现题 %{ 在微电机设计计算中需要查磁化曲线表，通常给出的表是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值，下面要解决B从4000至11000区间的查表问题。为节省计算机存储单元，采用每500高斯存入一个at值，在利用差分公式计算。从差分表中看到三阶差分近似于0，计算时只需两阶差分。当4000≤B ≤10500时用牛顿前插公式；当10500≤B≤11000时用牛顿后插公式；试在计算机上编程实现求任一在区间［4000，11000］内的函数值。 %} syms y0 y0=[1.38,1.48,1.58,1.69,1.81,1.94,2.10,2.28,2.50,2.76,3.06,3.41,3.83,4.33,4.93]; b=input('enter the number of b:'); if b>10500&&b<=11000 t=(b-11000)/500.0; r=4.93+0.6*t+0.1*t*(t+1)/2; disp(r) elseif b<=10500&&b>=400 k=(b-4000)/500; m=floor(k); t=k-m; r=y0(m+1)+(y0(m+2)-y0(m+1))*t+t*(t-1)*(y0(m+3)-2*y0(m+2)+y0(m+1))/2; disp(r) else disp('the number is out of consideration') end clear

15.用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序 syms alpha; syms beta; syms a; syms p; x=input('enter the value of x(for example:[1,2,3,4,5]):'); y=input('enter the value of y(for example:[1,2,3,4,5]):'); w=input('enter the value of weight(for example:[0.1,0.2,0.3,0.4]):'); n=input('enter the value of n:'); m=length(x); alpha(2)=sum(w*x)/sum(w); a(1)=sum(w*y)/sum(w); p2x= x-alpha(2); alpha(3)=sum(w*x*(subs(p2x,x))^2)/sum(x*( subs(p2x,x))^2); beta(2)=sum(w*( subs(p2x,x))^2)/sum(w); a(2)=sum(w*y*( subs(p2x,x)))/sum(w*( subs(p2x,x))^2); for k=3:m+1 alpha(k+1)=sum(w*x*((subs(p,{k,x},[k,x]))^2)/sum(w*( subs(p,{k,x},[k,x]))^2); beta(k)=sum(w*( subs(p,{k,x},[k,x]))^2)/sum(w*( subs(p,{k-1,x},[k-1,x]))^2); a(k)=sum(w*y* subs(p,{k,x},[k,x]))/sum(w*( subs(p,{k,x},[k,x]))^2); p=(x-alpha(k+1))*subs(p,{k,x},[k,x])-beta(k)*subs(p,{k-1,x},[k-1,x]); end, for i=1:n+1 F=0; F=F+a(i)* subs(p,{i,t},[i,t]); end

有限单元法部分课后题答案

1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的？（1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。（2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。（3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。 1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。单元 Kij 物理意义 Kij 即单元节点位移向量中第 j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第 j 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.2 什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？ (1)在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为应变能。 (2)外力势能就是外力功的负值。 (3)势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零 δ∏p=δ Uε+δV=0 此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即 δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件，其中附加了几何方程和位移边界条件。 2.3 什么是强形式？什么是弱形式？两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？等效积分形式通过分部积分，称式 ∫ΩCT(v)D(u)dΩ+∫ΓET(v)F(u)dΓ 为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。区别：弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤：对场函数要求较低阶的连续性。2.4 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什么？只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。 2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz 法收敛的条件是什么？（1）在 Ritz 法中，N 决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精确的；如果试探函数取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，近似解将趋近于精确解。然而，通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。可见，变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答，近似性就源于此。（2）采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的，因而变分法的应用受到了限制。（3）Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性的要求，当试探函数的项数趋近于无穷时，则 Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。 3.1 构造单元形函数有哪些基本原则？形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式，其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包括常函数和一次式，即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一

应用统计学试题和答案分析.

六、计算题：（要求写出计算公式、过程，结果保留两位小数，共4题，每题10分） 1、某快餐店对顾客的平均花费进行抽样调查，随机抽取了49名顾客构成一个简单随机样本，调查结果为：样本平均花费为元，标准差为元。试以%的置信水平估计该快餐店顾客的总体平均花费数额的置信区间；（φ（2）=）49=n 是大样本，由中心极限定理知，样本均值的极限分布为正态分布，故可用正态分布对总体均值进行区间估计。已知:8.2,6.12==S x 0455.0=α 则有: 202275 .02 ==Z Z α 平均误差=4.07 8 .22==n S 极限误差8.04.022 2 =?==? n S Z α 据公式 x x ±=±? 代入数据，得该快餐店顾客的总体平均花费数额%的置信区间为（，） 3 要求：①、利用最小二乘法求出估计的回归方程；②、计算判定系数R 。附：10805 1 2 ) (=∑-=i x x i 8.3925 1 2 ) (=∑-=i y y i 58=x 2.144=y 3题解 ① 计算估计的回归方程： ∑∑∑∑∑--= )(22 1x x n y x xy n β) ==-??-?290 217900572129042430554003060 = =-= ∑∑n x n y ββ)) 1 0 – ×58= 估计的回归方程为：y ) =+x ② 计算判定系数： 4 计算下列指数：①拉氏加权产量指数；②帕氏单位成本总指数。 4题解： ① 拉氏加权产量指数

= 1 000 00 1.1445.4 1.13530.0 1.08655.2 111.60%45.430.055.2q p q q p q ?+?+?==++∑∑ ② 帕氏单位成本总指数= 11100053.633.858.5 100.10%1.1445.4 1.13530.0 1.08655.2q p q q p q ++==?+?+?∑∑ 模拟试卷(二) 一、填空题（每小题1分，共10题） 1、我国人口普查的调查对象是，调查单位是。 2、___ 频数密度 =频数÷组距，它能准确反映频数分布的实际状况。 3、分类数据、顺序数据和数值型数据都可以用饼图条图图来显示。 4、某百货公司连续几天的销售额如下：257、276、297、252、238、310、240、236、265，则其下四分位数 5、某地区2005年1季度完成的GDP=30亿元，2005年3季度完成的GDP=36亿元，则GDP 年度化增长率6、某机关的职工工资水平今年比去年提高了5%，职工人数增加了2%，则该企业工资总额增长了 % 。 7、对回归系数的显着性检验，通常采用的是 t 检验。 8、设置信水平=1-α，检验的P 值拒绝原假设应该满足的条件是 p e M >o M ③、x >o M >e M 3、比较两组工作成绩发现σ甲＞σ乙，x 甲＞x 乙，由此可推断 ( )