2.6 可控性与可观性
26
2.6.1 概述
经典控
制论中：
系统用传递函数描述。
只注重输入-输出间的直接关系！
低阶系统，输出可控制亦可测量。
可控性与可观性不是问题。
现代控制论中：
系统描述：状态方程＋输出方程
由于状态?输入，输出?状态
所以要控制输出，首先要控制状态
并且使输出随状态发生变化输
（1）输入?状态间的问题：
输入是否使状态发生希望的变化？
?
可控性问题
要使状态发生某种变化，输入？
要使状态发生某种变化，输入＝？
?
最优控制问题
（2）输出?状态间的问题：
状态可否从输出得到？
?
可观测性问题
如何从输出得到？
?
最优估计问题
&可控性、可观性为现代控制理论的基础，例如最优控制与最优估计的基础！
&如何处理可控性？可观测性？
可控性：系统输入对系统状态的有效控制能力
可观性：系统输出对系统状态的确切反映能力
问题：
状态可控？系统可控？
状态不可控？系统不可控？
状态可观测系统可测观
状态可观测？系统可测观？
状态不可观测？系统不可观测？
个系统的可控性和可观测性
?分析如下4个系统的可控性和可观测性：x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=???y x x 101/????+???????=u dt d x x 001/??+???=u dt d []x 01110=?
??y x 11110=?????????x x 0111/?
???+???=u dt d []y []x
0110=???????y
?x x 111001/????+??????=u dt d []x
11=?
??y x ∫
?1
u y 1
2
x ∫
1?
?x x 111001/????+??????=u dt d []x
01=?
??y 1
x ∫
?y u 1
2
x ∫
1?
?x x 101001/????+??????=u dt d []x
11=?
??y x ∫
?y
11u 2x ∫
1
?
x x 111/????+??????=u dt d []x
01010=?
???y u ∫∫
y
1x 2
x 1?1?
2.6.2可控性定义及其判据2.6.2 可控性定义及其判据
2.6.2.1可控性定义：可控性定义
线性时变连续系统的状态方程为：
)()()()()(t t t t t u B x A x +=&f
T t ∈状态可控性：
对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻的
一个存在一个时刻f T t ∈0个非零初始状态，存在个时刻，00)(x t x =[]10,),(t t t t u ∈f T t ∈1和一个无约束的容许控制01t t >使状态由00)(x t x =转移到1t 时的0)(1=t x x t 是可控的。
则称此0在0
系统可控性：
对于线性时变连续系统，如果所有状态在对于线性时变续系统如果所有状态在)(0f T t ∈则称系统在都是可控的，0
t 0t 时刻是完全可控的，也称系统在t 0是可控的。系统不可控
系统不可控：对于线性时变连续系统取定初始时刻对于线性时变连续系统，取定初始时刻如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的则称系统在时刻是不完全可控的0t )(0f T t ∈0t 是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称系统不可控。
0t
状态运动的一个定性特性状态运动的个定性特性。
控制的这表明控制量的每个分量应在求控制量u 是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在系统系统的可控性与初始时刻的选取无关系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。
&可控性只与系统本身结构有关，与输入量无关！
（）定义中规定由非零状态转移到零状态如4）定义中规定由非零状态转移到零状态。如果将其变更为由零状态转移到非零状态，则称这对于线性定常系种情况为状态可达或系统可达。对于线性定常系统，可控性与可达性等价。
(5)对线性定常连续系统：
B A 若系统在)()()(t t t Bu Ax x +=&0)0(x x =0
≥t ),0[0∞∈t 则系统在0t 上完全可控。
时刻是完全可控的，),0[0∞∈t
26222.6.2.2
可控性判据&可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制矩阵有关！
（1）Gram 矩阵判据（判别原理？）
线性时变连续系统在0t 时刻可控的充要条件为：
01t t >使得Gram 矩阵
存在某个有限时刻T
T t t 1=为非奇异的或是正定的。τττττd t B B t t t W t ct ),()()(),(),(11010ΦΦ∫为非奇或是定
G 线性定常连续系统Gram 矩阵判据：
线性定常连续系统G 完全可控的充要条件为：01>t 使如下定义的Gram 矩阵
存在时刻t T τ
d e B B e t W t A T t At c ??∫=10)0,(1为非奇异的或是正定的。
（2）秩判据
假设线性时变连续系统的A(t)和B(t)的每个元素分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记
)
()(1t B t B =n i t B t B t A t B i i i ,...3,2),()()()(1
1=+?=??&令))
(...)()(()(21t B t B t B t M n t =使得01t t >如果存在某个时刻n t rankM t =)(1则该线性时变系统在t 0时刻完全可控
线性定常连续系统秩判据
线性定常连续系统完全可控的充要条件为：
n
B A AB B rank n =?)...(1
其中n 为系数矩阵A 的阶次
系统的可控性矩阵：
)...(1
B A AB B M n ?=&n 行nm 列，如何确定秩为多少？
P B l it h H t （3）PBH 判据（Popov-Belevitch-Hautus 判据）线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是对系统矩阵的所有特征值)
,...2,1(n i s i =
n
B A I s rank i =?)(其中n 为系数矩阵A 的阶次
（4）约当规范型判据
?u B x s
?0&u B x x +??=s ??0
=),...2,1(n i s i 2）当系统矩阵A 的特征值有相同的
x x ????&u B
A +=其中，设有q-l 个相同特征值1
s 有l 个相同特征值
q
s 其余为互异特征值其余为异特征值
《自动控制理论》讲稿
自动控制原理是自动化类专业基础课，是自动控制技术的基础，是研究自动控制共同规律的技术科学。 自动控制理论可分为自动控制原理（经典控制理论）和现代控制理论。开始主要用于研究工程技术领域的自动控制问题，现已将其应用范围扩展工程领域，如应用到经济学、生物医学、社会学、生产管理等领域。自动控制理论已成为普遍使用的基础理论。 我们本学期介绍的自动控制原理是自动控制技术基础的基础，计划授课85学时，其中10学时用于实验。 参考书： 《自动控制原理》，天大、技师、理工合编，天津大学出版社; 《自动控理论》，两航一校合编，国防工业出版社; 《现代控制工程》，（日），绪方胜彦，科出版社; 《自动控制系统》，（美），本杰明，水利电力出版社; 《线性系统理论》 《反馈控制理论》 自动控制理论：经典控制理论（自控原理） 现代控制理论 自动控制理论的划分是以控制理论发展的不同阶段人为归纳为： 建立在时域法、频率法和根轨迹法基础上的经典控制理论和建立在状态空间法基础上的现代控制理论。 经典控制理论：主要研究单输入、单输出（SISO）线性定常系统的分析和设计问题。其基本方法是采用描述输入-输出关系的传递函数为基础，包括：时域法、频域法、根轨迹法、相平面法等，工具：乃氏曲线，伯德图，尼氏图，根轨迹等曲线。现代控制理论：主要研究具有多输入-多输出系统（MIMO）、变参数系统的分析和设计问题。基本方法是：采用描述系统内部特征的状态空间的方法，更多的采用计算机作为其工具。 自动控制原理包括下列内容： 第一章：控制理论的基本概念，开、闭环，分类 第二章：数学模型即：描述系统运动状态的数学表达式——微分方程、传递函数、结构图信、号流程图第三章时域分析法：动态性能、静态性能、一二阶系统分析 第四章根轨迹分析法：常规根轨迹、特殊根轨迹 第五章频域分析法：频率特性、频域指标、频域分析 第六章系统综合与校正 第七章非线性系统与分析 第八章采样控制系 学习要求： 1.掌握自动控制系统的一般概念及其组成与分类； 2.掌握控制系统的基本性能要求。 教学内容： §1-1 概述 §1-2 自动控制的基本方式 §1-3 自动控制系统的类型 §1-4 本章小结 §1-5 思考题与习题
习题解答 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 2-14 2-15 2-16 2-17 2-18
2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出 量。试列写状态空间模型。 题图2-1 解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式. ()()() 1 ()()()()() i L C L C R C C d U t L i t U t dt d i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+ (2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0 时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即 x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有 1221211 11 i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+=- 经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程 11i 22110110x x L U L x x C RC ??-??????????=+???? ???? -???????????? (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 1221110C x y U x x R R R ????===?? ?????? (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达 式 11i 221211011010 x x L U L x x C RC x y x R ??-?????????? =+????????-? ??????????? ??? ?=????? ???
《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案 《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令，输出量有电路原理可知： 既得写成矢量矩阵形式为： 1-3 参考例子1-3. 1-4 两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，
并画出相应的模拟结构图解： 1-7 给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解： 1-8 求下列矩阵的特征矢量解：A的特征方程解之得： 当时，解得： 令得当时，解得： 令得当时，解得： 令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：串联联结并联联结1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解： 1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解： 1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为解法1： 解法2： 求T,使得得所以所以，状态空间表达式为
1 v(x) a 1x 12 b 1x 22 c 1 x 32 2x 1x 2 4x 3 x 2 2X 1X 3 a 1 x T 1 1 b 1 2 (1) v(x) x 12 4x 22 x 32 2x 1x 2 6x 3x 2 2x 1x 3 (2) v(x) x 12 10x 22 4x 32 6x 1 x 2 2x 3x 2 2 2 2 (3) v(x) 10x 1 4x 2 x 3 2x 1x 2 2x 3x 2 4x 1 x 3 【解】： (1) 二次型函数不定。 ⑵ 二次型函数为负定。 ⑶ 二次型函数正定。 3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。 【解】： 3-4-1 第四章 控制系统的稳定性 试确定下列二次型是否正定。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 , 1 0, 3 0, 1 4 3 1 1 1 1 4 1 3 1 1 1 3 1 P 4 10 0, 3 10 0, 10 10 P 1 2 1 , 10 1 1 10 1 2 10 1 39 0 1 4 1 1 4 2 1 1 0, 17
a 1 0 a 1 b 1 1 a 1b 1 c 1 4 b 1 4a 1 c 1 【解】： (1) 设 2 2 v(x) 0.5x 1 0.5X 2 V (X ) X 1X 1 X 2X 2 X 1X 2 X 1X 2 X2 x/ ° " °)为半负定。 0 (x 0) 又因为v(x) 0时，有X 2 0, 则X 2 0，代入状态方程得： X 1 0. 所以系统在X 0时，v(x)不恒为零。 则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (2) 设 2 2 v(x) 0.5X 1 0.5X 2 v(x) X 1X 1 X 2X 2 X 1 ( X 1 X 2) X 2(2X 1 3X 2) X 12 3X 22 3X 1X 2 T 1 1.5 1 1 1 1.5 X x 1 0, 1.5 3 1 1 1 1.5 3 T … X Px P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (3) 0 1 1 1 (1) X X (2) x X ； 1 1 2 3 1 1 1 0 (3) x X (4) x X 1 1 0 1 3-4-3 满足正定的条件为: a i | of 1 1 b i a i 0, 1 1 1 1 b 1 2 0 2 C 1 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
《现代控制理论参考答案》第三版 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =?? ? ?? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： []???? ? ?????=?? ?? ? ? ????????+?????????????????? ? ?? ???????--- -=??????????????3212 13212 22 111 321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。。 。 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 1 u 2 u 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 解：系统的状态空间表达式如下所示： []??? ? ? ???????=????? ???????+????????????????????????------=????????????432121432134 5 61 243 210101000000 100100010x x x x y u b b x x x x a a a a a a x x x x &&&&
西安理工大学研究生招生入学考试 《822控制理论》考试大纲 科目代码：822 科目名称：控制理论（经典控制理论70%；现代控制理论30%） 第一部分课程目标与基本要求 一、课程目标 “控制理论”课程是自动化、电子信息工程、物联网工程、电气工程及其自动化等专业的专业基础课。本课程主要考查学生对控制系统组成与控制方式的基本概念的理解，对系统建模方法和特性分析的掌握，并考查学生运用基本知识进行系统综合设计的能力。 二、基本要求 “控制理论”课程主要包括线性连续系统的建模、时域分析、频域分析、系统综合、线性离散系统分析和非线性系统分析。要求考生对基本概念有较深入的了解，能够系统地掌握线性连续系统的分析和综合、掌握线性离散系统和非线性系统的基本分析方法，掌握稳定性分析的基本定理和应用，并具有综合运用所学知识进行控制系统的设计和校正的能力。 第二部分课程内容与考核目标 一、经典控制理论 第一章：自动控制的一般概念 1.理解自动控制的主要术语。 2.掌握控制系统原理图的绘制方法。 3.理解控制系统的基本要求。 第二章：控制系统的数学模型 1.掌握建立系统微分方程模型的方法。 2.熟悉典型信号的拉氏变换，以及利用拉氏变换求解微分方程的方法。 3.理解传递函数的概念和性质。 4.掌握利用结构图化简或者信流图化简的方法求取控制系统的传递函数。 第三章：控制系统的时域分析法 1.理解系统时域响应的性能指标。 2.掌握一阶和二阶系统的数学模型和时域响应指标计算。 3.掌握高阶系统的极点分布对系统性能的影响、主导极点的概念和相应的分析方法； 4.理解稳定性的定义，掌握劳斯判据判断系统稳定性的方法。 5.掌握稳态误差的定义、规律和计算方法。 第四章：根轨迹法 1.理解根轨迹定义与根轨迹方程。 2.掌握根轨迹绘制的基本原则。 3.掌握正反馈、零度和参数根轨迹的绘制方法。 4.掌握利用根轨迹分析系统性能的方法。 第五章：频率法 1.理解频率特性的定义和物理意义。 2.掌握典型环节和系统的频率特性特点和绘制方法。 3.掌握根据频率特性求最小相位系统的传递函数的方法。 4.利用奈奎斯特判据判断系统稳定性。
现代控制理论第4章教学要求 按章节，打*号的部分为本科不要求的内容，另外在一些未打*的部分有些内容也不要求，请按下面要求的内容组织本科教学。 第4 章动态系统的结构分析 4.1 引言 4.1.1 能控性与能观性物理现象——从例子谈起 从物理角度理解能控性与能观性的重要性。 4.1.2 能控性与能观性的数学描述 从数学角度理解能控性与能观性的状态方程特点。 4.2 连续线性系统能控性与能观性定义 4.2.1 能控性定义 理解能控性的定义包含的丰富内涵。 能利用定义解决与系统能控性相关的问题。 4.2.2 能观性定义 理解能观性的定义包含的丰富内涵。 能利用定义解决与系统能观性相关的问题。 4.3 连续线性系统能控性与能观性判据 4.3.1 定常系统的能控性判据与能控性指数 掌握定常系统的Gram矩阵能控性判据。 掌握Jordan标准型的能控性判据，并能依此进行相应计算。 掌握能控性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。 了解能控性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。 了解定常系统的能控性指数，并基此减小能控性矩阵的规模。 4.3.2 定常系统的能观性判据与能观性指数 掌握定常系统的Gram矩阵能观性判据。 掌握Jordan标准型的能观性判据，并能依此进行相应计算。。 掌握能观性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。 了解能观性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。。 了解定常系统的能观性指数，并基此减小能观性矩阵的规模。 4.3.3 时变系统的能控性判据 了解时变系统的 Gram矩阵能控性判据。 了解时变系统的能控性秩判据。 4.3.4 时变系统的能观性判据 了解时变系统的 Gram矩阵能观性判据。 了解时变系统的能观性秩判据。 4.3.5 时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系 理解时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系。 4.4 连续线性系统输出能控性和输出函数能控性及判据 4.4.1 输出能控性定义及其判定* 本科不要求此节内容。 4.4.2 输出函数能控性定义及其判定* 本科不要求此节内容。 4.5 连续线性系统的对偶关系 4.5.1 定常情况下的对偶关系 理解定常情况下的对偶关系，燕能利用对偶关系解决相关问题。 4.5.2 时变情况下的对偶关系 了解定常情况下的对偶关系，燕能利用对偶关系解决相关问题。 4.6 定常连续线性系统的能控型与能观型 4.6.1 SISO 系统的能控标准型与能观标准型 掌握SISO系统的能控标准型与能观标型以及变换方法，能计算标准型。 4.6.2 MIMO 类SISO 的能控标准型与能观标准型 了解MIMO 类SISO 的能控标准型与能观标准型。 4.6.3 MIMO 系统的Wonham 规范型与Luenberger 规范型* 本科不要求此节内容。 4.7 连续线性系统的结构分解
第六次课小结 一、 Lyapunov 意义下的稳定性问题基本概念 平衡状态的概念 Lyapunov 意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等） 纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性 二次型，复二次型（Hermite 型） 二、 Lyapunov 稳定性理论 第一方法 第二方法 三、 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析 应用Lyapunov 方程 Q PA P A H -=+ 来进行判别稳定性 四、 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计 衰减系数，一旦定出min η，则可定出)(x V 随时间t 衰减上界。 计算min η的关系式 五、 离散时间系统的状态运动稳定性及其判据 离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov 稳定判据在离散系统中的应用
六、线性多变量系统的综合与设计的基本问题 问题的提法 性能指标的类型 研究的主要内容 七、极点配置问题 问题的提出 可配置条件 极点配置算法
爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（）给出的系统，重写为 Bu Ax x +=& 假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为n s s s μμμ===,,,21Λ。 利用线性状态反馈控制律 Kx u -= 将系统状态方程改写为 x BK A x )(-=& 定义 BK A A -=~ 则所期望的特征方程为 ) ())((~ 11121=++++=---=-=+-* *--*n n n n n a s a s a s s s s A sI BK A sI ΛΛμμμ 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A ~ 应满足其自身的特征 方程，所以
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =?? ? ?? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?----- =????????????????????????????? ?65432116543211111111 2654321000001000000 00000001001000000 000001 0x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+--=?? ? 写成矢量矩阵形式为： []???? ? ?????=?? ?? ? ? ????????+?????????????????? ? ?? ???????--- -=??????????????3212 13212 22 111 321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。。 。 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 1 u 2 u 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 解：系统的状态空间表达式如下所示： []??? ? ? ???????=????? ???????+????????????????????????------=????????????432121432134 5 61 243 210101000000 100100010x x x x y u b b x x x x a a a a a a x x x x &&&&
绪论单元测试 1 【判断题】(100 分) 自动控制理论经历了经典控制理论、现代控制理论和近代控制理论三个发展阶段。 A. 错 B. 对 第一章测试 1 【单选题】(10 分) 下列系统中属于开环控制的为（）。 A. 家用空调器 B. 普通车床 C. 无人驾驶车 D. 自动跟踪雷达
2 【单选题】(10 分) 下列系统属于闭环控制系统的为（）。 A. 家用电冰箱 B. 传统交通红绿灯控制 C. 自动流水线 D. 普通车床 3 【单选题】(10 分) 下列系统属于定值控制系统的为（）。 A. 自动跟踪雷达
B. 自动化流水线 C. 家用空调 D. 家用微波炉 4 【单选题】(10 分) 下列系统属于随动控制系统的为（）。 A. 火炮自动跟踪系统 B. 家用空调器 C. 自动化流水线 D. 家用电冰箱
5 【单选题】(10 分) 下列系统属于程序控制系统的为（）。 A. 传统交通红绿灯控制 B. 火炮自动跟踪系统 C. 家用空调器 D. 普通车床 6 【单选题】(10 分) （）为按照系统给定值信号特点定义的控制系统。
A. 连续控制系统 B. 离散控制系统 C. 线性控制系统 D. 随动控制系统 7 【单选题】(10 分) 下列不是对自动控制系统性能的基本要求的是（）。 A. 准确性 B. 快速性 C. 稳定性 D.
复现性 8 【单选题】(10 分) 下列不是自动控制系统基本方式的是（）。 A. 开环控制 B. 复合控制 C. 闭环控制 D. 前馈控制 9 【单选题】(10 分) 下列不是自动控制系统的基本组成环节的是（）。
王金城化工出版社第1章习题参考答案： 1-1（a ）选123123,,,,,y y y v v v 为状态变量，根据牛顿定律， 对1M ，有()1 1112121 dv M g K y K y y M dt ---= 对2M ，有()()2 22123232dv M g K y y K y y M dt +---= 对3M ，有()3 3323433dv M g K y y K y M dt +--= 令312112233415263,,,,,dy dy dy x y x y x y x v x v x v dt dt dt ===== ====，整理得 ()()()122214253641 11 23342332 51262322233 ,,,, ,K K K x x x x x x x x x g M M K K K K K x K K x x x g x x x g M M M M M +====-++++= -++=-+ () ()() 122 11 23222 22 3433 3 000100000010000000100000 01100010000K K K M M x x g K K K K M M M K K K M M ? ????? ??????? ? ??+??-????=+??????+?? ??- ? ? ???? ??? ? +- ?? ??? ? 100000010000001000y x ?? ??=?? ???? （b ）选12,12,,y y v v 为状态变量，根据牛顿定律， 对1M ，有()1 1121111 dv M g B v v K y M dt +--= 对2M ，有()2 2221212dv f M g B v B v v M dt +---= 令1211223142,,,dy dy x y x y x v x v dt dt === ===，整理得 11113243134111 ,,K B B x x x x x x x x g M M M ===--++， 112434222 B B B f x x x g M M M +=-++
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图
硕士：《现代控制理论》学位课程教学大纲 课程编号：55020403课程名称：现代控制理论 学时：40 学分：2 开课学期：1 开课单位：仪器科学与电气工程学院 任课教师：王春民教师代码：401409 教师职称：副教授 教师梯队：刘兴明王艳 1、课程目的、任务及对象 本课介绍了现代控制理论知识，包括控制系统的基础，线性系统理论，最优控制系统，随机系统与卡尔曼滤波，稳定性与李亚普诺夫方法，自适应控制系统和智能控制。现代控制理论涉及的面非常宽泛，对数学基础的要求较高.现代控制理论不仅具有理论研究的意义，也具有广泛的应用前景. 2、授课的具体内容 线性系统理论（15学时） 第一章状态空间法基础 1.1线性时不变动态方程的解 1.2系统动态方程的等价变换 1.3时变系统基础 第二章系统的可观性和可控性 2.1 线性系统的可控性 2.2 线性系统的可观测性 2.3 动态方程的标准型 2.4 单变量系统的实现 2.5 多变量系统的实现 第三章状态反馈与状态观测器 3.1 状态反馈与极点配置 3.2 用状态反馈及进行解耦控制 3.3 跟踪问题的稳态特性 3.4 状态观测器 第四章稳定性与李亚普诺夫方法 4.1 运动模式及其收敛、发散和有界条件 4.2 李亚普诺夫意义下的稳定、渐进稳定 4.3 有界输入、有界状态（BIBS）稳定 4.4 有界输入、有界输出（BIBO）稳定 第二篇最优控制理论（10学时） 第五章最优控制概述 5.1 最优控制问题的基本提法 第六章最优控制的变分法 6.1 变分的基本概念 6.2 无约束条件的泛函极值问题
6.3 有约束条件的泛函极值－动态系统的最优控制问题 第七章最小值原理 7.1 最小值原理 7.2 最短时间控制问题 7.3 离散系统的最小值原理 第八章动态规划 8.1 最优化原理 8.2 动态规划的基本公式 第九章线性二次型指标的最优控制 9.1 二次型问题的提法 9.2 状态调节器问题 9.3 线性定常系统的状态节器问题 9.4 输出调节器问题 9.5 跟踪问题 第三篇最优估计与滤波（6学时） 第十章基本估计方法 10.1最小二乘法估计 10.2线性最小方差估计 10.3维纳滤波 第十一章卡尔曼滤波 11.1卡尔曼滤波的特点 11.2正交投影 11.3离散型卡尔曼最优预测方程 11.4离散型卡尔曼最优滤波方程 11.5离散型卡尔曼滤波基本方程使用要点 11.6卡尔曼滤波的推广 11.7卡尔曼滤波的稳定性、滤波发散及克服发散的方法 第四篇自适应控制（5学时） 12.1自适应控制系统概述 12.2模型参考自适应 12.3模型跟随系统 12.4非线性系统模型参考自适应控制器的设计 第五篇智能控制简介（4学时） 第十三章分级智能控制、专家控制系统、模糊控制和基于神经网络的控制系统
现代控制理论第四章习题答案 4-1判断下列二次型函数的符号性质： （1）222 123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：（1）由已知得 []1123 123 1232311 2 3231 1()3112 2111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?? ? ???=-+------???? ? ????? ? ? ??--??? ?????=--???????????? ---?? 110?=-<，211 2013 -?= =>-，31111711 3 024 1 1112 --?=--=-<-- - 因此()Q x 是负定的 （2）由已知得 [][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ????=---+---+?????? --???? ????=--???? ????--???? 110?=>，211 3014 -?= =>-，3111 143160131 --?=--=-<-- 因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：
11122122a a x x a a ??= ??? 试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。 解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。 即： 11 12 2122 2112211221221()0 a a I A a a a a a a a a λλλλλ---= --=-++-= 有解，且解具有负实部。 即：1122112212210a a a a a a +<>且 方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。 取Q I =，令11 121222P P P P P ??=???? ，则带入T A P PA Q +=-，得到 11 2111121122 211212 2222220100 221a a P a a a a P a a P -???? ????????+=????????????-?????? 若 112112 1122 2111221122122112 22 220 4()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠，则此方程组有唯一解。即 22 21221222211122 1222211111121122()1 ()2()A a a a a a a P a a a a A a a a a A ??++-+=-??-++++?? 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定，则要求 22 2122 111112202()A a a P a a A ++?== >-+ 22 1122122121122()()0 4() a a a a P a a ++-?==>-+
第七章现场控制盘 在海上平台，一个大的处理系统，经常包含有多个子系统，如注水系统、分子筛干燥再 生系统、热油炉供热系统、丙烷制冷系统、三甘醇脱水及再生系统等。这些子系统规模较小，控制简单且相对独立，这些子系统的控制因此也常常采用现场控制PLC来实现子系统的控制，子控制系统PLC经过通讯方式与主控制系统相连，把它的数据信息传递给主控制系统，主控制系统又可将ESD信号通过硬线送到就地控制盘，实施对就地盘的关断，从而实现整个控制系统的集中管理与监视。也实现了平台控制系统的控制分散和危险分散的概念。 一、现场控制盘所用的控制系统 许多子系统都采用了性能好、可靠性高的A-B公司P LC的S LC500系列控制器，下面主要 介绍由SLC500系列控制器组成的现场控制系统。 1. 结构 SLC500系列控制器是为小规模应用而设计的可编程控制器，该系列有两种硬件结构：一种是用于固定式控制器，电源、CPU,I/O卡等都连为一体，不能随意配置；另一种用于模块式控制器，由于该系列可提供各种各样I/O模块，可以随意地、很经济地配置其控制系统。 一个SLC500系列的现场控制系统包括S LC硬件、显示终端、寻址、软件等。模块式现场 控制系统的结构如图4－1所示。 图7－1 模块式现场控制系统结构图 2. 硬件 SLC硬件包括安装框架、处理器模块、I／O模块、电源块等。 SLC安装框架均需要电源向处理器CPU及每个I／O槽供电。 处理器模块是现场控制系统的核心部分，它负责整个控制系统的数据处理、通讯、工作方式等。在处理器模块上有一个钥匙开关，使用钥匙开关可以改变处理器的操作方式。在处理器上有三种操作模式：运行（RUN）、编程（PROG）、远程（REM）。如表7-1 162
第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 阿 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?----- =????????????????????????????? ?65432116543211111111 2654321000001000000 00000001001000000 0000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+--=??? 写成矢量矩阵形式为： []???? ? ?????=?? ?? ? ? ????????+?????????????????? ? ?? ???????--- -=??????????????3212 13212 22 111 321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。。 。 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30
4.4 时变系统的能控性和能观性 一、能控性判据 1、有关线性系统能控性的几点说明 1）允许控制u(t)，其元在时间[t 0,t f ]上绝对平方可积。 2）能控状态和控制作用的关系式 τ ττττ τττττττd )(u )(B ),t (d )(u )(B ),t ()t ,t (X 0 d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X f f f t t 0t t f 0f 1 0t t f 00f f ???-=-==+=-ΦΦΦΦΦ ) 8.3.4(d )(u )(B ),t (X f t t 00τ τττ?-=∴Φ 3）非奇异变换不改变系统的能控性 设系统在变换前是能控的，它必满足（4.3.8） 即 ττττd )(u )(B ),t (X f t t 00?-=Φ 若取变换矩阵P ，对X 进行线性变换 X P X = 则有 B P B AP P A 11 --== 即 B P B P A P A 1 ==- 将上述关系式代入（4.3.8）式，有
τ τττφ-=τ τττφ-=τ τττφ-=???-d )(u )(B ),t (X d )(u )(B P ),t (P X d )(u )(B P ),t (X P f f f t t 00t t 010t t 00 上式表明非奇异变换不改变系统的能控性 4）如果0X 是能控状态，则0X α也是能控状态，α是任意非零实数。 5）如果01X 和02X 是能控状态，则0201X X +也是能控状态。 6）由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间，此子空间称为系统的能控子空间，记为c X 。 例：u 11x x 1001x x 2121??????+????????????=?????? 解：系统的能控状态为21x x =的状态，为两维状态空间中的一条450斜线。 2、线性连续时变系统的能控性判据 1）【定理】时变系统的状态方程为 )t (U )t (B )t (X )t (A )t (X += 系统在[t 0,t f ]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵 ?φφ=f t t 0T T 0f 0c dt )t ,t ()t (B )t (B )t ,t ()t ,t (W
现代控制理论基础
Elements of Modern Control Theory
主讲：董霞 西安交通大学机械工程学院
第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性分析
控制系统的稳定性分析是系统分析的重要组成部分。系统稳 定是控制系统正常工作的前提条件。 对单输入－单输出的线性定常系统，以传递函数或频率特性为 其数学模型，采用劳斯－胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据和乃 奎斯特（Nyquist）判据等来判别系统的稳定性是比较简便的。
对于多变量系统，特别是时变系统和非线性系统，以状态空间 表达式为数学模型，分析其稳定性采用的方法是李亚普诺夫 （A.M. Lyapunov）提出的稳定性理论。
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本章主要内容
4.1 引言 4.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 4.3 判别系统稳定的李亚普诺夫方法 4.4 线性系统的Lyapunov稳定性分析
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4.1 引言
对于线性定常SISO系统，其稳定性分析可以通过经典控制理 论的Routh-Hurwitz判据和Nyquist判据来解决。 在航空、航天以及其它科技领域发展中，控制系统日益向非线 性、时变、MIMO系统延伸，其稳定性分析无法利用经典控制理论 解决，于是李亚普诺夫稳定性分析理论诞生。 1892年，李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般问题》论文， 建立了运动稳定性的一般理论和方法。 他把稳定性分析方法归纳为两种:
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一种是通过求出微分方程的解来分析系统的稳定性，是一 种间接方法，由于求解非线性时变微分方程的解是非常困难 甚至不可能的，因而此方法的应用受到一定限制。 另一种是不需要求解微分方程而给出系统稳定性的信息， 是一种直接方法。它根据系统在其平衡状态渐近稳定时，其 能量必将随时间的增长而衰减，直至达到平衡状态而使能量 趋于最小值的原理，只要找到这样的能量函数（李亚普诺夫 函数）即可判断系统的稳定性。 由于李亚普诺夫第二法可以避开求解微分方程的困难，因而 更具重要性。
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