重庆市青木关中学2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试卷
一、选择题：（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．（1，3）D．（﹣1，1）
2．函数y=1﹣2cos（x）的周期为（）
A．2πB．1C．4D．2
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）
A．y=x﹣1与y=B．y=与y=
C．y=4lgx与y=2lgx2D．y=lgx﹣2与y=lg
4．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（）
A．f（x）=x2B．f（x）=﹣C．f（x）=|x| D．f（x）=x3
5．函数f（x）=的零点是（）
A．﹣1 B．0C．1D．0或﹣1
6．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
7．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）
A．2B．C．2sin1 D．sin2
8．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤
9．若奇函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是增函数，那么的g（x）=log a（x+k）大致图象是（）
A．B． C．
D．
10．已知偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1）且x∈[0，1]时f（x）=x，则函数g（x）=f（x）﹣log3|x|的零点个数共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II上相应位置（只填结果，不写过程）
11．设a=log58，b=log25，c=0.30.8，d=log60.8，将a，b，c，d这四个数按从小到大的顺序排列为（用“＜”连接）．
12．函数y=log a（2x﹣3）+8的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（4）=．13．已知sinαcosα=＜α＜π，则cosα﹣sinα的值是．
14．已知a∈{x|（）x﹣x=0}，则f（x）=log a（x2﹣2x﹣3）的减区间为．
15．东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高1元，便减少5张床租出；再提高1元，又再减少5张床租出，依次变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金元．
三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算：+lg4+2lg5．
17．已知tanx=﹣，求的值．
18．已知f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第四象限角，且cos（﹣α）=，求f（α）的值．
19．已知函数f（x）=3xin（2x+）+2．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最值及对应x的值．
20．已知函数f（x）=log a（a x﹣1），（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）解不等式f（2x）＜log a（a x+1）．
21．已知函数
（1）若，求函数f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求α?β的值．
22．已知定义域为R的奇函数f（x）满足．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
重庆市青木关中学2014-2015学年高一上学期第二次月考数学试卷
一、选择题：（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．（1，3）D．（﹣1，1）
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集运算得答案．
解答：解：∵A={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），
B={x|x＞1}，
则A∩B=（﹣1，3）．
故选：C．
点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
2．函数y=1﹣2cos（x）的周期为（）
A．2πB．1C．4D．2
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件根据函数y=Acos（ωx+φ）+b的周期为，可得结论．
解答：解：函数y=1﹣2cos（x）的周期为=4，
故选：C．
点评：本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）+b的周期性，利用了函数y=Acos（ωx+φ）+b
的周期为，属于基础题．
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）
A．y=x﹣1与y=B．y=与y=
C．y=4lgx与y=2lgx2D．y=lgx﹣2与y=lg
考点：判断两个函数是否为同一函数．
专题：阅读型．
分析：分别求出四组函数的定义域、对应法则、值域；据函数的三要素：定义域、对应法则、值域都相同时为同一个函数选出答案．
解答：解：∵y=x﹣1与y==|x﹣1|的对应法则不同，
故不是同一函数；
y=（x≥1）与y=（x＞1）的定义域不同，
∴它们不是同一函数；
又y=4lgx（x＞0）与y=2lgx2（x≠0）的定义域不同，因此它们也不是同一函数，
而y=lgx﹣2（x＞0）与y=lg=lgx﹣2（x＞0）有相同的定义域，值域与对应法则，故它
们是同一函数．
故选D
点评：本题考查函数的三要素：定义域、对应法则、值域；并利用三要素判断两个函数是否是一个函数，
4．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（）
A．f（x）=x2B．f（x）=﹣C．f（x）=|x| D．f（x）=x3
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：分别对A，B，C，D各个选项进行分析，从而得到答案．
解答：解：对于A：f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
对于B：f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）递增，
对于C：f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
对于D：f（x）在（﹣∞，+∞）递增，
故选：D．
点评：本题考查了函数的单调性问题，是一道基础题．
5．函数f（x）=的零点是（）
A．﹣1 B．0C．1D．0或﹣1
考点：函数的零点．
专题：函数的性质及应用．
分析：对应方程的根就是函数的零点．
解答：解：令=0，解得x=1；
所以函数f（x）=的零点是1；
故选C．
点评：本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题．
6．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
考点：奇函数．
专题：压轴题．
分析：首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，
然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，
最后结合f（x）的单调性解出答案．
解答：解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异
号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
故选D．
点评：本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
7．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）
A．2B．C．2sin1 D．sin2
考点：弧长公式．
专题：计算题．
分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
解答：解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，
∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，
Rt△AOC中，AO==，
从而弧长为α?r=，
故选B．
点评：本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．
8．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax ﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．
解答：解：由a=0或
可得﹣12＜a≤0，
故选B．
点评：求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
9．若奇函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是增函数，那么的g（x）=log a（x+k）大致图象是（）
A．B． C．
D．
考点：对数函数的图像与性质；奇函数．
专题：计算题；图表型；函数的性质及应用．
分析：由函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数g（x）的图象．
解答：解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数，
则f（﹣x）+f（x）=0．
即（k﹣1）a x+（k﹣1）a﹣x=0，解之得k=1．
又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数，
∴a＞1，可得g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）．
函数图象必过原点，且为增函数．
故选：C
点评：若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
10．已知偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1）且x∈[0，1]时f（x）=x，则函数g（x）=f（x）﹣log3|x|的零点个数共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题目给出的等式及函数是偶函数可得函数的周期为2，再由函数在x∈[﹣1，0]时，f（x）=x，且函数是偶函数知函数在x∈[﹣1，0]时的解析式仍为f（x）=﹣x，
所以函数在整个定义域上的图象可知，分析函数y=log3x在x=3时的函数值为1，所以两函数图象的交点可知，即函数g（x）的零点个数可求
解答：解：由f（1+x）=f（1﹣x），取x=x+1，得：f（x+1+1）=f（1﹣x﹣1），
所以f（x+2）=f（﹣x），又因为函数为偶函数，
所以f（x+2）=f（﹣x）=f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数．
因为当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x，由偶函数可知，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，
所以函数f（x）的图象是f（x）=x在[﹣1，1]内的部分左右平移2个单位周期出现，
0求函数g（x）=f（x）﹣|log3x|的零点个数，就是求两函数y=f（x）与y=|log3x|的交点个数，由于log33=1，所以两函数在（0，3]内有2个交点，
根据对称性可知：[﹣3，0）内有2个交点，
所以交点总数为4个，所以函数g（x）=f（x）﹣|log3x|的零点个数为4．
故选：D．
点评：本题考查了函数的周期性与函数的零点，考查了函数周期的求法，解答此题的关键是明确函数g（x）的零点个数就是两函数y=f（x）与y=log3x的交点个数．
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II上相应位置（只填结果，不写过程）
11．设a=log58，b=log25，c=0.30.8，d=log60.8，将a，b，c，d这四个数按从小到大的顺序排列为d＜c＜a＜b（用“＜”连接）．
考点：对数值大小的比较．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据指数函数和对数函数的单调性，先与0比较，再与1比较，最后与2比较，即可得到．
解答：解：由于d=log60.8＜log61=0，
0＜c=0.30.8＜0.30=1，
1＜a=log58＜log525=2，
b=log25＞log24=2，
则有d＜c＜a＜b
故答案为：d＜c＜a＜b
点评：本题考查指数函数和对数函数的单调性和运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．
12．函数y=log a（2x﹣3）+8的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（4）=64．
考点：对数函数的单调性与特殊点．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意可求得点P（2，8），从而求得f（4）．
解答：解：由题意，2x﹣3=1，
则x=2，
故点P（2，8）；
设幂函数f（x）=x b，
则2b=8，
则b=3；
故f（4）=64；
故答案为：64．
点评：本题考查了基本初等函数的应用，属于基础题．
13．已知sinαcosα=＜α＜π，则cosα﹣sinα的值是﹣．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：直接根据α的范围确定sinα和cosα的大小，最后通过恒等变换求的结果．
解答：解：由于：，
所以：根据函数的图象得到：sinα＞cosα，
则：cosα﹣sinα=﹣|cosα﹣sinα|=﹣=，
故答案为：﹣．
点评：本题考查的知识要点：三件函数的恒等变形问题．属于基础题型．
14．已知a∈{x|（）x﹣x=0}，则f（x）=log a（x2﹣2x﹣3）的减区间为（3，+∞）．
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题可以先将已知集合时行化简，得到参数a的取值范围，再求出函数f（x）的定义域，根据复合函数单调性的判断规律，求出f（x）的单调区间，得到本题结论．
解答：解：∵（）x﹣x=0
∴（）x=x，
当x＞1时，，方程（）x=x不成立，
当x=1时，方程（）x=x显然不成立，
当x＜0时，方程（）x＞0，方程（）x=x不成立，
当x=0时，方程（）x=x显然不成立，
∴0＜x＜1．
∵函数f（x）=log a（x2﹣2x﹣3）中，x2﹣2x﹣3＞0，
∴x＜﹣1或x＞3．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，y=x2﹣2x﹣3单调递减，f（x）=log a（x2﹣2x﹣3）单调递增；
当x∈（3，+∞）时，y=x2﹣2x﹣3单调递增，f（x）=log a（x2﹣2x﹣3）单调递减．
∴f（x）=log a（x2﹣2x﹣3）的减区间为（3，+∞）．
故答案为：（3，+∞）．
点评：本题考查了指数方程、函数的定义域、函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．
15．东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高1元，便减少5张床租出；再提高1元，又再减少5张床租出，依次变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金15元．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题；函数的性质及应用．
分析：设每床每夜x元，收入为y，根据“若每床每夜收费提高1元，便减少5张床租出”，建立获利函数模型，再由二次函数法研究最值及取得最值的状态．
解答：解：设：每床每夜x元，收入为y．（10≤x＜30）
∴y=x×[100﹣5（x﹣10）]
∴y=﹣5x2+150x=﹣5（x﹣15）2+1125
所以一百张床位的条件下每张床15元来的人最多．
故答案为：15．
点评：本题主要考查函数模型的建立和应用，对于利润类型要多注意其构成要素和使用范围．
三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算：+lg4+2lg5．
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数与对数的运算法则即可得出．
解答：解：原式=﹣3×（﹣3）+lg（4×25）
=9+9+2
=20．
点评：本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．
17．已知tanx=﹣，求的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：原式分子利用同角三角函数间基本关系化为sin2x+cos2x，进而化为关于tanx的关系式，把tanx的值代入计算即可求出值．
解答：解：∵tanx=﹣，
∴原式====．
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
18．已知f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第四象限角，且cos（﹣α）=，求f（α）的值．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值，可得结果．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值．
解答：解：（1）f（α）
===
﹣cosα．
（2）若α是第四象限角，且cos（﹣α）=﹣sinα=，∴sinα=﹣，
∴f（α）=﹣cosα=﹣=﹣．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．
19．已知函数f（x）=3xin（2x+）+2．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最值及对应x的值．
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（1）直接利用整体思想求出函数的单调区间．
（2）根据函数的定义域求函数的值域．
解答：解：（1）函数f（x）=3sin（2x+）+2
令：（k∈Z）
解得：
函数的增区间为：
同理令：
求得函数的减区间为：
（2）已知
则：
所以：
当x=时，函数区最大值为5，当x=﹣时，函数取最小值为，
即函数f（x）最大值为5，最小值为．
点评：本题考查的知识要点：正弦型函数的单调区间的确定，利用函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．
20．已知函数f（x）=log a（a x﹣1），（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）解不等式f（2x）＜log a（a x+1）．
考点：对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据对数函数和指数函数的图象和性质，即可求出定义域，
（2）根据对数函数的性质得到a2x﹣1＞a x+1，再根据指数函数的性质解得x范围
解答：解：∵函数f（x）=log a（a x﹣1）有意义，
则a x﹣1＞0，
即a x＞1=a0，
∵0＜a＜1，
∴x＜0，
即函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），
（2）∵f（2x）＜log a（a x+1）．
∴log a（a2x﹣1）＜log a（a x+1）．
∵0＜a＜1
∴a2x﹣1＞a x+1．
即（a x﹣2）（a x+1）＞0．
∴a x﹣2＞0．
解得x＜log a2，
故原不等式的解集为（﹣∞，log a2）
点评：本题主要考查了指数函数和对数函数的性质以及不等式的解法，属于基础题
21．已知函数
（1）若，求函数f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求α?β的值．
考点：根与系数的关系；对数的运算性质；对数函数的值域与最值．
专题：计算题．
分析：（1）将f（x）计算化简得出f（x）=（log3x﹣3）（log3x+1），令log3x=t，转化为二次函数解决．
（2）结合（1）即为方程（log3x）2﹣2log3x﹣3+m=0的两解为α，β，得出log3α+log3β=2，再求出α?β．
解答：解：（1）根据对数的运算性质得出
f（x）=（log3x﹣3）（log3x+1）
令log3x=t，t∈[﹣3，﹣2]
则g（t）=t2﹣2t﹣3，t∈[﹣3，﹣2]
g（t）对称轴t=1
（2）即方程（log3x）2﹣2log3x﹣3+m=0的两解为α，β
∴log3α+log3β=2
点评：本题考查了二次函数的性质，根与系数的关系，对数的运算等知识，换元的思想方法．
22．已知定义域为R的奇函数f（x）满足．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
专题：综合题．
分析：（1）根据奇函数有f（0）=0，可求出a，换元后得出
（2）直接利用函数单调性的证明步骤进行证明
（3）将不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，再利用二次函数的性质求解．
解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，又f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），
所以f（﹣0）=﹣f（0），即f（0）=0．
在中令x=1得出f（0）=0，所以a=1
令log2x=t，则x=2t，y=f（t）=（t∈R）
所以
（2）减函数
证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，
由（1）
∵x1＜x2，
∴，
∴
∴f（x2）﹣f（x1）＜0
∴该函数在定义域R上是减函数
（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），
∵f（x）是奇函数∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2），f（x）是减函数
∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，
即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立∴△=4+12k＜0，得即为所求．
点评：本题考查函数解析式求解、函数的奇偶性、单调性的判定及应用．考查转化、计算、论证能力．