2014-2015学年浙江省绍兴市鲁迅中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线y=x+1的倾斜角是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．函数f（x）=sin（x+），x∈R的最小正周期为（）
A．B．πC．2πD．4π
3．已知角α的终边与单位圆交于，则cosα的值为（）
A．B．C．D．
4．若a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）
A．＞1 B．＞C．a2＞b2D．a3＞b3
5．已知实数a1，a2，a3，a4，a5构成等比数列，其中a1=2，a5=32，则公比q的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．4
6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14
7．在△ABC中，tanA=，cosB=，则sinC=（）
A．B．1 C．D．﹣2
8．把函数y=sinx﹣cosx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的值可以是（）
A．B．C．D．
9．已知等比数列{a n}的前10项的积为32，则以下论述：
①数列{a n}的各项均为正数
②数列{a n}中必有小于的项
③数列{a n}的公比必是正数
④数列{a n}的首项和公比中必有一个大于1
其中正确的为（）
A．①②B．②③C．③D．③④10．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=，a=，则b2+c2+bc
的取值范围为（）
A．（1，9]B．（3，9]C．（5，9]D．（7，9]
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率等于．
12．已知tanα=﹣2，则的值等于．
13．过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为．
14．在等差数列{a n}中，若a5+a6+a7+a8=24，则a1+a12=．
15．数列{a n}满足a n=2n，其前n项的和S n=340，则n的值等于．16．已知正实数x，y满足+=，则xy的最小值等于．
三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．在等差数列{a n}中，a2=5，a4=13
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）求数列{a n}前20项和S20．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，sinC=2sinA．
（1）求边c的长；
（2）若b=3，求△ABC面积S的值．
19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值．
20．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象经过点E（，），F（，1），其中A≠0，φ∈（0，）．
（Ⅰ）求φ的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=，求sin（﹣4θ）的值．
21．已知数列的前n项和S n=n2+2n（其中常数p＞0）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n为数列{a n}的前n项和．
（i）求T n的表达式；
（ii）若对任意n∈N*，都有（1﹣p）T n+pa n≥2p n恒成立，求p的取值范围．
2014-2015学年浙江省绍兴市鲁迅中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线y=x+1的倾斜角是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
考点：直线的倾斜角．
分析：求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角．
解答：解：∵直线y=x+1的斜率是1，
∴tanα=1，
∵α∈B．（3，9]C．（5，9]D．（7，9]
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：利用余弦定理列出关系式，将cosA与a的值代入得到b2+c2=bc+3，代入所求式子变形后，利用基本不等式即可求出范围．
解答：解：∵cosA=cos=，a=，
∴a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2=bc+3＞3，
∴b2+c2+bc=2（b2+c2）﹣3，
∵b2+c2=bc+3≥2bc，即bc≤3，
∴3＜b2+c2≤6，即3＜2（b2+c2）﹣3≤9，
则b2+c2+bc范围为（3，9]．
故选：B．
点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率等于2．
考点：直线的斜率．
专题：直线与圆．
分析：利用直线的斜率k=，代入数值计算即得答案．
解答：解：设直线AB的斜率为k，
则k===2；
故答案为：2．
点评：本题考查了由直线上的两点求其斜率的问题，是基础题．
12．已知tanα=﹣2，则的值等于．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答：解：∵tanα=﹣2，
∴原式===，
故答案为：
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．13．过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为x﹣2y+3=0．
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：直线与圆．
分析：由已知直线方程求出待求直线的斜率，利用直线方程的点斜式得答案．
解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率为﹣2，
∴垂直于直线2x+y﹣5=0的直线的斜率为，
则过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为y﹣2=（x﹣1），
整理得：x﹣2y+3=0．
故答案为：x﹣2y+3=0．
点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题．14．在等差数列{a n}中，若a5+a6+a7+a8=24，则a1+a12=12．
考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的性质进行求解即可．
解答：解：在等差数列中，a5+a8=a7+a6=a1+a12，
∴由a5+a6+a7+a8=24，
得2（a5+a8）=24，
则a5+a8=12，
则a1+a12=a5+a8=12，
故答案为：12
点评：本题主要考查等差数列的性质的应用，利用当m+n=k+l时，a m+a n=a k+a l，要求熟练掌握等差数列这一重要的性质．
15．数列{a n}满足a n=2n，其前n项的和S n=340，则n的值等于8或9．
考点：数列的求和．
专题：点列、递归数列与数学归纳法；三角函数的求值．
分析：通过对n的奇偶性进行讨论可知当n为偶数时a n=2n、当n为奇数时a n=0，利用等比数列的求和公式可知S n=，进而计算可得结论．
解答：解：当n为偶数时=±1，∴a n=2n，
当n为奇数时=0，∴a n=0，
∴S n=22+24+ (22)
=4+42+43+ (4)
=
=340，
解得：m=4，
∴n=8或9，
故答案为：8或9．
点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查特殊角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于基础题．
16．已知正实数x，y满足+=，则xy的最小值等于．
考点：函数最值的应用；基本不等式．
专题：不等式．
分析：由于正实数x，y满足条+=，用x表示y，构造函数f（x）=xy，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
解答：解：由+=，解得：y=＞0，x＞，
∴xy==f（x），
∴f′（x）=，（x＞），
令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x，
∴函数f（x）在（，）递减，在（，+∞）递增，
∴f（x）最小值=f（）=，
故答案为：．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．在等差数列{a n}中，a2=5，a4=13
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）求数列{a n}前20项和S20．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）求出首项和公差即可求数列{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）根据等差数列的前n项和公式即可求数列{a n}前20项和S20．
解答：解：（Ⅰ）∵a2=5，a4=13，
∴，
解得a1=1，d=4，
则a n=a1+（n﹣1）d=4n﹣3．
（Ⅱ）∵a1=1，d=4，
∴S20=20×1+×4=780．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，根据条件求出首项和公差是解决本题的关键．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，sinC=2sinA．
（1）求边c的长；
（2）若b=3，求△ABC面积S的值．
考点：余弦定理的应用；三角形的面积公式；正弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简得到c=2a，由条件可得c的值；
（2）利用余弦定理列出关系式求得cosA的值，再由同角的平方关系可得sinA，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．
解答：解：（1）由正弦定理，可得
sinC=2sinA．即为c=2a，
由a=，可得c=2；
（2）由余弦定理，可得
cosA===，
即有sinA===，
则△ABC的面积为S=bcsinA=×3×2×=3．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求+的最小值．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；
（II）由已知得x+2y=30，利用基本不等式（+）?（x+2y）=5++≥5+2，进而
得出．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．
又∵x+2y≥2=24，
当且仅当x=2y，即x=12，y=6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（Ⅱ）由已知得x+2y=30，
又∵（+）?（x+2y）=5++≥5+2=9，
∴+≥，
当且仅当x=y，即x=10，y=10时等号成立．
∴+的最小值是．
点评：本题考查了利用基本不等式的“最值定理”解决实际问题，属于基础题．
20．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象经过点E（，），F（，1），其中A≠0，φ∈（0，）．
（Ⅰ）求φ的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=，求sin（﹣4θ）的值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的求值．
分析：（Ⅰ）利用点的坐标满足曲线方程，列出方程组即可求φ的值，利用正弦函数的单调性求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）通过f（θ）=，求sin（2θ+）=，然后利用诱导公式化简sin（﹣4θ），即可求解sin（﹣4θ）的值．
解答：（本题满分10分）
解：（Ⅰ）由题意函数f（x）=Asin（2x+φ）的图象经过点E（，），F（，1），
得（1分）
则cosφ=sin（+φ），（2分）
展开得cosφ=（cosφ﹣sinφ），
则sinφ=cosφ，所以tanφ=，又φ∈（0，），所以φ=．（3分）
把φ=代入Acosφ=，得A=2，所以f（x）=2sin（2x+）．（4分）
由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（6分）
（Ⅱ）由f（θ）=，得sin（2θ+）=，（7分）
则sin（﹣4θ）=sin=﹣cos2（2θ+）
=2sin2（2θ+）﹣1=2×﹣1=﹣．（10分）
点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．已知数列的前n项和S n=n2+2n（其中常数p＞0）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n为数列{a n}的前n项和．
（i）求T n的表达式；
（ii）若对任意n∈N*，都有（1﹣p）T n+pa n≥2p n恒成立，求p的取值范围．
考点：数列与不等式的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）当n≥2时，利用=S n﹣S n﹣1，进而计算可得结论；
（Ⅱ）（i）当p=1时直接利用等差数列的求和公式计算即可；当p≠1时利用错位相减法计算即得结论；
（ii）分p=1与p≠1两种情况讨论，其中当p≠1时问题转化为对任意n∈N*都有≥p n
恒成立，再分0＜p＜1、1＜p＜2、p≥2三种情况讨论即可．
解答：解：（Ⅰ）依题意，当n=1时，a1=S1=3；（1分）
当n≥2时，=S n﹣S n﹣1=2n+1，得a n=（2n+1）p n﹣分）
又因为n=1也满足上式，
所以a n=（2n+1）p n﹣1（3分）
（Ⅱ）（i）T n=3+5p+7p2+…+（2n+1）p n﹣1．
①当p=1时，T n=n2+2n；（4分）
②当p≠1时，由T n=3+5p+7p2+…+（2n+1）p n﹣1得
pT n=3p+5p2+7p3+…+（2n﹣1）p n﹣1+（2n+1）p n，
则（1﹣p）T n=3+2（p+p2+p3+…+p n﹣1）﹣（2n+1）p n，
得T n=+﹣（2n+1）p n．（6分）
综上，当p=1时，T n=n2+2n；
当p≠1时，T n=+﹣（2n+1）p n．（7分）
（ii）①当p=1时，显然对任意n∈N*，都有（1﹣p）T n+pa n≥2p n恒成立；（8分）
②当p≠1时，可转化为对任意n∈N*，都有3+≥2p n恒成立．
即对任意n∈N*，都有≥p n恒成立．
当0＜p＜1时，只要≥p成立，解得0＜p＜1；（9分）
当1＜p＜2时，只要≤p n对任意n∈N*恒成立，
只要有≤p n对任意n∈N*恒成立，
只要有≤p成立，解得1＜p≤（10分）
当p≥2时，不满足．（11分）
综上，实数p的取值范围为（0，]．（12分）
点评：本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．