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历年01—09年考研数学试题及答案解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1、设b a x b x a e y x ,)(cos sin (+=为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________.

2、2

y x r ++=

，则div （grad r ）

)

2,2,1(-= _____________.

3、交换二次积分的积分次序：??

--0

),(y dx y x f dy ＝_____________.

4、设O E A A =-+42，则1)2(--E A = _____________.

5、D （X ）=2，则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________. 二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示：则)(x f y '=的图形为 ( )

2、设),(y x f 在点（0，0）的附近有定义，且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 ( ) (A)dz|（0，0）=3dx+dy ；

(B)曲面),(y x f z =在（0，0，)0,0(f ）处的法向量为{3，1，1}；

(C)曲线?

??==0)

,(y y x f z 在（0，0，)0,0(f ）处的切向量为{1，0，3}

(D)曲线?

?==0

)

,(y y x f z 在（0，0，)0,0(f ）处的切向量为{3，0，

3、设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导? ( )

(A)2

cosh)

1(lim h

f h -→存在； (B) h

e f h

h )

1(lim 0

-→存在；

0sinh)

(lim

h f h -→存在； (D)h

h f h f h )

()2(lim

-→存在．

4、设

??????

?=???????

??=00

0000000000004,11

1111111111111

B A ，则A 与B ( )

(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)不合同且不相似． 5、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 相关系数为：( )

(A) -1；(B)0；(C)1/2；(D)1．三、（本题满分6分）

求dx e

e x

?2arctan ．

四、（本题满分6分）

设函数),(y x f z =在点（1，1）可微，且

3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ， )),(,()(x x f x f x =?，

求

)

(=x x dx

d ?．

五、（本题满分8分）设)(x f =0

01arctan 2

1=≠?

?+x x x

x x 将)(x f 展开成x 的幂级数，并求

∑∞

=--1

41)

1(n n n

的和．

六、（本题满分7分）计算dz y x dy x z dx z y I L

)3()2()(2

-+-+-=

，其中L 是平

面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线，从Z 轴正向看去，L 为逆时针方向七、（本题满分7分）设)(x f 在（-1，1）内具有二阶连续导数且0)(≠''x f 证明：１．对于)1,0()0,1( -∈?x ，存在惟一的)1,0()(∈x θ，使

)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立；２．5.0)(lim 0

=→x x θ．

八、（本题满分8分）设有一高度为 t t h )((为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程

)

()

(2)(2

t h y x t h z +-=（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧

面积成正比（系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间？九、（本题满分6分）设s ααα,,,21 为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 1213221222111,,,ααβααβααβt t t t t t s s +=+=+= ，其中21,t t 为实常数试问21,t t 满足什么条件时s βββ,,,21 也为AX=O 的一个基础解系

十、（本题满分8分）已知三阶矩阵A 和三维向量x ，使得x A Ax x 2,,线性无关，且满足 x A Ax x A 2323-=

1. 记P=（x A Ax x 2,,），求B 使1

-=PBP A ；

2. 计算行列式E A +

十一、（本题满分7分）设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ（λ＞０）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （０＜p ＜１），且中途下车与否相互独立．Y 为中途下车的人数，求：

１．在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；２．二维随机变量（X ，Y ）的概率分布．

十二、（本题满分7分）设X~N （2

,σμ），抽取简单随机样本X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2），

样本均值∑==n i i X n

X 21

，∑=+-+=

i i

n i

X X

Y 1

)2(求E （Y ）

．

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)?

∞+e

x dx 2

= .

(2)已知函数()y y x =由方程0162

=-++x xy e y

确定,则(0)y ''= . (3)微分方程02

='+''y y y 满足初始条件0

11,'

x x y

y ====

的特解是

(4)已知实二次型3231212

1321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换

x P y =可化成标准型2

16y f =,则a =

(5)设随机变量X 服从正态分布2

(,)(0)N μσσ>,且二次方程042

=++X y y 无实根的概率为

,则μ＝ .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;

④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．

若用“P Q ?”表示可由性质P 推出性质Q ,则有

(A ) ②?③?①. (B ) ③?②?①. (C ) ③?④?①.

(D ) ③?①?④.

(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=L ,且lim 1n n

n u →∞

=,则级数1

11(1)

(

)n n n

n u u ∞

+=+-+

∑

(A ) 发散. (B ) 绝对收敛.

(C ) 条件收敛.

(D ) 收敛性根据所给条件不能判定.

(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则 (A ) 当0)(lim =+∞

→x f x 时,必有0)(lim ='+∞

→x f x .

(B ) 当)(lim x f x '+∞

→存在时,必有0)(lim ='+∞

→x f x .

(C ) 当0

lim ()0x f x +→=时,必有0

li m ()0x f x +

→'=. (D ) 当0

lim ()x f x +→'存在时,必有0

lim ()0x f x +→'=.

(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和

2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则

(A ) 1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C ) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分)

设函数)(x f 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若

()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.

四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与?

x t

dt e

y arctan 0

在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求

极限)2(lim n

nf n ∞→.

五、(本题满分7分)

计算二重积分dxdy e

y x ??}

,max{2

2,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

六、(本题满分8分)

设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记

[1()][()1],L

x I y f xy dx y f xy dy y

(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.

七、(本题满分7分) (1)验证函数3

9()1()3!

(3)!

n x

y x x n =+

+-∞<<+∞L L 满足微分方程

e y y y =+'+'';

(2)利用(1)的结果求幂级数30

(3)!

n x

n ∞

=∑

的和函数.

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2

{(,)|D x y x =

275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y

x +--=2

275.

(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D 的边界线2

75x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.

十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,

(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为

0,cos ,

()22

0,x x f x π?≤≤?=???

其他.

对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于

的次数,求2

Y 的数学期望.

十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为

其中1(0)2

θθ<<

是未知参数,利用总体X 的如下样本值

3,1,3,0,3,1,2,3,

求θ的矩估计值和最大似然估计值.

2002年考研数学一试题答案与解析

一、填空题 (1)【分析】原式2

ln 1 1.ln ln e

d x x

+∞+∞==-

(2)【分析】方程两边对x 两次求导得

'6'620,y

e y xy y x +++=

① 2

'''6''12'20.y

e y e y xy y ++++=

②

以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得

''(0) 2.y =-

(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.

令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dP y P

代入方程得

0dP yP

P dy

+=,即0dP y

P dy

+=(或0P =,但其不满足初始条件0

x y ==).

分离变量得

0,dP dy P

积分得

ln ln ',P y C +=即1C P y

(0P =对应10C =);

由0x =时11,',y P y ===

得11.C =

于是

又由0

1x y ==得21,C =所求特解为y =

(4)【分析】因为二次型T

x Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.

又因ii i

a λ

=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++?=

(5)【分析】设事件A 表示“二次方程0

=++X y y 无实根”,则

{1640}{A X X =-<=> 4}.依题意,有 1(){4}.2

P A P X =>=

而 4{4}1{4}1(),P X P X μ

Φσ

->=-≤=-

即

414141(

),(

),0. 4.22μ

ΦΦμσσ

----=

=?=

二、选择题

(1)【分析】这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).

(2)【分析】由1

lim

101n n u n n

→+∞

=>?充分大时即,N n N ?>时

10n

u >,且1lim

0,n n

u →+∞

=不妨

认为,0,n n u ?>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证

u 的单调性.

按定义考察部分和

1111(1)

(

)(1)

(1)

k k k n k k k k

k k

k S u u u u +++===++=

-∑

∑

(1)11(1)

1(1)

(),k n n

n l

k l k

n n u u u u u ++==+--=-+

→

→+∞∑

∑

?原级数收敛.

再考察取绝对值后的级数1

11(

)n n

n u u ∞

=++

∑.注意

112,11

n n

n u u n n n u u n n

++++=+?→+

1n n

∞

=∑

发散?

11(

)n n

n u u ∞

=++

∑

发散.因此选(C ).

(3)【分析】证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞

'=≠,则由拉格朗日中值定理,

(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞

(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M

-≤+≤矛盾(()).f x M ≤

(4)【分析】因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).

(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==

(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和 ()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.

类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.

(5)【分析】首先可以否定选项(A )与(C ),因

121212[()()]()()21,

()()112 1.

f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞

-∞

=≠+∞++∞=+=≠?

对于选项(B ),若121,21,1,01,

()()0,0,x x f x f x -<<-<

其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞

12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞

=≠?因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).

进一步分析可知,若令12m ax(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰

是12()().F x F x

1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤

1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=

三、【解】用洛必达法则.由题设条件知

lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=

及(0)0f '≠,则有20a b +=. 综上,得2, 1.a b ==-

四、【解】由已知条件得

(0)0,f =2

arctan arctan 0

'(0)()'1,1x

x t

x x e

f e

dt x

--====

=+?

故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得

五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示

2,,m ax{,}(,),,,

x x y x y x y D y x y ?≥?=∈?≤??

于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:

1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥U I I

? I 22

max{,}

x y x y D D e

dxdy e

dxdy =

????

D D D e dxdy e dxdy e dxdy =

=??????(D 关于y x =对称)

dx e dy =??(选择积分顺序)2

2 1.x

xe dx e

e ===-?

六、【分析与求解】

(1)易知Pdx Qdy +?原函数,

11()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y

++-

-++

()()()[()].xy x x

d f xy d xy d f t dt y y

=+=+

?在0y >上Pdx Qdy +?原函数,即0

(,)()xy x u x y f t dt y

?积分I 在0y >与路径无关.

(2)因找到了原函数,立即可得(,)

(,)

(,).c d a b c a I u x y d

七、【证明】与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数

3()13!

(3)!

y x n =+

+L L

的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得

'()2!

(31)!n x

y x n -=

+-L L ,

''()4!

(32)!

n x

y x x n -=+

+-L L ,

所以

'''12!

y y y x e n ++=++

+=L L ()x -∞<+∞.

(2)与'''x

y y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,

其特征方程为2

10λλ++=,

特征根为1,212

λ=-

因此齐次微分方程的通解为2

12(cos

sin

x Y e

C x C x -

=+.

设非齐次微分方程的特解为x

y Ae *=,将y *

代入方程'''x

y y y e ++=可得

A =

,即有13

y e *

于是,

方程通解为2

121(cos

sin

x x

y Y y e

C C x e -*

=+=++

当0x =时,

有11212

1(0)1,23,0.311'(0)0.

223y C C C y C C ?

==+??

?==?

?==-++??

于是幂级数30

(3)!

n x

n ∞

=∑

的和函数为2

21()cos

x x

y x e

x e -

()x -∞<+∞

八、【分析与求解】

(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向

0000(,)

(,)

0000(,)

{,}{2,2}x y x y h h

h x y x y y x x y

??==-+-+??grad

方向导数取最大值即00(,)

(,)

x y h x y grad 的模

,00(,)g x y ?=

(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件2

750x y xy +--=下的最大值点?

22222

(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-

在条件22

750x y xy +--=下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数

2222

(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--

则有

108(2)0,108(2)0,750.L

x y x y x L

y x y x y L x y xy λλλ

??=-+-=?????=-+-=?????=+--=??? 解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=?=-或 2.λ=-

若y x =-,则由③式得2

375x =即5, 5.x y =±=m 若2,λ=-由①或②均得y x =,代入

③式得2

75x =

即x y =±=±于是得可能的条件极值点

1234(5,5),(5,5),(M M M M ----

现比较2

(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:

1234()()450,()()150.f M f M f M f M ====

因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2

(,)g x y 在

12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.

九、【解】

由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即

矩阵A 的秩为3.因此0A x =的基础解系中只包含一个向量.那么由

123412312(,,,)2010ααααααα??

??-??=-+=??????

知,0A x =的基础解系是(1,2,1,0).T

再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα????????????=+++==????????????

知,(1,1,1,1)T 是β=Ax 的一个

特解.故β=Ax 的通解是1121

,1101k ????????-????+????????????

其中k 为任意常数.

十、【解】 (1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1

AP B -=故

111

E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-

().P E A P P

E A P E A λλλ--=-=-=-

(2)令0

100,,0

0A B ????==?

???????

那么2

.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使1

0P AP B -==.从而1

00A P P -==,矛盾,亦可从

()1,()0

r A r B ==而知A 与B 不相似. (3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλL 则有

A 相似于

1,n λλ???

??????

B 也相似于1

.n λλ??

???

????

即存在可逆矩阵,P Q ,使1

.n P AP Q BQ λλ--??

??=

=?????

于是11

()().PQ A PQ

B ---=由1

-为可逆矩阵知,A 与B 相似.

十一、【解】由于3

11{}cos

x P X dx π

?依题意,Y 服从二项分布1(4,

B ,则有

111()()4(4) 5.2

E Y

D Y

E Y npq np =+=+=??+?=

十二、【解】 22

012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=?+?-+?+?-=-1(3).4

E X θ=

θ的矩估计量为1?(3),4

X θ=

-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8

x =

+++++++

2.=因此θ的矩估计值11

?(3).44

x θ=-=

对于给定的样本值似然函数为

624

()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-

ln ()6

2824286

.112(1)(12)

d L d θθθθ

θθθ-+=

----

令

ln ()0d L d θθ

=,得方程2

121430θθ-+=

,解得712θ-=(71,12

θ+=

不合题

意).

于是θ的最大似然估计值为?12

θ=

2003年考研数学（一）真题评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） )

1ln(1

)

(cos lim x x x +→ = .

（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是

（3）设)(cos 0

ππ≤≤-=

∑∞

=x nx a

x n n

，则2a = .

（4）从2R 的基???? ??-=???? ??=11,0121αα到基????

??=???? ??=21,1121ββ的过渡矩阵为

（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，

y x x y x f 其他,10,

0,6),(≤≤≤???=

则=≤+}1{Y X P

（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是.

(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点.

(D) [ ]

（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞

→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞

→n n c lim ,则必有

(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.

→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞

→lim 不存在. [ ]

（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)

(),(lim 2

,0=+-→→y x xy y x f y x ，则

(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.

(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]

（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ?矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是

(A) ① ②. (B) ① ③.

1),1)((~X

Y n n t X =

>，则

(A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.

三、（本题满分10分）

过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;

(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V . 四、（本题满分12分）将函数x

x x f 2121arctan

)(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑

∞

=+-0

1(n n

n 的和.

五、（本题满分10分）

已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye

dy xe

dx ye dy xe

sin sin sin sin -=

--;

(2)

.22

sin sin π≥--?dx ye

dy xe

六、（本题满分10分）

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0

(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）

七、（本题满分12分）

设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.

(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(

sin (3

=++dy

dx x y dy

x d 变换为y=y(x)满足的微

分方程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件2

3)0(,0)0(='=y y 的解.

八、（本题满分12分）

设函数f(x)连续且恒大于零，

???

+++=

Ω)

22)()()(t D t d y x f dv

z y x f t F σ

，?

-+=

t D dx

x f d y x f t G 1

)

2)()()(σ

，

其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=

(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π

九、（本题满分10分）设矩阵????????

??=32

232

223

A ，???

???=10

101010

P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.

十、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ，

:2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a

十一、（本题满分10分）

已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为

??≤>=--,,

,0,2)()(2θθθx x e x f x

其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记

).,,,min(?21n X X X =θ

(1) 求总体X 的分布函数F(x); (2) 求统计量θ?的分布函数)(?x F θ；

(3) 如果用θ?作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.

注： 1.《数学复习指南》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 2.《数学题型集粹与练习题集》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 3.《文登数学全真模拟试卷》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 4.《数学最后冲刺》（2003版，理工类）世界图书出版公司

主编: 陈文灯、黄先开 5.《考研数学大串讲》（2002版，理工类）世界图书出版公司

主编: 黄先开、曹显

答案

1.【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)

()1)(lim(

x g x f e -进

行计算求极限均可.

【详解1】 )

1ln(1

)

(cos lim x x x +→=x

x x e

cos ln )

1ln(1lim

→,

而 2

12c o s s i n lim

cos ln lim

)

1ln(cos ln lim

-=-==+→→→x x

x x x x x x ，故原式=.12

e =

【详解2】因为 2

lim

)

1ln(1)1(cos lim 22

=-=+?

-→→x

x x x x ，

所以原式=.12

【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P .24-25 【例1.30-31】. 2. 【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n

，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n

平行确定.

【详解】令 2

),,(y x z z y x F --=，则

x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .

设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面

042=-+z y x 平行，因此有

-y x ，

可解得 2,100==y x ，相应地有 .52

0200=+=y x z

故所求的切平面方程为

0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .

【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和

历年考研数学三真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…（-），其中n为正整数，则 (0) f' =（）（A） 1 (1)(1)! n n - -- （B） (1)(1)! n n -- （C） 1 (1)! n n - - （D） (1)! n n - （3）设函数 () f t 连续，则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =（）（A ） 2 22 0 () dx x y dy + ? （B ） 2 22 0 () dx f x y dy + ? （C ） 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? （D ） 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? （4 ）已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛， 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛，则 α范围为（）（A）0<α 1 2 ≤ （B） 1 2< α≤1 （C）1<α≤ 3 2（D） 3 2<α<2

（5）设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123ααα，，（B ）124ααα，，（C ） 134ααα，，（D ） 234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1 =Q AQ -（）（A ）1 2 1?? ? ? ??? （B ）1 1 2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ?? ? （D ）22 1?? ? ? ?? ? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤2 2 ｛1｝（）（A ） 1 4 （B ） 1 2 （C ） 8π （D ） 4 π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体 N σσ>2 （1，）（0）的简单随机样本，则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布（）（A ） N （0，1）（B ） (1) t （C ） 2 (1)χ （D ） (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→

考研数学详尽攻略

研究生入学考试中,数学是比较特殊的一门,它兼具专业课和公共课的双重性质,是工学,经济学,管理学等学科专业硕士研究生入学考试的必考科目,考查内容涉及高等数学,概率统计以及线性代数三个部分,分为四个类型,即数学一,数学二,数学三以及数学四,分别对应对数学要求不同的专业.四个不同类型的考试范围,难度和侧重点不同,例如:数学二不考概率统计,数学一以外高等数学考察内容较少,数学三和数学四对概率统计要求较高.因此,首先考生应该明确自己欲报专业对数学的要求,以便有针对性地进行复习.对于大多数需要考3门公共课的考生来说,数学相对于另外两门是最难学也最难考的,也因此,历年来数学在3门公共课各自的平均分中几乎都是最低的.在这3门公共课中,政治和英语满分都是100分,而数学是150 分,因此,如果我们把握得好,可以落别人很远,取得总分上的绝对优势,如果把握不好,我们就会失去克敌制胜的最大先机.事实上,相对于英语而言,如果方法得当,数学的提高非常快.本篇接下来就谈谈如何复习数学的问题. 一,科目特点和复习误区考研数学所考内容众多,知识面宽,综合性强,技巧性高.特别是作为水平考试,考研数学常常把高等数学,线性代数,概率统计三门课程中的知识点有机地结合在一起来考察,这更增加了数学复习的难度,很多考生反映即使给数学分配很多的复习时间,做了很多题,还是很难取得突破性的进展.我们调查发现,现在广大考生复习中普遍存在一些误区.要从根本上提高数学思维能力和解题能力,首先要避免走入以下这几种误区: 消极迎战,效率低下长期以来,"考研难,考研数学难"的论调广为流传并深入人心,不少考生在尚未了解考试内容和题型的时候,就已经对数学望而生畏,把目标和期望值定得很低. "过线就行,差不多就可以"成为比较普遍的心态.这反映在复习中就是消极地应付,而非积极准备.事实上,数学是需要深入钻研的一门学科,要想学好它,首先要消除惧怕心理和畏惧情绪,树立必胜的信心,这样才可以化消极被动为积极主动,才可以在数学的学习和解题中体会到真正的乐趣.这一部分考生可以参照本章的第一节"成功的心态". 只重技巧,不重理解从根本上说这是一种投机心理的表现.学习是一件艰苦的工作,很多考生不想努力,片面地追求别人现成的方法和技巧,总想着多学一点套路,考试的时候可以照猫画虎地做答.殊不知,方法和技巧是建立在自己对基本概念和基础知识深入理解的基础上的,每一种方法和技巧都有它特定的适用范围和使用前提.考研数学是一种高水平的较量,表面上看起来一样的题型可能有着本质的区别,因此,单纯地模仿是绝对行不通的.这就要求我们必须放弃投机心理,踏踏实实一步一个脚印地透彻理解每一个方法的来龙去脉. 把看题等同于做题由于考研复习时间紧任务重,很多考生买了资料,只是匆匆忙忙地看书而不动手练习,一眼扫过去似乎都会了,可是做起来不是写得逻辑混乱就是干脆不知道怎么写.数学是一门严

历年考研真题年数学一

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周22 2=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分?-L ydx xdy 2的值为__________. (4)欧拉方程)0(0242 22 >=++x y dx dy x dx y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001?? ??=?????? A ,矩阵 B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . (6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P > = __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把+ →0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ??? === 30 2 sin ,tan ,cos 2 γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有 ()(0)f x f > (9)设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数,下列结论中正确的是

2018年考研数学大纲解析：线性代数与概率论复习建议

2018年考研数学大纲解析：线性代数与概率论复习建议的更新! 2018年考研数学大纲解析：线性代数与概率论复习建议 2018考研大纲已公布，第一时间收录并整理了最新的考研大纲，为考生全方位解读2018考研大纲的最新变动并指导后续备考。今年考研数学大纲并无变化，对考试并无影响。下面老师将带领大家对大纲进行解读，并对线性代数与概率论提出一些复习上的建议。今年大纲知识点无论数学一、数学二还是数学三都没有变化。这样的话从知识本身来说同学们可以按照原计划进行。成建军老师在全年复习规划时讲过，数学科目稳定，希望大家一定要稳定扎实按复习规划进行。大家知道考研数学历来是整个考研所有学科当中最为稳定的一门，考研数学的知识经过多年考察已经达到了非常稳定的命题结构、知识，不会有巨大的变化。尤其在考前一百多天时间里。考研数学有三个科目构成，高等数学、线性代数与概率论与数理统计，高等数学占比很大，她是考研数学的半壁江山，因此复习周期很长，且需要将基础打牢。许多考生在复习数学时，对高数的复习都很重视。但不少考生却对线代与概率的复习重视不够。事实上相比高数来看，线代与概率更容易拿分。但从历年考试数据来看，线代与概率得分率偏低，平均分通常在十几分。这个原因，一方面由于高数

在考试中花费时间太多，后面的线代与概率大题没时间作答，而更重要在于，概率与线代复习不到位，题目不会做。根据历年考生概率与线代复习中存在的问题，成建军老师将带领大家对线性代数与概率论的相关考点进行解读，并对线性代数与概率论提出一些复习上的建议。我相信有许多同学在刚一开始学习线性代数和概率论与数理统计时有难处，认为看书举步维艰，对此我想谈一下我的看法，希望对那些还在这两门课上迷茫的同学能有一些启发。首先谈一下我的看法：事实上线性代数应该是考研数学三门课中最好拿分的，但是这门课有一个特点，就是入门难，但是一旦入门就一通百通，这门课由于思维上与高数大不相同，所以一上来会很不适应，总体而言6章内容环环相扣，所以很多同学一上来看第一章发现内容涉及到第五章，看到第二章发现竟有第4章的知识点，无法形成完整的知识网络，自然无法入门，总的来说线代6章内容可分为三个部分逐个攻破，首先行列式和矩阵，这是基础，第二向量与方程组，第三特征值与特征向量，这三个内容联系得相当紧密，必须逐个攻破，这样以两章为单位，每个单位中出现的知识点定理罗列出来，找到他们彼此的关系，构建属于你的知识网络，这一部分有哪些板块，每个板块有哪些定义知识点，比如行列式的定义，矩阵的定义各是什么，你是怎么理解的，向量与方程组有什么联系与区别，这些最基础的一定要搞清。对于概率论，第一章是整本书的思维基础，第二章与第三章的逻辑思维就好像一元积分与二元积分一样，难点在于二元积分的计

历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(Word版)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1 n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑ (4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为 (A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示

完整word版,历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

396考研数学历年真题

2011年二、单项选择题（2’*10=20’） 21. 设2 ()arccos ,f x x =则'()().f x = （A ）（B ）（C ）（D ） 22. 不定积分().=? （A C （B ）C （C ）C （D ）13 C - 23. 函数3 2 ()69,f x x x x =++那么（）. （A ） 1x =-为()f x 的极大值点（B ）1x =-为()f x 的极小值点（C ）0x =为()f x 的极大值点（D ）0x =为()f x 的极小值点 24. 设函数()f x 在开区间(,)a b 内有'()0,f x <且''()0,f x <则()y f x =在(,)a b 内（）. （A ）单调增加，图像上凸（B ）单调增加，图像下凸（C ）单调减少，图像上凸（D ）单调减少，图像下凸 25. 设函数()y f x =在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分 '()a xf x dx ? 在几何上表示（）. （A ）曲边梯形的面积（B ）梯形的面积（C ）曲边三角形的面积（D ）三角形的面积 26. 设A 和B 均为n 阶矩阵(1),n m >是大于1的整数，则必有（）. （A ） ()T T T AB A B = （B ）()m m m AB A B = （C ） ||||||T T T AB A B =? （D ）||||||A B A B +=+ 27. 设线性无关的向量组1234,,,αααα可由向量组12,, ,s βββ线性表示，则必有（）（A ）12,,,s βββ线性相关（B ）12,, ,s βββ线性无关

【优质】考研数学二历年平均分word版本 (2页)

【优质】考研数学二历年平均分word版本本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！ == 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ == 考研数学二历年平均分导语：平均分与平均数不同,是分物时所用的一种思想。指在分物体的时候,要尽可能地分完,而且还要使每一份得到的数相等。那么，考研数学二历年平均分是多少呢？一起来了解一下！考研数学二历年平均分什么是考研数学一、简介针对考研的数学科目，根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种：其中针对工科类的为数学一、数学二；针对经济学和管理学类的为数学三（201X年之前管理类为数学三，经济类为数学四，201X年之后大纲将数学三数学四合并）。具体不同专业所使用的试卷种类有具体规定。二、招生专业根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种，其中针对工学门类的为数学一、数学二，针对经济学和管理学门类的为数学三。招生专业须使用的试卷种类规定如下：一、须使用数学一的招生专业 1.工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、网络工程、电子信息工程、计算机科学与技术、土木工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业。 2.授工学学位的管理科学与工程一级学科。二、须使用数学二的招生专业

2020考研数学分数线预测：58分左右

2020考研数学分数线预测：58分左右 2020年全国研究生入学考试分数已经陆续公布。以下是考研名师为2020考生带来的考研数学分数线预测分析： 2020学生关心的2020考研数学的分数线问题，讲这个话是有一定困难的，也需要谨慎的，如果从学们仔细你们看一看我去年在研题库做的一个预算，当时预测的分数跟后来国家线差了一分，但是我依然很保守的讲这个事情，我的预测仅仅是个人意见，不是代表最终结果。所以同学不要认为我说什么就是什么，仅供参考。 2020年在11月份的时候，在冲刺班和最后三小时，我顺便说一下刚才跨考的老师帮我把最后三小时直播点睛课的题目对照，我个人不太喜欢做考后原题对照，感觉像做广告。至少四个大题，我不去展示了，大家能够看看最后的情况，第一题，我讲的最重要的题目，我说的必考的题目，基本就是原题。这个我不再去说。我下面说重要的事情。我在最后三小时的开篇专门讲了一件事，2020年的卷子数学(一)平均分是67分，数学(二)71分，数学(三)是 69分，这是去年的平均分。教育部考试中心觉得略有不妥，因为有点低。我说了，考卷应该会降低点难度，今年我感觉这个卷子在全国平均分上估计会提升三分左右。你们感觉好是因为你们复习得很好，并不是所有同学都感觉很好，今年感觉好的同学多一点，因为卷子难度低一点。大家知道国家线跟平均分不一样，国家线的变动，我想在现在这个情况下因为录取的机率大一点，可能分数线依然不会动。这是我个人的想法。平均分可能会涨三分左右，但是国家线依然和去年保持差不多，就是在58分左右，经济管理类在74分左右。如果学生参加的是自主定线的学校，有可能数学线应该在90分。这是我个人的预测和意见，仅供参考。

-历年考研数学三真题及答案解析

是k cx 等价无穷小，则(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==- (2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则2330()2() lim x x f x f x x →-= (A) ' 2(0)f - (B) ' (0)f - (C) ' (0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 (A) 若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (C) 若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设4 ln(sin )I x dx π=? ,40 ln(cot )J x dx π =?,40 ln(cos )K x dx π =? 则I ,J ,K 的大小关系是 (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵记为11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 1 21P P - (6) 设A 为43?矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为 (A) 23 121()2 k ηηηη++-

2014考研数学试题概况与难度分析-数学试题

2014考研数学试题概况与难度分析-数学试题考研数学冲刺如何复习，总的来说，数学对考生来说是一门难考的科目，同时也是一门极易拉开分距的科目。在复习的过程中，考生们要注意对比2013年考试去复习，同时要合理规划好冲刺复习重点。参加2014年考研的考生最希望了解明年的考试趋势，所以，研究真题就是必不可少的，我们要在冲刺阶段要将重心转向研读真题，海天考研在此为2014考生提供一些复习建议，虽然只有简单的三点，但是如果这三点你都做到了，你的考研数学肯定没有任何问题。一、2013年试题概况与难度选择题部分重点考查基本概念、基本性质、基本原理的掌握情况，没有多少运算量，2013年选择题部分难度不算太大，如等价无穷小、间断点的判定、向量组的等价、相似矩阵的判定、随机变量的分布函数等；填空题部分主要考查基本原理、基本公式、基本运算能力，2013年填空题运算量相对较大差不多，但是所考查的内容非常基础，基本上小编也都在平时为大家整理过相关复习资料。大题部分主要考查综合使用数学知识的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、解决实际问题的能力。2013年的数学比较强调运算能力，高等数学部分的综合性显得不够，其中数三与2012年一样考察了一个经济类的应用题，要求学生具备一定的经济背景知识，但是题目难度不大，自10年以来，2013年在高数的证明题中再次考察了微分中值定理。线性代数部分考查的线性方程组的解与二次型，解题方法比较灵活，计算量相对12年的少。概率统计部分，数学一和数学三都是概率论和数理统计各考一大题，并且数学三是自09年以来第一次考察了点估计，与09年之前的出题类似，但是难度不大，只要基本概念与原理清楚，完成这些题目应该不成问题。整个试卷所考查的内容比较基础，但灵活性与以前相比有所提高。考查的知识点考生只要对基本原理理解到位，有一定的运算能力和综合运用知识的能力，像2013年这样的试卷应该能够取得比较理想的成绩。二、2013年分数线的情况全国硕士研究生入学考试试题难度除个别年份外（如2006年和2012年试题比较容易），尤其是去年的平均分创了历史新高，其实一般而言考研数学难度不会出现大的波动，2013年分数线应该不会高于12年，虽然每年分数线不同，但分数线基本在一定范围内波动，变化不大，平均分可能较去年略有下降。三、对2014年考生的数学复习建议首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位。像2013年考查的微分中值定理，就是教材上的一个定理，选择题和部分填空题也是考查基本概念和基本原理，基础知识的考查占有相当大的比例，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。

历年数学二--考研数学真题详解

- ? ? ? 全国硕士研究生入学考试数学（二）答案 1． 06 年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运用。除概率统计比 05 年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系数为 55-62%，平均分数为 80-83 分；而前几年为 38-45%，平均分数只有 60-63 分。 2．各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对 07 年考生的重要参考。 3． 06 年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生最大限度受益。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06 年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。在面向 07 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生朋友，为打造他们人生的 U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。一、填空题：每小题 4 分，共 24 分 x + 4 s in x 1 （1）曲线 y = 的水平渐近线方程为 y = 5x - 2 cos x 5 1 + 4 sin x 【解析与点评】lim y = lim x = 1 x →∞ x →∞ 2 c os x 5 x 渐近线问题的实质是极限问题，参见水木艾迪 2006 考研数学百分训练营模拟试题数二第 3 题。 ? 1 x sin t 2dt , x ≠ 0 1 （2）设函数 f (x ) = ? x 3 ? 在 x = 0 处连续，则a = 3 ? a , x = 0 sin x 2 1 【解析与点评】 lim f (x ) = lim = x →0 x →0 3x 2 3 出自水木艾迪 2006 考研数学强化班第 4 讲例 31。还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第 11 章综例 11.4.1，综例 11.4.2。 +∞ （3）广义积分 xdx = 1 (1+ x 2 )2 2 5

2019考研数学概率和线代暑期复习：老师和学长给你的建议

2019考研数学概率和线代暑期复习：老师和学长给你的建议一、老师说之前的一些帖子里时说过，数学科目稳定，希望大家一定要稳定扎实按复习规划进行。大家知道考研数学历来是整个考研所有学科当中最为稳定的一门，考研数学的知识经过多年考察已经达到了非常稳定的命题结构、知识，不会有巨大的变化。考研数学有三个科目构成，高等数学、线性代数与概率论与数理统计，高等数学占比很大，她是考研数学的半壁江山，因此复习周期很长，且需要将基础打牢。许多考生在复习数学时，对高数的复习都很重视。但不少考生却对线代与概率的复习重视不够。事实上相比高数来看，线代与概率更容易拿分。但从历年考试数据来看，线代与概率得分率偏低，平均分通常在十几分。这个原因，一方面由于高数在考试中花费时间太多，后面的线代与概率大题没时间作答，而更重要在于，概率与线代复习不到位，题目不会做。相信有许多同学在刚一开始学习线性代数和概率论与数理统计时有难处，认为看书举步维艰，对此谈一下一位资深考研辅导老师的看法，希望对那些还在这两门课上迷茫的同学能有一些启发。事实上线性代数应该是考研数学三门课中拿分的，但是这门课有一个特点，就是入门难，但是一旦入门就一通百通，这门课由于思维上与高数大不相同，所以一上来会很不适应。总体而言6章内容环环相扣，所以很多同学一上来看第一章发现内容涉及到第五章，看到第二章发现竟有第4章的知识点，无法形成完整的知识网络，自然无法入门。总的来说线代6章内容可分为三个部分逐个攻破，首先行列式和矩阵，这是基础，第二向量与方程组，第三特征值与特征向量，这三个内容联系得相当紧密，必须逐个攻破，这样以两章为单位，每个单位中出现的知识点定理罗列出来，找到他们彼此的关系，构建属于你的知识网络。

考研数学三历年真题及解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞ =n n x a ,则 221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (B) 若221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a , 则lim →∞ =n n x a (C) 若lim →∞ =n n x a ,则 331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (D) 若331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a ,则lim →∞ =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n →→∞?对任意的子列{} k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 设 (){} 2 222,2,2= +≤+≤D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则 (),d d D f x y x y =?? ( ) (A) ()()2cos 2sin 420 4 d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θ θ θθθθθθπ ππ+???? (B) ()()2sin 2cos 420 00 4 d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθ θθθθθθπππ+? ? ?? ()f x ''()0f x ''=()y f x =()f x ''

考研数学篇：典型题型归纳总结

考研数学篇：典型题型归纳总结近年来考研数学试题难度比较大，平均分比较低，而高等数学又是考研数学地重中之重，如何备考高等数学已经成为广大考生普遍关心地重要问题，要特别注意以下三个方面. 第一，按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握(也即三基地重要性务必引起重视).数学是一门逻辑学科，靠侥幸押题是行不通地.只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题地突破口和切入点.分析近几年考生地数学答卷可以发现，考生失分地一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本地方法掌握不好，给解题带来思维上地困难.资料个人收集整理，勿做商业用途第二，要加强解综合性试题和应用题能力地训练，力求在解题思路上有所突破.在解综合题时，迅速地找到解题地切入点是关键一步，为此需要熟悉规范地解题思路，考生应能够看出面前地题目与他曾经见到过地题目地内在联系.为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识地纵向与横向联系，转化为自己真正掌握地东西.解应用题地一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解.建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等.资料个人收集整理，勿做商业用途第三，重视历年试题地强化训练.统计表明，每年地研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大地重复率，近年试题与往年考题雷同地占左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题地思路和所用到地知识点几乎一样.通过对考研地试题类型、特点、思路进行系统地归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题.对于那些具有很强地典型性、灵活性、启发性和综合性地题，要特别注重解题思路和技巧地培养.尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定.提练题型地目地，是为了提高解题地针对性，形成思维定势，进而提高考生解题地速度和准确性.资料个人收集整理，勿做商业用途下面以数学一为主总结一下高数各部分常见题型. 一、函数、极限与连续求分段函数地复合函数;求极限或已知极限确定原式中地常数;讨论函数地连续性，判断间断点地类型;无穷小阶地比较;讨论连续函数在给定区间上零点地个数，或确定方程在给定区间上有无实根.资料个人收集整理，勿做商业用途二、一元函数微分学求给定函数地导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定地函数求导，特别是分段函数和带有绝对值地函数可导性地讨论;利用洛比达法则求不定式极限;讨论函数极值，方程地根，证明函数不等式;利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足......”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;几何、物理、经济等方面地最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线. 资料个人收集整理，勿做商业用途三、一元函数积分学计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;关于变上限积分地题：如求导、求极限等;有关积分中值定理和积分性质地证明题;定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;综合性试题.(注;高数中解答题地最后一步往往是求解一个积分，故积分地各种求解方法务必熟练再熟练!)资料个人收集整理，勿做商业用途四、向量代数和空间解析几何计算题：求向量地数量积，向量积及混合积;求直线方程，平面方程;判定平面与直线间

1990-2017考研数学二历年真题word版

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x=0连续，则 (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A) 1 1()0f x dx ->? (B) 1 2()0f x dx -?? (D) 1 1 1 ()()f x dx f x dx -??则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f >

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