专题四 三角函数与三角形
1.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )
（A ）（B （C ）12- （D ）12
【答案】D
【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=1
2
，故选D. 【考点定位】三角函数求值.
【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 2.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π??
=- ??
?
的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移
12
π个单位 （B ）向右平移
12
π个单位
（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3
π
个单位 【答案】B
【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ?
?
??=-
=- ? ??
??? ，所以要得到函数sin 43y x π?
?=- ??
? 的图
象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12
π
个单位.故选B.
【考点定位】三角函数的图象变换.
【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
3.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )
(A)13(,),44k k k Z ππ-
+∈ (B)13
(2,2),44
k k k Z ππ-+∈
(C)13(,),44k k k Z -
+∈ (D)13
(2,2),44
k k k Z -+∈
【答案】
D
【考点定位】三角函数图像与性质
【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ω?=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于
ω?，方程，求出ω?，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求
出?，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ω?，使解题的关键. 4.【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π
=+ ()sin 2cos 2C y x x =+
()sin cos D y x x =+
【答案】A
【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2
y x T π
π=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【考点定位】三角函数的性质.
【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.
5.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则
3cos()
10sin()5
παπα-
=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
【答案】C 【解析】 由
已
知
，
3c o s ()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin
55ππ
ααππαα+-33cos tan sin 1010
tan cos
sin
5
5
ππ
απ
π
α+=
-33cos 2tan sin
105102tan cos
sin
5
5
5
ππππ
π
π
+=- 33cos cos
2sin sin 5
10510
sin
cos
5
5
ππππ
π
π
+=
＝
155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10
π
π==，选C .
【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.
【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用． 6.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
3sin(
)6
y x k π
?=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．
10
【答案】C
【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这
段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【考点定位】三角函数的图象与性质．
【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x π???
+=-
???
时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x π???
+= ???
时，y 取得最大值． 7.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ω?=A +（A ，ω，?均为正的常数）的最小正周期为π，当23
x π
=
时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A
【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.
【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条
件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出?，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，
本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可. 【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2
π
??<<个单位后得到函
数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min
3
x x π
-=
，则?=（ ）
A.
512π B.3π C.4π D.6
π
【答案】D. 【解析】
试题分析：向右平移?个单位后，得到)22sin()(?-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不
妨
ππ
k x 22
21+=
，ππ
?m x 22
222+-
=-，∴π?π
)(2
21m k x x -+-=
-，又∵
12min 3
x x π
-=
，
∴
6
3
2
π
?π
?π
=
?=
-，故选D.
【考点定位】三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的
考查，多以
)sin()(?ω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒
等变形，对三
角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 【2015高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，???，m x 满足
1206m x x x π≤<
()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+???+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8
【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+???+-=的m 最小，须取
123456783579110,,,,,,,6,2
22222
x x x x x x x x π
ππππππ==
=
=====即8.m = 【考点定位】三角函数性质
【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.
8.【2015高考天津，理13】在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?
的面积为 ，1
2,cos ,4
b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】8
【解析】因为0A π<<，所以sin A ==
又1sin 242ABC S bc A bc ?=
==∴=，解方程组224
b c bc -=??
=?得6,4b c ==，由余弦定理得
2222212cos 64264644a b c bc A ??
=+-=+-???-= ???
，所以8a =.
【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.
【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc =，解方程组求出,b c 的值，用余弦定理可求边a 有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.
【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1
tan 2
A =
，D 为边C B 上的点，D ?AB 与CD ?A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则
D DF
E ?=
．
【答案】1615
-
【考点定位】向量数量积，解三角形
【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，
y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；
向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.
9.【2015高考广东，理11】设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
若a =
1sin 2B =
，6
C =π
，则b = . 【答案】1． 【解析】因为1sin 2B =
且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6
B π
=，23A B C ππ=--=
，
又a =由正弦定理得sin sin a b A B =
sin 36
b π=
解得1b =，故应填入1．
【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．
【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin 2B =
得出6B π=或56B π=时，结合三角形内角和定理舍去56
B π
=． 10.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A
C
= ．
【答案】1
【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc
+-==?
2425361616256?+-=?=?? 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.
【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值. 11.【2015高考湖北，理12】函数2π
()4cos cos()2sin |ln(1)|22
x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2
【解析】因为2π
()4cos cos()2sin |ln(1)|22
x f x x x x =---+
|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x
所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.
【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.
【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.由“数”想图，借“图”解题.
12.【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .
【解析】法一、sin15sin 75sin15cos1545)+=+=+=
.
法二、sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos30+=-++==
法三、sin15sin 75+=
=
. 【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.
有sin cos )a b ααα?+=+.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角
函数值求解.
【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为
一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有sin cos )a b ααα?+=+.第二种
方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.
13.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.
【答案】6100
【考点定位】三角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理. 【名师点睛】本题是空间四面体问题，不能把四边形ABCD 看成平面上的四边形.
14.【2015高考重庆，理13】在 ABC 中，B =120o ，AB A 的角平分线AD 则AC =_______.
【解析】由正弦定理得
sin sin AB AD
ADB B
=
∠，即=，解得
sin ADB ∠=
，
45ADB ∠=?，
从
而
15BAD DAC
∠=?=∠，所以
1801203030C =?-?-?=?，2cos30AC AB =?=【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）
【名师点晴】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的．当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法．
15.【2015高考浙江，理11】函数2
()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单
调递减区间是 ． 【答案】π，]8
7,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【解析】
试题分析：1cos 2sin 23
()1)2242
x x f x x π-=
++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为
]8
7,83[
ππ
ππk k ++，Z k ∈. 【考点定位】1.三角恒等变形；2.三角函数的性质
【名师点睛】本题考查了三角恒等变形与函数sin()y A x ω?=+的性质，属于中档题，首先
利用二倍角的
降幂变形对()f x 的表达式作等价变形，其次利用辅助角公式化为形如sin()y A x ω?=+的形
式，再由正
弦函数的性质即可得到最小正周期与单调递减区间，三角函数是高考的热点问题，常考查的
知识点有三角
恒等变形，正余弦定理，单调性周期性等.
16.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ?的面积为 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 【答案】7
【解析】由已知得ABC ?的面积为
1
sin 20sin 2
AB AC A A ?==，所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3
A π
=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-?=49，
7BC =．
【考点定位】1、三角形面积公式；2、余弦定理．
【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．
17.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 .
【答案】）
【考点定位】正余弦定理；数形结合思想
【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC 长定，平移AD ，当AD 重合时，AB 最长，当CD 重合时AB 最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB 的长，即可求出AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.
18.【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3
【解析】12
tan()tan 7tan tan() 3.2
1tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-=
==++- 【考点定位】两角差正切公式
【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 19.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）
ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ?面积是ADC ?面积的2倍．
(Ⅰ) 求
sin sin B
C
∠∠；
(Ⅱ)若1AD =
，DC =BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)
1
2
；(Ⅱ)1． 【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ?=?∠，1
sin 2
ADC S AC AD CAD ?=?∠，因为
2ABD ADC S S ??=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠．
(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ??=，
所以BD =
在ABD ?和ADC ?中，由余弦定理得
2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-?∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-?∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．
【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．
【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中cos ADB ∠和cos ADC ∠互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求AC ．
20.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）
在ABC ?中，已知
60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.
【答案】（1；（2
【考点定位】余弦定理，二倍角公式
【名师点晴】如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，本题解是唯一的，注意开方时舍去负根. 21.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移
2
p
个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；
（2)证明：2
2cos ) 1.5
m a b -=-(
【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2
x k p
p =+
?；(Ⅱ)（1）(-；
（2）详见解析． 【解析】解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移
2
p
个单位长度后得到y 2cos()2
x p
=-
的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2
x k p
p =+?
(2)1) f()g()2sin cos )
x x x x x x +=+=
)x j =+（其中sin
j j =
） 依题意，sin(
x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当1<，故m 的取
值范围是(-.
2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=
a j +，sin(
b j +.
当1￡+=2(
),2();2p
a b j a b p b j --=-+
当-时, 3+=2(),32();2
p
a b j a b p b j --=-+
所以2
2
22cos )cos 2()2sin ()11 1.
5m a b b j b j -=-+=+-=-=-( 解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.
2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=
a j +，sin(
b j +.
当1￡+=2(),+();2p
a b j a j p b j -=-+即
当-时, 3+=2(),+3();2
p
a b j a j p b j -=-+即
所以cos +)cos()a j b j =-+(
于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(
2
2
222cos ()sin()sin()[1] 1.
5m b j a j b j =-++++=--+=-
【考点定位】1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．
【名师点睛】本题考查三角函数图象变换、性质、辅助角公式和诱导公式等基础知识，纵向伸缩或平移是对于y 而言，即 ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移是相对于x 而言，即()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
倍），
()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；三角函数
的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．
22.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4
A π
=
，22b a -=
12
2
c . （1）求tan C 的值；
（2）若ABC ?的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.
又∵4
A π
=
，
1
sin 32
bc A =，∴bc =，故3b =. 【考点定位】1.三角恒等变形；2.正弦定理.
【名师点睛】本题主要考查了解三角形以及三角横等变形等知识点，同时考查了学生的运算
求解能力，三
角函数作为大题的一个热点考点，基本每年的大题都会涉及到，常考查的主要是三角恒等变
形，函数
sin()y A x ω?=+的性质，解三角形等知识点，在复习时需把这些常考的知识点弄透弄熟.
23.【2015高考山东，理16】设()2
sin cos cos 4f x x x x π??
=-+
??
?
. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ??
== ???
,求ABC ?面积的最大值.
【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ??
-
++∈????
；
单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ??
++∈?
???
（II ）ABC ?
【解析】
（I ）由题意知()1cos 2sin 2222
x x f x π?
?++ ?
??=- sin 21sin 21
sin 2222
x x x -=
-=- 由222,2
2
k x k k Z π
π
ππ-+≤≤
+∈ 可得,4
4
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
由
3222,2
2k x k k Z π
πππ+≤≤
+∈ 可得3,44
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ??
-
++∈????
；
单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ??
++∈?
???
【考点定位】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 【名师点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.
24.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π?
?
=--
??
?
，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34
p p
-
上的最大值和最小值. 【答案】(I)π
; (II) max ()f x =,min 1()2
f x =-. 【解析】(I) 由已知，有
1cos 21cos21113()cos22cos222222
x x f x x x x π?
?-- ?
??-??=-=+- ???
112cos2sin 2426x x x π??-=- ???
. 所以()f x 的最小正周期22T π
π=
=. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64
p p
-上是增函数，
11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=
，所以()f x 在区间[,]34
p p -
，最小值为1
2
-
. 【考点定位】三角恒等变形、三角函数的图象与性质.
【名师点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用. 25.【2015高考安徽，理16】在ABC ?
中，3,6,4
A A
B A
C π
=
==,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.
【解析】如图，
设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得
2222232cos 626cos
1836(36)904
a b c bc BAC π
=+-∠=+-??=+--=，
所以a =
又由正弦定理得sin sin
b BAC B a ∠=
==
.
由题设知04
B π
<<
，所以cos B ===.
在ABD ?中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B B
π?=
===-.
【考点定位】1.正弦定理、余弦定理的应用.
【名师点睛】三角函数考题大致可以分为以下几类：与三角函数单调性有关的问题，应用同
角变换和诱导公式求值、化简、证明的问题，与周期性、对称性有关的问题，解三角形及其应用问题等.其中解三角形可能会放在测量、航海等实际问题中去考查（常以解答题的形式出现）.本题主要通过给定条件进行画图，利用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题.
26.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π??
=- ???
（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ??
?
??
?上的单调性.
【答案】（1）最小正周期为p （2）()f x 在5[
,
]612ππ
上单调递增；()
f x 在52[
,]123
ππ
上单调递减.
当
223x π
π
π≤-
≤时,即
52123
x ππ
≤≤
时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123
ππ
上单调递减.
【考点定位】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力．
【名师点晴】三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解，三角函数的值域、三角函数的单调性也可以使用导数的方法进行研究．
27.【2015高考四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan
;2sin A A A
-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o
求tan tan tan tan 2222
A B C D
+++的值.
A B
C
D
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
2019年高考试题分类汇编（三角函数） 考法1 三角函数的图像及性质 1．（2019·全国卷Ⅰ·文科）tan 225= A ．2- ．2-+ ．2 D ．2 2.（2019·全国卷Ⅱ·文科）若14x π =，234 x π=是函数()sin f x x ω=（0ω>）两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32 C ．1 D ．12 3．（2019·全国卷Ⅲ·文科）函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2]π的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4.（2019·全国卷Ⅰ·文理科）函数2 sin ()cos x x f x x x +=+在[,]ππ-的图像大致为 5.（2019·全国卷Ⅰ·理科）关于函数()sin sin f x x x =+有以下四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2 ππ单调递增 ③()f x 在[,]ππ-有个零点 ④()f x 有最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 6.（2019·全国卷Ⅱ·理科）下列函数中，以2 π为周期且在区间(,)42ππ单调递增的是 A ．()cos2f x x = B ．()sin 2f x x = C ．()cos f x x = D ．()sin f x x = 7.（2019·北京卷·理科）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 . 8.（2019·全国卷Ⅱ·理科）已知(0,)2 π α∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=
A ．15 B 9．（2019·全国卷Ⅰ·文科）函数3π()sin(2)3cos 2 f x x x =+ -的最小值为 ． 10.（2019·全国卷Ⅲ·理科）设函数()sin()5f x x ωπ=+(0ω>)，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,10π )单调递增 ④ω的取值范围是1229[)510 ， 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 11.（2019·天津卷·文理科）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且()4 g π=，则 3()8 f π= A.2- B. D.2 12.（2019·浙江卷）设函数()sin f x x =，x R ∈. （Ⅰ）已知[0,2)θ∈π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 考法2 解三角形 1．（2019·浙江卷）在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD = ，cos ABD ∠= ． 2．（2019·全国卷Ⅰ·文科）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，14cos A =-，则b c =
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 三角函数 1（2017北京文）在平面直角坐标系xOy 中，角与角均以Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若sin = ，则sin =_________． 2（2017北京文）（本小题13分） 已知函数. （I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当时，． 3（2017新课标Ⅱ理） ．函数2 3()sin 4f x x x =- ([0,])2 x π ∈的最大值是____________． 4（2017新课标Ⅱ理）（12分） ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2 sin 8sin 2 B A C +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 5（2017天津理）设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，||?<π.若5()28 f π =，()08 f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω= ，12 ?π= （B ）23ω= ，12?11π =- （C ）13 ω=，24?11π =- （D ） αβα1 3 β())2sin cos 3f x x -x x π =-[,]44x ππ ∈- ()1 2 f x ≥- 13 ω=，24?7π= 6．（2017新课标Ⅲ理数）设函数f (x )=cos(x + 3 π )，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π B ．y =f (x )的图像关于直线x = 83 π 对称 C ．f (x +π)的一个零点为x = 6 π D ．f (x )在( 2 π ,π)单调递减 7（2017新课标Ⅲ理数）（12分） △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2． （1）求c ； （2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积． 8（2017山东理）在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ?AB 为锐角三角形，且满足 ()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9（2017山东理）设函数()sin()sin()62 f x x x π π ωω=- +-，其中03ω<<.已知()06 f π =. （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 4 π 个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2020年高考试题分类汇编（三角函数） 考点1三角函数的图像和性质 1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）设函数()cos() f x x π ω=+在[,]ππ-的图像大致 如下图，则()f x 的最小正周期为 A ． 109 π B ．76 π C 2.（2020·山东卷）如图是函数 sin()y x ω?=+的部分图像，则sin()x ω?+= A ．sin()3x π+ B ．sin(2)3x π- C ．cos(2)6x π+ D ．5cos(2)6 x π - 3.（2020·浙江卷）函数cos sin y x x x =+在区间[,]ππ-的图象大致为 4.（2020·全国卷Ⅲ·理科）关于函数1 ()sin sin f x x x =+ 有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称； ②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于2 x π= 轴对称； ④()f x 的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 . 5.（2020·全国卷Ⅲ·文科）设函数1 ()sin sin f x x x =+ ，则 A ．()f x 有最小值为2 B ．()f x 的图像关于y 轴对称 C ．()f x 的图像关于x π=轴对称 D ．()f x 的图像关于2 x π =轴对称 6.（2020·上海卷）已知()sin f x x ω=（0ω>）. （Ⅰ）若()f x 的周期是4π，求ω，并求此时1 ()2 f x = 的解集； （Ⅱ）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0,]4x π ∈，求()g x 的值域. 7.（2020·天津卷）已知函数()sin()3f x x π =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()2 f π 是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3 π 个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 8.（2020·北京卷）若函数()sin()cos f x x x ?=++的最大值为2，则常数?的一个取值为 ． 9.（2020·全国卷Ⅱ·理科）已知函数2()sin sin 2f x x x =. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性； （Ⅱ）证明：()f x ≤ ； 3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k 历届江苏高考试题汇编（三角函数1） （2010江苏高考第10题） 10、定义在区间?? ? ??20π, 上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。 （2010江苏高考第13题） 13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=， 则tan tan tan tan C C A B +=____▲_____。 （2010江苏高考第17题） 17、（本小题满分14分） 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。 (1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？ （2011江苏高考第7题） 7、已知,2)4 tan(=+πx 则 x x 2tan tan 的值为__________ （2011江苏高考第8题） 8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________ （2011江苏高考第15题） 15、（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6 sin(A A =+π求A 的值； （2）若c b A 3,3 1cos ==，求C sin 的值. （2012江苏高考第11题） 11.设α为锐角，若4 cos 65 απ??+= ? ? ? ，则)12 2sin(πα+的值为▲． （2012江苏高考第15题） 15.（本小题满分14分） 在ABC ?中，已知3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若5 cos C = ，求A 的值． （2013江苏高考第1题） 1．（5分）（2013?江苏）函数y=3sin （2x+）的最小正周期为 ． （2013江苏高考第15题） 15．（14分）（2013?江苏）已知=（cos α，sin α），=（cos β，sin β），0＜β＜α＜π． （1）若|﹣|= ，求证：⊥； （2）设=（0，1），若+=，求α，β的值． （2012江苏高考第18题） 9第题图 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 2010年全国高考数学试题分类汇编——三角函数 （２０１0上海文数）1８.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则△ABC （A)一定是锐角三角形． (B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形． (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形． (2010湖南文数）7.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为a ，b,c ，若∠C=１20°，a ，则 Ａ.a ＞b B.a ＜b C ． a=b D.ａ与ｂ的大小关系不能确定 （2０10浙江理数）(９)设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 （Ａ）[]4,2-- (B)[]2,0- （C)[]0,2 （D ）[]2,4 (2010浙江理数）（４）设02 x π ＜＜ ,则“2 sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 (Ａ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (２010全国卷２理数）(7)为了得到函数sin(2)3 y x π =- 的图像,只需把函数 sin(2)6y x π =+的图像 (A)向左平移4π个长度单位 (B)向右平移4π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D)向右平移2 π 个长度单位 (2０10陕西文数)3.函数f (x )=2si ｎｘc ｏｓｘ是???? ??? （Ａ）最小正周期为２π的奇函数?? （B)最小正周期为2π的偶函数 (C ）最小正周期为π的奇函数? ? （D)最小正周期为π的偶函数 (２010辽宁文数）（6)设0ω>，函数sin()23 y x π ω=+ +的图像向右平移 43 π 个单位后与原图像重合,则ω的最小值是 (A)23 (B ） 43 （Ｃ) 3 2 (Ｄ） 3 (2010全国卷２文数）(3)已知2 sin 3 α=，则cos(2)x α-= (A ）19-(C ）1 9 （Ｄ 2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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