江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
导数及其应用
1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1
()e (0)e 2
x f f x f x x '=
-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1
e 2
y x =-
． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ． 答案：
1
e
3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)
4、（扬州市2013届高三期末）已知函数x
m
x x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． e 3-
5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．
（1）求S 关于x 的函数关系式；
（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值． 解：（1）设AF y =，则2
2
x y x y l ++
+=，整理，得222()
l lx
y l x -=
-．………3分 2(2)
4(12)
l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分
（2）()()]22'
222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ????
-+-+=?=-?-∈ ? ? ? ?--????
∴当22
2
b l -≤
时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=
-； 当222b l ->时，在220,2x l ??-∈ ? ???上，'
0S >，S 递增，在22,2x l b ??-∈ ? ???
上，
'0S <，S 递减，故当222x l -=
时，2
max 3224
S l -=.
6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；
(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)
【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分
但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x
2
不恒成立,不满足条件②,
故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分
(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ′(x )=1-2x =x －2
x
≥0.
所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x
2
在x ∈[2，10]上恒成立，
令g (x )=2ln x -x 2，则g ′(x )=2x －12=4－x
2x
，由g ′(x )>0得x <4，
∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.
∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,
综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，
所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分
7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.
试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； 若函数3()1
x a
g x x +=
+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； 若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.
解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]?-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分
(2)因为33
()311
x a a g x x x +-=
=+
++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]?,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[
,]114
a a
++, 由
309[
,]114
a a
++[3,10]
?,得
30311
9104
a
a +?≥???
+?≤??,解得
331a ≤≤,故
331a <≤……………………7分
③当3a <时,在区间[3,10]上有33
()3311
x a a g x x x +-=
=+<++,显然不合题意 …………………8分
综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分 (3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.
①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a
h b b ≥??
≤?
,此时无解………10分 ②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分
③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故2
2a b ≤-??≥?
, 又33
()3()3a h a a a b h b b b ?≤=-?≥=-?,解得202202a a b b -≤≤≥??≤≤≤?或或,从而2
2a b =-??=? ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b a
h a b ≥??
≤?
(*), 而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分
⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分
⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a
h b b ≥??
≤?
,此时无解 ……………15分 综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分
8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，
沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好． （1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分
设DP y =，则PC x y =-．
因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．
由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+?=-，12x <<．……5分
（2）记△ADP 的面积为1S ，则
11(1)(2)S x x
=-- ………………………………………………………………6分
23()222x x
=-+≤-，
当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分 故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则
221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x
=-+--=-+，12x <<．…………………………10分
于是，3
3222142(2)022x S x x x x
-+'=--==?=．……………………………11分 关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．
所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分 故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分
9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；
（2） 求函数)(x f 单调区间；
（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a
的取值范围.
A B
C
D
（第17题）
B '
P
⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，
所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．
因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，
故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，
所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：
x (,0)-∞
0 (0,)∞+
()f x ' -
+
()f x
减函数
极小值
增函数
所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1
]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．
因为11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121
()1(1)0g a a a a '=-=->+，
所以1
()2ln g a a a a
=--在()0,a ∈+∞上是增函数．
而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；
当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分
所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即l n e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即
1
ln e 1a a
+-≥，函
数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e
a <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1
(0,][e,)e
a ∈∞+．………………………………16分
10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2
()x b -,a,b 为常数， （1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值
（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B
22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为1
2
-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度
（3）若/
()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件
解：（1）[])2(3)()(/
b a x b x x f +--= …………………………………………………1分
b a ≠ 32b a b +≠
∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和
3
2b
a + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分
（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间
②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=
3
2b
a + ∴A （
b ,0）B ???
?
??--+9)(2,322
b a b a 213
29)(22
-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 2
3=-∴b a
○
3当a
3
2b
a +,x 2=
b 。 同理可得a -b =2
3
(舍)
综上a -b =2
3
………………………………………………..………………………….7分
)(x f ∴的减区间为)32,(b a b +即（b ,b +1），,f （x ）减区间为)2
1
,(+-∞b ∴公共减区间为（b ，b +21
）长度为2
1…………………………….……………………10分
（3）)()(/
x mxf x f ≥
[])2(3)())((2b a x b x x m b x a x +--?≥--∴ []{}
0)()2()31()(2≥++-++--∴ab x b a b a m x m b x
若3
1
≠
m ，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负。
3
1
=
∴m …………………………………………………………………………………12分 []03)2()(≤-+-∴ab x b a b x
若a +2b =0，b a 2-=，b a =∴=0， 若02≠+b a 则 b x =1，b
a ab
x 232+=
???∴<++=0223b a b
a ab
b
①b =0 则a<0，
②b ≠0
123=+b a a
b a =∴且b <0
综上 3
1
=∴m 0≤=b a ………………………………………………………………..16分
11、（无锡市2013届高三期末）已知函数f （x ）=ax 2+1，g （x ）=x 3+bx ，其中a>0，b>0． （Ⅰ）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点P （2，c ）处有相同的切线（P
为切点），
求a ，b 的值； （Ⅱ）令h （x ）=f （x ）+g （x ），若函数h （x ）的单调递减区间为[,23
a b --]，求： （1）函数h （x ）在区间（一∞，-1]上的最大值M （a ）；
（2）若|h （x ）|≤3，在x ∈[-2，0]上恒成立，求a 的取值范围。
12、（扬州市2013届高三期末） 已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ，
且1l ∥2l .
（1）判断函数()f x 的奇偶性；并判断,A B 是否关于原点对称；
（2）若直线12,l l 都与AB 垂直，求实数b 的取值范围. 解：（1）()()()()
()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33
，……2分
()x f ∴为奇函数.……3分
设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23，……5分
()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ，
∴()()()22
111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->，
∴2
221x x =又21x x ≠，∴21x x -=，……6分 又
()f x 为奇函数，
∴点B A ,关于原点对称．……7分
（2）由（1）知()()1111,,,y x B y x A --， ∴b ax x y k AB -==
2
11
1，……8分 又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2
113， 直线12,l l 都与AB 垂直,
∴()()
22111,
31AB k k ax
b ax b ?=--?-=-，……9分
令02
1≥=ax t ，即方程014322=++-b bt t 有非负实根，……10分
∴302
≥?≥?b ，又212103b t t +=> ， ∴003
4>?>b b
．综上3≥b ．……14分