北京东城区
2010—2011学年度第二学期高三综合练习（一）
数学试题（理科）
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 [来源:学科网]
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项。
1．“2x >”是“2
4x >”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知数列{}n a 为等差数列，且1234562,13,a a a a a a =+=++则等于 （ ）[来源:Z_xx_https://www.doczj.com/doc/3214907251.html,]
A ．40
B ．42
C ．43
D ．45
3．已知函数对任意的x R ∈有f(x)+f(-x)=0,且当0,()ln(1)x f x x >=+时，则函数()f x 的图
象大致为
（ ）
[来源:学.科.网]
[来源:https://www.doczj.com/doc/3214907251.html,]
4．已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0,PA PB PC AB AC mAP ++=+=
且，那
么实数m 的值为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
[来源:Z,xx,https://www.doczj.com/doc/3214907251.html,]
5．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤ 6．已知1
(
,),tan(),sin cos 2
4
7
π
π
απααα∈+
=
+那么的值 为 （ ）
A ．15-
B ．
75 C ．—75
D ．34
7．已知函数1
31()()2
x
f x x =-，那么在下列区间中含有函数
()f x 零点的是 （ ）
A ．1(0,)3
B ．11(,)32
C ．(
)3
2,21
D ．??
?
??1,32 8．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这
个点到这个平面的距离，平面,,αβγ两两互相垂直，点A α∈，点A 到平面,βγ的距离都是3，点P 是α上的动点，且满足P 到β的距离是P 到点A 距离的2倍，则点P 到平面γ的距离的最小值为
（ ） A ．33B 3C ．33+D ．6
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9．如果2
()(1)m i mi ++是实数，那么实数m = .
10．若曲线C 的参数方程为2cos ,
()sin x y θθθ=+??=?
为参数，则曲线C 上的点到直线
3440x y -+=的距离的最大值为 。
11．从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体[来源:学&科&网][来源:学科网]
重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如 图）。由图中数据可知体重的平均值为 kg ；
若要从身高在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的 男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项 活动，再从这12人选两人当正、副队长，则这 两人身高不在同一组内的概率为 .
12．如图，已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线
AD 和割线ABC ，若圆心O 到AC 的距离为22 AB=3，则切线AD 的长为 .
13．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为60°
的直线与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在x 轴上[来源:学科网ZXXK] 方），那么
||
||
AF BF = . 14．已知数列12345{}:1,2,3,4,5,5n a a a a a a n =====≥满足且当时，
1121n n a a a a +=- ，
若数列*222
12125{},,n n n n b n b a a a a a a b ∈=----N 满足对任意有则= ；
当5,n n b ≥时= .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos .cos c b B
a A
-= （I ）求角A 的大小；
（II ）若25a =ABC 面积的最大值.
16．（本小题共13分）
如图，四棱锥P —ABCD 的底面是菱形，,600=∠BCD AD=PB=PD=2，PC=3,AC 与BD
交于点O. E,H 分别为为PA ，OC 的中点. （I ）求证：PC//平面BDE ； （II ）求证：PH ⊥平面ABCD ；
（III ）求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值.
17．（本小题共13分）
甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设甲面
试合格的概率为
12，乙、丙面试合格的概率都是1
3
，且面试是否合格互不影响. （I ）求至少有1人面试合格的概率；
（II ）求签约人数ξ的分布列和数学期望. 18．（本小题共14分）
已知函数2
()ln ,().x x f x x x g x e
e ==
-
（I ）求()f x 在区间[1，3]上的最小值；[来源:Z §xx §https://www.doczj.com/doc/3214907251.html,] （II ）证明：对任意,(0,),()()m n f m g n ∈+∞≥都有成立.
19．（本小题共14分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22
，且椭圆上的点到两个焦点的距离
的和为22斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,).M m
（I ）求椭圆的方程；
（I I ）求m 的取值范围；
（III ）试用m 表示△MPQ 的面积，并求面积的最大值. 20．（本小题共13分）
对于*
(2)n n ∈≥N ，定义一个如下数阵：
11121212221
2n n nn n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ??? ， 其中对任意的1,1,i n j n i ≤≤≤≤当能整除j 时，1ij a =；当i 不能整除j 时，0.ij a = 设121
().n
ij
j j nj i t j a
a a a ==
=+++∑
（I ）当6n =时，试写出数阵6
661
()j A t j =∑并计算
；
（II ）若[x ]表示不超过x 的最大整数，求证：
11()[].n n
j i n
t j i
===∑∑ （III ）若11
11()(),(),:()1()() 1.n
n j f n t j g n dx g n f n g n n x ===-<<+∑?求证