解析几何易错题解析

高中数学解析几何易错题解析

一．考试内容：

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.

双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.

二．考试要求：

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.

(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.

三．基础知识:

(一)椭圆及其标准方程

1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+b

x a y （a ＞b ＞0）.

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2

x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

(二)椭圆的简单几何性质

1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）.

⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对

称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a

c

e =

叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a

c e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.

⑵ 准线：根据椭圆的对称性，122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程

为c a x 2±=.对于椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，

即c

a y 2

±=.

3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M

（x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2.

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、a

c

e =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程

椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=?

（θ为参数）.

说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a

b

=

； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b

y a x 与三角恒等式1sin cos 2

2=+θθ相比较

而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的参数方

程是cos sin x a y b θθ=??=?

.

5.椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00

221x y a b ?

+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部2200

22

1x y a b ?

+>. 6. 椭圆的切线方程

(1)椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b

+=.

（2）过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00221x x y y

a b

+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c +=

(三)双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.

若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）.这里2

22a c b -=，

其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2

x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2

y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质

1.双曲线12222=-b

y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c

e =＞1，离心率e 越大，双

曲线的开口越大.

2. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b

y ±=或表示为02222=-b

y a x .若已知双曲线的

渐近线方程是x n

m

y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：

k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.

3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1

的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线122

22=-b

y a x ，它的焦点坐标是（-c ，

0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c

a x 2

-=和c a x 2=.双曲线

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2

2|()|a PF e x c

=-.

4.双曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22

00

221x y a b ?

->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200

22

1x y a b ?

-<. 5.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，

0<λ，焦点在y 轴上）.

6. 双曲线的切线方程

(1)双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b

-=.

（2）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00221x x y y

a b

-=. （3）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线0A x B y

C ++=相切的条件是

22222A a B b c -=.

(五)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。

需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。 2．抛物线的方程有四种类型：

px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。

3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例

（1）范围：x ≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；

（5）准线方程2

p x =-

； （6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：

221122112:;2:222:;2:22

p

p

y px PF x y px PF x p

p x py PF y x py PF y ==+=-=-+==+=-=-+

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A （x1，y1），B （x2，y2），AB 的倾斜角为α，则有①|AB|=x 1+x 2+p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能

用“弦长公式”来求。

（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2

+bx+c=0，当a ≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

4.抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p

y 或或)2,2(2

pt pt P P (,)x y ，其中

22y px = .

5.二次函数2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：

（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a

-+-；（3）准线方程

是

241

4ac b y a

--=

. 6.抛物线的内外部

(1)点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =>的内部2

2(0)y px p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =>的外部2

2(0)y px p ?>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =->的内部2

2(0)y px p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =->的外部2

2(0)y px p ?>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)x py p =>的内部2

2(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)x py p =>的外部2

2(0)x py p ?>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)x py p =>的内部2

2(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)x py p =->的外部2

2(0)x py p ?>->. 7. 抛物线的切线方程

(1)抛物线px y 22

=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.

（2）过抛物线px y 22

=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线2

2(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是2

2pB AC =. (六).两个常见的曲线系方程

(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是

12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22

221x y a k b k

+=--,其中22max{,}k a b <.当

22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.

(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点

A ),(),,(2211y x

B y x ，由方程??

?=+=0

)y ,x (F b kx y 消去y 得到02

=++c bx ax ，0?>,α为直线

AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.

(八).圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++-

-=++.

四．基本方法和数学思想

1.椭圆焦半径公式：设P （x 0,y 0）为椭圆12222=+b

y a x （a>b>0）上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则0201,ex a PF ex a PF -=+=（e 为离心率）；

2.双曲线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为双曲线1222

2

=-b

y a x （a>0,b>0）上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则:

（1）当P 点在右支上时，0201,ex a PF ex a PF +-=+=；

（2）当P 点在左支上时，0201,ex a PF ex a PF -=--=；（e 为离心率）；

另：双曲线1222

2=-b y a x （a>0,b>0）的渐进线方程为02222

=-b

y a x ； 3.抛物线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为抛物线y 2

=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则

20p

x PF +

=；y 2=2px(p ＜0)上任意一点，F 为焦点，2

0p x PF +-=； 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；

5.共渐进线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(2222

=-b

y a x 为参数，λ≠0）； 6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ]4)[()1

1(1

1212212122

y y y y k

y y k -+?+

=-?+

=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为a

b 2

2，焦准距为p=c

b 2

，抛物线的通径为2p ，焦准距为

p; 双曲线12

2

22

=-b y a x （a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax 2+Bx 2＝1； 9.抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),则有如下结论：

（1）AB ＝x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=－p 2

，x 1x 2=4

2

p ; 10.过椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）左焦点的焦点弦为AB ，则)(221x x e a AB ++=，过右焦

点的弦)(221x x e a AB +-=；

11.对于y 2

=2px(p ≠0)抛物线上的点的坐标可设为（p

y 22

，y 0）,以简化计算;

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭圆

1

2

2

22=+b y a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22

a b -；对于双曲线1

2

222

=-b y a x （a>0，b>0），类似可得：K AB .K OM =22a b ；对于y 2=2px(p ≠0)抛物线有K AB ＝2

12y y p

+ 13.求轨迹的常用方法：

（1）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； （2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； （3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化，

并且Q(x 1,y 1)又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程；

（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；

（5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 例题1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。 错解：设所求直线方程为

1=+b

y

a x 。 ∵（2，1）在直线上，∴11

2=+b

a ， ①

又4ab 2

1

＝，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。

剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对

截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。

事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b a ，而不是2

1

ab 。 故所求直线方程应为：

x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。 例题2 已知三角形的三个顶点为A （6，3），B （9，3），C （3，6），求∠A 。 错解：∵ k AB = 0 ，k AC =

6

33

6-- = -1，∴ tan ∠A=AB AC AC k k k k ?+-1AB =)1(01)1(0-?+--=1.

又0＜∠A ＜1800，∴ ∠A=450。

剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，

错误地选用了夹角公式。

事实上，所求角应是直线AB 到AC （注意：不是AC 到AB ）的角。 因此，∴ tan ∠A=

AB

AC AB

AC k k k k ?+-1= - 1，∠A=1350。

例题3 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。 错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-

k

2

，0）， ∴5124=--

-k ，解得k = -5

1

。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。 剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴

的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。 例题4 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。 错解：设所求方程为

1=+a

y

a x ，将（1，1）代入得a = 2， 从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。

剖析：上述错解所设方程为

1=+a

y

a x ，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。

例题5 已知圆的方程为x 2 + y 2 + ax + 2y + a 2 = 0 ，一定点为A （1，2），要使过A 点作圆

的切线有两条，求a 的取值范围。

错解：将圆的方程配方得： ( x + 2

a )2 + ( y + 1 )2

= 4342a -。

∵其圆心坐标为C （－2

a

，－1），半径r ＝4342a -。

当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，则AC ＞ r 。

即2

2)12()2

1(+++a ＞4342a -。即a 2 + a + 9 ＞ 0，解得a ∈R 。

剖析：本题的“陷阱”是方程x 2 + y 2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条

件得出AC ＞ r ，即a 2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a 的另一制约条件4 – 3 a 2 ＞ 0。 事实上，由a 2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a 2 ＞ 0可得a 的取值范围是（33

2

,332-

）

。 例题6 已知直线L ：y = x + b 与曲线C ：y =2

1x -有两个公共点，求实线b 的取值范围。

错解：由??

?

??21,

x y b x y -=+=消去x 得：2y 2 - 2by + b 2 – 1 = 0。 （ * ）

∵ L 与曲线C 有两个公共点， ∴ ?= 4b 2 – 8 ( b 2 －1 ) > 0，解得－2＜b ＜2 剖析：上述解法忽视了方程y =2

1x -中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出

了错误的结论。

事实上，曲线C 和直线L 有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。

????

?????

≥-=>=+>=?0

21022b --y y 0 1)-8(b -4b 2

212

221b y y 解得1≤ b ≤2。 例题7 等腰三角形顶点是A （4，2），底边的一个端点是B （3，5），求另一个端点C 的轨迹方程。

错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：

AC =AB ，即：22)2()4(-+-y x =22)52()34(-+-

∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C 点的轨迹方程。 这是以A （4，2）为圆心、以为半径的圆。

剖析：因为A 、B 、C 三点为三角形三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线，即B 、C 不能重

合，且不能为圆A 一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。

事实上，C 点的坐标须满足???≠≠53

y x ，且?????≠+≠+22

5423y x ，

故端点C 的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x ≠3,y ≠5；x ≠5,y ≠－1)。

它表示以（4，2）为圆心，以10为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。

例题8 求z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件： ??

?

??≤-+≤≤+351y 15

3y 5x y x x

错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L 0：3 x + 5 y = 0 。

由于经过B 点且与L 0平行的直线与原点的距离最近，

故z = 3 x + 5 y 在B 点取得最小值。解方程组??

?

??=+=-153535y x y x ，得B 点坐标为（3，0），

∴ z 最小＝3?3＋5?0=9。

由于经过A 点且与L 0平行的直线与原点的距离最大， 故z = 3x + 5y 在A 点取得最大值。

解方程组?

??=++=15351y x x y ，得A 点坐标为（23，25

）。

∴ z 最大＝3?

23＋5?2

5

= 17 。

剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L 0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z 取得最大值的点。反之，即为Z 取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。

事实上，过原点作直线L 0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L 0的

右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L 0的

左下方。由图知：z = 3x + 5y 应在A 点取得最大值，在C 点取得最小值。

解方程组??

?=-+=3

51

y x x y ，得C （－2，－1）。

∴ z 最小＝3?（－2）＋5?（－1）= －11。

例题9 已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为x y = .抛物线

c bx x x f ++=2)(过B ，D 两点

（1）若正方形中心M 为（2，2）时，求点N (b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程x x f =)(的两实根1x ，2x 满足2||21>-x x 解答：（1）设(2,2),(2,2),0B s s D s s s +--+≠

因为 B,D 在抛物线上 所以22

2(2)(2)2(2)(2)s S b S c S S b S c ?+=-+-+?-=++++?

两式相减得 282s s sb =-- 则5b =-代入（1）

得2

244105s s s s c +=-+-++ 2

88c s ∴=-< 故点(,)N b c 的方程5(8)x y =-<是一条射线。 （2）设(,),(,)0B t s t s D t s t s s +--+≠

同上22

()()(1)

()()(2)

t s t s b t s c t s t s b t s c ?+=-+-+?-=++++? （1）-（2）得1

2

b t +=-

(3) （1）+（2）得2

2

(1)0(4)s b t t c +-++=

（3）代入（4）消去t 得22

2

1(1)024

b b s

c -+=--> 得2(1)44b c --> 又()f x x =即2

(1)0x b x c +-+=的两根12,x x 满足

121x x b +=- 12x x c ?=

2

2

2

121212||()4(1)44x x x x x x b c ∴

-=+-=--> 故12||2x x ->。

易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。 例题10 已知双曲线两焦点12,F F ，其中1F 为21

(1)14

y x =-

++的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点1F 的坐标；（2）求点2F 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）

若直线y x t =+与2F 的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。 解答：（1）由21

(1)14

y x =-

++得：2(1)4(1)x y +=--，故1(1,0)F - （2）设点2(,)F x y ，则又双曲线的定义得1212||||||||||||0AF AF BF BF -=-≠

又21||||AF AF ==

22||||AF BF ∴=

或2211||||||||F A F B AF BF +=+= ∴ 点2F 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆

∴10x += 除去点(1,0),(1,4)--或

22

(1)(2)184x y +-+=除去点 (1,0),(1,4)-- 图略。

（3）联列：2(1)(2)18

4y x t x y =+?

?

?+-+=?

?消去y 得

2

2

(1)2(2)8x x t +++-= 整理得：2

2

3(46)2810x t x t t +-+-+= 当0= 时

得3t =±

从图可知：(,3(3)t ∈-∞-?++∞， 又因为轨迹除去点(1,0),(1,4)-- 所以当直线过点(1,0),(1,4)--时也只有一个交点，即1t =或5

(,33)(3,){1,5}t ∴∈-∞

?+∞? 易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点2F 的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。

例题11 已知圆1:2

2

1=+y x O ，圆:2O 09102

2

=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆

圆心的轨迹方程。

错解：圆O 2：09102

2

=+-+x y x ，即为16)5(2

2

=+-y x 所以圆O 2的圆心为)0,5(2O ,半径42=r ,

而圆1:22

1=+y x O 的圆心为)0,0(1O ,半径11=r , 设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r

则1||1+=M O r 且4||2+=M O r ，所以3||||21=-M O M O

即3

)5(2

222=+--+y x y x ，

化简得064980162

2=+--y x x 即144

9)25(22

=--y x 为所求动圆圆心的轨迹方程。

剖析：上述解法将||||21M O M O -=3看成3||||||21=-M O M O ,误认为动圆圆心的轨迹

为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。

事实上，|3|||21=-M O M O 表示动点M 到定点1O 及2O 的距离差为一常数3。

且35||21>=O O ,点M 的轨迹为双曲线右支，方程为)4(144

9)25(22

≥=--x y x

例题12 点P 与定点F （2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P 与定点)

3,4

5

(1P 距离的最值。

错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d ，则

,3

1

||=d PF 即

3

1

|8|)2(22=-+-x y x 两边平方、整理得29)49()45

(222

y x +

-=1 （1） 由此式可得：2

22)4

9()921()45(?-=-y x

因为221)3()45(||-+-=

y x PP 222)3()4

9

()921(-+?-=y y

16

1377

)24(812++-=

y 所以|

|1PP 1534

3

161377max ==

剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是

有限制的，上述错解在于忽视了22

3

223≤≤-

y 这一取值范围，由以上解题过程知，||1P P 的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决

即：当223-

=y 时，22

33||m ax 1+=PP 例题13 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的离心率e=332

, 过点A

（b -,0）和B(a,0)的直线与原点的距离为

2

3

,直线y=kx+m )0,0(≠≠m k 与该双曲线交于不同两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。

错解

由已知，有2

2413b e a ???=+=? ?

?????=??

解之得：1,32

2==b a

所以双曲线方程为13

22

=-y x

把直线 y=kx+m 代入双曲线方程，并整理得：0336)31(2

2

2

=----m kmx x k 所以0312

2

>-+=?k m (1)

设CD 中点为),(00y x P ，则AP ⊥CD ，且易知：2

02031,313k

m

y k km x -=-=

所以k k km k m

k AP

1

3131312

2-=-+-= 1432+=?m k (2)

将(2)式代入(1)式得042

>-m m 解得m>4或0

剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，

将3

1

42

+=

m k 代入(1) 式时，m 受k 的制约。 因为02

>k 所以41->m 故所求m 的范围应为m>4或04

1<<-m

例题14 椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=

e ,已知点P （2

3

,0）到椭圆上的点最远距离是7，求这个椭圆的方程。

错解 设所求椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

因为222a c a a

b

-=

2112

=

-=e ，

所以a=2b 于是椭圆方程为1422

22=+b

y b x

设椭圆上点M （x,y ）到点P )2

3

,0( 的距离为d,

则：22

2

)23(-+=y x d 493)1(42

222+-+-=y y b

y b 34)21(322+++-=b y

所以当2

1-

=y 时，有1,7342

m ax 2==+=b b d 所以所求椭圆方程为14

22

=+y x

剖析 由椭圆方程)0(122

22>>=+b a b

y a x 得b y b ≤≤-

由(1)式知2

d 是y 的二次函数，其对称轴为2

1

-

=y 上述错解在于没有就对称轴在区间],[b b -内或外进行分类， 其正解应对f(y)=34)2

1(32

2+++-b y 的最值情况进行讨论： （1）当21-

≤-b ，即2

1≥b 时 34)2

1(2

m a x 2

+=-=b f d =71=?b ,方程为1422=+y x （2）当b -<-21, 即2

1

2=-=b f d

?7=b 2123>-

，与2

1

22

=+y x 例题15 已知双曲线12

2

2

=-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。

错解 设符合题意的直线l 存在，并设),(21x x P 、),(22y x Q

则???

????=-=-

)2(12)1(122

2222

121y x y x （1）)2(-得))((2121x x x x +-)3())((2

1

2121y y y y +-=

因为A （1，1）为线段PQ 的中点，所以???=+=+)

5(2)

4(22121y y x x

将(4)、(5)代入（3）得)(2

1

2121y y x x -=- 若21x x ≠，则直线l 的斜率22

12

1=--=

x x y y k

所以符合题设条件的直线l 存在。其方程为012=--y x

剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

应在上述解题的基础上，再由??

???=--=121

222y x x y 得03422

=+-x x

根据08<-=?,说明所求直线不存在。

例题16 已知椭圆13

4)1(:

2

2=+-y x C ，F 为它的右焦点，直线l 过原点交椭圆C 于A 、B 两点。求||||FB FA ?是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。

错解 设A 、B 两点坐标分别为),(A A y x 、),(B B y x

因为3,42

2

==b a ， 所以12

2

=-=b a c ，4,

212

===c

a a c e 又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以

2

1

5||=-A x FA

即)5(21||A x FA -=

，

同理)5(21

||B x FB -= 所以||||FB FA ?)1(])(525[4

1

B A B A x x x x ++-=

设直线l 的方程为y=kx ，代入椭圆方程得096)43(2

2

=--+x x k

所以=

+B A x x 2

2439

,436k x x k B

A +-=+ 代入(1)式得||||F

B FA ?)4339

25(412

k +-= 所以4

25

||||3

剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当l 的斜率不存在时，

有||||FB FA ?4

25

2525=?=

所以FB FA ?||有最小值为 3，最大值为25/4

课后练习题

1、圆x 2 + 2x + y 2 + 4y –3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于2的点共有（ ） A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个

分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为2，导致错选（ D ）。 事实上，已知圆的方程为：

（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个 以（-1，-2）为圆心，以22为 半径的圆，圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0的距离 为d=

2

1

21+--=2，

这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8

和直线x + y + 1 = 0以及和如图2所示，图中三个点A 、B 、C 为所求，故应选（C ）。

2、过定点（1，2）作两直线与圆2

2

2

2150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是

A k>2

B -3

C k<-3或k>2

D 以上皆不对

解 答：D

易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2

2

40D E F +->

3、设双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点

到直线L 的距离为

4

，则双曲线的离心率为

A 2

B 2或

3

C D

解 答：D

易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。

4、已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的

A B C D 解 答： D

易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。

5、若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范

围是

A 01k ≤≤

B 304k ≤≤

C 3

14

k -<≤ D 10k -<≤ 解 答：C

易错原因：将曲线y =

224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清

过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。

6、已知圆()3-x 2

+y 2

=4 和 直线y=mx 的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点，

则︱O P ︱·︱OQ ︱=( ) A 1+m 2

B

2

15

m + C 5 D 10

正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱O P ︱·︱OQ ︱等于切线长的平方来解题。

7、双曲线92x －4

2

y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）

A 8x-9y=7

B 8x+9y=25

C 4x-9y=16

D 不存在

正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。

8、已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=

5

1

则方程x 2sin α－y 2cos α=1表示（ ）

A 焦点在x 轴上的双曲线

B 焦点在y 轴上的双曲线

C 焦点在x 轴上的椭圆

D 焦点在y 轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cos α=

5

1

判断角α为钝角。 9、过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点,则M ﹑N ﹑F 三点

A 共圆

B 共线

C 在另一条抛物线上

D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 10、已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是( ) A 、

2

9

B 、4

C 、5

D 、2 正确答案：B

错误原因：忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。

11、过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42

=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C

错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立???+==1

42kx y x y ，得()x kx 412

=+，

即：01)42(2

2=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.

剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。

12、已知动点P （x ,y ）满足|3411|x y =+-，则P 点的轨迹是 （ ）

A 、直线

B 、抛物线

C 、双曲线

D 、椭圆 正确答案：A

错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。 13、在直角坐标系中，方程()()

02312

=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ ）

A ．一条直线和一个圆

B ．一条线段和一个圆

C ．一条直线和半个圆

D ．一条线段和半个圆 正确答案：D 错因：忽视定义取值。

14、设1F 和2F 为双曲线1422

=-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，则 21PF F ?的面积是（ ）。

A.1

B.

2

5

C. 2

D.5

正解：A 14

22

=-y x 5,2==C a 4||||||21=-∴PF PF

16||||||2||222121=+-?PF PF PF PF ①

又

9021=∠PF F ∴2

2

22

1)52(||||=+PF PF ② 联立①②解得2||||21=∴PF PF ∴121=?PF F S

误解：未将4||||||21=-∴PF PF 两边平方，再与②联立，直接求出||||21PF PF 。 15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为)0,0(,>>±

=b a x a

b

y ，若双曲线上有一点M （00,y x ），使||||00x b y a >，那双曲线的交点（ ）。 A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.当b a >时在x 轴上 D.当b a <时在y 轴上 正解：B 。 由00a y b x >得

00y b

x a

>，可设000,0x y >>，此时OM 的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在y 轴上。所以选B 。

误解：设双曲线方程为2222x y a b

λ-=，化简得：222222

b x a y a b λ-=，

代入00(,)x y ，2

2

22

2

2

2

2

000b x a b a y b x λ-=>，0λ∴>，∴焦点在x 轴上。这个方法没错，但λ确定有误，应0λ<，∴焦点在y 轴上。

误解：选B ，没有分组。

16、与圆3)5(2

2

=++y x 相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、6条

答案：C 错解：A

错因：忽略过原点的圆C 的两条切线

17、若双曲线12

2

=-y x 的右支上一点P （a,b ）直线y=x 的距离为2，则a+b 的值是（ ） A 、21-

B 、21

C 、2

1

± D 、2±

答案：B

错解：C

错因：没有挖掘出隐含条件b a >

18、双曲线14

92

2=-y x 中，被点P （2，1）平分的弦所在的直线方程为（ ）

A 、798=-y x

B 、2598=+y x

C 、694=-y x

D 、不存在 答案：D

错解：A

错因：没有检验出798=-y x 与双曲线无交点。 19、过函数y=-

2

9

4--x x 的图象的对称中心，且和抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数共有（ ）

A 、1条

B 、2条

C 、3条

D 、不存在 正确答案：（B ）

错误原因 ：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。

20、双曲线19

162

2=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，

则点P 到点(0,5-)的距离_______。 错解 设双曲线的两个焦点分别为)0,5(1-F ,)0,5(2F , 由双曲线定义知8||||||21=-PF PF 所以5.16||1=PF 或5.0||1=PF

剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,

所以10.5PF =不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P 的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P 只能在右支上，所求116.5PF =

21、一双曲线与椭圆

136

272

2=+y x 有共同焦点，并且与其中一个交点的纵坐标为4，则这个双曲线的方程为_____。

正解：-44522=+y x ，设双曲线的方程为136272

2=-+--k y k x （2736<

151364272

22=∴=+x x 136427152=-+--∴k

k 32=∴k 故所求双曲线方程为14

52

2=+-y x 误解：不注意焦点在y 轴上，出现错误。

22、过双曲线x 2

－12

2

=y 的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，且4=AB ，则这样的直

线有___________条。

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

平面解析几何 经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

解析几何专题含答案

椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 1 D ．m b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1， 2），P 4（1，2 ）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2 212 x y +=上，过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r 。

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题，每题5分,共60分) １．已知直线l 过（１,2),（１，3),则直线l 的斜率（) A. 等于0 B ． 等于1 C ． 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是( ） Ａ．1 B ．-1 C ．０ D.７ 3. 已知A （x 1，y 1)、Ｂ（ｘ2,y 2）两点的连线平行y 轴,则｜ＡB ｜=（ ) Ａ、｜x 1－x 2|B 、|y 1-y 2|Ｃ、 x 2-ｘ1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限Ｂ.第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3,９）、（-1，1）的直线在ｘ轴上的截距为（) A.23- B ．32- C ．32 D ．２ 6.直线2x －y=７与直线３ｘ+2ｙ-7＝0的交点是（ ） A (3,-１) B (－１，3) C (-3，-1) D (３,１) 7．满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是（ ） (1)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，; （２)1l 经过点(33)P ，,(53)Q -，,2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点; (３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，,2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． A.(1)（2)B ．(２)(３) Ｃ.(1)(3)D.(１）(２）（3) ８．已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) Ａ 2 B －２ Ｃ．21 D ．2 1- ９. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =-

解析几何大题带答案

三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点,所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而 因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为 此时 当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由 设A、B 两点的坐标分别为，则

又由l 与圆 所以 由于当时， 所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。 解：(I)由题意知 故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得 设是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为(0,—1),所以 故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此 由题意知， 又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

《平面解析几何》复习试卷及答案解析

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A

解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0

解析几何解答题专练

解析几何解答题专练

19．（本小题14分） 已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点)20 P ，和点 212Q ?-- ?? ，. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）如图，以椭圆G 的长轴为直径作圆O ，过直线2-=x 上的动点T 作圆O 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，求CD AB 的取值范围． 解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22 221x y a b +=（0a b >>）， 将点)20 P ，和点21Q ? - ? ? ， 代入，得 22 2 2 11 12a a b ?=??+=??，解得 2221 a b ?=??=??. 故椭圆G 的标准方程为2 212 x y +=. （Ⅱ）圆2 C 的标准方程为2 22 x y +=， 设()1 1 ,A x y ，()2 2 ,B x y ， 则直线AT 的方程为1 1 2x x y y +=，直线BT 的方程为2 2 2x x y y +=， 再设直线2-=x 上的动点()2,T t -（t R ∈），由点()2,T t -在直线AT 和BT 上，得

设1s m =（1 04s <≤） ，则AB CD = 设()3 1632f s s s =+-，则()()2 269661160 f s s s '=-=-≥， 故()f s 在10,4 ?? ?? ? 上为增函数， 于是()f s 的值域为(]1,2，CD AB 的取值范围是(. 19．（本小题满分14分） 已知椭圆C : 22 22 1(0)x y a b a b +=>> 离心率2 e = ，短轴长为． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ， 过原 点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别 与y 轴 交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．

解析几何初步试题及答案

《解析几何初步》检测试题 命题人 周宗让 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ） A ．2 1 B ．2 1- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( ) A ．()0,4 B ．()0,2 C ．()2,4- D ．()4,2- 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距

为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A ． 2 B ．32 C ．12 D ． 2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点， 则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点， 若MN ≥则k 的取值范围是（ ） A. 304?? -??? ?， B. []304??-∞-+∞????U ，， C. ???? D. 203?? -????， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的

平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角， 且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，???==???==0 001221B A B A 或，

浙江高考解析几何大题

浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±->

2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．

高考解析几何压轴题精选(含答案)

1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范 围.（6分） 3已知以原点O 为中心，) F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直 线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。（8分）

4.如图，已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得 ·A B C D A B C D λ +=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分） 5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-

解析几何大题带规范标准答案

三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线

. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y

高中数学解析几何解答题)

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点， 问E 、F 两点能否关于过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四 点外接圆的圆心 …………………1分 故该椭圆中,22c b a == 即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分 设H （x,y ）为椭圆上一点，则 b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分 若30<

高考解析几何压轴题精选(含答案)

专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）

4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1

平面解析几何测试题带答案

1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．

5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．

解析几何综合题和答案

解析几何综合题 1．12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 ．1答案：4 简解： 12||||PF PF ?≤2 212||||()42 PF PF a +== 2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +3 2 y =1的公共点有____________个. 2答案：0->-=?. 01021202a a 或???<->?.0102 a 解之 5． 若曲线 y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点， 则实数 k 的取值范围是 .5．答案：3 14 k -<≤ 简解： 将曲线 y =224x y -=时考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与 双曲线的位置关系。 6．圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________. 6．答案：（x －2）2+（y+3）2=5 5． 简解：∵圆C 与y 轴交于A （0，－4），B （0，－2）， ∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上. 又已知圆心在直线2x －y －7=0上， y=－3， 2x －y －7=0. ∴联立 解得x =2，