数学与三角函数
三角函数是高中数学教学内容的一个重要部分,此内容既有先前函数知识的延伸,又有三角知识的扩展。下面就和一起去学习三角函数吧。
数学与三角函数的定义
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
三角函数十组诱导公式
公式一
sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cos α
tan(2kπ+α)=tan α
cot(2kπ+α)=cot α
sec(2kπ+α)=sec α
csc(2kπ+α)=csc α
公式二
sin(π+α)=-sin α
tan(π+α)=tan α cot(π+α)=cot α sec(π+α)=-sec α csc(π+α)=-csc α 公式三
sin(-α)=-sin α
cos(-α)=cos α
tan(-α)=-tan α
cot(-α)=-cot α sec(-α)=sec α
csc(-α)=-csc α
公式四
sin(π-α)=sin α cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α cot(π-α)=-cot α sec(π-α)=-sec α csc(π-α)=csc α 公式五
sin(α-π)=-sin α cos(α-π)=-cos α
cot(α-π)=cot α
sec(α-π)=-sec α
csc(α-π)=-csc α
公式六
sin(2π-α)=-sin α
cos(2π-α)=cos α
tan(2π-α)=-tan α
cot(2π-α)=-cot α
sec(2π-α)=sec α
csc(2π-α)=-csc α
公式七
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=−sinα tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
公式八
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
公式九
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
公式十
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
三角函数相关定理
正弦定理
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c
也可表示为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
其中R是三角形的外接圆半径。
它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数(sinA)/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。
三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积：
S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
余弦定理
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
a² = b² + c²- 2bc;cosA
b² = a² + c² - 2ac;cosB
c² = a² + b² - 2ab;cosC
也可表示为：
cosC=(a² +b² -c²)/ 2ab
cosB=(a² +c² -b²)/ 2ac
cosA=(c² +b² -a²)/ 2bc
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-
边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。
物理力学方面的平行四边形定则中也会用到相关知识。
延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b;cos C+c;cos B，b=c;cos A+a;cos C，c=a;cos B+b;cos A
正切定理
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：
(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]
广义射影定理
三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC
三角恒等式
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明：
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地，我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβta nγ。
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
三角函数知识点及同步练习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C b A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α= =。 【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ， 则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? 【例3】已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5 tan = B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、552 D 、3 2 :i h l =h l α
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]-
（ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞
三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +
(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o
三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2
正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =
E x c e l中数学和三角函 数 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
数学和三角函数 SQRT() 平方根公式 =345^2 - 123^2 平方差公式 =SQRT(C21^2-D21^2) 平方差开根公式 =DEGREES(ACOS(D21/C21)) 求余弦角度公式 返回参数的平方和 ABS返回数字的绝对值 返回数字的反余弦值 返回数字的反双曲余弦值 返回数字的反正弦值 返回数字的反双曲正弦值 返回数字的反正切值 从 X 和 Y 坐标返回反正切 返回数字的反双曲正切值 将数字舍入为最接近的整数，或最接近的有效数字的倍数返回给定数目对象的组合数 返回数字的余弦值 返回数字的双曲余弦值 将弧度转换为度 将数字向上舍入为最接近的偶型整数 返回 e 的指定数乘幂 返回数字的阶乘 返回数字的双阶乘
将数字朝着零的方向向下舍入 返回最大公约数 将数字向下舍入为最接近的整数 返回最小公倍数 返回数字的自然对数 返回数字的指定底数的对数 返回数字的常用对数 返回数组的矩阵行列式 返回数组的逆矩阵 返回两数组的矩阵乘积 返回两数相除的余数 返回按指定倍数舍入后的数字 返回一组数字的多项式 将数字向上舍入为最接近的奇型整数 返回 Pi 值 返回数的乘幂结果 将所有以参数形式给出的数字相乘 返回商的整数部分 将度转换为弧度 返回 0 到 1 之间的随机数 返回指定数字之间的随机数 将阿拉伯数字转换为文本形式的罗马数字将数字舍入到指定位数 将数字朝零的方向舍入
将数朝远离零的方向舍入 返回基于公式的幂级数的和 返回数字的符号 返回给定角度的正弦值 返回数字的双曲正弦值 返回正平方根 返回某数与 Pi 的乘积的平方根 返回数据库列表或数据库中的分类汇总将参数求和 按给定条件将指定单元格求和 返回相对应的数组部分的乘积和 返回参数的平方和 返回两个数组中相对应值的平方差之和返回两个数组中相对应值的平方和之和返回两个数组中相对应值差的平方之和返回数字的正切值 返回数字的双曲正切值 将数字截尾取整 ABS 返回数字的绝对值。绝对值没有符号。语法 ABS(number) Number 需要计算其绝对值的实数。
初中数学 三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt △ ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正 A 的对边 sin A a 0 sin A 1 sin A cosB sin A 斜边 c ( ∠ A 为锐角 ) 弦 cos A sin B 余 A 的邻边 cos A b 0 cos A 1 sin 2 A cos 2 A 1 cos A 斜边 c ( ∠ A 为锐角 ) 弦 正 A 的对边 tan A a tan A 0 tan A cot B tan A A 的邻边 b ( ∠ A 为锐角 ) cot A tan B 切 1 tan A ( 倒数 ) A 的邻边 cot A 0 cot A 余 b tan A cot A 1 cot A A 的对边 cot A a ( ∠ A 为锐角 ) 切 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 B sin A cosB 由 A B sin A cos(90 A) 斜边 c 对 90 a 边 cos A sin B 得 B 90 A cos A sin(90 A) A C 邻边 b 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 tan A cot B 由 A B 90 tan A cot(90 A) cot A tan B 得 B 90 A cot A tan(90 A) 5、0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值 ( 重要 ) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sin 0 1 2 3 1 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 2 2 2 tan 0 3 1 3 - 3
高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα
第一章 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝3 1 ，则sin β 的值是( )．
4．三角函数、解三角形 一、选择题 【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x + 2π 3 )，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线C 2 B ．把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线C 2 【2016，12】已知函数)2 ,0)(sin()(π ?ω?ω≤ >+=x x f ，4 π - =x 为)(x f 的零点，4 π = x 为 )(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)36 5,18(π π单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 【2015，8】函数()f x =cos()x ω?+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） A ．13 (,),44k k k ππ- +∈Z 错误!未找到引用源。 B ．13 (2,2),44k k k ππ-+∈Z 错误!未找到引用源。 C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13 (2,2),44 k k k -+∈Z 【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=o o o o （ ） A ．3- B ．3 C ．12- D ．12 【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则 y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
2019年高一（上）模块数学试卷（必修1和三角函数） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）集合P={x|0≤x＜3}，M={x|x2≤9}，则P∩M=（） A．{x|0＜x＜3}B．{x|0≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|0≤x≤3} 2．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（）对称． A．y轴 B．x轴 C．坐标原点D．直线y=x 3．（5分）在区间（0，1）上单调递减的函数是（） A．y=B．y=log2（x+1）C．y=2x+1D．y=|x﹣1| 4．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（） A．[0，1]B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1） 5．（5分）函数y=sin（2x+）的图象是由函数y=sin2x的图象（） A．向左平移单位B．向右平移单位 C．向左平单位D．向右平移单位 6．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（） A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2） 7．（5分）设a=log2，b=log，c=（）0.3，则（） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 8．（5分）同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．”的一个函数是（） A．y=sin（） B．y=cos（） C．y=cos（2x+） D．y=sin（2x﹣）9．（5分）函数f（x）=，则f[f（）]=（）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣5 D． 10 ．（5分）已知α为锐角，且，则cos（π﹣α）=（） A． B．C． D． 11．（5分）已知α为第二象限角，则所在的象限是（） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 12．（5分）函数图象中的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）2log510+log50.25=． 14．（5分）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=． 15．（5分）函数的定义域为． 16．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=． 三、解答题．（本大题共5小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（14分）（1）已知tanα=2，计算的值； （2）化简：
2018年高考理科数学三角函数100题（含答案解析） 1. 己知x 0=﹣ 是函数f （x ）=sin （2x+φ）的一个极小值点，则f （x ）的一个单调递减区 间是（ ） A ．（， ） B ．（ ， ） C ．（ ，π） D ．（ ，π） 2. 已知△ABC 是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC 的面积为，则AB=（ ） A ． B ． C ． D ．3 3. 已知1(,2)2 P 是函数()sin()(0)f x A x ω?ω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7 cos 25 BPC ∠= ，则()f x 的图象对称中心可以是 （A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0 4. 已知函数()sin()f x A x ω?=+（A ，ω，?均为正的常数）的最小正周期为π，当2π 3 x =时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）． A ．(2)(2)(0)f f f <-< B ．(0)(2)(2)f f f <<- C ．(2)(0)(2)f f f -<< D ．(2)(0)(2)f f f <<- 5. 设函数π2sin 23y x ? ?=+ ?? ?的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）． A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象 C 关于点π,06?? ??? 对称 C ．图象C 向右平移 π 2 个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122?? - ??? 上是增函数 6.
已知函数π()sin (0)4f x x ωω? ?=> ?? ?+的最小正周期为π，刚该函数的图象（ ）． A ．关于点π,04?? ???对称 B ．关于直线π 8 x = 对称 C ．关于点π,08?? ??? 对称 D ．关于直线π 4 x = 对称 7. 为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π 4 个单位长度 B ．向右平移π 4 个单位长度 C ．向左平移 π 2 个单位长度 D ．向右平移 π 2 个单位长度 8. 已知(0,π)α∈，3 cos 5 α=-，则tan α=（ ）． A ． 34 B ．34 - C ． 43 D ．43 - 9. 已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ω?ω?? ?=+>>< ?? ?图象如图所示，则下列关于函数()f x 的 说法中正确的是（ ）． A ．对称轴方程是π π()6 x k k =+∈Z B ．对称中心坐标是 ππ,0()3k k ?? +∈ ??? Z C ．在区间ππ,22?? - ??? 上单调递增 D ．在区间2ππ,3? ?-- ?? ?上单调递增 10.
三角函数知识点及同步练习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C b A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α= =。 【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ， 则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? :i h l =h l α
高考理科数学三角函数 的图象与性质练习题 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
2015高考理科数学《三角函数的图象与性质》练习题 [A 组 基础演练·能力提升] 一、选择题 1．函数y ＝|2sin x |的最小正周期为( ) A ．π B ．2π 解析：由图象知T ＝π. 答案：A 2．已知f (x )＝cos 2x －1，g (x )＝f (x ＋m )＋n ，则使g (x )为奇函数的实数m ，n 的可能取值为( ) A ．m ＝π 2，n ＝－1 B ．m ＝ π 2 ，n ＝1 C ．m ＝－π 4 ，n ＝－1 D ．m ＝－ π 4 ，n ＝1 解析：因为g (x )＝f (x ＋m )＋n ＝cos(2x ＋2m )－1＋n ，若使g (x )为奇函数，则需满足2m ＝ π2 ＋k π，k ∈Z ，且－1＋n ＝0，对比选项可选D. 答案：D 3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为??? ???－1，12，则b －a 的值不可能是( ) C ．π 解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为?? ???? 2π3 ，4π3. 答案：A 4．已知函数f (x )＝sin πx 的部分图象如图1所示，则图2所示的函数的部分图象对应的函数解析式可以是( )
A ．y ＝f ? ????2x －12 B ．y ＝f ? ???? x 2－12 C ．y ＝f (2x －1) D ．y ＝f ? ?? ?? x 2－1 解析：图2相对于图1：函数的周期减半，即f (x )→f (2x )，且函数图象向右平移1 2个单位，得 到y ＝f (2x －1)的图象．故选C. 答案：C 5．定义行列式运算：?????? a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝??????3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个单 位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( ) π 解析：∵f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ? ????x －π6，向左平移m 个单位得y ＝2s in ? ? ???x ＋m －π6，为 偶函数， ∴m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，m ＝k π＋2 3π，k ∈Z ， ∴m min ＝2 3π(m >0)． 答案：D 6．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点? ???? π4，0对称，则在区间[0,2π] 上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( ) 解析：设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点? ????π4，0对称的点为? ???? π2－x ，－y ，由题 意知该点必在f (x )的图象上，∴－y ＝sin ? ????π2－x ，即g (x )＝－sin ? ???? π2－x ＝－cos x ，依题意得 sin x ≤－cos x ?sin x ＋cos x ＝2sin ? ? ???x ＋π4≤0，又x ∈[0,2π]，解得3π4≤x ≤7π4. 答案：B 二、填空题 7．若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈[0，π])是偶函数，则φ＝________.
1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ）
A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x =
于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．
数学与三角函数 三角函数是高中数学教学内容的一个重要部分,此内容既有先前函数知识的延伸,又有三角知识的扩展。下面就和一起去学习三角函数吧。 数学与三角函数的定义 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。 三角函数十组诱导公式 公式一 sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cos α tan(2kπ+α)=tan α cot(2kπ+α)=cot α sec(2kπ+α)=sec α csc(2kπ+α)=csc α 公式二 sin(π+α)=-sin α
tan(π+α)=tan α cot(π+α)=cot α sec(π+α)=-sec α csc(π+α)=-csc α 公式三 sin(-α)=-sin α cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α cot(-α)=-cot α sec(-α)=sec α csc(-α)=-csc α 公式四 sin(π-α)=sin α cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α cot(π-α)=-cot α sec(π-α)=-sec α csc(π-α)=csc α 公式五 sin(α-π)=-sin α cos(α-π)=-cos α
原创理科数学专题卷 专题 三角函数 考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题） 考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点16 易 已知3cos( )25π ?+=，且||2π ?<，则tan ?为（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．34 2．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二月考 考点16 易 设3tan =α，则 =++--+-) 2 cos()2 sin( )cos()sin(απ απ αππα（ ）. A ．3 B ．2 C ．1 D ．﹣1 3．【来源】2017届山东临沂市高三理上学期期中 考点16 易 若点22sin ,cos 33ππ? ? ?? ? 在角α的终边上，则sin α的值为 A. 12- B. 2-12 D. 2 4．【来源】2017届山东德州市高三上学期期中 考点16 中难 已知sin cos x x +=()0 x π∈， ，则tan x =（ ） A. 5．【来源】2017届湖南五市十校高三理12月联考 考点17 中难 已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω?? ?=+>< ???的部分图象如图，则2016 1 6 n n f π =?? = ??? ∑（ ）
初中三角函数 〖考试要求〗 通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角. 1．1 正弦和余弦 例1 已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin 2 α+cos 2 α=1； （2）求证：sin α+cos α≥1，讨论在什么情形下等号成立； （3）已知sin α+cos α=1，求sin 2 α+cos 2 α的值． 证明 （1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sin α=BC/AB ，cos α=AC/AB ，所以在这种情形下 A B C A B C
当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有 sin2α+cos2α=1． （2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在这种情形下 当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有 sinα+cosα≥1， 当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立． （3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有 sin2α+cos2α=1． 例2 求证：对于0°≤α≤90°， 1．2 正切和余切 证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，
当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα= （2）α必须满足不等式： 0°＜α＜90°． 如图6-2， 所以tgα·ctgα=1． 例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求 解： x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而