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分类讨论常见题型-初一

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数学人教版七年级下册平行线中应注意的分类讨论

《平行线中应注意的分类讨论》 西平县出山初级中学焦华刚 教学目标: 知识与技能:1.掌握平行线的判定方法与性质,并会运用判定方法与性质解决实际问题;2.经历利用平行线的性质探究两个角之间的关系;3.经历利用平行线的判定与性质探究折线、拐点的问题;4.初步了解推理论证的方法,逐步培养逻辑推理能力,以及渗透并培养学生的分类讨论的思想意识。 过程与方法:经历操作、观察、想象、推理、交流等活动,进一步发展学生的空间观念、推理能力与有条理的表达能力,让学生根据不同位置的图形能够产生分类讨论的意识,进而逐渐提高自身全面考虑问题的习惯。 情感态度与价值观:通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现、敢于实践与合作交流的习惯。 学情分析:由于学生对上册《几何图形初步》一章已有初步认识,并且已经学习了《相交线与平行线》的有关知识,根据学生的年龄特点,以及在以往的教学中学生对平行线的性质与判定方法容易混淆在一起,因此,本章学习后及时开展渗透并培养学生分类讨论思想的综合课,目的是学生能够在操作、观察、推理、交流中更加牢固地、系统地掌握平行

线的性质与判定方法,能够正确的区分平行线的性质与判定,并且能够熟练应用平行线的性质与判定解决实际问题。教学重点、难点: 重点:利用平行线的性质探究两个角之间的关系. 利用平行线的性质与判定探究折线、拐点的问题。 难点:利用平行线的性质探究两个角之间的关系. 利用平行线的性质与判定探究折线、拐点的问题。教学过程: 一、创设情境:活动(1)同学们,请你画一画。 在同一平面内不重合的三条直线交点个数可能有几个?四条直线呢? 分析与解答:因为三条直线的位置关系不清楚,故应该分类讨论:①若三条直线互相平行,则三条直 线没有交点,或说成三条直线有0个 交点。如图a所示。 ②若两条直线互相平行,第三条直线 与它们相交,则它们有两个交点。 如图b所示 ③若三条直线相交于同一点时,则 它们有1个交点。如图c所示 ④若三条直线两两相交,且不交于同 一点时,则它们有3个交点。如图d所示图a 图b 图c 图d

《二次根式》典型例题和练习题之欧阳歌谷创编

《二次根式》分类练习题 欧阳歌谷(2021.02.01) 二次根式的定义: 【例1】下列各 式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、 2、在、、、中是二次根式的个数有 ______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是.[来源:学*科* 网Z*X*X*K] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、

第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 举一反三: 1 2()x y =+,则 x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y= 4x 233x 2+-+-,求 xy 的值 3、当a 取什么值时,代数式1取值最小,并求出这个最小值。 已知a b 是1 2a b + +的值。 若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3。 若 17 的整数部分为x ,小数部分为y ,求 y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若 ()2 240a c -+-=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若 0)1(32=++-n m ,则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数,且()0 2312 =-+-y x ,则y x -的值为 ( ) A .3 B .– 3 C .1 D .– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2 -4|+6 52+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 (公式 )0()(2 ≥=a a a 的运用)

人教版七年级数学知识点及典型例题

人教版七年级数学知识 点及典型例题 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020

第一章有理数 知识点一?有理数的分类 有理数的另一种分类 想一想:零是整数吗自然数一定是整数吗自然数一定是正整数吗整数一定是自然数吗

零是整数;自然数一定是整数;自然数不一定是正整数,因为零也是自然数;整数不一定是自然数,因为负整数不是自然数。 知识点二?数轴 1.填空 ① 规定了唯一的原点,正方向和单位长度( 三要素)的直线叫做数轴。 ② 比-3大的负整数是-2、-1。 ③与原点的距离为三个单位的点有2个,他们分别表示的有理数是3、-3。 2.请画一个数轴,并检查它是否具备数轴三要素? 3.选择题 ① 在数轴上,原点及原点左边所表示的数是() A整数B负数C非负数D非正数

②下列语句中正确的是() A数轴上的点只能表示整数 B数轴上的点只能表示分数 C数轴上的点只能表示有理数 D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 答案 AD 知识点三?相反数 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。 知识点四?绝对值 1.绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。

2.绝对值的代数定义:(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个负数数的绝对值是它的相反数;(3)0的绝对值是0;(4)|a|大于或者等于0。 3.比较两个数的大小关系 数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从大到小的顺序,即左边的数小于右边的数。由此可知:(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小。 知识点五?有理数加减法 1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 2.互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加,仍得这个数。

初二下册二次根式所有题型专题

二次根式专题 题型一:二次根式的概念 【例题1】 当为实数时,下列各式,,, 属于二次根式的有 ________个. 【练一练】 1. 下列式子中二次根式的个数有 ( ) (1) ;( 2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) (x >1) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 2. 下列各式① ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中二次根式的个数有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 题型二:二次根式的意义(取值范围) 【例题2】 x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1) (2)y=-; 【练一练】 1. 若使二次根式 有意义,则x 的取值范围是 ; 2. 使式子 x 211 -有意义的x 的取值范围为______________________; 3. 代数式x -9有意义时,实数x 的取值范围是__________________; 4. 函数x x y 2 += 的自变量x 的取值范围是_____________________; 5. 函数2 1 -+= x x y 中,自变量x 的取值范围是___________________; 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义,则x 满足的条件是______________________. x () 2 223,1,,, , x x x x x --y =2+x x 23-

题型三:二次根式的性质()0 ( ) (2 2≥ = =a a a a a,) 【例题2】 1.计算下列各式: (1)(3)(4) 2.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:. 3.已知a、b 都是实数,且b,化简?+1的结果是多少? 【练一练】 1.=________. 若,则______.若=0,则=__________. 2.若,则____________;若,则______________. 3.已知,求的值为____________. 4.若,则化简的结果是__________. 5.已知c b a, ,为三角形的三边,则2 2 2) ( ) ( ) (a c b a c b c b a- + + - - + - += . 2 3 2() 4 --2 (3.14)π -2) 2 5 2 (-2) 2 ( 2a a- - - 22 x x -+- 2 (1) 1 x x - -

七年级数学上册有理数经典题型专题训练

七年级数学上册有理数经典题型专题训练 一、选择题 1、如果两个有理数的积是正数,和也是正数,那么这两个有理数()(A)同号,且均为负数 (B)异号,且正数的绝对值比负数的绝对值大 (C)同号,且均为正数 (D)异号,且负数的绝对值比正数的绝对值大 2、在下列说法中,正确的个数是() ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数 A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列说法正确的是() A、几个有理数相乘,当因数有奇数个时,积为负; B、几个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负; C、几个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负; D、几个有理数相乘,当积为负数时,负因数有奇数个; 4、在有理数中,有() A.绝对值最大的数B.绝对值最小的数 C.最大的数D.最小的数 5、下列结论正确的是()

A.数轴上表示6的点与表示4的点相距10 B.数轴上表示+6的点与表示-4的点相距10 C.数轴上表示-4的点与表示4的点相距10 D.数轴上表示-6的点与表示-4的点相距10 6、下列说法正确的是() (A)有理数就是正有理数和负有理数 (B)最小的有理数是0 (C)有理数都可以在数轴上找到表示它的一个点 (D)整数不能写成分数形式 7、下列说法正确的是( ) A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小 C.任何有理数都有倒数D.﹣1的倒数是﹣1 8、下列说法正确的是( ) ①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③数轴上原点两侧的数互为相反数 ④两个数比较,绝对值大的反而小 A ①② B ①③ C ①②③ D ①②③④ 9、下面说法中正确的是( ) A.非负数一定是正数。B.有最小的正整数,有最小的正有理数。C.-a一定是负数D.正整数和正分数统称正有理数 a是() 10、有理数a 等于它的倒数,则2016

初中数学分类讨论问题专题

中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1:分式方程无解的分类讨论问题; 2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题; 3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题; 4:分类问题在动点问题中的应用; 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论; 4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题 的分类。 1:分式方程无解的分类讨论问题 例题1:(2011武汉) 解:去分母,得: 猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? 例题2:(2011郴州) 2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题3:(2010上海)已知方程有实数根,求m的取值范围。 (1)当时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x= (2)当时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:,且综(1)(2)得, 常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略的条件)

总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题4:(2011益阳)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程与的 根都是整数。 解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为0,即,, 同理,且,又因为m为整数 (1)当m=—1时,第一个方程的根为不是整数,所以m=—1舍去。 (2)当m=1时,方程1、2的根均为整数,所以m=1. 练习:已知关于x的一元二次方程有实数根,则m的取值范围是: 3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5:(2011青海)方程的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( ) A 12 B 12或15 C 15 D不能确定 例题6:(2011武汉)三角形一边长AB为13cm,另一边AC为 15cm,BC上的高为12cm,求此三角形的面积。(54或84)例题8:(2011四校联考)一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C,且有BC=2AC,将其从C点剪断,得到的线段中最长的一段为40cm,请 问这条绳子的长度为:60cm或120cm A B C 4:动点问题的分类分类讨论问题 4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论; 例题9:(2011永州)正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发,以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到A点停止,求点P运动t秒时, P,D两点间的距离。

初一下册数学经典题型

1. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如:方程260x =- 的解为3x= ,不等式组205x x ->????-??-+<-? , 的关联方程是 ;(填序号) (2)若不等式组1144275 x x x ? -?? ?++?<, >-的一个关联方程的根是整数,则这个关联方程可以是 ;(写 出一个即可) (3)若方程21+2x x -=, 1322x x ? ?+=+ ???都是关于x 的不等式组22x x m x m -?? -?<,≤的关联方程,求m 的取值范围.

2. 对于平面直角坐标系xOy中的点A,给出如下定义:若存在点B(不与点A重合,且直线AB不与坐标轴平行或重合),过点A作直线m∥x轴,过点B作直线n∥y轴,直线m,n相交于点C.当线段AC,BC的长度相等时,称点B为点A的等距点,称三角形ABC的面积为点A的 等距面积. 例如:如图,点A(2,1),点B(5,4),因为AC= BC=3,所以B 为点A的等距点,此时点A的等距面积为9 2. (1)点A的坐标是(0,1),在点B1(-1,0),B2(2,3),B3(-1,-1)中,点A的等距点为. (2)点A的坐标是(-3,1),点A的等距点B在第三象限, ①若点B的坐标是 ? ? ? ? ? 2 1 2 9 ,- - ,求此时点A的等距面积; ② ②若点A的等距面积不小于9 8,求此时点B的横坐标t的取值范围. 备用图

初一数学分类讨论思想例题分析及练习

分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。 在数学学习中,我们不仅要分阶段学习知识,还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有:分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言,经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说:“分类讨论一旦出现,就是中高档次题”。今天,我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。 在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。 1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”(如几何中,画图的不确定;代数中,出现字母系数等)。 2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”,特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏,讨论之后不检验是否合题意”。 【例1】解方程:|x-1|=2 分析:绝对值为2 的数有2个 解:x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1 说明应该说,绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底,一般考察绝对值的问题有三。 1. 化简(如当a<0b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a0时,2a>0,即(1+a)-(1-a)>0,即1+a>1-a ②当a=0时,2a=0,即(1+a)-(1-a)=0,即1+a=1-a ③当a<0时,2a<0,即(1+a)-(1-a)<0,即1+a<1-a

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. (1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; (2)判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. (3)形如a m (a ≥0)的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=(a ≥0); (4)根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: (1)双重非负性:a ≥0,a ≥0;(主要用于字母的求值) (2)回归性: () a a =2 (a ≥0);(主要用于二次根式的计算) (3)转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .(主要用于二次根式的化简) 重要结论: (1)若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.

(2) ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. (3)()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. (4)() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.

初中数学中的分类讨论解题法

初中数学中的分类讨论解题法 数学思想是人们在长期的实践经验和社会生活中得出的有关现实世界的数量关系、空间结构等科学意识的反应,是人类思维活动的结晶。数学思想在漫长的历史演变中逐渐发展,帮助人类掌握学习知识的技巧,提供最优质的解决方案,常见的数学思想包括数形结合、分类讨论、换元思想、函数与方程、等效思想等等。本文就以分类讨论思想为例,探讨其在初中数学中的具体运用。 一、分类讨论思想的意义 分类讨论思想其最主要本质就是“化整为零,积零为整”的解题策略。当我们在解决数学问题时,当所面对的问题不能进行整体统一的研究时,根据数学的本质属性需进行分类讨论和研究,这种逻辑思维解决方法就是“分类讨论思想”。 而分类讨论思想在中学数学中,历年是考试的侧重点,主要是考查学生对于知识面的分析能力和解题思路技巧,分类讨论思想不仅有利于提高学生在学习数学中的广泛兴趣,还有利于培养思维能力的条理性和缜密性。学生可以通过分类讨论思想掌握数学当中分类方法、一题多解和对知识结构认知的能力。在教学中,教师可以利用小组合作充分发挥分类讨论的作用,为学生营造一种合作交流积极应变的氛围。因此,分类讨论思想可以有效地培养学生的思维灵活性和解题思路的能力,在初中数学解题应用中具有非常重要的作用和意义。 二、分类讨论思想具体解题步骤探讨 在学生能够基本掌握分类讨论思想的情况下,教师要引导学生运用正确的解题思路,大体可以从以下几个方面去引导,一是要认真仔细阅读题目,明白题目要考查的知识点;二是要明确分类讨论的对象,列举所有可能的结果,不可以遗漏,不可以重复;三是要讨论出所有列举问题的结论;四是要认真总结归纳,对于做过的题目要能够总结出规律和解题思路。对于数学问题的研究要有效针对各种属性的对象,研究的结果也自然会因为研究对象的不同而产生差异,因此对于不同的研究对象就需要采用不同的研究思想,又或者说在研究过程中出现了不同的状况,就需要采用不同的分类研究的思想。 三、分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用实例分析

最新二次根式最常见题型(答案)

精品文档 二次根式 二次根式: 当 ______________ 时,J x +2 + J 1 —2x 有意义。 若.— 1有意义,则 m 的取值范围是 。 m 1 当x __________ 时,J (1 -X $是二次根式。 在实数范围内分解因式: x 4 —9 = ,x 2 —2j2x+2 = 已知\ I. x - 2 = 2 - x ,则x 的取值范围是 。 化简:X 2—2X , 1 x -1 的结果是 ______________________________ 。 当 w x < 5 时,J (x X j 斗 x -5 = ________________ ° 把a j _*1的根号外的因式移到根号内等于 ______________________ ° 使等式、x 1 x-1 =_x —1「,x , 1成立的条件是 ____________________ 若a —b +1与J a +2b +4互为相反数,则( a — b 『°5 = ______________ 在式子石 d 心戸(y")工2^( X 却 两,J x 2出,x 中,二次根式有( A. 2个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 若 2 w a w 3, 则 J (2 £ f -J (a d j 等于( ) -H-* 1.2二次根式的乘除 1. 当 a 兰 0,b w 0 时, _________________________ ° 2. 若J 2m 2 和J 33m _2"都是最简二次根式,则 m= ___________ ,n= ______ 3. 计算:\[3 = ___________________ ; J 36 工 9 = _________ ° 4. 计算: (届 _3厉尸73= ____________ ° 5. 长方形的宽为 3 ,面积为2^6,则长方形的长为 ______________ ° 6. 下列各式不是最简二次根式的是( A . , a 2 1 B. . 2x 1 ) ■ 2b D. C. 7.已知xy > 0,化简二次根式 ... 0.1y A . , y B.、丐 8.对于所有实数a,b ,下列等式总能成立的是( ) (T a +V b j=a +b B. J a W a +b C. 扣+2 j A. 10. =a 2 ■ b 2 对于二次根式 x 2 9 ,以下说法中不正确的是( ) A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D. a ■ b 2 =a ■ b D.它的最小值为3 A . 5 ~ 2a B. 1 2a c. 2a - 5 D. 2a -1 能使等式 x _ x 成立的x 的取值范围是( ) A. X = 2 B. X - 0 C. x w 2 D. 计算:J(2a -1 $ + J(1 -2a 2 的值是( A . o B. 4a-2 c. 2-4a D. 若? x - y y 2 -4y 4 =0,求 xy 的值。 x_2 ) 2 -4a 或 4a -2 已知a, b 为实数,且叩a ■ ib -1 ":」1 —b =0,求a 2005 —b 2006的值。 11.计算: 1.1 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 18. 19. 21. 25.

(完整版)初一年级数学经典例题

数学天地: 初一年级数学核心题目赏析 有理数及其运算篇 【核心提示】 有理数部分概念较多,其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题,把抽象问题简单化.相反数看似简单,但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点,它贯穿于初中三年,每年都有不同的难点,我们要从七年级把绝对值学好,理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用,也要会逆向用,难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】 例1计算:2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析 此题共有2006项,通分是太麻烦.有这么多项,我们要有一种“抵消”思想,如能把一些项抵消了,不就变得简单了吗?由此想到拆项,如第一项可拆 成 2 1 11211-=?,可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ,把每一项都做如此变形,问题会迎刃而解. 解 原式=)20071 20061(......413131212111-++-+-+-)()()( =20071 20061......41313121211- ++-+-+- =20071 1- =2007 2006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点 分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性,但本题关键是去绝对值,所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上,右边的数总比左边的数大”,大数减小数是正数,小数减大数是负数,可得到a-b<0、c-b>0. 解 由数轴知,a<0,a-b<0,c-b>0 所以,b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算:?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011)

初中数学分类讨论问题专题.

” = 无解,求 a = 由已知 - = -3或 - = 3或a - 1 = 0 - = 2无解,求a = 中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。形成一定 的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1:分式方程无解的分类讨论问题; 2:“一元二次 方程系数的分类讨论问题; 3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题; 4:分类问题在动点问题中的应用; 4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论; 4.2 组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分类。 1:分式方程无解的分类讨论问题 例题 1:(2011 武汉) 3 ax 4 + x - 3 x 2 - 9 x + 3 解:去分母,得: 3( x + 3) + ax = 4( x - 3) ?(a -1)x = -21 21 21 a -1 a -1 ∴ a = 8, a = -6.或者a = 1 猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? a = 8或a = -6 例题 2:(2011 郴州) 2 a x + 1 x - 1 2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题 3:(2010 上海)已知方程 m 2 x 2 + (2m + 1) x + 1 = 0 有实数根,求 m 的取值范围。 (1) 当 m 2 = 0 时,即 m=0 时,方程为一元一次方程 x+1=0,有实数根 x= - 1

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二次根式知识点总结及常见题型 资料编号 :20190802一、二次根式的定义 形如 a ( a ≥0)的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.(1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围; (2)判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“” ; ②被开方数是否为非负数 . 若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 . ( 3)形如m a(a≥ 0)的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a ( a ≥0); (4)根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质 : (1)双重非负性 : a ≥0, a ≥0;(主要用于字母的求值) (2)回归性 : 2 a a ( a ≥0);(主要用于二次根式的计算) (3)转化性 : a 2 a(a0) a a(a .(主要用于二次根式的化简) 0) 重要结论 : (1)若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 . 应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 , A ≥0,B2≥0, C ≥0 ∴ A 0, B0, C0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.

(2) A B 2 A B A B A B ;主要用于二次根式的化简. B A A B A2 B A 0 (3)A B, 其中B≥ 0; A2 B A 0 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的. (4) A B 2 A2 B ,其中B≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________. x1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1. 例 2.若 x, y 为实数,且y x11 1y1 x,化简 :. 2y1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B . 解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0 ∴ x ≥1, x ≤1 ∴ x1 ∴ y0011 1 22 y11y 1 . ∴ 1y1 y 习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________. 习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________. 习题 4.若函数 y 1 2 x ,则自变量x 的取值范围是__________. x 习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________.

二次根式考试题型汇总

二次根式 题型一 二次根式的定义 例1、(1)18n -是整数,求自然数n 的值. (2)当x __________时,式子3 1 -x 有意义. 题型二 二次根式有意义的条件 例2、当x 时,二次根式1x +有意义。 例3、已知x 、y 为实数,22991 3 x x y x -+-+=-,求5x+6y 的值. 例4、已知334y x x =-+-+,求23 8163y y xy ++-的值。 题型三 二次根式的性质与化简 例5、已知实数a ,b 在数轴上的位置如图所示:

试化简( ) ( ) 2 2 223 23 2a b a ab b +- ---+ 例6、计算 (1)() 13218---+ (2)()2 11111x x x ??-?- ?-+?? (3)已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简 2 2 22d c ab d c ab +-=______. 例7、化简求值 (1)化简:() 2 2a a b c a b c -++-++ (2)先化简再求值:2 22 11xy x y x y x y ??-÷ ?-+-??,其中21,21x y =+=-

(3)若x <y <0,则222y xy x +-+222y xy x ++=( ) (A )2x (B )2y (C )-2x (D )-2y (4)若0<x <1,则4)1(2+-x x -4)1 (2-+x x 等于( ) (A )x 2 (B )-x 2 (C )-2x (D )2x (5)化简a a 3 -(a <0)得( ) (A )a - (B )-a (C )-a - (D )a ( 6)当a <0,b <0时,-a +2ab -b 可变形为( ) (A )2)(b a + (B )-2)(b a - (C )2)(b a -+- (D )2)(b a --- 题型四 最简二次根式 例8、(1)下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A (2)x 8,3 1 ,29x +都不是最简二次根式.( ) 题型五 二次根式的乘除法 例9、已知(3m ?=-?- ?? ,则有( ) A .5<m <6 B .4<m <5 C .-5<m <-4 D .-6<m <-5

初一上数学各类经典题型总结-

初一上学期数学各类经典题型 (重新编排) 一、数轴类知识: A.重点知识点强调: 1.数轴四要素:原点、正方向、单位长度、直线; 2.知道一个点的坐标,会表达与之相关的另一个点的坐标; 3.数轴上点与有理数的关系; 4.学会用“数形结合”的思想比较和判断有理数的大小; 5.数轴“动态”问题: ①圆形沿数轴滚动问题; ②数轴动点问题(单点单向、单点双向、多点单向、多点双向) B.典型真题回放: 1.下列所画数轴中正确的是() 1

2.①设数轴上点A坐标为m,B点坐标为n,且有n≧m,则A与B的中点C的坐标为_____. ②设数轴上点A(x1),B(x2),且有x2≧x1,则B点关于A点的对称点D点的坐标为____. 3.如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的整数a、b、c、d,且, b-2a=9,那么数轴的原点对应点是( ) A. A点 B.B点 C.C点 D.D点 4.判断:数轴上所有的点与有理数一一对应()。 5.将-2.5,1,2,-|-2|,-(-(-3)), -22在数轴上表示出来,并用“>”将它们连接起来。 2 6.如图所示,一数轴被折围成长为 3,宽为 2 的长方形,圆的周长为 4 且圆上刻一指针,若在数轴固定的情况下,圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动,当圆与7接触的时候,指针的方向是( ) 2

7. ①数轴上有一点,起始位置是3,向左运动到达A点,请问A点的位置是______;②数轴上有两个点,点 A 在-9 表示的位置,点 B 在-4 表示的位置,点A 以每分钟3 个单位的速度向右运动,点B 以每分钟2 个 单位的速度向右运动,试问点A 追上点B追上需要的时间为______;③两个点所处的位置是?数轴的原点O 上有一个蜗牛,第1次向正方向爬1个单位长度,紧接着第2 次反向爬2 个单位长度,第3 次向正方向爬3 个 单位长度,第4 次反向爬4 个单位长度……,依次规律爬下去,当它爬完第 100 次处在B 点.那么求OB 两 点之间的距离为_______;④在数轴上,点A 和点B 都在与-15对应的点上,若点A 以每秒3 个单位长度的速 4 度向右运动,点B 以每秒2 个单位长度的速度向左运动,则7 秒之后,点A 和点B 所处的位置对应的数是 什么?这时线段AB 的长度是_______. 二、绝对值类 A.重点知识点强调: 3

人教版七年级数学上册经典总复习练习题【附答案】

人教版七年级数学上册经典练习题 七年级有理数 一、境空题(每空2分,共38分) 1、31-的倒数是____;3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____;最小的正整数是____. 3、在数轴上,点A 所表示的数为2,那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 4、两个有理数的和为5,其中一个加数是–7,那么另一个加数是____. 、 5、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-,最高气温为8℃,那么该景点这天的温差是 6、计算:.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____;立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数,请赋予它实际的意义:___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________,其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ,则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 、 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘,其中最大的积是___________,最小的积是____________。 14、若m ,n 互为相反数,则│m-1+n │=_________. 二、选择题(每小题3分,共21分) 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示: 则( ) 0-11a b A .a + b <0 B .a + b >0; C .a -b = 0 D .a -b >0 16、下列各式中正确的是( ) @ A .22)(a a -= B .33)(a a -=; C .|| 22a a -=- D .|| 33a a = 17、如果0a b +>,且0ab <,那么( ) A.0,0a b >> ;B.0,0a b << ;C.a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中,值一定是正数的是( ) A .x 2 B.|-x+1| C.(-x)2+2 D.-x 2+1 19、算式(-34 3)×4可以化为() (A )-3×4-43×4 (B )-3×4+3 (C )-3×4+4 3×4 (D )-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下:第一次85分,第二次比第一次高8分,第三次比第二次低12分,第四次又比第三次高10分.那么小明第四次测验的成绩是…………()

【精品】初中数学——分类讨论思想(初二)

分类讨论 分类讨论问题是创新性问题之一,此类题综合性强,难题较大,在历年中考试题中多以压轴题出现,对考生的 能力要求较高,具有很强的选拔性。综合中考的复习规律,分类讨论的知识点有三大类: 1.代数类:代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标未给定)所在象限等 . 2.几何类:几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等 . 3.综合类:代数与几何类分类情况的综合运用. 在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重 要的数学思想方法,同时也是一种解题策略. 分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其 实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的. 正确的分类必须是周全的,既不 重复、也不遗漏. 分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的; (2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级有序进行.(4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 题型 1.考查数学概念及定义的分类 规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义,其中以绝对值、方程及根的定义,函数的定义尤为重要,必须明确讨论 对象及原因,进而确定其存在的条件和标准。 例题1.方程560x x x 的最大根与最小根的积为______. 例题2.解关于x 的方程:ax - 1= x 例题3.试解关于x 的方程1 11x )x (例题4.a 34933 2无解,求x x ax x 例题5.已知四个数:10、10、x 、8,它们的中位数和平均数相等,则x=___________ 题型2:考查字母的取值情况或范围的分类. 规律提示:此类问题通常在函数中体现颇多,考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用 条件及范围. 例题1.已知2225,7x y x y ,则x y 的值等于_______. 例题2.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,4A D cm ,∠A =60°,BD ⊥AD ,一动点P 从A 出发,以每秒1cm 的速度沿A B C 的路线匀速运动,过点P 作直线PM ,使PM ⊥AD. (1)当点P 运动2秒时,设直线PM 与AD 相交于点E ,求△APE 的面积;

二次根式常见中考题型

二次根式常见中考题型 二次根式是代数式中的重要部分,是历年各省市中考的必考内容。但是,有些同学对其中考题不熟悉,往往望而生畏。本文将结合往年各省市中考题归纳其有关题型,希望能对同学们备考有所帮助。 考点1——考查二次根式的有关定义 (1)最简二次根式: 满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式: ①被开方数的因数是整数,因式是整式; ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 (2)同类二次根式: 含有相同最简二次根式的一类二次根式。 例3(2006年广安市中考题):如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式,则=a _____ 解: 最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式 a a 21783-=-∴解得5=a 小结:把一个二次根式化为最简(同类)二次根式的一般步骤: ①把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数,绝对值小于1的小数化为真分数; ②被开方数是多项式的进行因式分解; ③使被开方数不含分母; ④将被开方数中开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面; ⑤化去分母中的根号(即分母有理化) 考点2——考查二次根式有意义的非负性质 二次根式a 的双重非负性质: ①被开方数a 是非负数,即0≥a ②二次根式a 是非负数,即0≥a 例6(2007年长沙市中考题):已知y x ,是实数,且2 )1(-+y x 与42+-y x 互为

相反数,求实数x y 的负倒数。 解:2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数 042)1(2=+-+-+∴y x y x 又0)1(2≥-+y x ,042≥+-y x 01=-+∴y x ①,042=+-y x ②,解①②得:2,1=-=y x 则2 121==-x y ,故x y 的负倒数为2- 小结:考查二次根式双重非负性质的应用是历年中考命题的热点内容,我们应该引起高度重视。像例4、例5和例6通过利用二次根式的双重非负性质把抽象问题具体化,把陌生问题熟悉化。 考点3——考查二次根式的运算 常考公式:⑴)0,(≥?=?b a b a b a ⑵)0,0(>≥=b a b a b a )0(≥a a ⑶a a =2 = )0(<-a a ⑷)0()(2≥=a a a 例(2007年武汉市中考题):若1≤a ,则3 )1(a -化简后为( ) 1)1(--a a A a a B --1)1( a a C --1)1( 1)1(--a a D 方法一:1≤a ,则01≥-a a a a a a a a --=-?-=-?-=-∴1)1(111)1)1(23( 故正确选项为B 方法二(特值检验法):依1≤a ,不妨令0=a ,此时1)1(--a a 和1)1(--a a 无意义,从而排除 A 、D ;当0=a 时,1)1(3=-a ,11)1(=--a a ,

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